知識(shí)點(diǎn)3　線段的中點(diǎn)1.(2023北京東城月考)已知AB=8,下列條件中能確定點(diǎn)C是線 段AB的中點(diǎn)的是(M7106002)(　????)A.BC=4　　　???? B.AB=2ACC.AC+BC=8　　　????D.AC=BC=4
解析　由BC=4或AB=2AC不能確定點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),故 選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;當(dāng)AC+BC=8時(shí),點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn) (不與A、B兩點(diǎn)重合),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;AC=BC=4=?AB,則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),故選項(xiàng)D正確.故選D.
2.(分類討論思想)已知線段AB=12 cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn), BC=4 cm,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),則線段 MN的長(zhǎng)度是(M7106002)(　????)A.4 cm　　　??? ?B.6 cmC.5 cm或8 cm　　　????D.4 cm或8 cm
解析　分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),如圖,?∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),∴AM=MB=?AB=6 cm,CN=NB=?BC=2 cm,∴MN=MB-NB=6-2=4(cm).②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,?∵M(jìn)是AB的中點(diǎn), N是BC的中點(diǎn),
∴MN=MB+BN=? AB+ BC = 6+2 = 8(cm).綜上所述,線段MN的長(zhǎng)度是4 cm或8 cm,故選D.
3.(方程思想)(2024云南昭通鎮(zhèn)雄期末)延長(zhǎng)線段AB到C,使BC =?AB,若AC=15,點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),則BD的長(zhǎng)為(M7106002)(　????)A.4.5　　　????B.3.5　　　????C.2.5　　　????D.1.5
解析　畫出示意圖如圖,設(shè)BC=x,則AB=4x,∴AC=AB+BC=4x+x=5x,∵AC=15,∴x=3,∴AB=12,∵D是AC的中點(diǎn),∴AD=?AC=?×15=7.5,∴BD=AB-AD=12-7.5=4.5,故選A.?
方法解讀 　在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),方程思想是一種把未知轉(zhuǎn)化為已 知的手段,通過設(shè)元,尋找已知與未知之間的等量關(guān)系,構(gòu)造 方程或方程組解決問題.
4.(雙中點(diǎn)模型)(2024山東菏澤定陶期中)如圖,C是線段AB上 一點(diǎn),M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),若AM=2厘米,BC=8厘米, 求MN的長(zhǎng)度.(M7106002)?
解析　∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),AM=2厘米,∴CM=AM=2厘米,∵N是BC的中點(diǎn),BC=8厘米,∴CN=?BC=4厘米,∴MN=CM+CN=6厘米.方法解讀　雙中點(diǎn)模型(1)雙中點(diǎn)模型(兩線段無公共部分)　　條件:如圖1,已知A、B、C三點(diǎn)共線,D、E分別為AB、
BC的中點(diǎn).　　結(jié)論:DE=?AC.?圖1?????圖2(2)雙中點(diǎn)模型(兩線段有公共部分)　　條件:如圖2,已知A、B、C三點(diǎn)共線,D、E分別為AB、
BC的中點(diǎn).　　結(jié)論:DE=?AC.
5.(1)如圖所示,線段AB=4,點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn),C,D分別是線 段OA,OB的中點(diǎn).小明很輕松地求得CD=2,小明是怎樣求出 來的?(2)小明突發(fā)奇想:若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到線段AB的延長(zhǎng)線上,其他條 件不變,原有的結(jié)論“CD=2”是否仍然成立?請(qǐng)幫助小明畫 出圖形并說明理由.?
解析????(1)∵C,D分別是線段OA,OB的中點(diǎn),∴OC=?AO,OD=?BO,∴CD=OC+OD=?(OA+OB)=?AB=2.(2)當(dāng)點(diǎn)O在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),原有的結(jié)論“CD=2”仍然成 立.理由如下:如圖所示,?∵C,D分別是線段OA,OB的中點(diǎn),
∴OC=?AO,OD=?BO,∴CD=OC-OD=?(OA-OB)=?AB=?×4=2.
6.(分類討論思想)(2024山東菏澤成武期中,3,★☆☆)點(diǎn)A,B,C 是直線l上三點(diǎn),點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn), 若AB=10,BC=4,則MN=(M7106002)(　????)A.6　　 　????B.3或7　　　????C.3　　　????D.7
解析　分兩種情況:①如圖,∵點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)N為線 段BC的中點(diǎn),AB=10,BC=4,∴MB=?AB=5,BN=?BC=2,∴MN=MB+BN=5+2=7.?②如圖,∵點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn),AB=10,BC=4,∴MB=?AB=5,BN=?BC=2,
∴MN=MB-BN=5-2=3.?∴MN的長(zhǎng)為7或3.故選B.
7.(2023山東棗莊期末,7,★☆☆)如圖,AB=18 cm,C為AB的中 點(diǎn).點(diǎn)D在線段AC上,且AD∶CB=1∶3,則DC的長(zhǎng)度是(M7106 004)(　????)?A.8 cm　　　????B.9 cm　　　????C.6 cm　　　????D.10 cm
解析　∵AB=18 cm,C為AB的中點(diǎn),∴AC=BC=9 cm,∵AD∶CB=1∶3,∴AD∶9=1∶3,∴AD=3 cm,∴DC=AC-AD=9-3=6(cm).故選C.
8.(新考向·尺規(guī)作圖)(2024山東濟(jì)南月考,5,★☆☆)如圖,AB= 10,點(diǎn)C、D分別是線段AB上的點(diǎn)(CD>AC,CD>BD),用圓規(guī)在 線段CD上分別截取CE=AC,DF=BD,點(diǎn)E與點(diǎn)F恰好重合,則 CD的長(zhǎng)度為(M7106002)(　????)?A.3　　　????B.4　　　????C.5　　　????D.6
解析　∵CE=AC,DF=BD,∴點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是AE、BF的中點(diǎn),∴CE=?AE,DF=?BF,∵AB=10,點(diǎn)E與點(diǎn)F恰好重合,∴CD=CE+DF=?AE+?BF=?AB=5.故選C.
9.(多選題)(2024山東濰坊諸城實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,12,★☆☆)如 圖,點(diǎn)B在線段AC上,BC=2AB,D,E分別是AB,BC的中點(diǎn).下列 結(jié)論:①AB=?AC;②B是AE的中點(diǎn);③BE=3BD;④AC=2DE.其中正確的有(M7106002)(　????)?A.①　　　????B.②　　　????C.③　　　????D.④
解析　∵BC=2AB,∴AC=AB+BC=AB+2AB=3AB,∴AB=?AC,①正確;∵E是BC的中點(diǎn),∴BE=EC=?BC=?×2AB=AB,∴B是AE的中點(diǎn),②正確;∵D是AB的中點(diǎn),∴AD=DB=?AB=?BE,
∴BE=2BD,③錯(cuò)誤;∵DE=DB+BE=?AB+?BC=?(AB+BC)=?AC,∴AC=2DE,④正確.綜上,正確的有①②④.故選ABD.
10.(2024山東菏澤曹縣月考,24,★☆☆)如圖,C是線段AB上一 點(diǎn),M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn).(M7106004)(1)若AM=2,BC=6,求MN的長(zhǎng)度.(2)若AB=10,求MN的長(zhǎng)度.?
解析????(1)∵N是BC的中點(diǎn),M是AC的中點(diǎn),AM=2,BC=6,∴CN=?BC=3,AM=CM=2,∴MN=MC+CN=5.(2)∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),AB=10,∴NM=MC+CN=?AC+?BC=?(AC+BC)=?AB=5.
11.(推理能力)(2023山東臨沂沂水期末)如圖1,將一段長(zhǎng)為30 厘米的繩子AB拉直鋪平后折疊(繩子無彈性,折疊處長(zhǎng)度忽 略不計(jì)),使繩子與自身一部分重疊.將繩子AB沿M、N點(diǎn)折 疊,點(diǎn)A、B分別落在A',B'處. 圖1?圖2
?圖3(1)如圖2,若A',B'恰好重合于點(diǎn)O處,展開拉直后如圖3,求MN 的長(zhǎng).(2)若點(diǎn)A'落在B'的左側(cè),且A'B'=10 cm,畫出展開拉直后的圖 形,并求MN的長(zhǎng)度.(3)若點(diǎn)A'落在B'的右側(cè),且A'B'=10 cm,畫出展開拉直后的圖 形,并求MN的長(zhǎng)度.
解析????(1)∵繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊,點(diǎn)A、B分別落在A'、B' 處,A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處,∴AM=MO=?AO,ON=BN=?OB,∴MN=MO+ON=?(AO+OB)=?AB=15(cm).(2)當(dāng)點(diǎn)A'落在B'的左側(cè)時(shí),如圖所示,?∵AB=30 cm,A'B'=10 cm,∴AA'+BB'=AB-A'B'=30-10=20(cm).
根據(jù)題意得M、N分別為AA'、BB'的中點(diǎn),∴AM=?AA',BN=?BB',∴AM+BN=?AA'+?BB'=?(AA'+BB')=?×20=10 cm,∴MN=AB-(AM+BN)=30-10=20(cm).(3)當(dāng)點(diǎn)A'落在點(diǎn)B'的右側(cè)時(shí),如圖所示,?∵AA'+BB'=AB+A'B'=40 cm,
∴AM+BN=?AA'+?BB'=?(AA'+BB')=20 cm,∴MN=AB-(AM+BN)=30-20=10 cm.
12.(推理能力)(2024遼寧葫蘆島連山期末)閱讀感悟:數(shù)學(xué)課上,老師給出了如下問題:如圖1,一條直線上有A、B、C、D四點(diǎn),線段AB=8 cm,點(diǎn)C為 線段AB的中點(diǎn),線段BD=2.5 cm,請(qǐng)你補(bǔ)全圖形,并求線段CD 的長(zhǎng)度.?圖1?圖2?備用圖
以下是小華的解答過程:解:如圖2,因?yàn)榫€段AB=8 cm,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),所以BC=　　　????AB=　　　????cm.因?yàn)锽D=2.5 cm,所以CD=BC-BD=　　　????cm.小斌說:我覺得這個(gè)題應(yīng)該有兩種情況,小華只考慮了點(diǎn)D在 線段AB上這一種情況,事實(shí)上,點(diǎn)D還可以在線段AB的延長(zhǎng) 線上.
回答以下問題:(1)請(qǐng)將小華的解答過程補(bǔ)充完整.(2)根據(jù)小斌的想法,請(qǐng)你在備用圖中畫出另一種情況對(duì)應(yīng)的 示意圖,并求出此時(shí)CD的長(zhǎng)度.
解析????(1)因?yàn)榫€段AB=8 cm,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),所以BC=?AB=4 cm.因?yàn)锽D=2.5 cm,所以CD=BC-BD=1.5 cm.故答案為?;4;1.5.(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),因?yàn)榫€段AB=8 cm,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),所以BC=?AB=4 cm.
又因?yàn)锽D=2.5 cm,所以CD=BC+BD=6.5 cm.?
微專題　線段的雙中點(diǎn)模型例題　如圖,已知線段AB=6 cm,BC=4 cm,若點(diǎn)M,N分別為AB, BC的中點(diǎn),則MN=(M7106002)(　????)?A.6 cm　　　????B.5.5 cm　　　????C.5 cm　　　????D.6.5 cm
??解析　∵M(jìn),N分別是線段AB,BC的中點(diǎn),AB=6 cm, BC=4 cm,∴MB=?AB=3 cm,NB=?BC=2 cm,∴MN=MB+NB=3+2=5(cm).故選C.變式
1.(未給圖形需分類討論)已知線段AB=14 cm,點(diǎn)C是直線AB 上一點(diǎn),BC=2 cm,若M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),則線段MN 的長(zhǎng)度是(M7106002)(　????)A.7 cm　　　 ????B.9 cmC.7 cm或5 cm　　　　D.6 cm或8 cm
解析　分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),如圖所示:?∵AB=14 cm, BC=2 cm,∴AC=AB-BC=12 cm,∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),∴MC=?AC=6 cm,CN=?BC=1 cm,∴MN=MC+CN=6+1=7(cm).②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖所示:
?∵AB=14 cm,BC=2 cm,∴AC=AB+BC=16 cm,∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),∴MC=?AC=8 cm,NC=?BC=1 cm,∴MN=MC-CN=8-1=7(cm).綜上所述,線段MN的長(zhǎng)度是7 cm.故選A.
2.(新考向·規(guī)律探究試題)如圖,已知線段AB=15 cm,CD=3 cm, E是線段AC的中點(diǎn),F是線段BD的中點(diǎn).?(1)若AC=5 cm,求線段EF的長(zhǎng)度.(2)當(dāng)線段CD在線段AB上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí),試判 斷線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化,如果不變,請(qǐng)求出線段EF的 長(zhǎng)度;如果變化,請(qǐng)說明理由.
解析????(1)∵AC=5 cm,AB=15 cm,CD=3 cm,∴BD=AB-AC-CD=15-5-3=7(cm),∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),∴EC=?AC=2.5 cm,DF=?BD=3.5 cm,∴EF=EC+CD+DF=2.5+3+3.5=9(cm).(2)線段EF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化.∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),∴AE=?AC,BF=?BD,

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