全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．
4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．
5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章~第二章2.3．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．若與是兩條不同的直線，則“”是“”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知直線l的一個方向向量，且直線l經(jīng)過和兩點，則（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知空間向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（ ）
A．平行于同一個平面的向量叫做共面向量
B．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底
C．直線可以由其上一點和它的方向向量確定
D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量
6．在平行六面體中，點P是線段BD上的一點，且，設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，直線交x軸于點A，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰好落在直線上．若點N在第二象限內(nèi)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．在棱長為2的正方體中，EF是正方體外接球的直徑，點P是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若空間向量，滿足，則
B．空間任意兩個單位向量必相等
C．在正方體中，必有
D．空間向量的模為
10．已知兩條平行直線和之間的距離小于，則實數(shù)m的值可能為（ ）
A．0B．1C．2D．
11．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的中點，如圖所示建立空間直角坐標系，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．向量與所成角的余弦值為
C．平面AEF的一個法向量是
D．點D到平面AEF的距離為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．直線，的斜率，是關(guān)于k的方程的兩根，若，則實數(shù)__________．
13．在通用技術(shù)課程上，老師教大家利用現(xiàn)有工具研究動態(tài)問題．如圖，老師事先給學(xué)生準備了一張坐標紙及一個三角板，三角板的三個頂點記為A、B、C，，，．現(xiàn)移動邊AC，使得點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上運動，則（點O為坐標原點）的最大值為__________．
14．已知空間向量，，則最大值為__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知直線，，．
（1）若這三條直線交于一點，求實數(shù)m的值；
（2）若三條直線能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m滿足的條件．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在直三棱柱中，，，，，點d是棱AB的中點
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（本小題滿分15分）
已知直線．
（1）m為何值時，點到直線l的距離最大，并求出最大值；
（2）若直線l分別與x軸，y軸的負半軸交于A，B兩點，求（O為坐標原點）面積的最小值及此時直線l的方程．
18．（本小題滿分17分）
如圖，在棱長為3的正方體中，點E是棱上的一點，且，點F是棱上的一點，且．
（1）求異面直線與CF所成角的余弦值；
（2）求直線BD到平面CEF的距離．
19．（本小題滿分17分）
如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，，點E是棱PB的中點，點F是棱PC上的一點，且．
（1）證明：平面平面PBC；
（2）求平面AEF和平面AFC夾角的大?。?br>2024~2025（上）高二年級第一次月考·數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評分細則
1．D ，其傾斜角為．故選D．
2．C 若，則，解得或，
則“”是“”的充分不必要條件，故選C．
3．A 因為，所以，
解得，，所以，故選A．
4．D ，
故在上的投影向量為．故選D．
5．B 平行于平面的向量，可平移至一個平行于的平面，故為共面向量，A正確；
空間任意三個向量都共面時，則不能構(gòu)成空間的基底，B錯誤；
直線的方向向量是直線任取一點，向其兩個方向的任意方向作出一個向量即可得，故直線上一點和方向向量確定直線，C正確；
由向量的位置的任意性，將空間兩個向量某一端點移至重合位置，它們即可構(gòu)成一個平面，即可為同一平面的向量，D正確．故選B．
6．C
．故選C．
7．A 設(shè)直線與y軸的交點為B，過O作于C，過N作于D．
因為N在直線上且在第二象限內(nèi)，
設(shè)，則，．
又，，即，，所以．
在中，由三角形的面積公式得，，所以．
在中，，，所以，即．
在中，，即，解得，．
因為點N在第二象限內(nèi)，所以，所以，，
所以，故選A．
8．A 記正方體的外接球的球心為O，
易得，且，
所以，
故選A．
9．CD 兩個向量相等需要方向相同，模長相等，所以不能得到，A錯誤；
空間任意兩個單位向量的模長均為1，但是方向不一定相同，故B錯誤，
正方體中，，的方向相同，長度相等，故，故C正確；
空間向量的模為，故D正確．故選CD．
10．AC 直線和平行，則，兩條平行直線間距離，
解得且，故0和2符合要求．故選AC．
11．BCD 對于A，正方體中，，故A錯誤；
對于B，，，故向量夾角余弦值為，故B正確；
對于C，，，，．
故是平面AEF的一個法向量，故C正確；
對于D，，則點D到平面AEF的距離為，故D正確．故選BCD．
12． 因為，而且斜率存在，所以，
又，是關(guān)于k的方程的兩根，，解得．
13．1+ 由已知，，．
如圖，取AC的中點E．因為為直角三角形，故．
由于為直角三角形，故，
顯然，當且僅當O、B、E三點共線時等號成立，故的最大值為．
14． ，
當時，，
由，所以，當且僅當，即時等號成立，
故，
當時，，故的最大值為．
15．解：（1）由解得代入的方程，得．
（2）當三條直線相交于一點或其中兩直線平行時，三條直線不能構(gòu)成三角形．
①聯(lián)立解得代入，得；
②當與平行時，，
當與平行時，．
綜上所述，當且且時，三條直線能構(gòu)成三角形．（且寫成或扣1分）．
16．解：如圖，以C為坐標原點，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
所以，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則即
令，解得，，所以平面的一個法向量為．
（1）證明：，因為，
平面，所以平面；
（2）解：因為，所以，
所以直線與平面所成角的正弦值是．
17．解：（1）已知直線，整理得，
由故直線l過定點，
點到直線l的距離最大，可知點Q與定點的連線的距離就是所求最大值，
即為最大值．
，的斜率為，
可得，解得；
（2）若直線l分別與x軸，y軸的負半軸交于A，B兩點，
則可設(shè)直線l的方程為，，則，，
．
（當且僅當時，取“=”），
故面積的最小值為12，此時直線l的方程為．
18．解：（1）如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，所以，，，，
所以，，
所以，
所以異面直線與CF所成角的余弦值是；
（2）因為，，，所以，，
所以，所以，
又平面CEF，平面CEF，所以平面CEF，
所以點D到平面CEF的距離即為直線BD到平面CEF的距離．
設(shè)平面CEF的一個法向量為，則即
令，解得，，所以平面CEF的一個法向量為．
因為，所以點D到平面CEF的距離，
即直線BD到平面CEF的距離為．
19．（1）證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，所以，，，設(shè)，
則，解得，即．
則，，，
設(shè)平面AEC的一個法向量為，則即
令，解得，，所以平面AEC的一個法向量為．
因為，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，
所以即令，解得，，
所以平面PBC的一個法向量為，
又，所以平面平面PBC；
（2）解：，所以．
設(shè)平面EAF的一個法向量為，
所以即
令，解得，，
所以平面EAF的一個法向量為．
設(shè)平面CAF的一個法向量為，
則即
令，解得，，所以平面CAF的一個法向量為．
因為，
所以平面AEF和平面AFC夾角的大小為．

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