2023-2024學(xué)年度上學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，共4頁?？荚嚂r(shí)間為120分鐘。考試結(jié)束后，只交答題卡。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）A． B． C． D．2．若直線：與直線：的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．或3．若平面內(nèi)兩條平行線：，：間的距離為，則實(shí)數(shù)（    ）A．2 B．-2或1 C．-1 D．-1或24．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取得最大值時(shí)，（    ）A．2 B． C．-2 D．-45．已知三棱柱的側(cè)棱長為2，底面ABC是邊長為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)M．則（    ）A． B．2 C． D．6．已知x、y滿足，則的最大值為（    ）A． B． C． D．7．直線與圓相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．8．已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題共給出四個(gè)選項(xiàng)，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對得2分．）9．已知空間向量，，下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與夾角為銳角，則10．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)P在直線l：上，則（    ）A．存在點(diǎn)P，使得 B．存在點(diǎn)P，使得C．的最小值為 D．的最大值為11．設(shè)直線l：與圓C：，則下列結(jié)論正確的為（    ）A．l可能將C的周長平分B．若圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則k的取值范圍為C．若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則面積的最大值為2D．若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為12．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙口發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l的方程為，M為橢圓C的蒙日圓上一動(dòng)點(diǎn)，MA，MB分別與橢圓相切于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（    ）A．橢圓C的蒙日圓方程為B．記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則的最小值為C．一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積最大值為6D．橢圓C的蒙日圓方程為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長為______．14．已知A，B為圓O：上的兩點(diǎn)，，M為AB的中點(diǎn)，則M到直線l：距離的最小值為______．15．已知點(diǎn)，是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．16．已知橢圓C：的離心率為，F是左焦點(diǎn)，過F且傾斜角為45°的直線交C于點(diǎn)A，B．設(shè)M，N分別是AF和BF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為______．四、解答題（本題共6小題，共70分）17．（本小題滿分10分）已知，．（1）若，求值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．18．（本小題滿分12分）橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)且短軸長為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．19．（本小題滿分12分）已知圓M過，兩點(diǎn)，且圓心M在上，（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值．20．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)P．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，且MN中點(diǎn)為，求直線l的方程．21．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，E為線段BC的中點(diǎn)，F為線段PA上的一點(diǎn)．（1）證明：平面平面BCP．（2）若，二面角的余弦值為，求PD與平面BDF所成角的正弦值．22．（本小題滿分12分）已知橢圓E；的離心率為，記E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，的面積為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求E的方程；（2）已知，過點(diǎn)D的直線與橢圓E交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在第一象限）過點(diǎn)M垂直于y軸的直線分別交BA，BN于P，Q，求的值． 2023-2024學(xué)年度上學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)答案1．【答案】C【詳解】由題意知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，所以，所以，又，所以可得，，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．2．【答案】C【詳解】由題意知，直線：過定點(diǎn)，斜率為k，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，．若直線l?與l?的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則必過線段AB上的點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，B）．因?yàn)?/span>，，所以．故A，B，D錯(cuò)誤．故選：C．3．【答案】A【詳解】因?yàn)閮芍本€：，：平行，可得且，解得或，當(dāng)時(shí)，：，：，即：，可得兩平行線間的距離為，符合題意；當(dāng)時(shí)，：，：，即：，可得兩平行線間的距離為，不符合題意，舍去．故選：A．4．【答案】C【詳解】將直線轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線MN與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)M到該直線的距離取得最大值，此時(shí)，解得．故選：C．5．【答案】D【詳解】依題意可知M是的中點(diǎn)，所以所以．故選：D6．【答案】B【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為1，記點(diǎn)，則，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)P為直線OC與圓C的交點(diǎn)，且點(diǎn)C在線段OP上時(shí)，取最大值，即，因此，的最大值為。故選：B．7．【答案】C【詳解】若，則圓心到直線的距離，即，解得，故選：C．8．【答案】A【詳解】如圖設(shè)，F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓相交于A，B，連接，AF，，BF．根據(jù)橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形．由橢圓的定義有：，，，由余弦定理有：即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又的斜率存在，故A，B不可能在y軸上．所以等號不能成立，即即，所以，故選：A9．【答案】ABD【詳解】對于A：∵，∴，即：，解得：．故A選項(xiàng)正確；對于B：∵，∴∴，解得：．故B選項(xiàng)正確；對于C：在上的投影向量為：，即，代入坐標(biāo)化簡可得：，x無解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D：∵與夾角為銳角，∴，解得：；且與不共線，即，，解得：，所以與夾角為銳角時(shí)，解得：．故D選項(xiàng)正確；故選：ABD．10．【答案】BCD【詳解】對于A，由，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以AB為直徑的圓的方程為，而該圓心到直線l：的距離，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則滿足的動(dòng)點(diǎn)P的方程為，化簡得，則圓心到直線l的距離，故B正確；對于C，因?yàn)?/span>關(guān)于的對稱點(diǎn)為，所以有，解得，，即，所以，故C正確；對于D，（當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立），故D正確．故選：BCD11．【答案】BC【詳解】對于A，若直線l將圓C的周長平分，則直線l過原點(diǎn)，此時(shí)直線l的斜率不存在，Ａ錯(cuò)誤；對于B，若圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則C到直線l的距離d滿足，所以，解得或，B正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值2，C正確；對于D，易知直線l經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以M點(diǎn)的軌跡以OP為直徑的圓，其方程為，又因?yàn)?/span>M點(diǎn)在圓C內(nèi)，由，解得，所以M點(diǎn)的軌跡方程為，D錯(cuò)誤．故選：BC．12．【答案】AC【詳解】對于A，當(dāng)直線MA，MB一條斜率為0，另一條斜率不存在時(shí)，則；當(dāng)直線MA，MB斜率均存在時(shí)，設(shè)，切線方程為：，由得：，由整理可得：，∴，又，∴，即，∴，∴M點(diǎn)軌跡為；將檢驗(yàn)，滿足，∴蒙日圓的方程為，A正確；D錯(cuò)誤．對于B，∵A為橢圓C上的點(diǎn)，∴，∴；∵的最小值為點(diǎn)到直線l的距離，又，∴，∴，B錯(cuò)誤；對于C，∵矩形四條邊均與C相切，∴該矩形為蒙日圓的內(nèi)接矩形，設(shè)矩形的長為m，寬為n，蒙日圓的半徑，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），∴此矩形面積最大值為6，C正確；故選：AC．13．【答案】20【詳解】如圖所示：，，所以的周長為故答案為：2014．【答案】【詳解】由垂徑定理可知，∴，∴M的軌跡是以O為圓心，為半徑的圓，O到l的距離，∴M到直線l距離的最小值為．故答案為：15．【答案】或【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，，，所以是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為．故答案為：16．【答案】【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為，連接，，∵M為AF的中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，∴，，同理，，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴橢圓方程可化為，設(shè)直線AB：，，，由得，，∴，，∴，∵，∴，∴，，，原點(diǎn)到直線AB：的距離為，所以，故答案為：17．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）由已知得：，…1分∴…5分（2）由，即，∴，解得…10分18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)且短軸長為2，所以，…2分所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為…5分（2）由已知得直線l的方程為，…6分設(shè)，，將直線代入，得，易得，所以，…8分所以…12分19．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）設(shè)圓M的方程為：，…1分根據(jù)題意得…4分故所求圓M的方程為：；…5分（2）如圖，四邊形PAMB的面積為，即…6分又，，所以，而，即．因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，…9分的最小值即為點(diǎn)M到直線的距離所以，四邊形PAMB面積的最小值為…12分20．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題可知，則…2分由橢圓定義知P的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且長軸長為4的橢圓，∴，，∴…4分∴P的軌跡方程為C：…5分（2）設(shè)，，∵M，N都在橢圓上，∴，，相減可得…8分又MN中點(diǎn)為，∴，，∴，即直線l的斜率為，∴直線l的方程為，即…12分21．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：連接AC，因?yàn)?/span>，E為線段BC的中點(diǎn)，所以．．．．．2分又，，所以為等邊三角形，…3分因?yàn)?/span>，所以平面PAE，又平面BCP，所以平面平面BCP…4分（2）解：設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，同理可證，所以平面ABCD…5分如圖，設(shè)，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)?/span>x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。易知為二面角的平面角，所以，從而．由，得．…7分又由，，知，，設(shè)平面BDF的法向量為，由，，得，不妨設(shè)，得．又，，所以…9分設(shè)PD與平面BDF所成角為θ，則，所以PD與平面BDF所成角的正弦值為…12分22．【答案】（1）（2）1【詳解】（1）由題意可得，，且，則…2分所以，，解得，所以，橢圓E的方程為…4分（2）當(dāng)直線與x軸平行時(shí)，此時(shí)直線方程為，不合乎題意，則設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)、，則直線AB的方程為，直線l的方程為，聯(lián)立，可得，故點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，可得，，…6分由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線MN上，則，則，則，，，解得，，則直線BN的方程為，令，則，，則，…9分而即，則因?yàn)?/span>，則，又因?yàn)辄c(diǎn)P，Q，M的縱坐標(biāo)相同，所以P為MQ的中點(diǎn)，所以…12分 

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