命題人： 試題分值：150分 考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知命題：，，則命題的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)命題的否定，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反，
則命題的否定為“，”.
故選：C.
2. 下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】A：函數(shù)和的定義域?yàn)镽，解析式一樣，故A符合題意；
B：函數(shù)與的定義域?yàn)镽，解析式不一樣，故B不符合題意；
C：函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，解析式一樣，故C不符合題意；
D：函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，解析式不一樣，故D不符合題意.
故選：A
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可．
【詳解】解：時(shí)，由，解得：，
時(shí)，解得：，不是必要條件，
反之也推不出，比如，不是充分條件，
故“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：D．
4. 若，，且，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式，求出，或，結(jié)合，得到正確答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)椋曰颍?br>因?yàn)?，所以不合要求，所以?br>綜上：.
故選：B
5. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合，中的元素特征判斷可得.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，表示的整數(shù)倍與的和，表示的整數(shù)倍與的和，
故，
故選：A
6. 不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得方程的兩個(gè)根為和，且，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、、的關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】因?yàn)榈慕饧癁椋?br>所以方程的兩根分別為和1，且，
則變形可得
故函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，
且與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故A選項(xiàng)的圖象符合.
故選：A
7. 關(guān)于x的不等式的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分類(lèi)討論，與三種情況下原不等式的解集，結(jié)合題意可得該整數(shù)，列不等式即可得到的取值范圍．
【詳解】由可得，
當(dāng)時(shí)，，即原不等式無(wú)解，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，原不等式解得，由于解集中恰有2個(gè)整數(shù)，所以該整數(shù)解為2和3，因此可得，即；
當(dāng)時(shí)，原不等式解得，由于解集中恰有2個(gè)整數(shù)，所以該整數(shù)解為和0，因此由數(shù)軸法可得，即；
綜上：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或．
故選：C．
8. 已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，集合，，且，則集合B的子集個(gè)數(shù)為（ ）．
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由新定義及集合的概念可化簡(jiǎn)集合，再由可知，分類(lèi)討論的歸屬，從而得到集合的元素個(gè)數(shù)，由此利用子集個(gè)數(shù)公式即可求得集合的子集的個(gè)數(shù).
【詳解】由題設(shè)可知，，
又因?yàn)?，所以?br>而，
因?yàn)榈慕鉃榛?，的兩根滿(mǎn)足，
所以分屬方程與的根，
若是的根，是的根，則有，解得，
代入與，解得或與或，
故；
若是的根，是的根，則有，解得，
代入與，解得或與或，
故；
所以不管如何歸屬方程與，集合總是有4個(gè)元素，
故由子集個(gè)數(shù)公式可得集合的子集的個(gè)數(shù)為.
故選：C
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選得0分．
9. 已知非空集合都是的子集，滿(mǎn)足，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義及性質(zhì)判斷各選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由可得，故A正確；
對(duì)于B，由，可得，從而，故B正確；
對(duì)于C、D，結(jié)合與，可知，又，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A. 的定義域是B. 的值域是
C. 若，則D. 的圖象與直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、由函數(shù)值求自變量、函數(shù)圖象等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，的定義域是，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的值域是，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)的分析可知，若，
則，解得，所以C選項(xiàng)正確
D選項(xiàng)，畫(huà)出的圖象如下圖所示，由圖可知，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
11. 已知，則下列正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 最大值為8D. 的最大值為6
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
A選項(xiàng)，，
，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，，
整理得，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，，
由D選項(xiàng)的分析可知：，所以C選項(xiàng)正確.
故選：BC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】在數(shù)軸上畫(huà)出兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)的范圍，利用可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】如圖，在數(shù)軸表示，因?yàn)?，故，?
【點(diǎn)睛】含參數(shù)的集合之間的包含關(guān)系，應(yīng)借助于數(shù)軸、韋恩圖等幾何工具直觀(guān)地討論參數(shù)的取值范圍，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，還應(yīng)注意區(qū)間端點(diǎn)處的值是否可取.
13. 函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且?br>故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
14. 定義集合的“長(zhǎng)度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，則集合的“長(zhǎng)度”的最小值是_____；若，集合的“長(zhǎng)度”大于，則n的取值范圍是__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】空1：根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度定義得到關(guān)于的不等式組，再分類(lèi)討論即可；空2：代入得到，再根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度大于，得到關(guān)于的不等式組，解出即可.
【詳解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“長(zhǎng)度”最小，只有當(dāng)取最小值、取最大或取最大、取最小時(shí)才成立.
當(dāng)，，，“長(zhǎng)度”為，
當(dāng)，，，“長(zhǎng)度”為，
故集合的“長(zhǎng)度”的最小值是；
若，，
要使集合的“長(zhǎng)度”大于，故或
即或又，故.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解區(qū)間長(zhǎng)度的定義，再根據(jù)交并集的含義得到不等式組，結(jié)合分類(lèi)討論的思想即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知為全集，集合，集合．
（1）求集合A；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）將分式不等式化為，解出解集，得到集合A；
（2）由（1）得到，根據(jù)得到，從而列出不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，即?br>所以，解得：，
故；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得：，
所以或，
因?yàn)?，所以?br>又，
因?yàn)?，故?br>則或，
解得：或，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
16. 已知集合，且.
（1）若“命題，”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命題是真命題，可知，又，可得的取值范圍；
（2）由是的充分不必要條件,得是的真子集，又，可得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>命題是真命題，可知，
因?yàn)?，?br>，,
故的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
若是的充分不必要條件,得是的真子集，，
，解得，
故的取值范圍是.
17. 已知， 且．
（1）證明: ．
（2）若， 求的最小值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式可得，，，求和即可證明；
（2）原不等式可化為，且，利用基本不等式可求得的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
，①
②
③
①+②+③得，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
【小問(wèn)2詳解】
由，得，即，
所以
由，得，得，即，
所以
．
所以的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
18. LED燈具有節(jié)能環(huán)保的作用，且使用壽命長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，可知生產(chǎn)某種LED燈需投入的年固定成本為4萬(wàn)元每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入變動(dòng)成本萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，．每件產(chǎn)品售價(jià)為6元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷(xiāo)量等于當(dāng)年的產(chǎn)量．
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式．(注：年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入－固定成本－變動(dòng)成本)
（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為15萬(wàn)元．
【解析】
【分析】(1)根據(jù)“年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入－固定成本－變動(dòng)成本”，分和即可求出L(x)的解析式；
(2)根據(jù)二次函數(shù)和基本不等式分別求出L(x)在和時(shí)的最大值，比較即可得到答案．
小問(wèn)1詳解】
∵每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，∴萬(wàn)件產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，
依題意得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
∴
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值15．
∵，∴當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為15萬(wàn)元．
19. 問(wèn)題：正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，求的最小值.其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即且時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問(wèn)題：
（1）若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求的最小值；
（2）若實(shí)數(shù)a，b，x，y滿(mǎn)足，求證：；
（3）求代數(shù)式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）時(shí)，取得最小值．
【解析】
【分析】（1）利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式進(jìn)行放縮：，再利用不等式的性質(zhì)得出大?。⒌贸龅忍?hào)成立的條件．
（3）令，，構(gòu)造，即以，即，然后利用（2）的結(jié)論可得．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以最小值是．
【小問(wèn)2詳解】
，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且同號(hào)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)滿(mǎn)足.
【小問(wèn)3詳解】
令，，由得，
，
又，所以，
構(gòu)造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等號(hào)時(shí)，且同正，
結(jié)合，解得，即，．
所以時(shí)，取得最小值．
【點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類(lèi)比：“1”的代換．解題關(guān)鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關(guān)系，同時(shí)考查新知識(shí)（新結(jié)論）的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新性思維要求較高，本題屬于難題．

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