數(shù)學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2．已知，其中為虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. C. D.
3．已知，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（ ）
A.一、三象限 B.一、二象限C.三、四象限D(zhuǎn).二、四象限
4．已知都是正數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
5．已知滿足，，則值為（ ）
A. B. C. D.
6．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個志愿者小組，到外面參加兩項不同的服務工作，則丙、丁兩人恰好參加同一項服務工作的概率為（ ）
A. B. C. D.
7．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一點的橫坐標
縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象．若的圖象關于點中心對稱，則的最小值
為（ ）
A．B．C． D．
8．若函數(shù)有兩個極值點，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．關于函數(shù)，其中正確命題是（ ）
A．是以為最小正周期的周期函數(shù)
B．的最大值為
C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
AUTONUM 0．已知，則以下結(jié)論正確的有（ ）
A．，有零點
B．，在上單調(diào)遞增
C．時，
D．時，的解集為
11．甲罐中有個紅球，個白球，乙罐中有個紅球，個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐
取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 為互斥事件B.
C. D.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設函數(shù)，則使得成立的的解集是 ．
13．設的內(nèi)角的對邊分別為．若，則角 ．
14．已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為，則的最大值為___．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，．
（1）求的值；
（2）若的面積為，求邊上的高．
16．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當，證明:為定值，并求出函數(shù)的對稱中心；
（2）當時，若在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)的最小值．
17．（本小題滿分15分）
足球比賽積分規(guī)則為：球隊勝一場積分，平一場積分，負一場積分．常州龍城足球隊年月將迎來主場與隊和客場與隊的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊主場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為；客場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨立．
（1）求常州龍城隊月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率；
（2）用表示常州龍城隊月與隊和隊比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．

18．（本小題滿分17分）
如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，分別為上的動點，且．
（1）證明：平面；
（2）當?shù)拈L度最小時，求：
①；
②點到平面的距離．
19．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當時，求在上的值域；
（2）當時，討論的零點個數(shù)；
（3）當時，從下面①和②兩個結(jié)論中任選一個進行證明．
①；②．
江蘇省前黃中學2025屆高三上學期期初檢測試卷
數(shù)學試卷參考答案
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）C
A. B. C. D.
【詳解】∵，
∴，.
2．已知，其中為虛數(shù)單位，則（ ）D
A. B. C. D.
【詳解】，∴，∴.
3．已知，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（ ）C
A.一、三象限 B.一、二象限C.三、四象限D(zhuǎn).二、四象限
【詳解】當時，，
則當時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；
則當時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；
所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.
4．已知都是正數(shù)，則“”是“”的（ ）B
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
【詳解】由題意可知當時，可取，顯然不滿足；
當時，且，所以，即，解得，所以“”是“”的必要不充分條件
5．已知滿足，，則值為（ ）A
A. B. C. D.
【詳解】
，∴，
∴.
6．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個志愿者小組，到外面參加兩項不同的服務工作，則丙、丁兩人恰好參加同一項服務工作的概率為（ ）C
A. B. C. D.
【詳解】，，∴.
7．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上每一點的橫坐標
縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象．若的圖象關于點中心對稱，則的最小值
為（ ）D
A．B．C． D．
【詳解】令，
圖象向右平移個單位長度，則，
再將所得圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的，則，
又的圖象關于點中心對稱，則，
所以，則，又，故.
8．若函數(shù)有兩個極值點，且，則（ ）A
A． B． C． D．
【詳解】∵函數(shù)有兩個極值點且，
∴方程由兩個不同的正根，
∴，，，∴，
∴
，
又，即，得，
∴或（舍去）．
9．ABD
【詳解】，顯然A、B選項正確；
C選項: 將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，圖象不會與原圖像重合，故C錯誤；
D選項:當，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減成立．
10．ACD
【詳解】對A，當時，即有解，
又與的圖象明顯有交點，故A選項正確；
對B，，
時，，，單調(diào)遞減，故B選項錯；
對C，時，，時，遞減，時，遞增，，故C選項正確；
對D，時，，單調(diào)遞減，
等價于，∴，∴，故D選項正確．
11．BD
【詳解】A選項:顯然不成立；
B選項:當發(fā)生時，乙罐中有個紅球，個白球，此時發(fā)生的概率為，∴，
∴B選項正確；
D選項: 當發(fā)生時，乙罐中有個紅球，個白球，此時發(fā)生的概率為，∴，
∴，∴D選項正確；
C選項:，∴C選項不正確．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設函數(shù)，則使得成立的的解集是 ．
【答案】
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增， ∴，
∴，解集為．
13. 的內(nèi)角的對邊分別為．若，則角 ．
【答案】
【詳解】，所以，
所以，
又，所以，因為，所以．
14．已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為，則的最大值為___．
【答案】
【解析】，
令，得，切點為，
令，得，切點為.
切線方程為代入，可得，則，
令，則，
當時，，當時，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，即的最大值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，．
（1）求的值；
（2）若的面積為，求邊上的高．
解：∵，由余弦定理得，， ……2分
又，
∴，化簡得， ……5分
∴． ……6分
（2）由（1）得，
∴為銳角，∴， ……8分
∴的面積，
∴， ……10分
設邊上的高為，
則的面積，
∴，即邊上的高為． ……12分
……本題卷面分1分
16．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當，證明:為定值，并求出函數(shù)的對稱中心；
（2）當時，若在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)的最小值．
解：（1）當，，其中，
，
∴， ……4分
∴函數(shù)的對稱中心為． ……6分
（2）當時，，其中，
∵在定義域上單調(diào)遞增，∴在上恒成立， ……7分
而， ……9分
∵，當且僅當時等號成立，
∴， ……12分
而成立，∴，即，
∴的最小值為． ……14分
……本題卷面分1分
17．（本小題滿分15分）
足球比賽積分規(guī)則為：球隊勝一場積分，平一場積分，負一場積分．常州龍城足球隊年月將迎來主場與隊和客場與隊的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊主場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為；客場與隊比賽：勝的概率為，平的概率為，負的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨立．
（1）求常州龍城隊月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率；
（2）用表示常州龍城隊月與隊和隊比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．
解：（1）設事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊主場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊客場與隊比賽獲得積分為分”，
事件“常州龍城隊七月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分”， ……1分
， ……2分
， ……4分
， ……6分
則，
∴常州龍城隊七月主場與隊比賽獲得積分超過客場與隊比賽獲得積分的概率為．……7分
（2）由題意可知的所有可能取值為．
， ，
， ，
， ． ……13分
∴的分布列為
∴．
……14分
……本題卷面分1分
18．（本小題滿分17分）
如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，，分別為上的動點，且．
（1）證明：平面；
（2）當?shù)拈L度最小時，求：
①； ②點到平面的距離．
18．證明：（1）（方法一）在菱形內(nèi)，過點作，
，連接，則，
由得，
∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面．
∵，平面，平面，
∴平面．
又平面，，
∴平面平面， ……4分
又平面，∴平面． ……6分
（方法二）延長交直線于點，連結(jié)，
由，得，
由得，則，
而平面，平面， ……4分
∴平面． ……6分
解：（2）取的中點，連接，由為等邊三角形，得，
同理，
而平面，則平面，
又平面，于是平面平面， ……8分
①在平面內(nèi)作，平面平面，則平面，
以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，由，
得，，，
，
由，
．
從而， ……11分
當時，取最小值， ……12分
②此時，，，
設為平面的法向量，則，
令，得， ……15分
點到平面的距離為
. ……17分
19．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當時，求在上的值域；
（2）當時，討論的零點個數(shù)；
（3）當時，從下面①和②兩個結(jié)論中任選一個進行證明．
①； ②．
解：（1）當時，，， ……1分
∵，∴，
∴在上單調(diào)遞減， ……3分
又，，∴的值域為． ……5分
（2），令得，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
∴． ……6分
（Ⅰ）當時，，∴，
∴在上有且僅有1個零點． ……7分
（Ⅱ）當時，令，，
∴在上單調(diào)遞增，∴，即，
又，∴在上有1個零點， ……8分
又，
令，則，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴在上有一個零點．……10分
綜上所述，
時，有一個零點，時，有2個零點. ……11分
（3）選擇①證明：當時，， ……12分
設，
（Ⅰ）當時，，
又由（2）知，∴， ……13分
（Ⅱ）當時，，
設，則，
∴在單調(diào)遞增，∴，
∴，即在單調(diào)遞增，
，
綜上，， ……16分
∴當時，，即. ……17分
選擇②證明：當時，， ……12分
設，
（Ⅰ）當時，，
∴， ……13分
（Ⅱ）當時，，
設，則，
∴在單調(diào)遞增，∴，
∴，即在單調(diào)遞增，
∴，
綜上，， ……16分
∴當時，，即. ……17分

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