高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專(zhuān)用)重難點(diǎn)07三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(4種考向)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考向1：三角函數(shù)的圖像
考法1：圖像的變換
考法2：根據(jù)圖像求解析式
考向2：三角函數(shù)的周期性
考向3：三角函數(shù)的單調(diào)性
考向4：三角函數(shù)的最值與值域
二、命題規(guī)律與備考策略
一．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
兩種變換的差異
先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．一個(gè)技巧
列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．
2．兩個(gè)區(qū)別
（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于ωx加減多少值．
3．三點(diǎn)提醒
（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；
（3）由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．
二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式
根據(jù)圖象確定解析式的方法：
在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點(diǎn)確定．
三．三角函數(shù)的周期性
周期性
①一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．
②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．
③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．一點(diǎn)提醒
求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．
2．兩類(lèi)點(diǎn)
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．
3．求周期的三種方法
①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．
③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度．
四．正弦函數(shù)的定義域和值域
三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法
1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．
2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見(jiàn)類(lèi)型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sin x±cs x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．
五．正弦函數(shù)的單調(diào)性
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．
六．三角函數(shù)的最值
三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．
【例題解析】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+）．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2?＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案為：+cs（2x+）．
這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．
例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是t＝
∴當(dāng)t＝時(shí)函數(shù)有最小值，
而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)
∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3
∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值
即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．
這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．
【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】
求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)?？键c(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫(xiě)了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．
三、題型方法
考向1：三角函數(shù)的圖像
一．選擇題（共6小題）
1．（2023?韶關(guān)二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（）
A．函數(shù)g（x）的最小正周期為π
B．函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為
D．函數(shù)g（x）的一個(gè)零點(diǎn)為
2．（2023?江西模擬）已知直線是函數(shù)圖像相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，將f（x）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g（x）的圖像．若g（x）在（﹣m，m）上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
3．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，將y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，若g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）
A．B．﹣2C．D．0
4．（2023?烏魯木齊模擬）如圖所示的曲線為函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，將y＝f（x）圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再將所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則（）
A．直線為g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
B．點(diǎn)（，0）為g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C．函數(shù)g（x）的最小正周期為2π
D．函數(shù)g（x）在[，]上單調(diào)遞減
5．（2023?武漢模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的條件下，則下列選項(xiàng)中可以確定其值的量為（）
A．ωB．φC．D．Asinφ
6．（2023?江西模擬）設(shè)函數(shù)在[﹣π，π]的圖像大致如圖，則f（π）＝（）
A．B．C．D．
二．多選題（共2小題）
（多選）7．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)，且f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（）
A．f（x）的最小正周期為4π
B．
C．將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
D．函數(shù)y＝5f（x）+4在[0，π]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
（多選）8．（2023?臨沂二模）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，則（）
A．
B．點(diǎn)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C．f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[3kπ﹣，3kπ+]（k∈Z）
D．把函數(shù)y＝2sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位，可得f（x）的圖象
三．填空題（共4小題）
9．（2023?吳忠模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分圖象如圖所示，則＝．
10．（2022?江西模擬）如圖是函數(shù)的部分圖像，f（a）＝f（b）＝0，且對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，則θ＝．
11．（2023?建華區(qū)模擬）將函數(shù)f（x）＝sin（x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則不等式g（x）﹣g（）＞0在區(qū)間[0，π]內(nèi)的解集為．
12．（2023?西山區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）滿(mǎn)足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的|x1﹣x2|的最小值為，則ω＝，直線y＝與函數(shù)y＝f（x）在（0，π）上的圖像的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．
四．解答題（共3小題）
13．（2023?天河區(qū)三模）在直角坐標(biāo)系中，已知⊙O是以原點(diǎn)O為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓，點(diǎn)A（2，0），角x（單位：弧度）的始邊為射線OA，終邊與⊙O交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于角x的函數(shù)為y＝f（x）．
（1）寫(xiě)出函數(shù)y＝f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．求函數(shù)y＝g（x）在區(qū)間[0，2π]上的最大值和最小值，并寫(xiě)出取得最值時(shí)自變量x的值．
14．（2022?柯橋區(qū)模擬）函數(shù)f（x）＝Asin（πx+φ），x∈R（其中）部分圖象如圖所示，是該圖象的最高點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若，求A的值．
15．（2022?樂(lè)清市校級(jí)模擬）函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，其中B（，0），且最高點(diǎn)A與B的距離AB＝．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α∈（，），f（4α）＝，求cs2α的值．
考向2：三角函數(shù)的周期性
1．（2023?福建模擬）函數(shù)f（x）＝asinx+bcs2x+csin4x（a，b，c∈R）的最小正周期不可能是（）
A．B．πC．D．2π
2．（2023?臨高縣模擬）下列函數(shù)中，最小正周期為π的是（）
A．y＝sinxB．y＝csxC．y＝sinxD．y＝cs2x
（多選）3．（2023?邵陽(yáng)二模）若函數(shù)f（x）＝2csωx（csωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期為π，則（）
A．
B．f（x）在上單調(diào)遞增
C．f（x）在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)
D．f（x）在上的值域?yàn)閇﹣1，1]
（多選）4．（2023?呂梁二模）若函數(shù)f（x）＝2sinωx（csωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期為π，則（）
A．
B．f（x）在上單調(diào)遞減
C．f（x）＝﹣2在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)
D．f（x）在[]上的值域?yàn)?br>考向3：三角函數(shù)的單調(diào)性
5．（2023?天津二模）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則ω的最大值是（）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023?河南模擬）已知函數(shù)，，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．
C．，D．，
（多選）7．（2023?讓胡路區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)滿(mǎn)足，其圖象向右平移s（s∈N*）個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，且y＝g（x）在上單調(diào)遞減，則（）
A．ω＝1
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C．s可以等于5
D．s的最小值為2
8．（2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在上的值域?yàn)?，求α的取值范圍?br>考向4：三角函數(shù)的最值與值域
9．（2023?華容縣模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，則ω的最小值為．
10．（2023?全國(guó)模擬）若，則sinxsiny的最大值為．
11．（2023?合肥三模）函數(shù)f（x）＝cs2x+2|sinx|（x∈[0，2π]）的值域?yàn)? ．
12．（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知在[0，m]上的最大值為，則實(shí)數(shù)m的最大值為．
13．（2023?屯昌縣二模）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最大值與最小值．
14．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在上的最大值與最小值．
15．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）已知，．
（1）求α的大??；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（x+2α），x∈[0，π]，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域．
重難點(diǎn)07三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（4種考向）
【目錄】
考向1：三角函數(shù)的圖像
考法1：圖像的變換
考法2：根據(jù)圖像求解析式
考向2：三角函數(shù)的周期性
考向3：三角函數(shù)的單調(diào)性
考向4：三角函數(shù)的最值與值域
二、命題規(guī)律與備考策略
一．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
兩種變換的差異
先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．一個(gè)技巧
列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．
2．兩個(gè)區(qū)別
（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于ωx加減多少值．
3．三點(diǎn)提醒
（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；
（3）由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．
二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式
根據(jù)圖象確定解析式的方法：
在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點(diǎn)確定．
三．三角函數(shù)的周期性
周期性
①一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．
②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．
③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．一點(diǎn)提醒
求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．
2．兩類(lèi)點(diǎn)
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．
3．求周期的三種方法
①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．
③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度．
四．正弦函數(shù)的定義域和值域
三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法
1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．
2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見(jiàn)類(lèi)型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sin x±cs x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．
五．正弦函數(shù)的單調(diào)性
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．
六．三角函數(shù)的最值
三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．
【例題解析】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+）．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2?＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案為：+cs（2x+）．
這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．
例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是t＝
∴當(dāng)t＝時(shí)函數(shù)有最小值，
而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)
∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3
∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值
即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．
這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．
【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】
求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)常考點(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫(xiě)了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．
三、題型方法
考向1：三角函數(shù)的圖像
一．選擇題（共6小題）
1．（2023?韶關(guān)二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是（）
A．函數(shù)g（x）的最小正周期為π
B．函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為
D．函數(shù)g（x）的一個(gè)零點(diǎn)為
【分析】根據(jù)圖象確定f（x）的解析式，然后根據(jù)變換得到，對(duì)應(yīng)y＝sinx的性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答】解：由圖可知，，所以T＝4，；
一條對(duì)稱(chēng)軸為，所以，
因?yàn)?，所以，故，
所以，
所以g（x）的圖象的最小正周期為T(mén)＝π，A正確；
因?yàn)?，所以，則g（x）在上單調(diào)不單調(diào)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：令，
k＝0時(shí)，函數(shù)g（x）的一個(gè)極值點(diǎn)為，所以C正確；
對(duì)于D：令，
令k＝0，則函數(shù)g（x）的一個(gè)零點(diǎn)為﹣，所以D正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象，屬于中檔題．
2．（2023?江西模擬）已知直線是函數(shù)圖像相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，將f（x）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g（x）的圖像．若g（x）在（﹣m，m）上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意先求出ω＝2，再結(jié)合圖像得出關(guān)于m的不等式組，即可求得m的范圍．
【解答】解：由題意得，即，解得ω＝2，則，
f（x）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，
又g（x）在（﹣m，m）上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以轉(zhuǎn)化為h（x）＝4sinx在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，其中，m＞0，
則，要使h（x）＝4sinx在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則或，解之得＜m≤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．
3．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，將y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，若g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）
A．B．﹣2C．D．0
【分析】根據(jù)已知有g(shù)（x）＝2cs2x，利用換元法的思想求函數(shù)的最小值．
【解答】解：將y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，
則g（x）＝2sin[2（x+）+φ]＝2sin（2x++φ），
又g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，|φ|＜，則φ＝，
g（x）＝2cs2x，則＝2cs2x+2csx＝4cs2x+2csx﹣2，
設(shè)h（x）＝4cs2x+2csx﹣2＝4（csx+）2﹣，csx∈[﹣1，1]，
當(dāng)csx＝﹣時(shí)，h（x）取得最小值﹣．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的平移變換，考查二倍角公式，考查三角函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于中檔題．
4．（2023?烏魯木齊模擬）如圖所示的曲線為函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，將y＝f（x）圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再將所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則（）
A．直線為g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
B．點(diǎn)（，0）為g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C．函數(shù)g（x）的最小正周期為2π
D．函數(shù)g（x）在[，]上單調(diào)遞減
【分析】由函數(shù)圖象可得A＝2，可求f（x）的周期，利用周期公式可求ω的值，由f（）＝2，可解得φ＝2kπ+，k∈Z，結(jié)合|φ|＜，可求φ的值，可得函數(shù)解析式為f（x）＝2sin（3x+），進(jìn)而利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換以及余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：由函數(shù)圖象可得A＝2，由＝，可得圖中f（x）的最低點(diǎn)為（，﹣2），
由＝，可得圖中f（x）的左邊最高點(diǎn)為（，2），
所以f（x）的周期T＝2（﹣）＝＝，解得ω＝3，
所以f（x）＝2sin（3x+φ），
因?yàn)閒（）＝2sin（3×+φ）＝2，可得sin（+φ）＝1，
可得+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，
又因?yàn)閨φ|＜，
所以φ＝，可得f（x）＝2sin（3x+），
將y＝f（x）圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得到y(tǒng)＝2sin（2x+）的圖象；
再將所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cs2x＝g（x）的圖象，
對(duì)于A，g（）＝2csπ＝﹣1，故直線為g（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故正確；
對(duì)于B，g（）＝﹣2cs＝﹣≠0，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，函數(shù)g（x）的最小正周期T＝＝π，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，可得g（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為[0，]，
又＜＜，故錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)部分三角函數(shù)圖象確定三角函數(shù)解析式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．
5．（2023?武漢模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的條件下，則下列選項(xiàng)中可以確定其值的量為（）
A．ωB．φC．D．Asinφ
【分析】令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，找到零點(diǎn)的關(guān)系，觀察可得．
【解答】解：令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，
根據(jù)“五點(diǎn)法”可得：ωx1+φ＝2k1π，k1∈Z，
ωx2+φ＝2k2π+π，k2∈Z，
則ωx1＝2k1π﹣φ，k1∈Z，ωx2＝2k2π+π﹣φ，k2∈Z，
則＝，k1，k2∈Z，設(shè)＝m（m為常數(shù)），
則φ＝，k∈Z，再根據(jù)﹣＜φ＜0確定φ的取值．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象，屬于中檔題．
6．（2023?江西模擬）設(shè)函數(shù)在[﹣π，π]的圖像大致如圖，則f（π）＝（）
A．B．C．D．
【分析】結(jié)合圖象中標(biāo)的數(shù)據(jù)得到關(guān)于最小正周期滿(mǎn)足不等關(guān)系和等量關(guān)系，據(jù)此求解ω的值，可求函數(shù)解析式，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【解答】解：據(jù)圖可知：π＜T＜π?（?），
即π＜T＜，所以ω＝∈（，2）……①，
結(jié)合圖像可知f（?）＝cs（﹣ω+）＝0，
則?ω+＝?+2kπ，k∈Z，
所以ω＝?k，k∈Z，結(jié)合①式可知，k＝0時(shí)，ω＝符合題意，
可得f（x）＝cs（x+），可得f（π）＝cs（+）＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
二．多選題（共2小題）
（多選）7．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)，且f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（）
A．f（x）的最小正周期為4π
B．
C．將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
D．函數(shù)y＝5f（x）+4在[0，π]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
【分析】把f（x）＝cs（x+）求出來(lái)，結(jié)合圖象和性質(zhì)依次判斷即可．
【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)，
所以：≥，整理得≥，故0＜ω≤，
由于曲線y＝f（x）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故﹣ω+＝kπ+，（k∈Z），
故ω＝﹣3k，（k∈Z），當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝，f（x）＝cs（x+），
所以函數(shù)的最小正周期T＝＝4π，故A正確；
f（）＝cs（+）＝cs＝﹣cs，f（）＝cs（+）＝cs＝﹣cs，
即f（）＝f（），B錯(cuò)誤；
將函數(shù)f（x）＝cs（x+）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g（x）＝cs（x﹣+）＝csx，
由于函數(shù)g（﹣x）＝g（x），故函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，故C正確；
令函數(shù)y＝5f（x）+4＝0，整理得f（x）＝﹣，由于x∈[0，π]，如圖：
f（π）＝cs（+）＝﹣sin＝﹣＜﹣，則f（x）與y＝﹣在[0，π]上只有一個(gè)交點(diǎn)，
則y＝5f（x）+4在[0，π]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
（多選）8．（2023?臨沂二模）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，則（）
A．
B．點(diǎn)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C．f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[3kπ﹣，3kπ+]（k∈Z）
D．把函數(shù)y＝2sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位，可得f（x）的圖象
【分析】根據(jù)圖象得到函數(shù)解析式，根據(jù)y＝sinx的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)判斷即可．
【解答】解：由圖象可得A＝2，且，所以最小正周期T＝3π，
而，即，可得，所以，
由圖知，x＝π時(shí)，，k∈z，又0＜φ＜π，所以，
所以，所以A錯(cuò)誤；
B中，因?yàn)?，這時(shí)y＝0，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以B正確；
C中，，，k∈Z，是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，C項(xiàng)錯(cuò)誤，
理由如下：函數(shù)的遞增區(qū)間滿(mǎn)足，k∈Z，
解得，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，，k∈Z，所以C錯(cuò)誤；
D中，y＝2sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，
可得，再向左平移，可得，
即與該函數(shù)圖像一樣，所以D正確；
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
三．填空題（共4小題）
9．（2023?吳忠模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分圖象如圖所示，則＝．
【分析】先由圖象確定解析式，再求函數(shù)值．
【解答】解：∵，∴周期T＝π，∴ω＝，∴f（x）＝2sin（2x+φ），
又，k∈Z，又，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+），
∴，
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)圖像性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
10．（2022?江西模擬）如圖是函數(shù)的部分圖像，f（a）＝f（b）＝0，且對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，則θ＝．
【分析】由圖象建立變量的方程，通過(guò)方程思想求解．
【解答】解：由圖知A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+θ），
又如圖，對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，f（x1）＝f（x2），
∴，k∈Z，∴，k∈Z，
∴＝2sinθ＝，
∴sinθ＝，又，∴θ＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
11．（2023?建華區(qū)模擬）將函數(shù)f（x）＝sin（x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則不等式g（x）﹣g（）＞0在區(qū)間[0，π]內(nèi)的解集為（，）．
【分析】先得到g（x），所求不等式化為g（x），解三角不等式即可．
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝sin（x﹣），所以g（x）＝sin（2x﹣），
g（）＝sin＝，g（x）﹣g（）＞0，
可化為g（x）﹣＞0，所以g（x），
令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，
當(dāng)k＝0時(shí)，不等式g（x）﹣g（）＞0在區(qū)間[0，π]內(nèi)的解集為（，）．
故答案為：（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)變換，考查三角不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2023?西山區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）滿(mǎn)足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的|x1﹣x2|的最小值為，則ω＝ 4 ，直線y＝與函數(shù)y＝f（x）在（0，π）上的圖像的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．
【分析】由題意可|f（x1）﹣f（x2）|＝2的|x1﹣x2|的最小值為可得半個(gè)周期的值，進(jìn)而求出ω的值，由x的范圍，求出4x+的范圍，進(jìn)而求出sin（4x+）＝的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和．
【解答】解：|由f（x1）﹣f（x2）|＝2的|x1﹣x2|的最小值為，可得＝＝，解得ω＝4，
所以f（x）＝sin（4x+），x∈（0，π），則4x+∈（，4π+），
因?yàn)閟in＝＞，所以f（x）＝sin（4x+）＝，4x+∈（，4π+）有4個(gè)交點(diǎn)，且4x1++4x2+＝?2＝3π，所以x1+x2＝，
4x3++4x4+＝2?π＝7π，所以x3+x4＝π，
所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為+＝，
故答案為：4，π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的周期的應(yīng)用及三角函數(shù)的取值范圍的求法，屬于中檔題．
四．解答題（共3小題）
13．（2023?天河區(qū)三模）在直角坐標(biāo)系中，已知⊙O是以原點(diǎn)O為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓，點(diǎn)A（2，0），角x（單位：弧度）的始邊為射線OA，終邊與⊙O交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于角x的函數(shù)為y＝f（x）．
（1）寫(xiě)出函數(shù)y＝f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．求函數(shù)y＝g（x）在區(qū)間[0，2π]上的最大值和最小值，并寫(xiě)出取得最值時(shí)自變量x的值．
【分析】（1）直接根據(jù)三角函數(shù)的定義可得；（2）根據(jù)平移變換規(guī)律得到g（x），再利用整體思想求最值即可．
【解答】解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義有y＝2sinx；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），
再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，
則g（x）＝2sin（x+）＝2sin（x+），x∈[0，2π]，則x+∈[，]，
當(dāng)x+＝，即x＝時(shí)，g（x）取得最大值2，當(dāng)x+＝，
即x＝2π時(shí)，g（x）取得最小值2sin＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的變換，三角函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2022?柯橋區(qū)模擬）函數(shù)f（x）＝Asin（πx+φ），x∈R（其中）部分圖象如圖所示，是該圖象的最高點(diǎn)，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若，求A的值．
【分析】（Ⅰ）由直接得出最小正周期，再由求得；
（Ⅱ）由圖象可知，，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得到|PM|2，|PN|2，再利用余弦定理建立關(guān)于A的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為，
又是該圖象的最高點(diǎn)，
∴，則，解得，
又，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f（x）＝0，解得，則，
由圖象可知，，
∴，，
又，則，
在△PMN中，由余弦定理有，，
∴，令，則，即x2﹣6x+2＝0，
∴16A4﹣88A2+9＝0，解得，
∴或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查余弦定理以及兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
15．（2022?樂(lè)清市校級(jí)模擬）函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，其中B（，0），且最高點(diǎn)A與B的距離AB＝．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α∈（，），f（4α）＝，求cs2α的值．
【分析】（1）由函數(shù)圖象可求A的值，根據(jù)已知可求得周期T，由周期公式可求得ω，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式可求得φ，從而可求得f（x）的解析式；
（2）由題意可求sin（2）＝，可求范圍2∈（﹣，），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cs（2）的值，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式即可求解cs2α的值．
【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）的最大值為3，
又A為最高點(diǎn)，即A的縱坐標(biāo)為3，
所以可設(shè)A（a，3），B（，0），
所以|AB|＝＝，解得a＝，或，
因?yàn)锳在B點(diǎn)左側(cè)，
故a＝舍去，可得A（，0），
可得T＝xB﹣xA＝π，可得T＝4π，
又因?yàn)椋絋＝4π，可得ω＝，
又因?yàn)辄c(diǎn)A在f（x）上，故sin（+φ）＝1，
所以+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝﹣+2kπ，k∈Z，
又因?yàn)閨φ|＜，
所以k＝0時(shí)，φ＝﹣，
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝3sin（﹣）．
（2）因?yàn)閒（4α）＝，
所以3sin[2α+（﹣）]＝，即sin（2）＝＞0，
因?yàn)棣痢剩?，），可?∈（﹣，），
所以cs（2）＝＝，
所以cs2α＝cs[（2）+]＝cs（2）cs﹣sin（2）sin＝﹣＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
考向2：三角函數(shù)的周期性
1．（2023?福建模擬）函數(shù)f（x）＝asinx+bcs2x+csin4x（a，b，c∈R）的最小正周期不可能是（）
A．B．πC．D．2π
【分析】舉例，分別求a＝b＝0，c≠0；a＝c＝0，b≠0；b＝c＝0，a≠0時(shí)函數(shù)的最小正周期，從而判斷．
【解答】解：當(dāng)a＝b＝0，c≠0時(shí)，
f（x）＝csin4x，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為＝；
當(dāng)a＝c＝0，b≠0時(shí)，
f（x）＝bcs2x，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為＝π；
當(dāng)b＝c＝0，a≠0時(shí)，
f（x）＝asinx，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023?臨高縣模擬）下列函數(shù)中，最小正周期為π的是（）
A．y＝sinxB．y＝csxC．y＝sinxD．y＝cs2x
【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）、y＝Acs（ωx+φ）的周期為||，得出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）、y＝Acs（ωx+φ）的周期為||，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）、y＝Acs（ωx+φ）的周期性，利用了它們的周期為||，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）3．（2023?邵陽(yáng)二模）若函數(shù)f（x）＝2csωx（csωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期為π，則（）
A．
B．f（x）在上單調(diào)遞增
C．f（x）在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)
D．f（x）在上的值域?yàn)閇﹣1，1]
【分析】先將f（x）解析式確定，直接可判斷A錯(cuò)誤，C正確；B，D項(xiàng)需將2x+看成一個(gè)整體，利用y＝csx的性質(zhì)來(lái)解即可．
【解答】解：f（x）＝2csωx（csωx﹣sinωx）﹣1＝2cs2ωx﹣2sinωxcsωx﹣1＝cs2ωx﹣sin2ωx＝cs（2ωx+），
由于f（x）的最小正周期為π，則＝π，∴ω＝1，則f（x）＝cs（2x+），
A項(xiàng)：f（﹣）＝cs（﹣+）＝cs＝，A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)：令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，
∴kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，k＝1時(shí)，一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為[，]，
又?[，]，則B正確；
C項(xiàng)：f（x）＝cs（2x+）＝0，2x+＝kπ+，k∈Z，x＝kπ+，k∈Z，
在內(nèi)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝+＝，當(dāng)k＝2時(shí)，x＝π+＝，
當(dāng)k＝3時(shí)，x＝+＝，當(dāng)k＝4時(shí)，x＝2π+＝，共有5個(gè)零點(diǎn)，C正確；
D項(xiàng)：x∈，2x+∈[﹣，]，
當(dāng)2x+＝0，即x＝﹣時(shí)，f（x）取得最大值為，
當(dāng)2x+＝，即x＝時(shí)，f（x）取得最小值為cs＝﹣1，
則f（x）在上的值域?yàn)閇﹣1，]，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查值域，單調(diào)性，零點(diǎn)，屬于中檔題．
（多選）4．（2023?呂梁二模）若函數(shù)f（x）＝2sinωx（csωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期為π，則（）
A．
B．f（x）在上單調(diào)遞減
C．f（x）＝﹣2在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)
D．f（x）在[]上的值域?yàn)?br>【分析】確定解析式后，根據(jù)y＝sinx的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答】解：f（x）＝2sinωx（csωx﹣sinωx）﹣1＝2sinωxcsωx﹣2sin2ωx﹣1＝sin2ωx+cs2ωx﹣2＝，
由最小正周期為π，可得，故，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)，?[，]，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，故B正確；
對(duì)于C，，
所以時(shí)，
滿(mǎn)足要求的有，共有5個(gè)零點(diǎn)，C正確；
對(duì)于D，當(dāng) 時(shí)，，則，
故，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
考向3：三角函數(shù)的單調(diào)性
5．（2023?天津二模）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則ω的最大值是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由x∈[﹣，]，得ωx+∈[﹣ω+，ω+]，若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，k∈Z，即可得出答案．
【解答】解：因?yàn)閤∈[﹣，]，
所以ωx+∈[﹣ω+，ω+]，
若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，
則，k∈Z，
所以，k∈Z，
又ω＞0，
解得ω的最大值為2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
6．（2023?河南模擬）已知函數(shù)，，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．
C．，D．，
【分析】f（x）＝2cs（3x﹣），利用y＝csx的性質(zhì)即可得．
【解答】解：＝2cs（3x﹣），
令2kπ﹣π≤3x﹣≤2kπ，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
令k＝0，﹣≤x≤，
令k＝1，≤x≤，
又，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣，]，[，]．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）7．（2023?讓胡路區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)滿(mǎn)足，其圖象向右平移s（s∈N*）個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，且y＝g（x）在上單調(diào)遞減，則（）
A．ω＝1
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C．s可以等于5
D．s的最小值為2
【分析】先將函數(shù) f（x）化簡(jiǎn)，利用其圖像的性質(zhì)即可確定各選項(xiàng)．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sinωx+csωx＝2sin（ωx+），0＜ω＜3，
對(duì)于A，因?yàn)?，所以f（x+π）＝﹣f（x+）＝f（x），則π是f（x）的一個(gè)周期，
因?yàn)閒（x）＝sinωx+csωx＝2sin（ωx+），所以T＝是f（x）的最小正周期，
故k×＝π（k∈Z），則|ω|＝2k，又0＜ω＜3，故ω＝2，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A得f（x）＝2sinf（2x+），
所以f（）＝2sin（+）＝2sinπ＝0，故（，0）是f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；
對(duì)于C，f（x）的圖象向右平移s（s∈N*）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）＝2sin[2（x﹣s）+]的圖象，
則g（x）＝2sin（2x+﹣2s），
因g（x）在上單調(diào)遞減，
所以，（k∈Z），解得﹣kπ﹣≤s≤﹣kπ﹣，（k∈Z），
當(dāng)k＝﹣2時(shí)，≤s≤，因?yàn)閟∈N*，所以s＝5，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)閟∈N*，所以﹣kπ﹣＞0，則k＜﹣，又k∈Z，故k≤﹣1，
當(dāng)k＝﹣時(shí)，≤s≤，可知smin＝2，故D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題
8．（2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在上的值域?yàn)?，求α的取值范圍?br>【分析】（1）先化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，即可得出答案；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱(chēng)性求出φ、g（x），再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）＝，
∵，∴，
∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）由題意得，
∵函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，
∴，解得，
∵，∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
又g（x）在上的值域?yàn)椋?br>則．解得，
故α的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
考向4：三角函數(shù)的最值與值域
9．（2023?華容縣模擬）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，則ω的最小值為 3 ．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)函數(shù)的最小正周期最大時(shí)，ω的值最?。?br>【解答】解：當(dāng)對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸的橫向距離最小時(shí)，最小正周期最大，ω最小，
此時(shí)T＝4（﹣）＝，．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
10．（2023?全國(guó)模擬）若，則sinxsiny的最大值為 0 ．
【分析】記sin2x＝m，sin2y＝n，則將原等式代換化簡(jiǎn)為mn（m+n﹣2）＝0，則得到最后答案．
【解答】解：由題意可得x，y的取值范圍均是{α|α≠kπ+，k∈Z}，所以sin2x＜1，sin2y＜1，
記sin2x＝m，sin2y＝n，則tan2x＝，tan2y＝，
于是題中等式即為＝m+n，
化簡(jiǎn)整理得mn（m+n﹣2）＝0，
于是m＝0或n＝0或m+n＝2，
若m+n＝2，則sin2x＝sin2y＝1，不符合題意，
因此six＝0或siny＝0，所以sinx?siny＝0．
故sinx?siny的最大值為0．
故答案為：0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
11．（2023?合肥三模）函數(shù)f（x）＝cs2x+2|sinx|（x∈[0，2π]）的值域?yàn)? ．
【分析】由條件可用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形得到f（x）＝﹣2|sinx|2+2|sinx|+1，再用換元法令t＝|sinx|，將原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g（t）＝﹣2t2+2t+1，t∈[0，1]的值域即可．
【解答】解：f（x）＝cs2x+2|sinx|＝1﹣2sin2x+2|sinx|＝﹣2|sinx|2+2|sinx|+1，
令t＝|sinx|，∵x∈[0，2π]，∴t∈[0，1]，
則原函數(shù)可化為g（t）＝﹣2t2+2t+1＝，t∈[0，1]，
其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)t＝0或1時(shí)，g（t）min＝1，
∴g（t）的值域?yàn)?，即函?shù)f（x）的值域?yàn)椋?br>故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬中檔題．
12．（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知在[0，m]上的最大值為，則實(shí)數(shù)m的最大值為．
【分析】求出2x+的范圍，結(jié)合y＝csx的圖象找到滿(mǎn)足題目條件的實(shí)數(shù)m的最大值．
【解答】解：∵x∈[0，m]，2x+∈[，2m+]，
∵在[0，m]上的最大值為，
則＜2m+≤，解得0＜m≤，所以實(shí)數(shù)m的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
13．（2023?屯昌縣二模）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣csx（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)的最大值與最小值．
【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）＝sin（x﹣），進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)可得y＝，可求范圍，即可利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值．
【解答】解：（1）由于f（x）＝sinx﹣csx＝（sinx﹣csx）＝，
令，k∈Z，
解得，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
（2）y＝f2（x）+cs2x﹣1＝＝＝＝，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，取最小值﹣2，當(dāng)時(shí)，取最大值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
14．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在上的最大值與最小值．
【分析】（1）先利用降冪公式、輔助角公式，將f（x）化為Asin（ωx+φ）的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；
（2）利用換元的想法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）由已知得f（x）＝sin2x﹣＝，
要求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，只需，k∈Z，
解得≤x≤+kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[，+kπ]，k∈Z；
（2）由x∈得∈[，]，
結(jié)合y＝sinx在上單調(diào)遞減，在[]上單調(diào)遞增，
且，sin＝，
故≤，
所以f（x）在上的最大值與最小值分別為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式，同時(shí)考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，屬于中檔題．
15．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）已知，．
（1）求α的大??；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（x+2α），x∈[0，π]，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域．
【分析】（1）根據(jù)切化弦公式與二倍角公式化簡(jiǎn)進(jìn)行求值；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式求解函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，由x∈[0，π]，求整體角的取值范圍得到f（x）的值域．
【解答】解：（1）由，得，
則＝2（csα﹣sinα）（csα+sinα），因?yàn)椋?br>所以csα＞sinα＞0，所以，解得，
即，又，所以，則．
（2）函數(shù)，x∈[0，π]，
令，解得，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增；
令，解得，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減；
因?yàn)閤∈[0，π]，，
當(dāng)時(shí)，即，f（x）取最大值1；
當(dāng)時(shí)，即x＝π，f（x）取最小值，所以f（x）值域?yàn)椋?br>【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查兩角和差公式，屬于中檔題．

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