1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：A、是一元二次方程，符合題意；
B、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；
D、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
故選：A．
2. 若是二次函數(shù)，則的值為（ ）
A. 2B. C. 2或D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，令x的指數(shù)為2，系數(shù)不為0，列出方程與不等式解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意的得：
解得：
∴m=-2，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，在平行四邊形中，，則邊的長(zhǎng)可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得的取值范圍即可得出答案．
【詳解】解：在平行四邊形中，，
∴
由三角形的三邊關(guān)系得，，
∴，
∴，
∴邊的長(zhǎng)可能是4，不可能是5，6，7，
故選：A．
4. 設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為和，則（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接進(jìn)行求解．
【詳解】，
∴，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，是解題的關(guān)鍵．
5. 某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽36場(chǎng)，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)球賽問(wèn)題模型列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)為x隊(duì)，根據(jù)題意得：
x（x﹣1）＝36，
化簡(jiǎn)，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是9隊(duì)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題中的球賽問(wèn)題．
6. 電影《流浪地球》一上映就獲得追捧，第一天票房收入約8億元，第三天票房收入達(dá)到了11.52億元，設(shè)第一天到第三天票房收入平均每天增長(zhǎng)的百分率為x，則可列方程（ ）
A. 8（1+x）＝11.52B. 8（1+2x）＝11.52
C. 8（1+x）＝11.52D. 8（1﹣x）＝11.52
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為，根據(jù)第一天票房收入約8億元，第三天票房收入達(dá)到了11.52億元，即可得出關(guān)于的一元二次方程．
【詳解】解：設(shè)平均每天票房增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7. 對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
B. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
C. 隨的增大而減小
D. 隨的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及開(kāi)口方向，即可判斷二次函數(shù)的增減性．
【詳解】解：，對(duì)稱軸為
拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
故選：B．
8. 關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根B. 有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，即：，
∵ ，
∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：D．
9. 如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個(gè)矩形，根據(jù)種植的面積為600列出方程即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)小道的寬為，
則種植部分的長(zhǎng)為，寬為
由題意得：．
故選C．
【點(diǎn)睛】考查一元二次方程的應(yīng)用；利用平移的知識(shí)得到種植面積的形狀是解決本題的突破點(diǎn)；得到種植面積的長(zhǎng)與寬是解決本題的關(guān)鍵．
10. 直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題是借助一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式，兩個(gè)圖象的“交點(diǎn)”是兩個(gè)函數(shù)值大小關(guān)系的“分界點(diǎn)”，在“分界點(diǎn)”處函數(shù)值的大小發(fā)生了改變．由圖象可以知道，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值是相等的，再根據(jù)函數(shù)的增減性可以判斷出不等式解集．
【詳解】解：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，且當(dāng)時(shí)，直線在直線的上方，
∴不等式的解集為：．
故選：C．
二、填空題（共5題）
11. 某校截止到年底，校園綠化面積為1000平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，依題意列出一元二次方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
12. 已知一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。畵?jù)此列式解答即可．
【詳解】解：一次函數(shù)，隨的增大而減小，
，
解得．
故答案為：．
13. 若是二次函數(shù)，則的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)有意義，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可求解．
【詳解】解：若是二次函數(shù)，
則，
故．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)類知識(shí)點(diǎn)考查題．
14. 已知實(shí)數(shù)、滿足，若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)非負(fù)性求得a、b的值，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得+、，代入求解即可．
【詳解】解：∵實(shí)數(shù)、滿足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，
∴+=2，=﹣3，
∴=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值、二次根式被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、一元二次方程根與系數(shù)，熟練掌握非負(fù)性和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)和頂點(diǎn)，直線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向上移動(dòng)，經(jīng)過(guò)______秒該直線可將平行四邊形的面積平分．
【答案】4
【解析】
【分析】連接、交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D任意作直線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，證明直線將分成面積相等的兩部分，說(shuō)明當(dāng)直線平移后過(guò)點(diǎn)D時(shí)，將分成面積相等的兩部分，設(shè)直線平移的時(shí)間為t，則平移后的直線解析式為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，把代入得，求出，即可得出答案．
【詳解】解：連接、交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D任意作直線，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，如圖所示：
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
同理得：，，
∴，，，
∴，
∴直線將分成面積相等的兩部分，
∴當(dāng)直線平移后過(guò)點(diǎn)D時(shí)，將分成面積相等的兩部分，
設(shè)直線平移的時(shí)間為t，則平移后的直線解析式為，
∵，，點(diǎn)和頂點(diǎn)，
∴，
∵D為的中點(diǎn)，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴經(jīng)過(guò)4秒該直線可將平行四邊形的面積平分．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)平移，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出當(dāng)直線平移后過(guò)點(diǎn)D時(shí)，將分成面積相等的兩部分．
三、解答題（共8題）
16. 按要求解下列一元二次方程；
（1）（公式法）
（2）（配方法）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，掌握解法步驟是關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接開(kāi)平方法解方程．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
【小問(wèn)2詳解】
解：，
移項(xiàng)得：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
17. 某商店經(jīng)營(yíng)一種小商品，進(jìn)價(jià)為3元．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)是13元時(shí)平均每天銷(xiāo)售量是400件，而銷(xiāo)售價(jià)每降低一元，平均每天就可以多售出100件．
（1）假定每件商品降低x元，商店每天銷(xiāo)售這種小商品的利潤(rùn)y元，請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（注：銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入購(gòu)進(jìn)成本）
（2）當(dāng)每件小商品降低多少元時(shí)，該商店每天能獲利4800元？
【答案】（1）
（2）當(dāng)每件小商品降低2元或4元時(shí)，該商店每天能獲利4800元
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定出二次函數(shù)的解析式．
（1）先表示出降價(jià)后的銷(xiāo)售量為件，根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入購(gòu)進(jìn)成本，把每件的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）利用（1）中的函數(shù)關(guān)系中函數(shù)值為4800元列一元二次方程，然后解方程即可；
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意可得：
；
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)題意得，
整理得，
解得，，
答：當(dāng)每件小商品降低2元或4元時(shí)，該商店每天能獲利4800元．
18. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于4，另一個(gè)大于5，求m的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；同時(shí)考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號(hào)來(lái)證明即可：
（2）先求出原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于4，另一個(gè)大于5，列出不等式，求出的取值范圍．
小問(wèn)1詳解】
證明：
，
非負(fù)數(shù)，
．
無(wú)論取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
由方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于4，另一個(gè)大于5，
則有 ，
解得，
即的取值范圍是．
19. 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)O．且，點(diǎn)E在上，滿足．
（1）求證：；
（2）若，求證：四邊形是菱形．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)頂角相等，直接證明即可；
（2）由（1）可得，根據(jù)，證明四邊形是平行四邊形，由，，證明，即可證明四邊形是菱形．
【小問(wèn)1詳解】
證明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（），
【小問(wèn)2詳解】
證明：△AOE≌△COD
四邊形平行四邊形
，
四邊形是菱形
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門(mén)（建在處，另用其他材料）．

（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640的羊圈？
（2）羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為的羊圈；
（2）不能，理由見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】（1）設(shè)矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無(wú)實(shí)根即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)矩形的邊，則邊．
根據(jù)題意，得．
化簡(jiǎn)，得．
解得，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為的羊圈．
【小問(wèn)2詳解】
解：不能，理由如下：
由題意，得．
化簡(jiǎn)，得．
∵，
∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
∴羊圈的面積不能達(dá)到．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21. 拋物線與直線交于點(diǎn)．
（1）求，的值；
（2）求拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，的坐標(biāo)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）．
【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入求出，再把點(diǎn)代入拋物線求出即可．
（2）解方程組即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）點(diǎn)在直線上，
，
點(diǎn)坐標(biāo)，
把點(diǎn)代入得到，
．
（2）由解得或，
點(diǎn)坐標(biāo)，，點(diǎn)坐標(biāo)，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)利用方程組求函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)．
22. 現(xiàn)在全社會(huì)對(duì)空氣污染問(wèn)題越來(lái)越重視，空氣凈化器的銷(xiāo)量也大增，商場(chǎng)從廠家購(gòu)進(jìn)了A、B兩種型號(hào)的空氣凈化器，已知一臺(tái)A型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)比一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)多300元，用7500元購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器和用6000元購(gòu)進(jìn)B型空氣凈化器的臺(tái)數(shù)相同．
（1）求一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)為多少元？
（2）在銷(xiāo)售過(guò)程中，A型空氣凈化器因?yàn)閮艋芰?qiáng)，嗓音小而更受消費(fèi)者的歡迎，為了增大B型空氣凈化器的銷(xiāo)量，商場(chǎng)決定對(duì)B型空氣凈化器進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)B型空氣凈化器的售價(jià)為1800元時(shí)，每天可賣(mài)出4臺(tái)，在此基礎(chǔ)上，售價(jià)每降低50元，每天多賣(mài)出1臺(tái)，如果每天商場(chǎng)銷(xiāo)售B型空氣凈化器的利潤(rùn)為3200元，請(qǐng)問(wèn)商場(chǎng)應(yīng)將B型空氣凈化器的售價(jià)定為多少元？
【答案】（1）1200元
（2）1600元
【解析】
【分析】（1）設(shè)每臺(tái)B種空氣凈化器為x元，A種凈化器為元，根據(jù)用6000元購(gòu)進(jìn)B種空氣凈化器的數(shù)量與用7500元購(gòu)進(jìn)A種空氣凈化器的數(shù)量相同，列方程求解；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷(xiāo)量列出一元二次方程求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)每臺(tái)B型空氣凈化器為x元，A型凈化器為元，
由題意得，，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，
則，
答：每B型空氣凈化器、每臺(tái)A型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)分別為1200元，1500元；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)B型空氣凈化器的售價(jià)為a元，
根據(jù)題意得:，
解得：，
答：如果每天商社電器銷(xiāo)售B型空氣凈化器的利潤(rùn)為3200元，商社電器應(yīng)將B型空氣凈化器的售價(jià)定為1600元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，注意分式方程應(yīng)該檢驗(yàn)，難度不大．
23. 某科研單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．
（1）如圖1，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度為多少米；
（2）現(xiàn)將矩形花園的四個(gè)角建成休閑活動(dòng)區(qū)，如圖2所示，均為全等的直角三角形，其中，設(shè)米，豎向道路出口和橫向彎折道路出口的寬度都為2m，且豎向道路出口位于和之間，橫向彎折道路出口位于和之間．
①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；
②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．
【答案】（1）1米； （2）①；②．
【解析】
【分析】（1）設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四個(gè)直角三角形的面積，從而表示出剩余花草區(qū)域的面積；②由①和題目意思列出方程求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為米，
依題意得．
整理，得．
解得，，．
（不合題意，舍去），
；
答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米；
【小問(wèn)2詳解】
解：①剩余的種植花草區(qū)域的面積為：
②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，面積的表示，解題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系并列出方程，注意根據(jù)實(shí)際意義舍根．

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