數(shù) 學
本試卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分150分．
注意事項：1．答卷前，考生務必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學校、班級、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上：如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．1D．
3．已知函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．外接球半徑為的正四面體的體積為（ ）
A．B．24C．32D．
5．設點為圓上的一動點，點為拋物線上的一動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．設為銳角，且，則與的大小關系為（ ）
A．B．C．D．不確定
8．若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．變量之間的相關數(shù)據(jù)如下表所示，其經驗回歸直線經過點，且相對于點的殘差為0.2，則
A．B．C．D．殘差和為0
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的值域是B．的最小正周期是
C．關于對稱D．在上單調遞減
11．甲、乙、丙、丁四人共同參加4項體育比賽，每項比賽的第一名到第四名的得分依次為5分，3分，2分，1分．比賽結束甲獲得16分為第一名，乙獲得14分為第二名，且沒有同分的情況．則（ ）
A．第三名可能獲得10分
B．第四名可能獲得6分
C．第三名可能獲得某一項比賽的第一名
D．第四名可能在某一項比賽中拿到3分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知函數(shù)過原點作曲線的切線，其切線方程為_____________．
13．如圖是一個的九宮格，小方格內的坐標表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標，重新調整位置，使得每行、每列各三個向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為_____________．
14．已知數(shù)列滿足記的前項和為，若，則_____________；若，則_____________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）中，所對的邊分別為，已知是與的等比中項，且是與的等差中項．
（1）證明：；
（2）求的值．
16．（15分）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，3，點是線段的中點，點是的中點．
（1）證明：平面；
（2）求點到平面的距離．
17．（15分）某學校有兩家餐廳，王同學每天中午會在兩家餐廳中選擇一家用餐，如果前一天選擇了餐廳則后一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為，前一天選擇餐廳則后一天選擇餐廳的概率為，如此往復．已知他第1天選擇餐廳的概率為，第2天選擇餐廳的概率為．
（1）求王同學第天恰好有兩天在餐廳用餐的概率；
（2）求王同學第天選擇餐廳用餐的概率．
18．（17分）設直線．點和點分別在直線和上運動，點為的中點，點為坐標原點，且．
（1）求點的軌跡方程；
（2）設，求當取得最小值時直線的方程；
（3）設點關于直線的對稱點為，證明：直線過定點．
19．（17分）函數(shù)的定義域為，若滿足對任意，當時，都有，則稱是連續(xù)的．
（1）請寫出一個函數(shù)是連續(xù)的，并判斷是否是連續(xù)的，說明理由；
（2）證明：若是連續(xù)的，則是連續(xù)且是連續(xù)的；
（3）當時，其中），且是連續(xù)的，求的值．
廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第一次調研考試
數(shù)學參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12． 13．72 14．（前空2分，后空3分）
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．解：（1）由題，得，
，
因為是與的等差中項，
所以，則，
在中，由正弦定理，得，
因此．
（2）在中，由余弦定理得，
由（1）知，則，即．
因為是與的等比中項，所以，從而，即，
從而，解得或（舍去）
在中，由余弦定理得，
因此．
16．（1）證明：取的中點為，連接．
因為點分別是和的中點，所以，且．
在圓柱的軸截面四邊形中，．
所以，因此四邊形是平行四邊形．
所以，又平面平面，所以平面．
（2）解：由圓的性質可知，連接延長必與圓交于點，連接，因為平面平面，所以面，又因為已證平面，且，所以平面平面．
從而點到平面的距離即為點到平面的距離．
以為坐標原點，的中垂線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
則
所以，
設為平面的法向量，則由可取
因此點到平面的距離，即點到平面的距離為．
17．（15分）解：（1）設“王同學第天選擇餐廳”．
．
由全概率公式，得，解得．
設“王同學第天恰好有兩天在餐廳用餐”，則，
因此．
（2）設“王同學第天選擇餐廳”，則，
由題與（1）可得．
由全概率公式，得．
則，又因為，
所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列．
因此，即．
18．解：（1）設，則，
所以從而
因為，所以，即．
則，化簡得．
所以點的軌跡方程為．
（2）由（1）得，則的最小值為1，此時或，
即或．
當時，可得，從而直線的方程為；
當時，同理可得直線的方程為．
（3）設，由（2）知，
當時，直線，得，直線；
當時，直線，得，直線．
當是其他點時，直線的斜率存在，且，
則直線的方程為，注意到，化簡得．
設，則由解得，
又，所以，從而，
令，得，因此直線過定點．
19．解：（1）是連續(xù)的，也是連續(xù)的．理由如下：
由，有，
同理當，有，
所以是連續(xù)的，也是連續(xù)的．
（2）因為是連續(xù)的，由定義可得當時，有，
所以，
同理，所以，
所以，即是連續(xù)的，
同理可得，即是連續(xù)的．
（3）由（2）可得，兩式相減可得
即是連續(xù)的，進一步有．
當時，有，因為是連續(xù)的，所以，
又，所以，所以，故是連續(xù)的．
由上述分析可知即
所以恒成立．
當時，；
當時，由，得，即．此時；滿足題意．
當時，由，得．此時，滿足題意．
綜上所述，．9
9.5
10
10.5
11
11
10
6
5
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
選項
D
C
D
A
B
C
A
D
題號
9
10
11
選項
AD
BCD
ABD

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