一、獨立重復(fù)試驗，二項分布
1．乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目．已知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發(fā)制，每人發(fā)兩個球，然后由對方發(fā)球，先得11分者獲勝．
（1）若單局比賽中，甲發(fā)球時獲勝的概率為，甲接球時獲勝的概率為，甲先發(fā)球，求單局比賽中甲獲勝的概率；
（2）若比賽采用三局兩勝制（當一隊朚得兩場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束），每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨立，記為比賽結(jié)束時的總局數(shù)，求的期望．（參考數(shù)據(jù)
二、直方圖載體、分位數(shù)、交匯不等式
2．某市在200萬成年人中隨機抽取了100名成年市民進行平均每天讀書時長調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時長的頻率分布直方圖（如圖），將平均每天讀書時長不低于1.5小時的市民稱為“閱讀愛好者”，并將其中每天讀書時長不低于2.5小時的市民稱為“讀書迷”．
（1）試估算該市“閱讀愛好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；
（2）省某機構(gòu)開展“儒城”活動評選，規(guī)則如下：若城市中的成年人平均每天讀書時長不低于小時，則認定此城市為“儒城”．若該市被認定為“儒城”，則評選標準應(yīng)滿足什么條件？（精確到
（3）該市要成立“墨葫蘆”讀書會，吸納會員不超過20萬名．根據(jù)調(diào)查，如果收取會費，則非閱讀愛好者不愿意加入讀書會，而閱讀愛好者愿意加入讀書會．為了調(diào)控入會人數(shù)，設(shè)定會費參數(shù)，適當提高會費，這樣“閱讀愛好者”中非“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少，“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少．問會費參數(shù)至少定為多少時，才能使會員的人數(shù)不超過20萬人？
三、全概率公式的應(yīng)用
3．某城市有甲、乙兩個網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計當?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統(tǒng)計結(jié)果：
①用戶選擇甲公司的頻率為0.32，選擇乙公司的頻率為0.68；
②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.62，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為0.78；
③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.68，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為0.61；
④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.21，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為0.32．
將上述隨機事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率．
（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最?。?br>（2）若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司的網(wǎng)約車出行？并說明理由．
四、頻率分布直方圖載體、概率求解、交匯函數(shù)
4．某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品配件，關(guān)鍵環(huán)節(jié)是需要焊接“接線盒”，焊接是否成功直接導(dǎo)致產(chǎn)品“合格”與“不合格”，公司檢驗組經(jīng)過大量后期出廠檢測發(fā)現(xiàn)“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品的性能指標有明顯差異，得到如下的“不合格”產(chǎn)品和“合格”產(chǎn)品該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的產(chǎn)品判定為“不合格”，小于或等于的產(chǎn)品判定為“合格”．此檢測標準的漏檢率是將“不合格”產(chǎn)品判定為“合格”產(chǎn)品的概率，記為；錯檢率是將“合格”產(chǎn)品判定為“不合格”產(chǎn)品的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當漏檢率時，求臨界值和錯檢率；
（2）設(shè)函數(shù)，當，時，求的解析式，并求在區(qū)間，的最小值．
概率統(tǒng)計（二）
五、正態(tài)分布、條件概率
5．某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規(guī)則：
顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的骰子．若3枚骰子的點數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．
（1）據(jù)往年統(tǒng)計，顧客消費額（單位：元）服從正態(tài)分布，．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在，內(nèi)的人數(shù)；
附：若，則，．
（2）已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．
求顧客獲得乙獎品的概率；
若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．
六、隨機變量分布列，馬爾科夫鏈
6．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，，1，，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，2，，，其中，，．假設(shè)，．
（?。┳C明：，1，2，，為等比數(shù)列；
（ⅱ）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．
七、非線性回歸，正態(tài)分布
7．“南澳牡蠣”是我國地理標志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽．根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質(zhì)量（克在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．
（1）購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會買到質(zhì)量小于的牡蠣的可能性有多大？
（2）2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量（人與年收益增量（萬元）的數(shù)據(jù)如下：
該基地為了預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量，建立了與的兩個回歸模型：
模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；
模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線：的附近，對人工投入增量做變換，令，則，且有．
根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關(guān)于的回歸方程（精確到；
根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量．
附：若隨機變量，則，；
樣本，，2，，的最小二乘估計公式為：，
八、頻數(shù)分布圖載體、獨立重復(fù)概率求解、交匯函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
8．某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗．該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為，被感染的白鼠數(shù)用隨機變量表示，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨立．
（1）若，求數(shù)學(xué)期望；
（2）接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為，現(xiàn)有兩個不同的研究團隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)的取值有關(guān)．團隊提出函數(shù)模型為，團隊提出函數(shù)模型為．現(xiàn)將白鼠分成10組，每組10只，進行實驗，隨機變量，2，，表示第組被感染的白鼠數(shù)，現(xiàn)將隨機變量，2，，的實驗結(jié)果，2，，繪制成頻數(shù)分布圖，如圖4所示．假設(shè)每組白鼠是否被感染之間相互獨立．
①試寫出事件“，，”發(fā)生的概率表達式（用表示，組合數(shù)不必計算）；
②在統(tǒng)計學(xué)中，若參數(shù)時使得概率，，最大，稱是的最大似然估計．根據(jù)這一原理和團隊，提出的函數(shù)模型，判斷哪個團隊的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計，并求出估計值．
參考數(shù)據(jù)：．
第七天：二、分布列、方案選擇問題
2．燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示．以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記表示這1盒燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量．
（1）求的分布列；
（2）若滿足的的最小值為，求；
（3）在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù)，比較與哪種方案更優(yōu)．
第十五天：四、隨機變量分布列、新定義、證明
4．若，是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量或二維隨機向量．設(shè)的一切可能取值為，，，，2，，記表示，在中出現(xiàn)的概率，其中．
（1）將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1號盒子中的小球個數(shù)為，2號盒子中的小球個數(shù)為，則是一個二維隨機變量．
①寫出該二維離散型隨機變量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（結(jié)果用，表示）；
（2）稱為二維離散型隨機變量關(guān)于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．
第二十七天：一、獨立性檢驗、隨機變量分布列
1．山西作為汾河文化的發(fā)源地，是我國文明古省，有山西老陳醋、平遙古城、杏花村汾酒等文化資源，山西文旅局相關(guān)工作人員通過自媒體以圖片、短視頻、視頻等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面為山西飲食文化的代表某校進行了有關(guān)是否喜歡吃山西大同刀削面的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的同學(xué)中隨機抽取了男、女各100名同學(xué)進行分析，從而得到如下列聯(lián)表（單位：人）
（1）完善列聯(lián)表并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校同學(xué)對山西大同刀削面的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）用分層隨機抽樣的方法，從喜歡和不喜歡吃山西大同刀削面的同學(xué)中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進一步調(diào)查，設(shè)其中不喜歡吃山西大同刀削面的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
第二十九天：二、古典概率、隨機變量分布列
2．2024年春節(jié)期間，某家庭設(shè)計了一個抽紅包游戲，以營造和諧輕松愉快的家庭氛圍．游戲中有外觀完全相同的紅包共6個，其中裝有10元，20元，30元的紅包各兩個，小明每次從中任意抽取3個紅包，記錄金額后放回，共抽2次．若每次抽的紅包總金額超過60元記2分，超過40元不超過60元記1分，不超過40元不計分，兩次結(jié)束得分恰好為3分獎勵旺旺零食大禮包一份．
（1）求小明在第一次抽取中，抽出裝有20元紅包個數(shù)多于裝有10元紅包個數(shù)的概率；
（2）用隨機變量表示小明抽兩次的得分總和，求的分布列及期望．
人工投入增量（人
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量（萬元）
13
22
31
42
50
56
58
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2
性別
喜歡情況
合計
喜歡
不喜歡
男同學(xué)
60
女同學(xué)
20
合計
60
140
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828

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