知識框架
一、平拋運動
1．定義：將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，不考慮空氣阻力，物體只在重力作用下所做的運動．
2．性質：加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
3．基本規(guī)律：以拋出點為原點，水平方向(初速度v0方向)為x軸，豎直向下方向為y軸，建立平面直角坐標系，則：
(1)水平方向：做勻速直線運動，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)豎直方向：做自由落體運動，速度vy＝gt，位移y＝eq \f(1,2)gt2.
(3)合速度：v＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))，方向與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0).
(4)合位移：s＝eq \r(x2＋y2)，方向與水平方向的夾角為α，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
二、斜拋運動
1．斜拋運動的定義
將物體以速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動．
2．運動性質
加速度為g的勻變速曲線運動，軌跡為拋物線．
3．基本規(guī)律(以斜向上拋為例說明，如圖1所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0.
(2)豎直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.
核心素養(yǎng)
1．x-t圖象的理解
核心素養(yǎng)一 平拋運動基本規(guī)律的理解
1．飛行時間：由t＝ eq \r(\f(2h,g))知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關．
2．水平射程：x＝v0t＝v0 eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關．
3．落地速度：vt＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))＝eq \r(v\\al( 2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度與x軸正方向的夾角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關．
4．速度改變量：因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以
做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt
相同，方向恒為豎直向下，如圖所示．
5．兩個重要推論
(1)做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一
定通過此時水平位移的中點，如圖中A點和B點所示．
(2)做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設其末速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ.
典例精講
1．某彈射管每次彈出的小球速度相等．在沿光滑豎直軌道自由下落過程中，該彈射管保持水平，先后彈出兩只小球．忽略空氣阻力，兩只小球落到水平地面的( )
A．時刻相同，地點相同 B．時刻相同，地點不同
C．時刻不同，地點相同 D．時刻不同，地點不同
解析：彈射管在豎直方向做自由落體運動，所以彈出的兩小球在豎直方向也做自由落體運動，故兩只小球始終處于同一水平面，因此兩球應同時落地；由于兩小球先后彈出，且彈出小球的初速度相同，所以小球在水平方向運動的時間不等，因小球在水平方向做勻速運動，所以水平位移不相等，因此落點不相同，故選項B正確．
答案：B
2．有一物體在離水平地面高h處以初速度v0水平拋出，落地時速度為vt，豎直分速度為vy，水平射程為l，不計空氣阻力，則物體在空中飛行的時間為( )
A.eq \r(\f(2h,g)) B.eq \f(2h,vy)
C.eq \f(l,vt) D. eq \r(\f(vt2－v02,g))
解析：由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，A正確；由h＝eq \x\t(v)yt，eq \x\t(v)y＝eq \f(vy,2)，得h＝eq \f(vy,2)t，故t＝eq \f(2h,vy)，B正確；t＝eq \f(l,v0)，而v0≠vt，故C錯誤；因vy＝eq \r(vt2－vx2)＝eq \r(vt2－v02)，而t＝eq \f(vy,g)，故t＝eq \f(\r(vt2－v02),g)，D錯誤．
答案：AB
過關訓練
一、單選題
1．如圖所示，OB是豎直線，OA是水平線，小球可以在 SKIPIF 1 < 0 上任一點以合適的速度水平拋出，每次都能擊中水平面上的A點。則上升到越高的地方拋出（ ）
A．小球水平拋出的速度越大B．擊中A點的速度方向與豎直夾角越大
C．擊中A點的動能一定越大D．擊中A點前瞬時重力功率一定越大
2．在水平地面上M點的正上方某一高度處，將S1球以初速度 SKIPIF 1 < 0 水平向右拋出，同時在M點右方地面上N點處，將S2球以初速度 SKIPIF 1 < 0 斜向左上方拋出，兩球恰在M、N連線的中點正上方相遇，不計空氣阻力，則兩球從拋出到相遇過程中（ ）
A．初速度大小關系為 SKIPIF 1 < 0
B．速度變化量相等
C．水平位移相同
D．都不是勻變速運動
3．如圖所示，小車以速度v勻速向右運動，通過滑輪拖動物體A上升，不計滑輪摩擦與繩子質量，當繩子與水平面夾角為θ時，下面說法正確的是（ ）
A．物體A勻速上升B．物體A的速度大小為vcsθ
C．物體A的速度大小為 SKIPIF 1 < 0 D．繩子對物體A的拉力小于物體A的重力
4．物體做直線運動，速度—時間圖象如圖所示。由圖象可以判斷（ ）
A．第2s末物體的速度和加速度均為零
B．第ls末物體的速度改變方向
C．第3s末和第5s末物體的位置相同
D．第6s末物體回到計時起始時刻的位置
5．如圖，某人由A點劃船渡河，船頭指向始終與河岸垂直，則下列說法中正確的是（ ）
A．小船能到達正對岸的B點
B．若增大劃船速度，則可縮短小船渡河的時間
C．小船到達對岸的位置與水流速度無關
D．若船頭偏向右邊，則小船可能到達正對岸的B點
6．如圖所示，從地面上同一位置拋出兩小球A，B，分別落在地面上的M，N點，兩球運動的最大高度相同 SKIPIF 1 < 0 空氣阻力不計，則
A．小球A的加速度比小球B的加速度小
B．小球B的飛行時間比小球A的飛行時間長
C．小球B落地時的速度比小球A落地時的速度小
D．小球B在最高點的速度比小球A在最高點的速度大
7．下列關于力和運動的關系的幾種說法正確的是（ ）
A．物體所受合力的方向與物體運動的方向總是一致的
B．物體所受合力不為零，其加速度一定不為零
C．物體所受合力為零，其速度一定為零
D．物體所受合力變小，物體一定做減速運動
二、多選題
8．位于同一高度h，相距為 SKIPIF 1 < 0 的兩小球A、B，以速度v0把A向B水平拋出的同時，B自由下落，不計空氣阻力，重力加速度為g，則（ ）
A．A、B一定能碰
B．如果A、B落在地面上同一位置，則一定有 SKIPIF 1 < 0
C．如果在空中不相碰，A、B一定同時落地
D．A、B落地時速度大小相等，方向不同
三、解答題
9．以30m/s的初速度水平拋出一個物體，經過一段時間后，物體的速度方向與水平方向成30°角。取重力加速度g=10m/s2，不計空氣阻力，求此時物體相對于拋出點的水平位移和豎直位移。
10．平拋運動的問題中不僅會涉及位移關系，有時還會涉及速度關系。如圖所示，在摩托車賽道上，水平路面的前方有一個壕溝，壕溝兩側高度差為0.8m，水平間距為5m。若忽略空氣阻力，取重力加速度g=10m/s2，摩托車水平飛出的速度至少要多大才能越過這個壕溝？摩托車剛好越過壕溝時速度方向與水平方向的夾角是多大？
11．某實驗小組成員站在高處沿水平方向拋出一物體。已知拋出時物體距地面5m，物體落到地面時的水平位移為9m。取重力加速度g=10m/s2，不計空氣阻力，求物體拋出時水平速度的大小。
1．如圖所示，將一籃球從地面上方B點斜向上拋出，剛好垂直擊中籃板上A點，不計空氣阻力．若從拋射點B向籃板方向水平移動一小段距離，仍使拋出的籃球垂直擊中A點，則可行的是( )
A．增大拋射速度v0，同時減小拋射角θ
B．增大拋射角θ，同時減小拋出速度v0
C．減小拋射速度v0，同時減小拋射角θ
D．增大拋射角θ，同時增大拋出速度v0
2．如圖所示，某一小球以v0＝10 m/s的速度水平拋出，在落地之前經過空中A、B兩點，在A點小球速度方向與水平方向的夾角為45°，在B點小球速度方向與水平方向的夾角為60°(空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2)．以下判斷正確的是( )
A．小球經過A、B兩點間的時間間隔t＝eq \r(3) s
B．小球經過A、B兩點間的時間間隔t＝1 s
C．A、B兩點間的高度差h＝10 m
D．A、B兩點間的高度差h＝15 m
考題預測
參考答案
1解析：把籃球的運動逆向看作平拋運動，若從拋射點B向籃板方向水平移動一小段距離，仍使拋出的籃球垂直擊中A點，則需要增大拋射角θ，同時減小拋出速度v0，選項B正確．
答案：B
2解析：根據平行四邊形定則知，vyA＝v0＝10 m/s，vyB＝v0tan 60°＝eq \r(3)v0＝10eq \r(3) m/s，則小球由A到B的時間間隔t＝eq \f(vyB－vyA,g)＝eq \f(10\r(3)－10,10) s＝(eq \r(3)－1) s，故A、B錯誤；A、B的高度差h＝eq \f(vyB2－vyA2,2g)＝eq \f(300－100,20) m＝10 m，故C正確，D錯誤．
答案：C
過關訓練
參考答案
1．D
【詳解】
A．由
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
由
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
則上升到越高的地方拋出，拋出的速度越小，擊中A點的動能越小，故AC錯誤；
B．擊中A點的速度方向與豎直夾角的正切
SKIPIF 1 < 0
所以夾角越小，故B錯誤；
D．擊中A點前瞬時重力功率
SKIPIF 1 < 0
故瞬時重力功率一定越大，故D正確。
故選D。
2．B
【詳解】
A．設 SKIPIF 1 < 0 球的速度與水平方向夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，由于兩球恰在M、N連線的中點正上方相遇，說明它們的水平位移大小相等，又由于運動的時間相同，所以它們在水平方向上的速度相等，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，選項A錯誤；
B．由于兩個球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，所以它們速度的變化量相等，選項B正確；
C．在水平方向上，它們的運動方向相反，位移方向也相反，所以位移不相同，選項C錯誤；
D．由于兩個球都只受到重力的作用，如速度都是重力加速度，加速度恒定，是勻變速運動，選項D錯誤。
故選B。
3．B
【詳解】
ABC．小車沿繩子方向的速度等于A的速度，設繩子與水平方向的夾角為θ，如圖所示
根據平行四邊形定則，物體A的速度
SKIPIF 1 < 0
小車勻速向右運動時，θ減小，則A的速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，故B正確，AC錯誤；
D．對A根據牛頓第二定律有
SKIPIF 1 < 0
可知繩子的拉力大于A的重力，故D錯誤；
故選B。
4．C
【詳解】
A．物體在第2s末的速度為零，根據斜率等于加速度，可知物體在第2s末的加速度不為零，故A錯誤；
B．第1s末前后物體的速度均為正值，速度方向沒有改變，故B錯誤；
C．根據圖線與t軸所圍面積表示運動位移，圖線在t軸上方表示位移為正，圖線在t軸下方表示位移為負，知3-5s內物體的位移為零，則第3s末和第5 s末物體的位置相同，故C正確；
D．物體在0-6s內的位移等于前2s內的位移，不為零，所以第6s末物體沒有回到計時起始時刻的位置，故D錯誤。
故選C。
5．B
【詳解】
AB．小船在垂直于河岸方向和沿河岸方向都有位移，如圖所示
根據運動的合成，合位移的方向指向下游方向，所以小船到達對岸的位置是正對岸B點的右側，渡河時間為
SKIPIF 1 < 0
若增大劃船速度，則可縮短小船渡河的時間，故A錯誤，B正確；
C．根據運動的合成法則，可知，到達對岸的位置與水流速度有關，故C錯誤；
D．若船頭偏向右邊，根據運動的合成法則，則小船一定不能到達正對岸的B點，故D錯誤；
故選B。
6．D
【解析】
不計空氣阻力，兩球的加速度都為重力加速度g．故A錯誤．兩球都做斜拋運動，豎直方向的分運動是豎直上拋運動，根據運動的對稱性可知，兩球上升和下落的時間相等，而下落過程，由t= SKIPIF 1 < 0 知下落時間相等，則兩球運動的時間相等．故B錯誤．h=vyt- SKIPIF 1 < 0 gt2，最大高度h、t相同，則知，豎直方向的初速度大小相等，由于A球的初速度與水平方向的夾角大于B球的豎直方向的初速度，由vy=v0sinα（α是初速度與水平方向的夾角）得知，A球的初速度小于B球的初速度，兩球水平方向的分初速度為v0csα=vyctα，由于B球的初速度與水平方向的夾角小，所以B球水平分初速度較大，而兩球水平方向都做勻速直線運動，故B在最高點的速度比A在最高點的大．故D正確．根據速度的合成可知，B的初速度大于A球的初速度，運動過程中兩球的機械能都守恒，則知B在落地時的速度比A在落地時的大．故C錯誤．故選D．
7．B
【詳解】
A．物體可能做直線運動，可能做曲線運動，故所受合力的方向與物體運動的方向可能相同，可能相反，也可能不在同一直線上，A錯誤；
B．由牛頓第二定律可知，物體所受合力不為零，其加速度一定不為零，B正確；
C．物體所受合力為零，其加速度一定為零，速度可能為零，可能不為零且保持不變，C錯誤；
D．物體所受合力變小，加速度一定變小，速度如何變化取決于合力與速度間的夾角，D錯誤。
故選B。
8．BC
【詳解】
A．根據平拋運動規(guī)律可得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立解得
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 則第一次落地前能夠相碰；若 SKIPIF 1 < 0 則不會相碰，故A錯誤；
B．若A、B落在地面上同一位置，則水平位移
SKIPIF 1 < 0
運動時間則為
SKIPIF 1 < 0
則可以推導出高度
SKIPIF 1 < 0
故B正確；
C．因為A平拋運動的高度和B自由落體的高度相等，根據
SKIPIF 1 < 0
可化簡為
SKIPIF 1 < 0
所以時間相同，即A、B一定同時著地，故C正確；
D．根據平拋運動規(guī)律可得
SKIPIF 1 < 0
可知A豎直分速度和B的速度相等。A還有水平方向的速度，可以知道A、B落地時速度大小不等，方向不同，故D錯誤。
故選BC。
9． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【詳解】
根據平行四邊形定則得
SKIPIF 1 < 0
解得物體運動的時間
SKIPIF 1 < 0
物體相對于拋出點的水平位移
SKIPIF 1 < 0
豎直位移
SKIPIF 1 < 0
10．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）速度方向與水平方向的夾角正切值為0.32
【詳解】
根據
SKIPIF 1 < 0
在空中飛行時間
SKIPIF 1 < 0
要想安全飛過壕溝，則飛行距離至少為5m，故水平分速度
SKIPIF 1 < 0
落地時的豎直分速度
SKIPIF 1 < 0
合速度與水平方向的夾角
SKIPIF 1 < 0
11．9m/s
【詳解】
物體做平拋運動，水平方向
x=v0t
豎直方向
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0

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