2025年高考數(shù)學精品教案第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第1講導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算-教案下載-教習網(wǎng)

學生用書P050
1.導數(shù)的概念及其幾何意義
（1）函數(shù)f（x）在x＝x0處的導數(shù)：如果當Δx→0時，平均變化率① ΔyΔx 無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y＝f（x）在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝
f（x）在x＝x0處的導數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作f '（x0）或y' x＝x0，即f '（x0）＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.
（2）函數(shù)f（x）的導函數(shù)：當x變化時，y＝f '（x）就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f（x）的導函數(shù)（簡稱導數(shù)）. y＝f（x）的導函數(shù)有時也記作y'，即f '（x）＝y(tǒng)'＝② limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx .
說明函數(shù)y＝f（x）的導數(shù)f '（x）反映了函數(shù)f（x）的變化趨勢，其大小｜f '（x）｜反映了變化的快慢，在某一范圍內(nèi)｜f '（x）｜越大，函數(shù)在相應范圍內(nèi)變化得越快，函數(shù)的圖象越“陡峭”（向上或向下）.
辨析比較
f '（x）與f '（x0），[f（x0）]'的區(qū)別與聯(lián)系：f '（x）是一個函數(shù)，f '（x0）是函數(shù)f '（x）在x＝x0時的函數(shù)值（常數(shù)），不一定為0，[f（x0）]'是函數(shù)值f（x0）的導數(shù)，且
[f（x0）]'＝0.
（3）導數(shù)的幾何意義：f '（x0）的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k＝③ f'（x0），相應的切線方程為④ y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0） .
說明函數(shù)y＝f（x）在某點處的導數(shù)、曲線y＝f（x）在該點處切線的斜率和傾斜角，這三者之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.
2.導數(shù)的運算
（1）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
特別地，若f（x）＝ex，則f '（x）＝ex；若f（x）＝ln x，則f '（x）＝1x；若f（x）＝1x，則f '（x）＝－1x2.
（2）導數(shù)的四則運算法則
若f '（x），g'（x）存在，則
a.[f（x）±g（x）]'＝⑧ f'（x）±g'（x）；
b.[f（x）·g（x）]'＝⑨ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；
c.[f（x）g（x）]'＝⑩ f'（x）g（x）－f（x）g'（x）[gx]2（g（x）≠0）；
d.[cf（x）]'＝? cf'（x） .
規(guī)律總結
奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù).
（3）復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)y＝f（g（x））的導數(shù)和函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導數(shù)間的關系為y'x＝? y'u·u'x ，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.
注意（1）要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量的求導，不能混淆.
（2）對于含有參數(shù)的函數(shù)，要分清哪個字母是變量，哪個字母是參數(shù)，參數(shù)是常量，其導數(shù)為零.
1.下列說法正確的是（ C ）
A.f '（x0）是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0附近的平均變化率
B.f '（x）與f '（x0）（x0為常數(shù)）表示的意義相同
C.曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點
D.奇函數(shù)的導數(shù)還是奇函數(shù)
解析對于A，f '（x0）是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的瞬時變化率；對于B，f '（x）是一個函數(shù)，而f '（x0）（x0為常數(shù)）是函數(shù)f '（x）在x＝x0時的函數(shù)值；對于C，例如曲線y＝cs x在點（0，1）處的切線與曲線y＝cs x有無數(shù)個公共點；對于D，奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù).故C正確.
2.[教材改編]下列式子不正確的是（ C ）
A.（3x2＋cs x）'＝6x－sin xB.（ln x－2x）'＝1x－2xln 2
C.（2sin 2x）'＝2cs 2xD.（sinxx）'＝xcsx－sinxx2
解析由導數(shù)公式和運算法則可知A，B，D正確.（2sin 2x）'＝4cs 2x≠2cs 2x，故C不正確.
3.[全國卷Ⅰ]函數(shù)f（x）＝x4－2x3的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為（ B ）
A.y＝－2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3D.y＝2x＋1
解析 ∵f（x）＝x4－2x3，∴f '（x）＝4x3－6x2，∴f '（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝
－1，∴所求的切線方程為y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故選B.
4.[2024河北省邢臺市月考]在一次10米跳臺跳水運動中，某運動員跳水過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系：h（t）＝－4t2＋4t＋11.該運動員在t＝1 s時的瞬時速度（單位：m/s）為（ A ）
A.－4B.4C.11D.－11
解析由h（t）＝－4t2＋4t＋11可得h'（t）＝－8t＋4，故h'（1）＝－4，即該運動員在t＝1 s時的瞬時速度為－4 m/s.故選A.
學生用書P051
命題點1 導數(shù)的運算
例1 （1）[2024河南省商丘市部分學校質(zhì)檢]下列求導正確的是（ D ）
A.[（2x－1）2]'＝2（2x－1）
B.（2x＋x2）'＝2x＋2x
C.（sin x－csπ3）'＝cs x＋13sinπ3
D.（lg2x）'＝lg2ex
解析 [（2x－1）2]'＝2（2x－1）·2＝4（2x－1），故A錯誤；（2x＋x2）'＝2xln 2＋2x，故B錯誤；（sin x－csπ3）'＝cs x，故C錯誤；（lg2x）'＝1xln2＝lg2ex，故D正確.故選D.
（2）[全國卷Ⅲ]設函數(shù)f（x）＝exx＋a.若f '（1）＝e4，則a＝ 1 .
解析由于f'（x）＝ex（x＋a）－ex（x＋a）2，故f'（1）＝ea（1+a）2＝e4，解得a＝1.
方法技巧
（1）求導之前，先把函數(shù)簡化成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.
（2）復合函數(shù)求導，要正確分析函數(shù)的復合層次，由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.
注意（1）牢記導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則；（2）若函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)（如f '（x0），a，b等），則求導時把待定系數(shù)看成常數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.
訓練1 （1）[多選/2023湖北省黃岡市黃州中學質(zhì)檢]下列求導運算正確的是（ BD ）
A.[cs（－2x）]'＝2sin xB.（lnxx）'＝1－lnxx2
C.（e3）'＝3e2D.（lg 2x）'＝1xln10
解析 [cs（－2x）]'＝－sin（－2x）·（－2x）'＝2sin（－2x），故A錯誤；（lnxx）'＝x（lnx）'-x’lnxx2＝1－lnxx2，故B正確；（e3）'＝0，故C錯誤；（lg 2x）'＝12xln10×（2x）'＝1xln10，故D正確.故選BD.
（2）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f '（x），且滿足f（x）＝3xf '（1）＋2ln x，則f '（2）＝（ B ）
A.－e－1B.－2C.0D.e－1
解析設f '（1）＝a，則f（x）＝3ax＋2ln x，f '（x）＝3a＋2x，所以f '（1）＝3a＋2＝a，解得a＝－1，所以f '（2）＝3×（－1）＋1＝－2.故選B.
命題點2 導數(shù)的幾何意義
角度1 求切線方程
例2 （1）[2023全國卷甲]曲線y＝exx+1在點（1，e2）處的切線方程為（ C ）
A.y＝e4xB.y＝e2x
C.y＝e4x＋e4D.y＝e2x＋3e4
解析由題可得y'＝ex（x+1）－ex（x+1）2＝xex（x+1）2，則曲線y＝exx+1在點（1，e2）處的切線斜率k＝
y'x＝1＝e4，所以曲線y＝exx+1在點（1，e2）處的切線方程為y－e2＝e4（x－1），即y＝e4x＋e4，故選C.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]曲線y＝ln｜x｜過坐標原點的兩條切線的方程為 y＝1ex， y＝
－1ex .
解析先求當x＞0時，曲線y＝ln x過坐標原點的切線方程，設切點為（x0，y0），則由y'＝1x，得切線斜率為1x0，又切線的斜率為y0x0，所以1x0＝y(tǒng)0x0，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切線斜率為1e，切線方程為y＝1ex.同理可求得當x＜0時的切線方程為y＝－1ex.綜上可知，兩條切線方程為y＝1ex，y＝－1ex.
方法技巧
求切線方程的方法
（1）已知切點A（x0，f（x0）），則切線方程為y－f（x0）＝f '（x0）（x－x0）.
（2）已知過點P（x0，y0）（非切點），可設切點為（x1，y1），由y1＝f（x1）,y0－y1＝f ‘(x1)(x0－x1)求出x1，y1后即可得切線方程.
注意曲線y＝f（x）“在點P（x0，y0）處的切線”與“過點P（x0，y0）的切線”的區(qū)別：前者P（x0，y0）為切點，而后者P（x0，y0）不一定為切點.
角度2 求參數(shù)的值或取值范圍
例3 （1）[全國卷Ⅲ]已知曲線y＝aex＋xln x在點（1，ae）處的切線方程為y＝2x＋b，則（ D ）
A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1
解析因為y'＝aex＋ln x＋1，所以y'x＝1＝ae＋1，所以曲線在點（1，ae）處的切線方程為y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1，所以ae+1=2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.故選D.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是（－∞，－4）∪（0，＋∞） .
解析因為y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.設切點為A（x0，（x0＋a）ex0），O為坐標原點，依題意得，切線斜率kOA＝y(tǒng)' x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化簡得x02＋ax0－a＝0.因為曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，所以關于x0的方程x02＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范圍是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
方法技巧
利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法
利用切點處的導數(shù)等于切線的斜率、切點在切線上、切點在曲線上列方程（組）求解.
訓練2 （1）[2024廣州市中山大學附中月考]過點（3，0）作曲線f（x）＝xex的兩條切線，切點分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），則x1＋x2＝（ D ）
A.－3B.－3C.3D.3
解析因為f（x）＝xex，所以f '（x）＝（x＋1）ex，設切點為（x0，x0ex0），所以
f '（x0）＝（x0＋1）ex0，所以切線方程為y－x0ex0＝（x0＋1）ex0（x－x0），代入（3，0）得－x0ex0＝（x0＋1）ex0（3－x0），即（－x02＋3x0＋3）ex0＝0，依題意關于x0的方程
（－x02＋3x0＋3）ex0＝0有兩個不同的根x1，x2，即關于x0的方程－x02＋3x0＋3＝0有兩個不同的根x1，x2，由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝3.故選D.
（2）[2024江蘇省常州市調(diào)考]已知直線2ax－2y－a＝0與曲線y＝ln（2x－1）相切，則實數(shù)a＝（ A ）
A.2eB.e2eC.2eD.e2
解析設切點為（x0，y0），則y'＝22x－1，故切線方程為y＝22x0－1（x－x0）＋ln（2x0－1），即y＝22x0－1x－2x02x0－1＋ln（2x0－1），由y＝ax－a2是切線方程，得22x0－1＝a，－2x02x0－1＋ln（2x0－1）＝－a2，故－4x02x0－1＋2ln（2x0－1）＋22x0－1＝0，化簡得－1＋
ln（2x0－1）＝0，解得x0＝e+12，所以a＝22x0－1＝2e，故選A.
命題點3 與公切線有關的問題
例4 （1）已知曲線y＝ex在點（x1，ex1）處與曲線y＝ln x在點（x2，ln x2）處的切線相同，則（x1＋1）（x2－1）＝－2 .
解析易知曲線y＝ex在點（x1，ex1）處的切線方程為y－ex1＝ex1（x－x1），即y＝ex1x－ex1x1＋ex1，曲線y＝ln x在點（x2，ln x2）處的切線方程為y－ln x2＝1x2（x－x2），即y＝1x2x－1＋ln x2，于是ex1＝1x2 ①，ex1－ex1x1＝－1+ln x2 ②，由①得x2＝1ex1，代入②得ex1－ex1x1＝－1＋ln 1ex1＝－1－x1，即ex1＝x1+1x1－1，所以x2＝x1－1x1+1，所以x2－1＝x1－1x1+1－1＝－2x1+1，得（x1＋1）·（x2－1）＝－2.
（2）[全國卷Ⅱ]若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln（x＋1）的切線，則 b＝ 1－ln2 .
解析設y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2，y＝ln（x＋1）分別相切于點（x1，y1），（x2，y2），則k＝y(tǒng)1－y2x1－x2，即k＝1x1＝1x2+1＝ln x1+2－ln（x2+1）x1－x2，解得k＝2，（另解：y＝ln（x＋1）的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移2個單位長度可得到y(tǒng)＝ln x＋2的圖象，故k＝2）
x1＝12，y1＝2－ln 2，因為點（12，2－ln 2）在直線y＝kx＋b上，所以2－ln 2＝2×12＋b，解得b＝1－ln 2.
方法技巧
曲線的公切線問題的求解方法
（1）求出兩曲線各自的切線方程，利用兩曲線的切線重合列方程組求解.
（2）設公切線與兩曲線y＝f（x），y＝g（x）的切點分別為（x1，f（x1）），（x2，
g（x2）），則有f '（x1）＝g'（x2）＝f（x1）－g（x2）x1－x2，根據(jù)此列式求解.
訓練3 （1）已知函數(shù)f（x）＝ax2與g（x）＝ln x的圖象在公共點處有共同的切線，則實數(shù)a的值為 12e .
解析設公共點為P（x0，y0）（x0＞0），則ax02＝ln x0 ①.
由f（x）＝ax2，得f '（x）＝2ax，由g（x）＝ln x，得g'（x）＝1x.
因為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在公共點P（x0，y0）處有共同的切線，所以f '（x0）＝
g'（x0），即2ax0＝1x0，得a＝12x02，代入①得12x02·x02＝ln x0，即ln x0＝12，得x0＝e12，所以a＝12x02＝12·（e12）2＝12e.
（2）曲線y＝－1x（x＜0）與曲線y＝ln x的公切線的條數(shù)為 1 .
解析設（x1，y1）是公切線與曲線y＝－1x（x＜0）的切點，x1＜0，則切線斜率k1＝
（－1x）' x＝x1＝1x12，切線方
程為y＋1x1＝1x12（x－x1），整理得y＝1x12·x－2x1 ①.設（x2，y2）是公切線與曲線y＝ln x的切點，則切線斜率k2＝（ln x）' x＝x2＝1x2，切線方程為y－ln x2＝1x2（x－x2），整理得y＝1x2·x＋ln x2－1 ②.
由①②得1x12＝1x2，－2x1＝ln x2－1，消去x2得－2x1＝ln x12－1＝2ln（－x1）－1.
設t＝－x1＞0，則2ln t－2t－1＝0，只需探究此方程解的個數(shù).
易知函數(shù)f（x）＝2ln x－2x－1在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（1）＝－3＜0，f（e）＝1－2e＞0，所以f（x）＝0有唯一解，即2ln t－2t－1＝0有唯一解，所以兩曲線的公切線的條數(shù)為1.
1.[命題點1]已知f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6），則
f '（3）＝－12 .
解析易得f '（x）＝（x－3）'[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]＋（x－3）·[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]'，則f '（3）＝2×1×（－1）×
（－2）×（－3）＝－12.
2.[命題點2角度2/2021新高考卷Ⅰ]若過點（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則（ D ）
A.eb＜aB.ea＜b
C.0＜a＜ebD.0＜b＜ea
解析解法一（數(shù)形結合法）設切點為（x0，ex0），則切線方程為y－ex0＝ex0（x－x0），因為切線過點（a，b），所以b－ex0＝ex0（a－x0），ex0（1－x0＋a）＝b，則由題意知關于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有兩個不同的解.設f（x）＝ex（1－x＋a），則
f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a）.由f'（x）＝0得x＝a，當x＜a時，f '（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x＞a時，f '（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea.當x＜a時，a－x＞0，所以f（x）＞0，當x→－∞時，f（x）→0，當x→＋∞時，f（x）→－∞，（提示：判斷函數(shù)極值點左右兩側(cè)的圖象特征很重要，需掌握用極限思想判斷函數(shù)圖象的趨勢，從而能準確作出草圖）
則函數(shù)f（x）＝ex（1－x＋a）的大致圖象如圖1所示.因為f（x）的圖象與直線y＝b有兩個交點，所以0＜b＜ea.故選D.
圖1圖2
解法二（用圖估算法）作出曲線y＝ex，如圖2所示，過點（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則點（a，b）在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0＜b＜ea.故選D.
3.[命題點2角度2]若點P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的圖象上，且過點P僅能作一條直線與f（x）的圖象相切，則a的取值范圍為（－∞，0）∪（12，＋∞） .
解析點P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的圖象上，則f（1）＝1－a≠a，即a≠12.設過點
P（1，a）的直線與 f（x）＝x3－ax的圖象切于點Q（t，t3－at），f '（x）＝3x2－a，則切線的斜率k＝f'（t）＝t3－at－at－1，即3t2－a＝t3－at－at－1，整理得2t3－3t2＋2a＝0，問題轉(zhuǎn)化為
g（t）＝2t3－3t2＋2a僅有1個零點.g'（t）＝6t2－6t，令g'（t）＝0，得t＝0或t＝1，所以g（0）·g（1）＞0，（數(shù)形結合可得）
即2a（2a－1）＞0，所以a＞12或a＜0.
4.[命題點2/2021新高考卷Ⅱ]已知函數(shù)f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0，函數(shù)f（x）的圖象在點A（x1，f（x1））和點B（x2，f（x2））處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則｜AM｜｜BN｜的取值范圍是（0，1） .
解析解法一（構造函數(shù)法） f（x）＝｜ex－1｜＝ex－1，x≥0，1－ex，x

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