學(xué)生用書P229
1.二項(xiàng)式定理
辨析比較
二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別
（a＋bx）n的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)是指Cn0，Cn1，…，Cnn，其與a，b的值無關(guān)，如第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cnk；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，其與a，b的值有關(guān)，如第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是Cnkan－kbk.
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
1.[北京高考]在（x－2）5的展開式中，x2的系數(shù)為（ C ）
A.－5B.5C.－10D.10
解析 由二項(xiàng)式定理得（x－2）5的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C5r（x）5－r（－2）r＝C5r-2rx5－r2，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系數(shù)-10，故選C.
2.[教材改編]在（x－y）10的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（ C ）
A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)
解析 展開式共有11項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第6項(xiàng).
3.已知Cn0＋2Cn1＋22Cn3＋23Cn3＋…＋2nCnn＝243，則Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝（ A ）
A.31B.32C.15D.16
解析 逆用二項(xiàng)式定理得Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋23Cn3＋…＋2nCnn＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn＝25－1＝31.
4.[多選]下列說法正確的是（ CD ）
A.Cnkan－kbk是（a＋b）n展開式中的第k項(xiàng)
B.在二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的一項(xiàng)或中間的兩項(xiàng)
C.在（a＋b）n的展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都與a，b無關(guān)
D.在（a＋b）n的展開式中，某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同
5.[易錯題]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），設(shè)（2x－1）n的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an（n∈N*），則 S4＝ 16 ，T4＝ 0 .
解析 因?yàn)椋?x－1）n展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，（易混淆：（2x－1）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n，系數(shù)和為a0＋a1＋a2＋…＋an）
所以Sn＝2n，S4＝16.令x＝0，則（－1）n＝a0，令x＝1，則1＝a0＋a1＋a2＋…＋an，所以Tn＝1－（－1）n，所以T4＝0.
學(xué)生用書P230
命題點(diǎn)1 展開式中的特定項(xiàng)問題
角度1 形如（a＋b）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)
例1 （1）[2023南京市中華中學(xué)檢測]若2－x6＝a0+a11+x+a21+x2+…+a61+x6，則a4＝（ B ）
A.270B.135
C.－135D.－270
解析 （2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C6r36-r-xr=C6r36－r（－1）rxr，令r＝4，則a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故選B.
（2）[2023天津高考]在（2x3－1x）6的展開式中，x2的系數(shù)是 60 .
解析 解法一 二項(xiàng)式（2x3－1x）6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C6k（2x3）6－k（－1x）k=－1k26－kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系數(shù)為（－1）4×22×C64＝60.
解法二 將二項(xiàng)式（2x3－1x）6看成6個多項(xiàng)式（2x3－1x）相乘，要想出現(xiàn)x2項(xiàng)，則先在6個多項(xiàng)式中選2個多項(xiàng)式取2x3，然后余下的多項(xiàng)式都?。?x，相乘，即C622x32×C44-1x4=60x2，所以x2的系數(shù)為60.
方法技巧
求形如（a＋b）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)問題的步驟
角度2 形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)
例2 （1）[2023沈陽市三檢]（2x－3）2（1－1x）6的展開式中，含x－2項(xiàng)的系數(shù)為（ B ）
A.430B.435C.245D.240
解析 （1－1x）6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C6k（－1x）k＝（－1）kC6k1xk.（2x－3）2＝4x2－12x+9，當(dāng)在多項(xiàng)式（4x2－12x＋9）中取4x2時，令k＝4，得4x2·（－1）4C641x4；當(dāng)在多項(xiàng)式（4x2－12x＋9）中取－12x時，令k＝3，得－12x·（－1）3C631x3；當(dāng)在多項(xiàng)式（4x2－12x＋9）中取9時，令k＝2，得9×（－1）2C621x2.所以含x－2項(xiàng)的系數(shù)為4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故選B.
（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－yx）（x＋y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為 －28 .（用數(shù)字作答）
解析 （x＋y）8的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C8rx8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝C86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝C85x3y5，所以（1－yx）（x＋y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為C86－C85＝－28.
方法技巧
求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展開式中特定項(xiàng)問題的步驟
角度3 形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)
例3 （1）（x－y＋2）5的展開式中，x3y的系數(shù)為（ D ）
A.80B.40
C.－80D.－40
解析 解法一 （x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通項(xiàng)Tr＋1＝C5rx5－r（－1）r·（y－2）r，則展開式中含x3的項(xiàng)為C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展開式中含y的項(xiàng)為（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展開式中，x3y的系數(shù)為C52·C21·（－2）＝－40，故選D.
解法二 要在展開式中得到x3y，可在5個“x－y＋2”中選3個“x”，1個“－y”，1個“2”，故x3y的系數(shù)為C53·C21（－1）1×2＝－40.
（2）（1＋2x－3x2）5的展開式中，x5的系數(shù)為 92 .
解析 （1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展開式中x5的系數(shù)為C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.
方法技巧
求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展開式中的特定項(xiàng)問題的方法
訓(xùn)練1 （1）已知（2x－a）（x＋2x）6的展開式中x2的系數(shù)為－240，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ A ）
A.－640B.－320C.640D.320
解析 （x＋2x）6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C6kx6－k·（2x）k＝C6k2kx6－2k.令6－2k＝2，得k＝2；令6－2k＝1，得k＝52，舍去.（注意：k取整數(shù)）
故（2x－a）（x＋2x）6的展開式中x2的系數(shù)為－aC62·22＝－240，得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝72，不符合題意，舍去；令6－2k＝0，得k＝3.故2x-4x+2x6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－4×C63×23＝－640.
（2）（x2＋x＋y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（ C ）
A.10B.20C.30D.60
解析 （x2＋x＋y）5表示5個因式（x2＋x＋y）的乘積，要得到含x5y2的項(xiàng)，只需從5個因式中選2個因式取x2，1個因式取x，其余2個因式取y即可，故x5y2的系數(shù)為C52C31C22＝30.
命題點(diǎn)2 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題
角度1 二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和問題
例4 [多選]已知（1－2x）2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，則下列結(jié)論正確的是（ ACD ）
A.展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22 023
B.展開式中所有奇次項(xiàng)的系數(shù)的和為32 023+12
C.展開式中所有偶次項(xiàng)的系數(shù)的和為32 023－12
D.a12＋a222＋a323＋…＋a2 02322 023＝－1
解析 對于A，（1－2x）2 023的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22 023，故A正確；對于B，令f（x）＝（1－2x）2 023，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f（1）＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f（－1）＝32 023，所以展開式中所有奇次項(xiàng)的系數(shù)的和為f（1）－f（－1）2＝－32 023+12，展開式中所有偶次項(xiàng)的系數(shù)的和為f（1）＋f（－1）2＝32 023－12，故B錯誤，C正確；對于D，a0＝f（0）＝1，a12＋a222＋a323＋…＋a2 02322 023＝f（12）－a0＝－1，故D正確.故選ACD.
方法技巧
應(yīng)用賦值法求項(xiàng)的系數(shù)和問題
（1）對形如（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；求系數(shù)之差時，只需根據(jù)題目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.
（2）對（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令f（x）＝（a＋bx）n，則（a＋bx）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f（1），偶次項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，奇次項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.
角度2 與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)有關(guān)的最值問題
例5 （1）[全國卷Ⅰ]設(shè)m為正整數(shù)，（x＋y）2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x＋y）2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝（ B ）
A.5B.6C.7D.8
解析 根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，知（x＋y）2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C2mm，而（x＋y）2m＋1展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C2m+1m，則C2mm＝a，C2m+1m＝b.又13a＝7b，所以13C2mm＝7C2m+1m，即13×（2m)!m！×m?。?×（2m+1)!（m+1)!×m！，解得m＝6.
（2）已知（x＋124x）n（n≥2）的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 7x52和7x74 .
解析 展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別是1，n2，18n（n－1），由題意知，2×n2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.
于是展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C8k·（x）8－k·（124x）k＝C8k·2－k·x4－34k，所以第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是C8k·2－k，第k項(xiàng)的系數(shù)是C8k－1·2－k＋1，第k＋2項(xiàng)的系數(shù)是C8k+1·2－k－1.若第k＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則C8k·2－k≥C8k－1·2－k＋1且C8k·2－k≥C8k+1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系數(shù)最大的項(xiàng)是T3＝C82·2－2·x4－34×2＝7x52和T4＝C83·2－3·x4－34×3＝7x74.
方法技巧
1.二項(xiàng)式系數(shù)最值的求法
當(dāng)n是偶數(shù)時，第n2＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cnn2；當(dāng)n是奇數(shù)時，第n+12項(xiàng)和第n+32項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為Cnn－12或Cnn+12.
2.項(xiàng)的系數(shù)最值的求法
設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，解不等式組Ak≥Ak－1，Ak≥Ak+1，求出k即可得結(jié)果.
訓(xùn)練2 （1）[多選]已知二項(xiàng)式（x－2x）8，則下列結(jié)論正確的是（ AB ）
A.第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
B.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1
C.有且僅有第6項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大
D.展開式中共有4項(xiàng)有理項(xiàng)
解析 由題意知，展開式中共有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，A正確；所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1－2）8＝1，B正確；Tr＋1＝C8rx8－r·（－2x）r＝（－2）rC8rx8－3r2，r＝0，1，2，…，8，顯然r＝0，2，4，6，8時，Tr＋1是有理項(xiàng)，所以共有5項(xiàng)有理項(xiàng)，D錯誤；由2rC8r≥2r+1C8r+1，2rC8r≥2r－1C8r－1，得18－r≥2r+1，2r≥19－r，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，C錯誤.故選AB.
（2）[2022浙江]已知多項(xiàng)式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝ 8 ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ －2 .
解析 由多項(xiàng)式展開式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
命題點(diǎn)3 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
例6 （1）利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是（ D ）
解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
（2）設(shè)a∈N，且0≤a＜26，若51 2 020＋a能被13整除，則a的值為（ D ）
A.0 B.11或0C.12D.12或25
解析 ∵512 020＋a＝（52－1）2 020＋a＝C2 0200522 020（－1）0＋C2 0201522 019（－1）1＋C2 0202522 018（－1）2＋…＋C2 0202 019521·（－1）2 019＋C2 0202 020（－1）2 020＋a，又52能被13整除，∴需使C2 0202 020（－1）2 020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故選D.
方法技巧
二項(xiàng)式定理應(yīng)用的常見題型及解題策略
訓(xùn)練3 （1）設(shè)復(fù)數(shù)x＝2i1－i（i是虛數(shù)單位），則C2 0241x＋C2 0242x2＋C2 0243x3＋…＋C2 0242 024x2 024=（ A ）
A.0B.－2 C.－1＋iD.－1－i
解析 x＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，則C2 0241x＋C2 0242x2＋C2 0243x3＋…＋C2 0242 024x2 024＝（1＋x）2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余數(shù)為 5 .
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，兩式相減得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，則2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，則C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余數(shù)為5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余數(shù)為5.
1.[命題點(diǎn)1角度1/2022天津高考]（x＋3x2）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 15 .
解析 （x＋3x2）5展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C5k（x）5－k（3x2）k＝3kC5kx5－5k2，令5－5k2＝0，得k＝1，所以常數(shù)項(xiàng)為3×C51＝15.
2.[命題點(diǎn)1角度2/全國卷Ⅲ]（1＋2x2）（1＋x）4的展開式中x3的系數(shù)為（ A ）
A.12B.16C.20D.24
解析 （1＋x）4的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C4r14－rxr（r＝0，1，2，3，4）.
（1＋2x2）（1＋x）4的展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)為1×（C43×11）＋2×（C41×13）＝12.故選A.
3.[命題點(diǎn)1角度3/2023湖南長沙第一中學(xué)段考]（x－2y＋z）8的展開式中x3y3z2的系數(shù)是 －4 480 （用數(shù)字作答）.
解析 （x－2y＋z）8可看成8個（x－2y＋z）相乘，在8個（x－2y＋z）中的3個式子中取x，3個式子中取－2y，剩下的2個式子中取z，則（x－2y＋z）8的展開式中x3y3z2的系數(shù)是C83×C53×（－2）3×C22＝－4 480.
4.[命題點(diǎn)2角度1/2022北京高考]若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝（ B ）
A.40B.41C.－40D.－41
解析 依題意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上兩式相
加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故選B.
5.[命題點(diǎn)3]今天是星期二，經(jīng)過7天后還是星期二，那么經(jīng)過22 021天后是（ D ）
A.星期三B.星期四
C.星期五D.星期六
解析 22 021＝4×22 019＝4×8673＝4×（7＋1）673＝4×（C6730×7673＋C6731×7672＋…＋C673672×7＋C673673），由于括號中，除了最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能被7整除，故整個式子除以7的余數(shù)為4C673673＝4，故經(jīng)過22 021天后是星期六，故選D.
6.[命題點(diǎn)3]已知－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是 －2 .
解析 記f（x）＝1－C1001（2－x）＋C1002（2－x）2－C1003（2－x）3＋…＋C100100（2－x）100－1＝[1－（2－x）]100－1＝（x－1）100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
7.[命題點(diǎn)3]0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（ B ）
解析 0.996＝（1－0.01）6＝C60×1－C61×0.01＋C62×0.012－C63×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
學(xué)生用書·練習(xí)幫P384
1.[2024河北保定部分示范高中統(tǒng)考]（9x＋8x）5的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為（ D ）
A.C52×92×83B.C54×9×84
C.C51×94×8D.C52×93×82
解析 （9x＋8x）5的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C5r（9x）5－r·（8x－12）r＝C5r·95－r·8r·x5－32r，0≤r≤5，r∈N，令5－32r＝2，得r＝2，所以展開式中含x2的項(xiàng)為T2＋1＝C52×93×82x2，其系數(shù)為C52×93×82.故選D.
2.[2024湖北武漢第四十九中模擬]（1＋x＋x2）（1－x）10的展開式中x5的系數(shù)為（ D ）
A.120B.135C.－140D.－162
解析 （1－x）10展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C10r（－x）r＝（－1）r·C10rxr.
令r＝5，則1×（1－x）10展開式中x5的系數(shù)為（－1）5C105＝－252；
令r＝4，則x（1－x）10展開式中x5的系數(shù)為（－1）4C104＝210；
令r＝3，則x2（1－x）10展開式中x5的系數(shù)為（－1）3C103＝－120.
∴（1＋x＋x2）（1－x）10的展開式中x5的系數(shù)為－252＋210－120＝－162.故選D.
3.[2024陜西寶雞金臺區(qū)統(tǒng)考]若（x－1x）n的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（ C ）
A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)
解析 由二項(xiàng)式定理可得展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cn2和Cn8，即Cn2＝Cn8，解得n＝10.因此展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C105x5（－1x）5，是第6項(xiàng)，故選C.
4.[2024山東青島一中統(tǒng)考]若（x＋mx）（x－1x）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，則m＝（ D ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 （x＋mx）（x－1x）5＝x（x－1x）5＋mx（x－1x）5.
（x－1x）5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C5rx5－r（－1x）r＝C5r·（－1）rx5－2r.令5－2r＝－1，解得r＝3，則x（x－1x）5的展開式的常數(shù)項(xiàng)為－C53＝－10，
令5－2r＝1，解得r＝2，則mx（x－1x）5的展開式的常數(shù)項(xiàng)為mC52＝10m.
因?yàn)椋▁＋mx）（x－1x）5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，所以10m－10＝10，解得m＝2，故選D.
5.[多選/2024青島市檢測]已知（2x－1x）n的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則（ ABD ）
A.n＝8
B.展開式中x－2的系數(shù)為－448
C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為16
D.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
解析 因?yàn)椋?x－1x）n的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，所以2n＝256，解得n＝8，選項(xiàng)A正確；
（2x－1x）8的展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C8k（2x）8－k·（－1x）k＝（－1）k28－kC8kx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展開式中x－2的系數(shù)為（－1）5×23×C85＝－448，所以選項(xiàng)B正確；
令8－2k＝0，解得k＝4，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為（－1）4×24×C84＝1 120，所以選項(xiàng)C錯誤；
令x＝1，得（2x－1x）8＝1，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，所以選項(xiàng)D正確.綜上，選ABD.
6.[多選/2024江蘇連云港統(tǒng)考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則下列選項(xiàng)正確的是（ AC ）
A.a0＝1
B.a2＝120
C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729
D.a1＋a2＋…＋a5＝0
解析
7.二項(xiàng)式（2x2－14x）6的展開式的中間項(xiàng)是 －52x3 .
解析 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C6k（2x2）6－k·（－14x）k＝（－14）k26－kC6kx12－3k，二項(xiàng)式展開式一共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為中間項(xiàng)，即k＝3，T4＝（－14）326－3·C63x12－3×3＝－52x3.
8.[2024吉林一中、東北師大附中等校聯(lián)考]（x2－x＋1）5的展開式中，x5的系數(shù)為 -51 .
解析 （x2－x＋1）5可以看作5個因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的項(xiàng)，可分三種情況：
①5個因式中選2個因式取x2，1個因式?。瓁，2個因式取1；
②5個因式中選1個因式取x2，3個因式?。瓁，1個因式取1；
③5個因式中都?。瓁.
所以展開式中含x5的項(xiàng)為C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55·（－x）5＝－51x5，
所以x5的系數(shù)為－51.
9.[2023湖北十堰6月統(tǒng)考]（2x＋11）10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第 10 項(xiàng).
解析 （2x＋11）10展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C10r·（2x）10－r11r＝C10r·210－r·11r·x10－r，由C10r·210－r·11r≥C10r－1·211－r·11r－1，C10r·210－r·11r≥C10r+1·29－r·11r+1，得10813≤r≤12113，因?yàn)閞∈N，所以r＝9，故系數(shù)最大的項(xiàng)是第10項(xiàng).
10. S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余數(shù)為 7 .
解析 依題意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整數(shù)，∴S被9除的余數(shù)為7.
11.[開放題]寫出一個正整數(shù)n，使得（1x2＋x）n的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n可以是 5（答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可） .
解析 二項(xiàng)式（1x2＋x）n的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cnr·（1x2）n－r·（x）r＝Cnr·x5r－4n2，若該展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4.
12.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8，則a3＝ －56 .
解析 令x＋1＝t，則x＝t－1，所以x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8可轉(zhuǎn)化為（t－1）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，即（1－t）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，所以a3＝－C83＝－56.
13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展開式中x2的系數(shù)是（ D ）
A.60B.80
C.84D.120
解析 因?yàn)椋?＋x）n的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cnrxr，所以（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展開式中x2的系數(shù)是C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92＝C43＋C42＋…＋C92＝C53＋C52＋…＋C92＝…＝C93＋C92＝C103＝10×9×83×2×1＝120（組合數(shù)性質(zhì)Cn+1m＝Cnm＋Cnm－1，n，m∈N*，且m≤n的應(yīng)用）.
14.[多選/2024湖南師范大學(xué)附中模擬]已知（ax＋1x2）10（a＞0）的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1 024，則展開式中（ BCD ）
A.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256
B.第6項(xiàng)的系數(shù)最大
C.存在常數(shù)項(xiàng)
D.有理項(xiàng)共有6項(xiàng)
解析 令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，則a＝1或a＝－3（舍去）.∴（x＋1x2）10的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C10r（x）10－r·（1x2）r＝C10rx5－52r.
15.（1－x）6（1＋x）4的展開式中x的系數(shù)是 －3 .
解析 解法一 （1－x）6的展開式的通項(xiàng)為C6m（－x）m＝C6m（－1）mxm2，1+x4的展開式的通項(xiàng)為C4n（x）n＝C4nxn2，
則（1－x）6（1＋x）4的展開式的通項(xiàng)為C6m（－1）mC4nxm2＋n2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，
于是（1－x）6（1＋x）4的展開式中x的系數(shù)等于C60·（－1）0·C42＋C61·（－1）1·C41＋C62·（－1）2·C40＝－3.
解法二 （1－x）6（1＋x）4＝[（1－x）（1＋x）]4（1－x）2＝（1－x）4（1－2x＋x），于是（1－x）6（1＋x）4的展開式中x的系數(shù)為C40·1＋C41·（－1）1·1＝－3.
16.[2023成都模擬]（5－3x＋2y）n展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 15 625 .
解析 （5－3x＋2y）n展開式中不含y的項(xiàng)，即展開式中y的指數(shù)為0，即（5－3x）n的展開式，再令x＝1，得（5－3x＋2y）n展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為（5－3）n＝64，
∴n＝6，由（5－3x＋2y）6＝[5－（3x－2y）]6，得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C60×56＝15 625.
17.[數(shù)學(xué)文化]“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)了一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望.如圖，由“楊輝三角”，下列敘述正確的是（ D ）
楊輝三角
第0行 1
第1行 1 1
第2行1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
? ?
A.C32＋C42＋C52＋…＋C92＝120
B.第2 023行中從左往右第1 013個數(shù)與第1 014個數(shù)相等
C.記第n行的第i個數(shù)為ai，則∑i=1n+12i－1ai＝4n
D.第20行中第8個數(shù)與第9個數(shù)之比為8∶13
解析 根據(jù)題意，由“楊輝三角”可得，第n行的第r個數(shù)為Cnr－1，由此分析選項(xiàng).
18.[綜合創(chuàng)新/多選]設(shè)k∈R且k≠0，n≥2，n∈N*，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則（ BC ）
A.∑i=0nai＝2n
B.∑i=1nai＝（1＋k）n－1
C.∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1
D.∑i=2ni2ai＝2n（n－1）k2（1＋k）n－2
解析 對于A，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝1，得∑i=0nai＝（1＋k）n，故A錯誤；
對于B，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝0得a0＝1，所以∑i=1nai＝（1＋k）n－1，故B正確；
對于C，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn兩邊同時求導(dǎo)，得nk（1＋kx）n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1 （*），
令x＝1得∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1，故C正確；
對于D，（*）式兩邊同時求導(dǎo)得nk2（n－1）（1＋kx）n－2＝2a2＋6a3x＋…＋n（n－1）anxn－2，
令x＝1，得∑i=2ni（i－1）ai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2，所以∑i=2ni2ai＝∑i=2ni（i－1）ai＋∑i=2niai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2＋nk（1＋k）n－1－a1＝nk（nk＋1）（1＋k）n－2－k，（由對B的分析得a1＝k）
故D不正確.綜上所述，故選BC.課標(biāo)要求
命題點(diǎn)
五年考情
命題分析預(yù)測
能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.
展開式中的特定項(xiàng)問題
2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全國卷ⅠT8；2020全國卷ⅢT14；2020北京T3；2019全國卷ⅢT4
本講是高考?？純?nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求常數(shù)項(xiàng)，求某項(xiàng)系數(shù)，求某些項(xiàng)的系數(shù)和等，主要以小題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考命題常規(guī)，備考時要掌握各種問題類型及其求解方法.
二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題
2022北京T8；2022浙江T12
二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
二項(xiàng)式定理
（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn，n∈N*.
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)
Tk＋1＝① Cnkan－kbk ，即為二項(xiàng)展開式的第 k＋1項(xiàng).
二項(xiàng)式系數(shù)
Cnk（k∈{0，1，2，…，n}）.
因式分解法
通過分解因式將三項(xiàng)式變成兩個二項(xiàng)式的積的形式，然后用二項(xiàng)式定理分別展開.
逐層展開法
將三項(xiàng)式分成兩組，用二項(xiàng)式定理展開，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開，從而解決問題.
利用組合知識
把三項(xiàng)式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n個a＋b＋c的積，然后利用組合知識求解.
題型
解題策略
近似計(jì)算
先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng)求解.
證明整除問
題或求余數(shù)
將被除式（數(shù)）合理的變形，拆成二項(xiàng)式，使被除式（數(shù)）展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式.
逆用二項(xiàng)
式定理
根據(jù)所給式子的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)展開式的要求，變形使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定理求解.
選項(xiàng)
分析過程
正誤
A
令x＝0，則1＝a0
√
B
（1－2x）6展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C6r（－2x）r＝C6r·（－2）rxr，所以令r＝2可得a2＝C62（－2）2＝60
?
C
當(dāng)r＝1，3，5時，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729
√
D
令r＝6，可得a6＝C66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，則1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝－64
?
選項(xiàng)
分析過程
正誤
A
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為12（C100＋C101＋…＋C1010）＝12×210＝512
?
B
由題意知展開式共11項(xiàng)，故第6項(xiàng)的系數(shù)最大
√
C
令5－52r＝0，解得r＝2，故存在常數(shù)項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為第3項(xiàng)
√
D
當(dāng)r＝0，2，4，6，8，10時，為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)共有6項(xiàng)
√
選項(xiàng)
分析過程
正誤
A
C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92－1=C103－1＝119
?
B
第2 023行中從左往右第1 013個數(shù)為C2 0231 012，第1 014個數(shù)為C2 0231 013，兩者不相等
?
C
記第n行的第i個數(shù)為ai，則ai＝Cni－1，
則∑i=1n+12i－1×ai＝∑i=1n+12i－1Cni－1×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n
?
D
第20行中第8個數(shù)為C207，第9個數(shù)為C208，則兩個數(shù)的比為C207∶C208＝20！7！×13！∶20！8！×12?。?∶13
√

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專題13 計(jì)數(shù)原理與概率（亮點(diǎn)講）

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