一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
又，故，
故選：B．
2. 已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，
則恒成立，即，
而，得．
故“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的必要不充分條件．
故選：B．
3. 已知是單位向量，，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故．
，設(shè)與的夾角為，
則，又，故，
故選：A．
4. 艷陽高照的夏天，“小神童”是孩子們喜愛的冰淇淋之一．一個“小神童”近似為一個圓錐，若該圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則底面圓的面積為，
側(cè)面面積為，由題意知，
所以，解得，
因此該圓錐的高，
故該圓錐的體積．
故選：C．
5. 已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項和分別為，滿足，則（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】A
【解析】因為數(shù)列均為等差數(shù)列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故選：A．
6. 已知雙曲線：，圓與圓的公共弦所在的直線是的一條漸近線，則的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因為，，
所以兩圓方程相減可得，
由題意知的一條漸近線為，即，
雙曲線的離心率．
故選：C．
7. 已知，則m，n的關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依題意，，，
則，
即，即.
故選：D.
8. 已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個人射擊相互獨立，若每人各射擊一次，則在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)甲、乙、丙三人射擊一次命中分別為事件，
每人各射擊一次，在三人中恰有兩人命中為事件，
則，
，
則.
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，B. 當(dāng)時，
C. 對任意，點均在第一象限D(zhuǎn). 存在，使得點在第二象限
【答案】AC
【解析】當(dāng)時，，故，故選項正確；
，B選項錯誤；
當(dāng)時，，，
故對任意，點均在第一象限，故C選項正確；
不存在，使得點在第二象限，D選項錯誤．
故選：AC．
10. 已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 過點能作兩條不同直線與相切
D. 函數(shù)有5個零點
【答案】AD
【解析】對于A中，由函數(shù)，可得，
因為 是函數(shù)的一個極值點，可得，
解得，經(jīng)檢驗適合題意，所以A正確；
對于B中，由，令，解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯誤；
對于C中，設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，
則該切線方程為，
由于切點滿足直線方程，則，
整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯誤；
對于D中，令，則的根有三個，如圖所示，，
所以方程有3個不同根，方程和均有1個根，
故有5個零點，所以D正確．
故選：AD．
11. 已知在正方體中，，點為的中點，點為正方形內(nèi)一點（包含邊界），且平面，球為正方體的內(nèi)切球，下列說法正確的是（ ）
A. 球的體積為
B. 點的軌跡長度為
C. 異面直線與BP所成角的余弦值取值范圍為
D. 三棱錐外接球與球內(nèi)切
【答案】ACD
【解析】由題意知球的半徑為1，故其體積為，故A選項正確；
取的中點為，
連結(jié)，易知，平面，平面，
故平面，
連接MN，，即四邊形為平行四邊形，
則，平面，平面，所以平面．
又因為，平面，
故平面平面，平面平面，
結(jié)合平面，
故點的軌跡為線段，故B選項錯誤；
因為，故異面直線與BP所成角等于或其補角，
當(dāng)P位于N點時，得取得最小，;
當(dāng)P位于點時，取得最大，，故選項正確；
由正方體幾何性質(zhì)易知，
故BM為三棱錐外接球的直徑，取為BM的中點，
即為三棱錐外接球的球心，由題意知為的中點，
故，
因為球的半徑為，球的半徑為，
故三棱錐外接球與球內(nèi)切，D正確
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】由題意，多項式展開式中含有的項為：
，
所以的系數(shù)為．
13. 已知是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間內(nèi)恰好存在3個對稱中心，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】由題意知是函數(shù)的一條對稱軸，
故，解得，，因為，故，
故，令，解得，
原點附近的6個對稱中心分別為，
若3個對稱中心恰好是，
則，則t不存在，不合題意；
若3個對稱中心恰好是，
則，則；
故當(dāng)時，符合題意．
故t的取值范圍為.
14. 已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為6，點，直線與交于A，B兩點，且為AB中點，則的周長為______．
【答案】
【解析】由題意知，
設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為，
兩式相減得，
由題意為AB中點，
則，代入整理得．
即由題意知，
因此，所以，
由焦距為6，解得．
由橢圓定義知的周長為．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 某企業(yè)為調(diào)研旗下公司職工對加班宵夜的滿意度情況，在該企業(yè)旗下一個某地子公司進行小范圍調(diào)研試驗，該試驗從該小公司隨機抽取50名男職工、30名女職工進行調(diào)研得到如下列聯(lián)表：
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值獨立性檢驗，分析該子公司職工對加班宵夜的滿意度是否與性別有關(guān)；
（2）若該企業(yè)有員工10000人，本次調(diào)研情況近似作為企業(yè)整體職工情況，頻率近似概率．若該企業(yè)為加班宵夜?jié)M意的員工分發(fā)20元的打車補助，給不滿意的員工分發(fā)30元的打車補助，求企業(yè)本次發(fā)放總費用數(shù)學(xué)期望．
附：
解：（1）零假設(shè)為：滿意度與性別無關(guān)．
經(jīng)計算得，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為滿意度與性別有關(guān)，
此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；
（2）根據(jù)題意，全企業(yè)職工每人滿意概率為，
設(shè)滿意的人數(shù)為，則不滿意的為，
由題意知，
，
則
16. 如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
（1）證明：在平行四邊形中，因為，
所以四邊形為菱形，故，
又因為，故為等邊三角形，故．
在中，，,
所以，故
又因為，平面，
所以平面，
因為平面，因此．
又因為，平面，
所以平面；
（2）解：取的中點，連結(jié)BM，因為為等邊三角形，
所以，
因為∥，所以，
因為平面，平面，
所以，
故兩兩垂直，
所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則， 令，得；
設(shè)平面的法向量為，
則, 令，得．
設(shè)平面與平面所成角為，
則．
17. 已知數(shù)列滿足：．
（1）請寫出的值，給出一個你的猜想，并證明；
（2）設(shè)，求數(shù)列前項和．
解：（1）因為，可得，，，
因此猜想是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；
下面證明：
因為，即，
又因為，故是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
累加得，
所以，
當(dāng)時，滿足題意，所以對成立；
故，可得
其中，
設(shè)，則，
兩式相減得，即，
綜上可得，數(shù)列的前項和．
18. 已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請利用該定理解決下面問題：
若，求證：．
（1）解：，令，解得，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增．
當(dāng)時，取得最小值1，無最大值；
（2）證明：要證，
只需證，因為，
故只需證．
令，顯然在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上單調(diào)遞增，
因為，故，即，
故只需證即可，因為，故只需證．
由（1）知恒成立，因此原命題得證．
19. 已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線與交于，兩點．直線，與相切，切點分別為，，，與軸的交點分別為，兩點，且．
（1）求的方程；
（2）若點為上一動點（與，及坐標(biāo)原點均不重合），直線與相切，切點為，與，的交點分別為，．記，的面積分別為，．
①請問：以，為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由；
②證明：為定值．
（1）解：設(shè)，，，聯(lián)立，
消去得，顯然，所以，．
由，，故的方程為，
令得，解得，即，
同理，則．
由，知，
由，得，解得或（舍去），
故的方程為；
（2）①解：由（1）不妨設(shè)，由，
解得，，
所以，．
設(shè)，則．
聯(lián)立，解得，所以，
同理，
以、為直徑的圓的方程為，
整理得，
令，解得或，
故該圓恒過兩個點．
②證明：由于，，，，， 所以，
，
，，
直線的斜率為，顯然直線與垂直，故為直角三角形，
同理也是直角三角形，
故，，故（或）．
性別
滿意情況
合計
滿意
不滿意
男職工
25
25
50
女職工
25
5
30
合計
50
30
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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