一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，故.
故選：B.
2. 已知為虛數(shù)單位，且，則（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由題意知，，即，
所以，所以.
故選：D.
3. 已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A αβ，mα，則mβ
B. m?α，n?α，mβ，nβ，則αβ
C. m⊥n，m⊥α，nβ，則α⊥β
D. m⊥α，mn，αβ，則n⊥β
【答案】D
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，αβ，mα，則mβ或m?β，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng)，m?α，n?α，mβ，nβ，則αβ或α和β相交，只有加上條件m與n相交時(shí)，才有結(jié)論αβ，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，m⊥n，m⊥α，nβ，則αβ或α與β相交，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，m⊥α，mn，則n⊥α，又αβ，則n⊥β，所以D選項(xiàng)正確.
故選：D.
4. 若是奇函數(shù)，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】令根據(jù)題意得：，
解得：，；
故選：A.
5. 已知銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后，交以原點(diǎn)為圓心的單位圓于點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意得角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)所得角為，
為銳角，故，且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
則在第二象限，則，
故，
則
，
故選：D.
6. 已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，即?br>又，單位向量，則，，
所以向量在向量方向的投影向量為.
故選：C.
7. 保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長(zhǎng)26公里．府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道．府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標(biāo)志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式為，當(dāng)其中參數(shù)時(shí)，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)，類似的有雙曲正弦函數(shù)．若設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意，，
函數(shù)定義域R，為增函數(shù)，
由，則函數(shù)為奇函數(shù)，
由，即
所以，解得，
所以x的取值范圍為.
故選：A.
8. 在橢圓（）中，，分別是左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），為內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】橢圓（）中，，分別是左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），
為內(nèi)切圓圓心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
則，，
由，得，即，
∴橢圓的離心率為.
故選：B.
二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 從50個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為20的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為0.4
B. 數(shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15
C. 數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7
D. 對(duì)于隨機(jī)事件與，若，，則事件與獨(dú)立
【答案】ACD
【解析】選項(xiàng)A：根據(jù)古典概型，,選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)B：根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)概念，眾數(shù)是19，從小到大排列，中位數(shù)是16，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：根據(jù)百分位數(shù)概念，，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7.選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D： ,即，選項(xiàng)正確；
故選：ACD
10. 先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最后把所得圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 最小正周期為B. 在上單調(diào)遞增
C. 時(shí)D. 其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
【答案】AB
【解析】將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，
再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
最后把所得圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到.
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，
，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 已知曲線：，則以下說法正確的是（ ）
A. 若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
B. 若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則其短軸長(zhǎng)取值范圍是
C. 曲線為橢圓時(shí)，離心率為
D. 若曲線為雙曲線，則漸近線方程為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A：由于為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，，
所以，即，故A正確；
對(duì)于B：曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則由A可知，
又因?yàn)椋瑒t，即
則短軸長(zhǎng)取值范圍是，故B正確；
對(duì)于C：若為橢圓時(shí)，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上，離心率為，
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)，，離心率為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若曲線為雙曲線，則,
令，則，
雙曲線漸近線方程為：，故D正確.
故選：ABD.
12. 《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在四面體中，是直角三角形，為直角，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，且，，，，則（ ）
A. 平面
B. 四面體是鱉臑
C. 是四面體外接球球心
D. 過A、、三點(diǎn)的平面截四面體的外接球，則截面的面積是
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
又，平面，，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又平面，
所以平面，A正確；
因?yàn)槠矫?，所以，為直角三角形?br>由勾股定理得，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，?br>所以為直角三角形，所以四面體是鱉臑，B正確；
由上知，，所以，故不可能為四面體外接球球心，C錯(cuò)誤；
記的中點(diǎn)為O，由上知，和都是以為斜邊的直角三角形，
所以，，即O為四面體外接球球心，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以四邊形為平行四邊形，故，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
記點(diǎn)O到平面的距離為d，則，得，
所以的外接圓半徑，
所以，過A、、三點(diǎn)的平面截四面體的外接球的截面的面積為，D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為______．
【答案】（或?qū)憺椋?br>【解析】因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在圓上，直線的斜率為，
由圓的幾何性質(zhì)可知，，則直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故.
即直線的傾斜角為（或）.
14. 保定某中學(xué)舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復(fù)被抽?。?，則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為______．
【答案】
【解析】利用分步乘法原理計(jì)算出一共有25種結(jié)果，其中兩個(gè)班抽到不同歌曲的個(gè)數(shù)為20種，則根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算：.
15. 等差數(shù)列前13項(xiàng)和為91，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則______．
【答案】13
【解析】由題知，，解得，
所以，
所以.
16. 已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則的最大值為______．
【答案】
【解析】令，則原不等式可化為對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
即恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楹愠闪?，所以?br>所以，所以，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 的內(nèi)角A，，C所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的角平分線交于點(diǎn)，，，求．
解：（1）由及正弦定理，
可得．
因?yàn)椋?br>所以．
又，所以，則，
又，所以．
（2）∵為的平分線，，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，，
又∵，在中，由余弦定理，，
,∴，
又∵，∴，
又∵，∴在中，，
∴．
18. 在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，將菱形沿折起，使，為線段中點(diǎn)．
（1）求大小；
（2）求直線與平面所成角的大?。?br>解：（1）依題意，都是邊長(zhǎng)為的正方形，且，
由為中點(diǎn)，得，，
而平面，則平面，
又平面，于是平面平面，顯然平面平面，
在平面內(nèi)過作于，則平面，在平面內(nèi)過作，
則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，
則，而分別為的中點(diǎn)，
則，，
于是，即有，所以.
（2）由（1）知，，，，
設(shè)平面法向量為，則，即，
令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，
則，而，因此，
所以直線與平面所成角的大小為.
19. 在正項(xiàng)數(shù)列中，，且．
（1）求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
證明：（1）由題知正項(xiàng)數(shù)列，且，
所以有，
兩式相除得，即，
兩邊取對(duì)數(shù)有，即，
所以，所以，
結(jié)合，所以，
即數(shù)列是常數(shù)列，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
故，
又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，
即，得證.
20. 已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，若的面積為1，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線切點(diǎn)分別為，．
（1）求的值及直線的方程；
（2）點(diǎn)是拋物線弧上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與，分別交于點(diǎn)，，證明：．
（1）解：，
所以即拋物線方程為：，.
方法1：：，，
設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為
切線方程為，此切線過
解得，或，得兩切點(diǎn)坐標(biāo)，．
所以直線方程為.
方法2：設(shè)，，在拋物線上，
所以，，
切線方程分別為：
又因?yàn)閮汕芯€相交于,
所以，即，均在直線上，
即．
（2）證明：方法1：設(shè)切點(diǎn)（），
可得過點(diǎn)切線：，化簡(jiǎn)得，
由第一問知，點(diǎn)，可得直線方程為，
聯(lián)立解得點(diǎn)橫坐標(biāo)，
同理由，坐標(biāo)可得直線方程，可得點(diǎn)橫坐標(biāo).
，結(jié)論得證.
方法2：相減：，
，過的切線，交：，
得，同理，
，
.
所以.
21. 杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素．本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國(guó)人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情．某體能訓(xùn)練營(yíng)為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來到一處訓(xùn)練場(chǎng)地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失敗；到達(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階．記隊(duì)員到達(dá)第步臺(tái)階的概率為（），記．
（1）投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第階，求的分布列；
（2）①求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；
②求隊(duì)員贏得吉祥物的概率．
（1）解：由題意得每輪游戲爬一步臺(tái)階的概率為，爬兩步臺(tái)階的概率為，
所以隨機(jī)變量可能取值為4，5，6，7，8，
可得，，
，，
，
所以的分布列：
（2）（?。┳C明：，即爬一步臺(tái)階，是第1次擲骰子，
向上點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)概率，則，
到達(dá)第步臺(tái)階有兩種情況：
①前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺(tái)階，其概率為，
②前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺(tái)階，其概率為，
所以（），
則（），
所以數(shù)列（）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（ⅱ）解：因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，
所以（），
所以活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為
．
22. 已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），當(dāng)時(shí)，證明：．
（1）解：得（），即（），
設(shè)（），則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
所以，
所以，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故的取值范圍是．
（2）證明：因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，
則，，
設(shè)，令（），即，
，聯(lián)立，得，
解得，，
要證即證，
即，
即（*），
令，，
求導(dǎo)化簡(jiǎn)可得，
由，可知，即，所以函數(shù)在上遞增．
得到，即（*）式成立，所以原不等式成立．4
5
6
7
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