第4講　圓周運(yùn)動(dòng)　天體的運(yùn)動(dòng)
1.命題角度：(1)圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析；(2)萬(wàn)有引力定律、天體的運(yùn)動(dòng).2.常用方法：模型法.3.?？碱}型：選擇題；在計(jì)算題中，圓周運(yùn)動(dòng)常與能量觀點(diǎn)綜合運(yùn)用.
1.解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路
分析物體受力情況，畫(huà)出受力示意圖，確定向心力來(lái)源
利用平行四邊形定則、正交分解法等表示出徑向合力
根據(jù)牛頓第二定律及向心力公式列方程
2.圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況(1)接觸面滑動(dòng)臨界：摩擦力達(dá)到最大值.(2)接觸面分離臨界：FN＝0.(3)繩恰好繃緊：FT＝0；繩恰好斷裂：FT達(dá)到繩子最大承受拉力.
3.常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)及臨界條件(1)水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
(2)豎直面及傾斜面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
例1　(2022·全國(guó)甲卷·14)北京2022年冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)局部示意圖如圖所示.運(yùn)動(dòng)員從a處由靜止自由滑下，到b處起跳，c點(diǎn)為a、b之間的最低點(diǎn)，a、c兩處的高度差為h.要求運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)對(duì)滑雪板的壓力不大于自身所受重力的k倍，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)并忽略所有阻力，則c點(diǎn)處這一段圓弧雪道的半徑不應(yīng)小于
例2　(多選)(2022·山東省名校聯(lián)盟高三期末)如圖所示，足夠大的平臺(tái)上放一個(gè)質(zhì)量為m的物塊(視為質(zhì)點(diǎn))，輕質(zhì)橡皮筋一端與物塊連接，另一端系在豎直轉(zhuǎn)軸上距平臺(tái)高度為h的A點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)橡皮筋伸直但無(wú)彈力且與平臺(tái)的
夾角為37°.現(xiàn)使物塊隨平臺(tái)由靜止開(kāi)始緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)橡皮筋與平臺(tái)的夾角為30°時(shí)，物塊恰好要離開(kāi)平臺(tái).物塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，重力加速度大小為g，取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，橡皮筋的彈力始終遵循胡克定律，且彈性勢(shì)能Ep＝ kx2(其中k為橡皮筋的勁度系數(shù)，x為橡皮筋的形變量).下列說(shuō)法正確的是
設(shè)物塊恰好相對(duì)平臺(tái)靜止時(shí)，平臺(tái)的角速度為ω1，物塊速度大小為v1，
由題意可知，物塊恰好要離開(kāi)平臺(tái)時(shí)，平臺(tái)對(duì)物塊支持力為零，
當(dāng)物塊恰好離開(kāi)平臺(tái)時(shí)，設(shè)物塊速度大小為v2，
例3　(2018·全國(guó)卷Ⅲ·25)如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點(diǎn)相切，BC為圓弧軌道的直徑，O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，sin α＝ .一質(zhì)量為m的小球沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道通過(guò)C點(diǎn)，落至水平軌道；在整個(gè)過(guò)程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用.已知小球在C點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此時(shí)小球?qū)壍赖膲毫η『脼榱?重力加速度大小為g.求：(1)水平恒力的大小和小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大?。?br/>設(shè)水平恒力的大小為F0，小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)所受合力的大小為F.則有
F2＝(mg)2＋F02 ②
由①②③式和題給數(shù)據(jù)得
(2)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)動(dòng)量的大小；
設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)的速度大小為v1，作CD⊥PA，交PA于D點(diǎn)，由幾何關(guān)系得DA＝Rsin α ⑥CD＝R(1＋cs α) ⑦小球從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理有
由④⑤⑥⑦⑧式和題給數(shù)據(jù)得，小球在A點(diǎn)的動(dòng)量大小為p＝mv1＝
(3)小球從C點(diǎn)落至水平軌道所用的時(shí)間.
小球離開(kāi)C點(diǎn)后在豎直方向上做初速度不為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為g.設(shè)小球在豎直方向的初速度為v豎直，從C點(diǎn)落至水平軌道上所用時(shí)間為t.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
v豎直＝vsin α ?
由⑤⑦⑩?式和題給數(shù)據(jù)得
1.衛(wèi)星的發(fā)射、運(yùn)行及變軌
越高越慢，只有T與r變化一致
2.天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
例4　(2022·河北邢臺(tái)市高三期末)2021年11月23日，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征四號(hào)”丙遙三十七運(yùn)載火箭成功發(fā)射“高分三號(hào)”02星.該衛(wèi)星的成功發(fā)射將進(jìn)一步提升我國(guó)衛(wèi)星海陸觀測(cè)能力、服務(wù)海洋強(qiáng)國(guó)建設(shè)和支撐“一帶一路”倡議.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，線速度大小為v，引力常量為G，則地球的質(zhì)量為
例5　(2021·河北卷·4)“祝融號(hào)”火星車登陸火星之前，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個(gè)火星日，假設(shè)某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個(gè)火星日，已知一個(gè)火星日的時(shí)長(zhǎng)約為一個(gè)地球日，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的0.1倍，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑的比值約為
例6　(2022·山東濰坊市一模)“祝融”火星車由著陸平臺(tái)搭載著陸火星，如圖所示為著陸后火星車與著陸平臺(tái)分離后的“自拍”合影.著陸火星的最后一段過(guò)程為豎直方向的減速運(yùn)動(dòng)，且已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的 ，火星直徑約為地球直徑的 .則A.該減速過(guò)程火星車處于失重狀態(tài)B.該減速過(guò)程火星車對(duì)平臺(tái)的壓力大于平臺(tái)對(duì) 火星車的支持力C.火星車在火星表面所受重力約為其在地球表面所受重力的D.火星的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比約為1∶5
著陸火星的最后一段過(guò)程為豎直方向的減速運(yùn)動(dòng)，在靠近火星表面時(shí)，火星車處于超重狀態(tài)，A錯(cuò)誤；
減速過(guò)程火星車對(duì)平臺(tái)的壓力與平臺(tái)對(duì)火星車的支持力是一對(duì)相互作用力，大小相等，方向相反，B錯(cuò)誤；
例7　(2022·浙江省名校協(xié)作體模擬)北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，神舟十三號(hào)載人飛船順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入空間站.飛船的某段運(yùn)動(dòng)可近似看作如圖所示的情境，圓形軌道Ⅰ為空間站運(yùn)行軌道，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為r，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，橢圓軌道Ⅱ?yàn)檩d人飛船運(yùn)行軌道，兩軌道相切于A點(diǎn)，橢圓軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸為a，已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是A.載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ，需要在A點(diǎn)減速B.根據(jù)題中信息，可求出地球的質(zhì)量M＝C.載人飛船在軌道Ⅰ上的機(jī)械能小于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能D.空間站在圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期與載人飛船在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期之比 為
載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ，要做離心運(yùn)動(dòng)，需要在A點(diǎn)點(diǎn)火加速，故機(jī)械能增加，A、C錯(cuò)誤；設(shè)空間站軌道的周期為T1，
題中T為地球自轉(zhuǎn)的周期，并非在軌道Ⅰ上的周期，不能利用該數(shù)據(jù)計(jì)算地球質(zhì)量，B錯(cuò)誤；
1.(2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直中心軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)中央處.質(zhì)量為m的小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g.此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為
當(dāng)小物塊受到的摩擦力是0時(shí)，設(shè)小物塊隨陶罐轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，此時(shí)由小物塊的重力與陶罐對(duì)它的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律有mgtan θ＝mω2Rsin θ，解得
2.(多選)(2022·山西省高三聯(lián)考)如圖所示為發(fā)射某衛(wèi)星的情景圖，該衛(wèi)星發(fā)射后，先在橢圓軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅰ的近地點(diǎn)A的加速度大小為a0，線速度大小為v0，A點(diǎn)到地心的距離為R，遠(yuǎn)地點(diǎn)B到地心的距離為3R，衛(wèi)星在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B變軌進(jìn)入圓軌道Ⅱ，衛(wèi)星質(zhì)量為m，則下列判斷正確的是A.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)行的加速度大小為B.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)行的線速度大小為C.衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)行周期為在軌道Ⅰ上運(yùn)行周期的D.衛(wèi)星從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ，發(fā)動(dòng)機(jī)需要做的功為
設(shè)衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的線速度大小為v1，
設(shè)衛(wèi)星在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)的線速度大小為v，
衛(wèi)星從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ，
3.(2022·安徽馬鞍山市質(zhì)檢)質(zhì)量均為m的兩個(gè)星球A和B，相距為L(zhǎng)，它們圍繞著連線中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).觀測(cè)到兩星球的運(yùn)行周期T小于按照雙星模型計(jì)算出的周期T0，且 ＝k.于是有人猜想在A、B連線的中點(diǎn)有一未知天體C，假如猜想正確，則C的質(zhì)量為
1.(多選)(2022·河北保定市高三期末)如圖所示，質(zhì)量為m的小明(視為質(zhì)點(diǎn))坐摩天輪.小明乘坐的車廂與摩天輪的轉(zhuǎn)軸間的距離為r，摩天輪以大小為 (常數(shù)k

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