1．（4分）8的相反數(shù)是
A．B．8C．D．
2．（4分）四個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從正面得到的視圖是
A．B．C．D．
3．（4分）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是
A．B．C．D．
4．（4分）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是
A．B．C．D．
5．（4分）如圖，，，若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)在
A．7和8之間B．8和9之間C．9和10之間D．10和11之間
7．（4分）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是
A．39B．44C．49D．54
8．（4分）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接，．若，，，則的長(zhǎng)度是
A．3B．C．D．6
9．（4分）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于
A．B．C．D．
10．（4分）在多項(xiàng)式（其中中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：，，．下列說法：
①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；
②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；
③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．
其中正確的個(gè)數(shù)是
A．0B．1C．2D．3
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11．（4分）計(jì)算： ．
12．（4分）如圖，正五邊形中，連接，那么的度數(shù)為 ．
13．（4分）一個(gè)口袋中有1個(gè)紅色球，有1個(gè)白色球，有1個(gè)藍(lán)色球，這些球除顏色外都相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，搖勻后再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率是 ．
14．（4分）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)，設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為 ．
15．（4分）如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)度為 ．
16．（4分）如圖，是矩形的外接圓，若，，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留
17．（4分）若關(guān)于的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是 ．
18．（4分）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，，是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，，不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為 ；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是 ．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
20．（10分）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（只保留作圖痕跡）
已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)．求證：．
證明：四邊形是平行四邊形，
．
．
垂直平分，
．
又 ，
．
．
小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：
過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線 ．
21．（10分）為了解、兩款品質(zhì)相近的智能玩具飛機(jī)在一次充滿電后運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間，有關(guān)人員分別隨機(jī)調(diào)查了、兩款智能玩具飛機(jī)各10架，記錄下它們運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間（分鐘），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間用表示，共分為三組：合格，中等，優(yōu)等，下面給出了部分信息：
款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間屬于中等的數(shù)據(jù)是：70，71，72，72，73．
兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中 ， ， ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）若某玩具倉(cāng)庫(kù)有款智能玩具飛機(jī)200架、款智能玩具飛機(jī)120架，估計(jì)兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的共有多少架？
22．（10分）某公司不定期為員工購(gòu)買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
（1）該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、20元，求購(gòu)買兩種食品各多少份？
（2）由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購(gòu)買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購(gòu)買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多，每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)買牛肉面多少份？
23．（10分）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿折線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿折線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)，的距離為．
（1）請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點(diǎn)，相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的值．
24．（10分）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖：①；②．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方10千米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方14千米處，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正南方，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，
（1）求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1千米）
（2）由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）中周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
26．（10分）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)；
（2）如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：；
（3）在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．
2023年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1．（4分）8的相反數(shù)是
A．B．8C．D．
【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．
【解答】解：8的相反數(shù)是．
故選：．
2．（4分）四個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從正面得到的視圖是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看，底層是兩個(gè)小正方形，上層的右邊是一個(gè)小正方形，
故選：．
3．（4分）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：反比例函數(shù)，
，
、，此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不合題意；
、，此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不合題意；
、，此點(diǎn)在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)符合題意；
、，此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：．
4．（4分）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，求解即可．
【解答】解：兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為，
這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為，
故選：．
5．（4分）如圖，，，若，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以求得，然后根據(jù)的度數(shù)和，即可得到的度數(shù)．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故選：．
6．（4分）估計(jì)的值應(yīng)在
A．7和8之間B．8和9之間C．9和10之間D．10和11之間
【分析】化簡(jiǎn)題干中的式子得到，計(jì)算出．利用不等式的性質(zhì)，得出式子的值所在的范圍．
【解答】解：原式．
，
，
，
．
故選：．
7．（4分）用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是
A．39B．44C．49D．54
【分析】根據(jù)圖形可以寫出前幾個(gè)圖案需要的小木棒的數(shù)量，即可發(fā)現(xiàn)小木棒數(shù)量的變化規(guī)律，從而可以解答本題．
【解答】解：由圖可得，圖案①有：根小木棒，
圖案②有：根小木棒，
圖案③有：根小木棒，
，
第個(gè)圖案有：根小木棒，
第⑧個(gè)圖案有：根小木棒，
故選：．
8．（4分）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接，．若，，，則的長(zhǎng)度是
A．3B．C．D．6
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接，
是的切線，
，
，
，，
，
，
，
故選：．
9．（4分）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，易證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步根據(jù)求解即可．
【解答】解：在正方形中，，，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，如圖所示：
則，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
10．（4分）在多項(xiàng)式（其中中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：，，．下列說法：
①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；
②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；
③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．
其中正確的個(gè)數(shù)是
A．0B．1C．2D．3
【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．
【解答】解：，故說法①正確．
若使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，需出現(xiàn)，
顯然無論怎么添加絕對(duì)值，都無法使的符號(hào)為負(fù)號(hào)，故說法②正確．
當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是；；；．當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是；；．共有7種情況；
有兩對(duì)運(yùn)算結(jié)果相同，故共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，故說法③不符合題意．
故選：．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11．（4分）計(jì)算： ．
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪計(jì)算即可．
【解答】解：
，
故答案為：．
12．（4分）如圖，正五邊形中，連接，那么的度數(shù)為 ．
【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形性質(zhì)易得的度數(shù)，，再根據(jù)等邊對(duì)等角，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．
【解答】解：五邊形是正五邊形，
，，
，
故答案為：．
13．（4分）一個(gè)口袋中有1個(gè)紅色球，有1個(gè)白色球，有1個(gè)藍(lán)色球，這些球除顏色外都相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，搖勻后再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次都摸到紅球的概率是 ．
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的結(jié)果有1種，
兩次都摸到紅球的概率是，
故答案為：．
14．（4分）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)，設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為 ．
【分析】根據(jù)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)，列一元二次方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得，
故答案為：．
15．（4分）如圖，在中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)度為 3 ．
【分析】先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)一步可得的長(zhǎng)．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案為：3．
16．（4分）如圖，是矩形的外接圓，若，，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留
【分析】連接，根據(jù)圓周角定理證得是的直徑，利用勾股定理求得直徑，然后利用圓的面積減去矩形的面積即可求得陰影部分的面積．
【解答】解：連接，
，
是的直徑，
，，
，
．
故答案為：．
17．（4分）若關(guān)于的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是 4 ．
【分析】先解不等式組，根據(jù)至少有2個(gè)整數(shù)解求出的取值范圍，再解分式方程，根據(jù)解是非負(fù)整數(shù)，可求出滿足條件的的值，進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：解不等式組，得，
至少有2個(gè)整數(shù)解，
，
，
解分式方程，
得，
的值是非負(fù)整數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
是分式方程的增根，
（舍去），
滿足條件的的值有3和1，
，
所有滿足條件的整數(shù)的值之和是4．
故答案為：4．
18．（4分）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，，是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，，不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為 4312 ；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是 ．
【分析】根據(jù)遞減數(shù)的概念列方程求的值，根據(jù)遞減數(shù)的概念先求得，然后根據(jù)題意列出兩個(gè)三位數(shù)字之和，結(jié)合能被9整除的數(shù)的特征分析滿足條件的最大值．
【解答】解：由題意可得，
解得，
這個(gè)數(shù)為4312，
由題意可得，，
整理，可得，
一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和為：
，
又一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，
是整數(shù)，且，，，，，
時(shí)，原四位數(shù)可得最大值，此時(shí)只能取0，不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
取9或8或7時(shí)，均不符合題意，
當(dāng)取6時(shí)，，
滿足條件的數(shù)的最大值是8165，
故答案為：4312；8165．
三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先由單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)即可；
（2）先將括號(hào)內(nèi)的進(jìn)行合并，除法變成乘法，再約分化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：
（1）
．
（2）
．
20．（10分）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（只保留作圖痕跡）
已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)．求證：．
證明：四邊形是平行四邊形，
．
．
垂直平分，
．
又 ，
．
．
小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：
過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線 ．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：四邊形是平行四邊形，
．
．
垂直平分，
．
又，
．
；
過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)平分，
故答案為：；；；被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)平分．
21．（10分）為了解、兩款品質(zhì)相近的智能玩具飛機(jī)在一次充滿電后運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間，有關(guān)人員分別隨機(jī)調(diào)查了、兩款智能玩具飛機(jī)各10架，記錄下它們運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間（分鐘），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間用表示，共分為三組：合格，中等，優(yōu)等，下面給出了部分信息：
款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間屬于中等的數(shù)據(jù)是：70，71，72，72，73．
兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中 72 ， ， ；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好？請(qǐng)說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）若某玩具倉(cāng)庫(kù)有款智能玩具飛機(jī)200架、款智能玩具飛機(jī)120架，估計(jì)兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的共有多少架？
【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)的定義可得的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值，用“1”減去其他兩組所占百分百可得的值；
（2）可比較中位數(shù)，眾數(shù)與方差得出結(jié)論；
（3）利用樣本估計(jì)總體可求解．
【解答】解：（1）款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間中，72出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)，
把款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)是70和71，故中位數(shù)，
，即．
故答案為：72，70.5，10；
（2）款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好，理由如下：
雖然兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間的平均數(shù)相同，但款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)均高于款智能玩具飛機(jī)，所以款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好；（答案不唯一）；
（3）（架，
答：估計(jì)兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的大約共有192架．
22．（10分）某公司不定期為員工購(gòu)買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
（1）該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、20元，求購(gòu)買兩種食品各多少份？
（2）由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購(gòu)買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購(gòu)買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多，每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)買牛肉面多少份？
【分析】（1）設(shè)購(gòu)買炸醬面份，牛肉面份，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買了雜醬面、牛肉面共170份，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買牛肉面份，則購(gòu)買炸醬面份，利用單價(jià)總價(jià)數(shù)量，結(jié)合每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買炸醬面份，牛肉面份，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購(gòu)買炸醬面80份，牛肉面90份；
（2）設(shè)購(gòu)買牛肉面份，則購(gòu)買炸醬面份，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意．
答：購(gòu)買牛肉面60份．
23．（10分）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿折線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿折線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)，的距離為．
（1）請(qǐng)直接寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點(diǎn)，相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的值．
【分析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的路線和速度分段進(jìn)行分析，寫出不同時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量的取值范圍即可；
（2）根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法分別畫出兩段函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象寫出函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)即可；
（3）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式分別求出當(dāng)時(shí)的值即可解決問題．
【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為邊長(zhǎng)等于的等邊三角形，
點(diǎn)，的距離等于、的長(zhǎng)，
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，
當(dāng)點(diǎn)、都在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)，的距離等于，
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，
關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）由（1）中得到的函數(shù)表達(dá)式可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
分別描出三個(gè)點(diǎn)，，，然后順次連線，如圖：
該函數(shù)的其中一個(gè)性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．（答案不唯一，正確即可）
（3）把分別代入和中，得：
，，
解得：或，
點(diǎn)，相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)的值為3或4.5．
24．（10分）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖：①；②．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方10千米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方14千米處，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正南方，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，
（1）求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1千米）
（2）由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？
【分析】（1）過作，垂足為，根據(jù)題意可得：四邊形是矩形，從而可得千米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）先在中，根據(jù)等腰三角形的判定求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，比較即可解答．
【解答】解：（1）過作，垂足為，
由題意得：四邊形是矩形，
千米，
在中，，
（千米）．
的長(zhǎng)度約為14千米；
（2）小明應(yīng)該選擇線路①，
理由：在中，，千米，
，
千米，
在中，，千米，
（千米），
千米，
按路線①走的路程為（千米）
按路線②走的路程為（千米）
千米千米，
小明應(yīng)該選擇線路①．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）中周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由周長(zhǎng)的最大值，即可求解；
（3）當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和，列出方程組即可求解；當(dāng)或是對(duì)角線時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）令，
解得：或，即點(diǎn)，
軸，則，
則，則，，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
則，
即的最大值為2，此時(shí)，點(diǎn)，
則周長(zhǎng)的最大值，
即周長(zhǎng)的最大值為，點(diǎn)；
（3）拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于向右平移2個(gè)單位向下平移1個(gè)單位，
則平移后拋物線的對(duì)稱軸為，
設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，
當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和得：
，解得：，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；
當(dāng)或是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和或得：
或，
解得：（不合題意的值已舍去），
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或，．
26．（10分）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)；
（2）如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：；
（3）在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．
【分析】（1）在中，由，，可得，，即得；
（2）取的中點(diǎn)，連接，證明 為等邊三角形，得，，可得，有，故，在上截取，連接，可證，得，，有，，可得，知，，從而，；
（3）取的中點(diǎn)，連接，在取得最小值時(shí)，，設(shè)，則，，用面積法得，，證明，知，根據(jù)將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，有，故的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又，故的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)最大時(shí)，，，三點(diǎn)共線，過作于，過作于，可得是等邊三角形，，，而，可求得，，，連接交于，根據(jù)將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，知，故即，是的中位線，同理可得是的中位線，即可得，，根據(jù)將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，得，，有，即得，從而，．
【解答】（1）解：在中，，
，，
，
，
；
（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖：
在 中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
為等邊三角形，
，，
，即，
，
在和 中，
，
，
，
，
，
在上截取，連接，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（3）解：取的中點(diǎn)，連接，如圖：
在取得最小值時(shí)，，
設(shè)，則，，
，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，
，
的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，
的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
當(dāng)最大時(shí)，，，三點(diǎn)共線，過作于，過作于，如圖：
是中點(diǎn)，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，，
，
連接交于，如圖：
將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，
，
，
，即，
為中點(diǎn)，
是的中位線，
，
同理可得是的中位線，
，
，，
將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，
，，
，
，
，
，
．
類別
平均數(shù)
70
70
中位數(shù)
71
眾數(shù)
67
方差
30.4
26.6
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