高三數(shù)學一輪復習第七章立體幾何與空間向量第一課時基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積學案

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【教師備選資源】
第1課時 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
[考試要求] 1．認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．3．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．
考點一 基本立體圖形
1．多面體的結(jié)構(gòu)特征
2．特殊的棱柱
(1)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
(2)側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
(3)底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．
(4)底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體．
3．正棱錐
底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．
4．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
5．立體圖形的直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br> 結(jié)構(gòu)特征
[典例1] 下列命題正確的是( )
A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線
B．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐
C．棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等
D．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺
D [A不一定，只有當這兩點的連線垂直于底面時才是母線；
B不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；
C錯誤，棱臺的上、下底面相似且對應(yīng)邊互相平行．棱臺的各側(cè)棱延長線交于一點，但是這些側(cè)棱的長不一定相等．]
直觀圖
[典例2] (2024·濟寧一中月考)已知正△ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為( )
A．34a2 B．38a2
C．68a2 D．616a2
D [法一：如圖①②所示的實際圖形和直觀圖，
由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，
在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，
則C′D′＝22O′C′＝68a，
所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2．故選D．
法二：S△ABC＝12×a×a sin 60°＝34a2，
又S直觀圖＝24S原圖＝24×34a2＝616a2．故選D．]
展開圖
[典例3] (2024·長沙模擬)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為a，底面邊長為b，一只螞蟻從點A出發(fā)沿每個側(cè)面爬到A1，路線為A→M→N→A1，則螞蟻爬行的最短路程是( )
A．a(chǎn)2+9b2B．9a2+b2
C．4a2+9b2D．a(chǎn)2+b2
A [正三棱柱的側(cè)面展開圖是如圖所示的矩形，矩形的長為3b，寬為a，則其對角線AA1的長為最短路程．因此螞蟻爬行的最短路程為a2+9b2．故選A．]
(1)判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝24S原圖形．
(3)用側(cè)面展開圖求幾何體表面上任意兩個點的最短表面距離．
跟進訓練1 (1)(多選)給出下列命題，其中真命題是( )
A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形
B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直
C．在四棱柱中，若過相對側(cè)棱的兩個截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D．存在每個面都是直角三角形的四面體
(2)(2024·泰安模擬)已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC是一個( )
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．鈍角三角形
(3)(2024·蚌埠模擬)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路程為( )
A．123 B．16
C．24 D．243
(1)BCD (2)A (3)A [(1)A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；
B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個二面角都是直二面角；
C正確，因為過相對側(cè)棱的兩個截面的交線平行于側(cè)棱，又兩個截面都垂直于底面，故該四棱柱為直四棱柱；
D正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形．
(2)根據(jù)斜二測畫法還原△ABC在直角坐標系中的圖形，如圖，
則BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝3，
AC＝AB＝32+12＝2，
所以△ABC是一個等邊三角形．
(3)如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為θ，
則由題意可得2π×4＝12θ，
則θ＝2π3，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
則小蟲爬行的最短路程為PP′＝
122+122-2×12×12×-12＝123．]
考點二 空間幾何體的表面積與體積
1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
2．柱、錐、臺、球的表面積和體積
側(cè)面積與表面積
[典例4] (2024·上海市通河中學月考)側(cè)面是正三角形的正四棱錐，體積為26，則它的表面積是________．
1＋3 [如圖，四棱錐P-ABCD為正四棱錐，
設(shè)底面邊長為a，過P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足為O，連接OG．
在Rt△POG中，
PG＝32a，PO＝3a24-a24＝22a，
因為體積為26，即13×a2×22a＝26，則a＝1．
所以正四棱錐的表面積為4×34a2＋a2＝1＋3．]
體積
[典例5] (1)(2024·溫州模擬)側(cè)棱和底面邊長都是32的正四棱錐的各頂點都在以O(shè)為球心的球面上，則其外接球的體積為________．
(2)(2024·山東實驗中學月考)棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1-D1MN的體積為________．
(1)36π (2)1 [(1)依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為32×2＝6，
高為322-12 ×62＝3，
因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，故體積為36π．
(2)如圖，由正方體棱長為2，
得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，
又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1-D1MN＝VD1-A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1．
求空間幾何體的體積的常用方法
【教師備用】
(2024·大同模擬)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學巨著，其卷第五“商功”有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈D．8立方丈
B [如圖，
過E作EG⊥平面ABCD，垂足為G，過F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，過H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由圖形的對稱性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形．
則它的體積
V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM
＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1×3＝5(立方丈)．]
跟進訓練2 (1)(2024·廣州調(diào)研)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為( )
A．122π B．12π
C．82π D．10π
(2)(2024·天津和平區(qū)模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A-B1CD1的體積為( )
A．43 B．83
C．4 D．6
(1)B (2)B [(1)設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝22，
∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π．
(2)如圖，三棱錐A-B1CD1是由正方體ABCD-A1B1C1D1截去四個小三棱錐A-A1B1D1，
C-B1C1D1，B1-ABC，D1-ACD，
又VABCD-A1B1C1D1＝23＝8，
VA-A1B1D1＝VC-B1C1D1＝VB1-ABC＝VD1-ACD＝13×12×23＝43，
所以VA-B1CD1＝8－4×43＝83．]
課后習題(三十五) 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
1．(人教A版必修第二冊P119練習T2改編)一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為( )
A．163π B．323π C．16π D．24π
B [設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，則球的體積V＝43πR3＝323π．]
2．(人教A版必修第二冊P106習題8.1T8改編)如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是( )
A．棱臺 B．四棱柱
C．五棱柱 D．簡單組合體
C [由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]
3．(人教A版必修第二冊P119練習T1改編)已知圓錐的表面積為12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．32 cm
B [設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2．]
4．(人教A版必修第二冊P119習題8.3T2改編)如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．
1∶47 [設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出的棱錐的體積為V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47．]
5．一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為( )
A．322 B．32
C．3 D．32
B [平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′是直角梯形，其面積為12×(1＋2)×1＝32，則S原＝22S直＝32．故選B．]
6．(多選)(2024·青島模擬)如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是( )
A．四棱柱
B．四棱臺
C．三棱柱
D．三棱錐
AC [根據(jù)題圖，因為有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱．故選AC．]
7．(2024·山東萊西模擬)若圓錐的表面積為3π，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則下列結(jié)論錯誤的為( )
A．圓錐的底面半徑為1
B．圓錐的母線長為2
C．圓錐的體積為32π
D．圓錐的高為3
C [設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線長為l，則有πl(wèi)=2πr，πrl+πr2=3π，解得r＝1，l＝2，圓錐的高h＝l2-r2＝3，圓錐的體積V＝13πr2h＝33π，即選項A，B，D都正確，C錯誤．故選C．]
8．(2024·惠州調(diào)研)在我國古代數(shù)學名著《數(shù)學九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
C [如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，則可看成一條直角邊(即圓木的高)長24尺，另一條直角邊長為5×2＝10(尺)的矩形，
因此葛藤長的最小值為242+102＝26(尺)，即為2丈6尺．]
9．(多選)下列說法正確的是( )
A．圓柱的每個軸截面都是全等的矩形
B．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱臺的側(cè)面是等腰梯形
D．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面
AD [A正確；B不正確，例如六棱柱的相對側(cè)面也互相平行；C不正確，棱臺的側(cè)棱長可能不相等；D正確，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面．]
10．(2024·佛山質(zhì)檢)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積是 ( )
A．5π B．3π
C．52π D．32π
A [如圖所示，過C作y軸的垂線交y軸于E，則△DCE是直角三角形，四邊形ABCE是直角梯形，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個圓錐和一個圓臺的組合體，易求得AB＝1，BC＝2，CE＝2，AE＝1，ED＝2，DC＝22，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝13×π×22×2＋π3(1＋1×2＋22)×1＝5π．故選A．]
11．如圖是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標系Oxy中，點B的坐標為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形ABCO的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________．
22 [利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，
在坐標系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°．
過點B′作x′軸的垂線，垂足為點D′．
在Rt△B′D′C′中，
B′D′＝B′C′sin 45°＝1×22＝22，
即頂點B′到x′軸的距離為22．]
12．(2024·湖北省天門中學模擬)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2．
2 600π [將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面面積S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．]
新高考卷三年考情圖解
高考命題規(guī)律把握
1．?？键c：直線與平面平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)及立體幾何中的向量方法．
新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷對立體幾何解答題的考查角度基本一致，前一問主要考查空間中點、線、面的位置關(guān)系，將平行、垂直關(guān)系作為考查的重點，后一問考查空間幾何量(空間角)的計算，尤其是二面角、線面角的計算．
2．輪考點：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積，空間中點、線、面的位置關(guān)系．
以小題的形式出現(xiàn)，主要考查空間幾何體體積與表面積的計算及球與棱柱、棱錐的切接問題．
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點但
不一定相等
延長線交
于一點
側(cè)面
形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線
交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓面
側(cè)面
展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝
π(r1＋r2)l
名稱
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝13Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝13(S上＋S下
＋S上S下)h
球
S＝4πR2
V＝43πR3
公式法
規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解
割補法
把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者補成規(guī)則的幾何體
等體
積法
通過選擇合適的底面來求幾何體體積，特別是三棱錐的體積(即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換)