陜西省漢中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)收心檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試題共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，時(shí)間120分鐘．
2．答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（）
A. 1B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由純虛數(shù)的概念列出等式即可求解.
【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以解得
故選：B
2. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，即可由交集定義求解.
【詳解】由得，故，
故選：C
3. 中國(guó)古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝．明代會(huì)試分南卷、北卷、中卷，按的比例錄取，若某年會(huì)試錄取人數(shù)為200，則中卷錄取人數(shù)為（）
A. 150B. 110C. 70D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)和抽樣比計(jì)算即可.
【詳解】由于分層抽樣比為，則200個(gè)人中，中卷錄取人數(shù)為.
故選：D.
4. 已知單位向量，滿(mǎn)足|－|＝，則與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將兩邊平方求得,再利用向量夾角公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意得,得,
所以,所以.
故選：C
5. 已知，是兩個(gè)不同的平面，“存在直線，，”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)面面平行的判定與性質(zhì)判段其充分性和必要性即可.
【詳解】當(dāng)，是兩個(gè)不同的平面，
對(duì)于其充分性：，可以推出；
對(duì)于其必要性：可以推出存在直線，，，
故其為充分必要條件，
故選：C.
6. 我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療支原體肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時(shí)間（單位：）的變化用指數(shù)模型描述，假定該藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于時(shí)才會(huì)對(duì)支原體肺炎起療效，現(xiàn)給某支原體肺炎患者注射了這種新藥，則該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)有，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)關(guān)系求解，即可得答案.
【詳解】由題意，則小時(shí).
故選：D
7. 如圖，在正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出截面，過(guò)點(diǎn)作，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得到高，再計(jì)算體積即可.
【詳解】過(guò)作出截面如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
易知為正四棱臺(tái)的高，

因?yàn)椋?br>所以由勾股定理得，
又，
則在等腰梯形中，，
所以，
所以所求體積為
.
故選：.
8. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意先根據(jù)余弦型函數(shù)性質(zhì)求出在上的取值范圍及相應(yīng)單調(diào)性情況，再結(jié)合與有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可求解.
【詳解】由題意知當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，fx單調(diào)遞增，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，fx單調(diào)遞減，此時(shí)，
所以要使有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于函數(shù)與在及上各有一個(gè)交點(diǎn)，所以，
所以的取值范圍為，故B正確.
故選：B.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)解析式直接判斷奇偶性與單調(diào)性即可求解.
【詳解】選項(xiàng)A：為奇函數(shù)不是增函數(shù)，選項(xiàng)B：，為奇函數(shù)和增函數(shù)，
選項(xiàng)C：為奇函數(shù)和增函數(shù)，選項(xiàng)D：不是奇函數(shù).
故選：BC.
10. 若復(fù)數(shù)，則（）
A. 的共軛復(fù)數(shù)B.
C. 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等D. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
【答案】ABD
【解析】
分析】先化簡(jiǎn)，再計(jì)算即可；
【詳解】
選項(xiàng)A：，故正確；
選項(xiàng)B：，故正確；
選項(xiàng)C：，實(shí)部為，虛部為，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：在復(fù)平面對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，在第四象限，故正確；
故選:ABD
11. 在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是線段，線段，線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），且．則下列說(shuō)法正確的有（）
A. 平面
B. 異面直線與所成的最大角為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，該四棱錐外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用線面平行的判定定理求解選項(xiàng)A，利用異面直線的定義得到直線MN與AP所成的角就是直線與AP所成的角求解選項(xiàng)B，分析可知三棱錐的體積為正方體棱長(zhǎng)，即可判斷C，轉(zhuǎn)化為求正方體外接球半徑即可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：連結(jié)，因?yàn)樵谡襟w中，，
所以又易知四邊形為矩形，所以所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確.
選項(xiàng)B：又，因此，
因此直線MN與AP所成的角就是直線與AP所成的角，
當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，直線與AP所成的角最大為90°，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C：觀察可知，三棱錐的體積為，
故三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)C正確.
選項(xiàng)D：由正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，與重合，
此時(shí)四棱錐的外接球?yàn)檎襟w的外接球，表面積為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合齊次化問(wèn)題運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，
所以.
故答案為：.
13. 盒中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)白球、1個(gè)黑球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．則恰好摸出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用列舉法求出基本事件總數(shù)，再求出符合條件的事件數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求解即可.
【詳解】記1個(gè)黑球?yàn)椋?個(gè)白球分別為，，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，
則可能結(jié)果有，共6種情況，
其中恰好摸出一個(gè)白球一個(gè)黑球的有，共4種情況，
所以恰好摸出一個(gè)白球一個(gè)黑球概率.
故答案為：.
14. 已知向量，，，若，反向共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以?
因?yàn)?，共線，所以，解得，或.
又，反向共線，代入驗(yàn)證可知時(shí)為同向，舍去.
而滿(mǎn)足條件，所以.
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚）
15. 已知角，且．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.
（2）利用兩角差的余弦公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
，且．
，
．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，?br>所以.
16. 如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，

（1）用表示；
（2）如果，有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.
【答案】（1），
（2），證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解；
（2）因?yàn)?，化?jiǎn)，即可得到結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
可得
【小問(wèn)2詳解】
解：.
因?yàn)椋?br>則
以，所以.
17. 已知函數(shù)僅滿(mǎn)足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：
①的最小正周期為；②的最大值為2；③；④．
（1）請(qǐng)找出函數(shù)滿(mǎn)足的三個(gè)條件，并說(shuō)明理由；
（2）求函數(shù)的解析式．
【答案】（1）滿(mǎn)足條件①②④，理由見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）發(fā)現(xiàn)條件③與題干矛盾，進(jìn)而選出正確條件即可.
（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解解析式即可.
【小問(wèn)1詳解】
若函數(shù)滿(mǎn)足條件③，則，
這與矛盾，故不能滿(mǎn)足條件③，
函數(shù)只能滿(mǎn)足條件①②④，
【小問(wèn)2詳解】
由條件①，得，故，由條件②，得，
由條件④，得，
又，
函數(shù)的解析式為．
18. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求角；
（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合外接圓的半徑可以求出，根據(jù)三角形面積公式、利用重要不等式進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由已知及正弦定理可得，
整理得，
，
．
【小問(wèn)2詳解】
外接圓的半徑為2，
，得，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，
即面積的最大值為．
19. 如圖，在四棱錐中，，，平面，分別為中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)，求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中條件得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，利用線面垂直的判定定理可證平面，又，進(jìn)而可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，易證，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明，從而確定是二面角的平面角，再根據(jù)題中條件求其大小即可.
【小問(wèn)1詳解】
平面，平面，
，
，
，
又，平面，
平面，
分別為的中點(diǎn)，
，
平面，
又平面，
平面平面．
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，
由，平面，可得平面，
又平面，，，
又，，可得，
又,平面，
平面，又平面，故，
是二面角的平面角，
在中，，可得，
在中，，可得，
在中，，
可得，故，
則二面角的大小為.

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