一、單項(xiàng)選擇題.
1. 已知集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】當(dāng)時，無解，此時，滿足題意；
當(dāng)時，有解，即，
若，則，所以要使，需滿足，解得；
若，則，所以要使，需滿足，解得，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
2. “”是“方程有實(shí)數(shù)解”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當(dāng)時，此時的方程為，即無解，
所以有實(shí)數(shù)解；
因?yàn)?，所以，即?br>所以方程有實(shí)數(shù)解；
所以“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的必要不充分條件．
故選：B.
3. 若命題，則表述準(zhǔn)確的是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】全稱命題的否定為特稱命題，排除BD選項(xiàng)，
其中可解得，的否定應(yīng)是，
A選項(xiàng)中，可解得，故A選項(xiàng)錯誤，C選項(xiàng)正確.
故選：C.
4. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由選項(xiàng)可知，僅需要比較三個數(shù)的大小，顯然，
所以最大，由可得，，所以，即，
可得.
故選：D.
5. 若函數(shù)滿足對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閷θ我獾?，都有，故為增函?shù)，
故當(dāng)時為增函數(shù)，故，即，
又當(dāng)時為增函數(shù)，且對稱軸為，故，即，
又當(dāng)時，，即，
綜上有.
故選：A.
6. 如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“穩(wěn)定型函數(shù)”.則下列函數(shù)中是“穩(wěn)定型函數(shù)”的有( )個
①；②；
③；④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】設(shè)，且(*)，
對于①，設(shè)，此時只需證，即證，即證，
取，，但，即ab＜c，
故不是“穩(wěn)定型函數(shù)”；
對于②，只需證明，
即說明是“穩(wěn)定型函數(shù)”，只需證即可，
即證，結(jié)合(*)，顯然成立，∴是“穩(wěn)定型函數(shù)”；
對于③，取，，此時，
∴不是“穩(wěn)定型函數(shù)”；
對于④，，(a)，(b)，(c)，
則有(a)(b)(c)，
故(a)，(b)，(c)也是某個三角形的三邊長，f(x)是“穩(wěn)定型函數(shù)”；
綜上，其中②④為“穩(wěn)定型函數(shù)”.
故選：B.
7. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且對任意的、，都有，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，得，即；
令，則，即；
，
令，則，，
所以的值域是.
故選：B.
8. 已知函數(shù)的圖像恒過一點(diǎn)P，且點(diǎn)P在直線的圖像上，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】函數(shù)中，當(dāng)，即時，恒有，
則點(diǎn)，
依題意，，即，又，因此，
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時取等號，所以的最小值為8.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題.
9. 十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家加雷科德在《礪智石》一書中先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 糖水加糖更甜可用式子表示，其中，
B. 若，，，則
C. 當(dāng)時，
D. 當(dāng)時，的最小值為4
【答案】BC
【解析】選項(xiàng)A，當(dāng)時，，，A錯；
選項(xiàng)B，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，B正確；
選項(xiàng)C，，則，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，C正確；
選項(xiàng)D，當(dāng)時，，D錯.
故選：BC．
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 和不是同一函數(shù)
B.
C. “”是“關(guān)于的不等式的解集為”的充分不必要條件
D 如果實(shí)數(shù)，滿足，則不等式恒成立
【答案】ACD
【解析】的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>則與不是同一函數(shù)，故A正確；
，而，從而，故B錯誤；
關(guān)于的不等式的解集為，即不等式的解集為，
則，解得，
而“”是“”充分不必要條件，故C正確；
當(dāng)時，，從而，即，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)的定義域是，對，都有，且當(dāng)時，，且，下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C
D. 滿足不等式的的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】對于A：令，得，所以，
故選項(xiàng)A正確；
對于B：令，得，所以，
任取，，且，則，
因?yàn)椋?，所以，所以在上單調(diào)遞增，
故選項(xiàng)B正確；
對于C：
，
故選項(xiàng)C不正確；
對于D：因?yàn)?，由可得?br>所以，
所以不等式等價于即，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以 解得：，
所以原不等式的解集為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD．
12. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，則下列說法一定正確的是（ ）
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
C. 函數(shù)為偶函數(shù)
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
【答案】BC
【解析】由，得，
將代入，，即，
所以函數(shù)的一個周期為7，A項(xiàng)錯誤；
由是奇函數(shù)得，
因?yàn)楹停?br>所以，
即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，B項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯誤；
因?yàn)?，?br>所以，將代入，
得，即函數(shù)為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確.
故選：BC.
三、填空題.
13. 已知條件：，：，是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】設(shè)集合，集合，
因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以，所以，解得.
故答案為：.
14. 已知表示，，…，這個數(shù)中最大的數(shù).能夠說明“，，c，，”是假命題的一組整數(shù)，，，的值依次為___________.
【答案】2，1，-1，-2
【解析】依題意，不妨令，
則有，，，
則原命題等價于，因此當(dāng)時，不等式不成立，
即滿足條件的只需排序后的第三個數(shù)小于0即可，
所以，所求的一組整數(shù)，，，的值依次為：2，1，-1，-2.
故答案為：2，1，-1，-2.
15. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．
【答案】
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增；
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，
所以的最小值為.
故答案為：.
16. 已知奇函數(shù)在是增函數(shù)，且，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得不等式即，即和異號，
故有，或，
再由，可得，由函數(shù)在上為增函數(shù)，
可得函數(shù)在上也為增函數(shù)，畫出函數(shù)單調(diào)性示意圖：
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性示意圖可得或.
故答案為：.
四、解答題.
17. 設(shè)集合，．
在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上并解答．
（1）求，．
（2）若______，求的取值范圍．
注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
解：（1）由，得，由，得，則，
或.
（2）選①：當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，或，得．
故的取值范圍為或．
選②：當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得．
故的取值范圍為．
18. 2020年初，新冠肺炎襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是4萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為24萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計(jì)算）
（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？
解：（1）由題意得，當(dāng)時，，可得，則，
所以
，其中．
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入5萬元時，廠家的利潤最大，最大利潤為73萬元．
19. 設(shè)命題，不等式恒成立；命題，使得不等式成立.
（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題有且只有一個是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解：（1），由題意可知，解得.
（2）當(dāng)為真命題時，對于二次函數(shù)，其圖象對稱軸為，
在區(qū)間上有，
則，
故，成立等價于，
即，
若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，
若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，
綜上，.
20. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，其中.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）由是定義在上的奇函數(shù)，所以，
又時，，
所以時，，
所以，
所以函數(shù)的解析式為.
（2）當(dāng)時，，
若，由知，在上遞增，不合題意；
，，
所以在上先減再增，符合函數(shù)在上不單調(diào)，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21. 若函數(shù)滿足：存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集恰為（），則稱函數(shù)為函數(shù).
（1）若函數(shù)為函數(shù)，請直接寫出（不要過程）；
（2）判斷函數(shù)是否為函數(shù)，并說明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)為函數(shù)，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
解：（1）函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為，開口向上，
若函數(shù)為函數(shù)，所以，即，
解得.
（2）函數(shù)不是P函數(shù)，理由如下：
在上遞增，
因?yàn)閙，n為整數(shù)，由題意可知，即，
令，即，解得，
假設(shè)函數(shù)為P函數(shù)，
則，即，與已知矛盾，所以不存在這樣的m，n，
所以函數(shù)不是P函數(shù).
（3）函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為，開口向上，
因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集恰為，
所以，即，
將①代入③得，，
又m，n為整數(shù)，，所以，解得，此時，滿足題意，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)為P函數(shù).
22. 已知二次函數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集為
（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式：
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的函數(shù)的最小值為？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由．
解：（1）由不等式的解集為知，
關(guān)于的方程的兩根為和，且，
由根與系數(shù)關(guān)系，得，，
所以原不等式化為，
①當(dāng)時，原不等式化為，且，解得或；
②當(dāng)時，原不等式化為，解得且；③
④當(dāng)時，原不等式化為，且，解得或；
綜上所述，
當(dāng)時，原不等式的解集為或；
當(dāng)時，原不等式的解集為或．
（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，
由（1）得：，，
，
令，，則，
對稱軸為，
又，，，
函數(shù)在,遞減，
時，最小為：，
解得：，

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