·最新考綱·了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式．
·考向預測·考情分析：高考常以三視圖為載體，主要考查柱、錐、球的表面積和體積，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題．學科素養(yǎng)：通過空間幾何體的表面積與體積的計算考查直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
一、必記2個知識點1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
2.空間幾何體的表面積與體積公式
三、必練4類基礎題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(　　)(2)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　)(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．(　　)(4)球的體積之比等于半徑之比的平方．(　　)
(二)教材改編2．[必修2·P27練習T1改編]已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為________cm.
解析：設底面半徑為r，由側(cè)面展開圖為半圓可知，圓錐母線長l＝2r，所以S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2.
3.[必修2·P29習題B組T1改編]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_____，表面積等于________．
解析：設圓柱底面圓半徑為r，高為h，依題意，圓柱體積為V＝πr2h，即2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9尺，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54尺，即圓柱底面圓周長約為5丈4尺．
5．(不會分類討論致誤)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為__________________．
24π2＋8π或24π2＋18π
解析：圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝6π×4π＝24π2.①以邊長為6π的邊為軸時，4π為圓柱底面圓周長，所以2πr＝4π，即r＝2.所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.②以4π所在邊為軸時，6π為圓柱底面圓周長，所以2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.
(四)走進高考6．[2021·全國甲卷]已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為________．
反思感悟　三類幾何體表面積的求法
2．[2023·安徽池州市高三模擬]古希臘數(shù)學家歐幾里德在其著作《幾何原本》中定義了相似圓錐：兩個圓錐的高與底面的直徑之比相等時，則稱這兩個圓錐為相似圓錐．已知圓錐SO的底面圓O的半徑為3，其母線長為5.若圓錐S′O′與圓錐SO是相似圓錐，且其高為8，則圓錐S′O′的側(cè)面積為(　　) A.15π B．60π C.96π D．120π
角度2　割補法求體積[例3]　在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為4 cm，母線長最短5 cm，最長8 cm，則斜截圓柱的體積V＝________ cm3.
一題多變 (變問題)若例3中條件不變，求斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.
反思感悟　(1)處理體積問題的思路
(2)求體積的常用方法①直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算．②割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算．③等體積法：選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換．
【對點訓練】1．如圖，在直四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形．點E是棱BB1的中點，點F是棱CC1上靠近C1的三等分點，且三棱錐A1--AEF的體積為2，則四棱柱ABCD--A1B1C1D1的體積為(　　)A.12　　　B．8　　　C．20　　　D．18
2．圖1是一種生活中常見的容器，其結(jié)構如圖2所示，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF.現(xiàn)測得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EF--ABCD的體積為(　　)?A.2 500 cm3 B．3 500 cm3C.4 500 cm3 D．3 800 cm3
考點三　空間幾何體的外接球與內(nèi)切球[創(chuàng)新性]角度1　幾何體的外接球[例5]　(1)[2023·天津市武清區(qū)檢測]《九章算術》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P--ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　)A.12π　　B．20π　　C．24π　　D．32π
反思感悟　處理球的“接”問題的策略把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．
一題多變 (變條件，變問題)若例6(1)中“若三棱錐P--ABC有一個內(nèi)切球O，”改為“若三棱錐P--ABC的四個頂點都在球O的球面上，”則球O的表面積為________．
反思感悟　(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．(2)解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
微專題28 數(shù)學文化與立體幾何的交匯
縱觀近幾年高考，立體幾何以數(shù)學文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一新．從中國古代數(shù)學文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關知識，既符合考生的認知水平又可以引導考生關注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并提升審題能力，增加對數(shù)學文化的理解，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)．
名師點評　求解與數(shù)學文化有關的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功夫，明確其中一些概念的意義，如“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”等的特征是求解相關問題的前提，其次目標要明確，根據(jù)目標聯(lián)想相關公式，然后進行求解．

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