·最新考綱·?1．掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．?2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想．
·考向預(yù)測(cè)·考情分析：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程，圓心到直線的距離，與圓有關(guān)的軌跡、最值問(wèn)題仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型將以選擇與填空題為主，也可能出現(xiàn)在解答題中．學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及利用圓的方程求最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．
一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．圓的定義及方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則_________________．(2)若M(x0，y0)在圓上，則_________________．(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則_________________．
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
二、必明2個(gè)常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程表示圓的條件對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時(shí)易忽視D2＋E2－4F＞0這一條件．
三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(　　)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(　　)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)
3．[必修2·P124A組T4改編]圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(－1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為________________．
(x－2)2＋y2＝10
(三)易錯(cuò)易混4．(錯(cuò)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系)若點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a(chǎn)＞1或a＜－1 D．a(chǎn)＝±4
解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1.
5．(忽略方程中變量的取值范圍)已知點(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則x2＋4y的最大值為_____．
解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5.因?yàn)閥∈[－1，1]，所以當(dāng)y＝1時(shí)，x2＋4y取得最大值4.
(四)走進(jìn)高考6．[2022·全國(guó)甲卷]設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)（3，0）和（0，1）均在⊙M上，則⊙M的方程為　　　　　　　　　　　Ｗ．
（x－1）2＋（y＋1）2＝5
2．以點(diǎn)(1，－1)為圓心，且與直線x－y＋2＝0相切的圓的方程為(　　)A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8
3．若直線l：mx＋ny＋3＝0始終平分圓C：x2－2x＋y2＋3y－1＝0，則2m－3n＝(　　)A．－6 B．－3C．3 D．6
解析：圓的方程可化為(x－m)2＋(y－2m－1)2＝m2(m≠0)，其圓心為(m，2m＋1)．依題意得，m＋2m＋1－7＝0，解得m＝2，∴圓的半徑為2，面積為4π.
反思感悟　求圓的方程的兩種方法(1)直接法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．[提醒]　解答圓的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．
(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一題多變 (變問(wèn)題)若例1中條件不變，求P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值．
反思感悟　建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值．
考點(diǎn)三　與圓有關(guān)的軌跡方程　[綜合性]??[例3]　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
解析：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2，2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
反思感悟　求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．[2023·六盤山高級(jí)中學(xué)測(cè)試]已知圓C：x2＋y2＋4x＝0的圓心和圓上兩點(diǎn)A，B構(gòu)成等邊三角形，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程是(　　)A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝3C．(x＋1)2＋y2＝2D．(x＋2)2＋y2＝3

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