考點(diǎn)一 電場中的功能關(guān)系
幾種常見的功能關(guān)系：
(1)合外力做功等于動(dòng)能的變化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(動(dòng)能定理)。
(2)重力做功等于物體重力勢能的變化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)靜電力做功等于電勢能的變化，即W電＝Ep電1－Ep電2＝－ΔEp電。
(4)彈簧彈力做功等于彈性勢能的變化，即W彈＝Ep1－Ep2＝－ΔEp彈。
(5)除了重力和彈簧彈力之外其他力做的總功等于物體機(jī)械能的變化，即W其他力＝E機(jī)2－E機(jī)1＝ΔE機(jī)。
說明：動(dòng)能定理可以把不同力對物體做的功聯(lián)系起來；能量守恒定律可以把系統(tǒng)中參與變化的所有能量聯(lián)系起來。
例1 (2023·四川瀘州市期末)如圖所示，帶正電小球A固定在絕緣天花板上，絕緣輕彈簧的下端固定在水平地面上，彈簧處于自由狀態(tài)，現(xiàn)將與A完全相同的帶正電小球B放在彈簧上端并由靜止釋放，若A、B球心和彈簧軸線始終在一條豎直線上，則小球B從釋放到第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，下列說法中正確的是( )
A．小球B速度最大時(shí)所受彈簧彈力和庫侖力的合力為零
B．小球B的加速度先減小后增大
C．小球B與彈簧組成系統(tǒng)的機(jī)械能一定減小
D．小球A與B組成系統(tǒng)的電勢能一定先減小后增大
答案 B
解析 小球B向下運(yùn)動(dòng)的過程中受到重力、庫侖力、彈簧的彈力作用，當(dāng)彈簧的彈力、重力、庫侖力的合力為0時(shí)，小球B的加速度為0，速度最大，故A錯(cuò)誤；開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力小于重力和庫侖力之和，合力豎直向下，小球向下做加速運(yùn)動(dòng)，由于彈簧的彈力逐漸增大，庫侖力減小，合力減小，加速度減小，當(dāng)合力減小為0時(shí)，速度最大，之后彈簧的彈力大于重力與庫侖力之和，合力豎直向上，小球向下做減速運(yùn)動(dòng)，彈簧的彈力逐漸增大，庫侖力減小，合力豎直向上，加速度增大，因此小球B的加速度先減小后增大，故B正確；由于庫侖力對小球B做正功，由功能關(guān)系可知，小球B與彈簧組成系統(tǒng)的機(jī)械能一定增大，故C錯(cuò)誤；庫侖力對小球B做正功，小球A與B組成系統(tǒng)的電勢能一直減小，故D錯(cuò)誤。
例2 如圖所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場中，質(zhì)量為m的帶電小球，以初速度v從M點(diǎn)豎直向上運(yùn)動(dòng)，通過N點(diǎn)時(shí)，速度大小為2v，方向與電場方向相反，則小球從M運(yùn)動(dòng)到N的過程( )
A．動(dòng)能增加eq \f(1,2)mv2 B．機(jī)械能增加2mv2
C．重力勢能增加eq \f(3,2)mv2 D．電勢能增加2mv2
答案 B
解析 小球動(dòng)能的增加量為ΔEk＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，A錯(cuò)誤；小球在豎直方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到N時(shí)豎直方向的速度為零，則M、N兩點(diǎn)之間高度差為h＝eq \f(v2,2g)，小球重力勢能的增加量為ΔEp＝mgh＝eq \f(1,2)mv2，C錯(cuò)誤；靜電力對小球做正功，則小球的電勢能減少，由能量守恒定律可知，小球減小的電勢能等于重力勢能與動(dòng)能的增加量之和，則電勢能的減少量為ΔEp′＝eq \f(3,2)mv2＋eq \f(1,2)mv2＝2mv2，D錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知，除重力外的其他力對小球所做的功在數(shù)值上等于小球機(jī)械能的增加量，即2mv2，B正確。
考點(diǎn)二 電場中的圖像問題
1．電場中的v－t圖像
根據(jù)v－t圖像的速度變化、斜率變化(即加速度大小的變化)，可確定電荷所受靜電力的方向與靜電力的大小變化情況，進(jìn)而確定電場的方向、電勢的高低及電勢能的變化。
例3 (多選)(2023·寧夏銀川市一中模擬)一帶負(fù)電粒子僅在靜電力的作用下從A點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，速度由v1變?yōu)関2，其速度—時(shí)間圖像如圖所示，下列說法正確的是( )
A．A、B兩點(diǎn)的電勢關(guān)系為φA>φB
B．A點(diǎn)附近的等勢面要比B點(diǎn)附近的等勢面稀疏
C．A、B兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小關(guān)系為EA>EB
D．粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，可能兩次經(jīng)過同一個(gè)等勢面
答案 AC
解析 根據(jù)速度由v1變?yōu)関2，速度減小，可知靜電力對粒子做負(fù)功，電勢能增加。根據(jù)帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，負(fù)電荷高勢低能，則φA>φB，故A正確；電場線密集的位置等勢面密集，電場強(qiáng)度更大，則帶電粒子受到的靜電力更大，加速度大，在v－t圖像中斜率的絕對值更大，A處斜率的絕對值大于B處斜率的絕對值，則電場強(qiáng)度的關(guān)系EA>EB，A點(diǎn)附近的等勢面要比B點(diǎn)附近的等勢面密集，故B錯(cuò)誤，C正確；粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，速度一直減小，則靜電力一直做負(fù)功，電勢能一直增大，故不可能兩次經(jīng)過同一個(gè)等勢面，故D錯(cuò)誤。
2．φ－x圖像(電場方向與x軸平行)
(1)電場強(qiáng)度的大小等于φ－x圖線的切線斜率的絕對值，如果圖線是曲線，電場為非勻強(qiáng)電場；如果圖線是傾斜的直線，電場為勻強(qiáng)電場(如圖)。切線的斜率為零時(shí)沿x軸方向電場強(qiáng)度為零。
(2)在φ－x圖像中可以直接判斷各點(diǎn)電勢的高低，并可根據(jù)電勢大小關(guān)系確定電場強(qiáng)度的方向，進(jìn)而可以判斷電荷在電場中的受力方向。(如圖)
(3)電場中常見的φ－x圖像
①點(diǎn)電荷的φ－x圖像(取無限遠(yuǎn)處電勢為零)，如圖。
②兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷連線上的φ－x圖像，如圖。
③兩個(gè)等量同種點(diǎn)電荷的φ－x圖像，如圖。
例4 (多選)(2023·貴州貴陽市一中檢測)如圖所示，在x軸上的O點(diǎn)(x＝0)和b點(diǎn)(x＝15 cm)分別固定放置兩點(diǎn)電荷q1、q2，其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖所示，取無窮遠(yuǎn)處的電勢為零，下列說法正確的是( )
A．a(chǎn)、c兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同
B．q1所帶電荷量是q2所帶電荷量的4倍
C．將一負(fù)電荷從a點(diǎn)移到c點(diǎn)，靜電力做功為零
D．將一負(fù)電荷從c點(diǎn)移到d點(diǎn)，電勢能增大
答案 BC
解析 φ－x圖像的斜率的絕對值表示電場強(qiáng)度的大小，斜率的正負(fù)表示電場強(qiáng)度的方向，由題圖可知，a、c兩點(diǎn)電勢相等，但電場強(qiáng)度大小和方向均不同，故A錯(cuò)誤；由題圖可知，d點(diǎn)圖像斜率為零，表明該點(diǎn)的合電場強(qiáng)度為零，而d點(diǎn)到兩點(diǎn)電荷q1、q2的距離之比為2∶1，根據(jù)點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度公式E＝eq \f(kq,r2)可得，q1、q2電荷量之比為4∶1，故B正確；a、c兩點(diǎn)電勢相等，電勢差為零，負(fù)電荷從a點(diǎn)移到c點(diǎn)，靜電力做功為零，故C正確；c、d間電場方向向左，負(fù)電荷從c點(diǎn)移到d點(diǎn)，靜電力做正功，電勢能減小，故D錯(cuò)誤。
3．E－x圖像(電場方向與x軸平行)
(1)E－x圖像為靜電場在x軸上的電場強(qiáng)度E隨x的變化關(guān)系，若規(guī)定x軸正方向?yàn)殡妶鰪?qiáng)度E的正方向，則E>0，電場強(qiáng)度E沿x軸正方向；EQb，故B正確；從P到Q電場強(qiáng)度方向不變，從正電荷指向負(fù)電荷，沿著電場線的方向電勢降低，可知x軸上從P至Q電勢逐漸降低，故C錯(cuò)誤；M、O間的平均電場強(qiáng)度大于O、N間的平均電場強(qiáng)度，M、O間距離和O、N間距離相等，根據(jù)E＝eq \f(U,d)，可知M、O間的電勢差大于O、N間的電勢差，故D正確。
7.有一電場在x軸上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度分布如圖所示?，F(xiàn)將一帶正電的粒子(不計(jì)重力)從O點(diǎn)由接近于0的速度釋放，僅在靜電力的作用下，帶電粒子沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，則關(guān)于該電場在x軸上各點(diǎn)的電勢(φ)、帶電粒子的電勢能(Ep)、動(dòng)能(Ek)以及動(dòng)能與電勢能之和(E0)隨x變化的圖像，正確的是( )
答案 C
解析 根據(jù)x軸上各點(diǎn)電場強(qiáng)度的分布特點(diǎn)可知，該電場的分布類似于等量正電荷中垂線上電場強(qiáng)度的分布，電場線的方向與x軸正方向一致。在x軸上，沿電場線的方向，電勢逐漸降低，所以O(shè)點(diǎn)的電勢最高，故A錯(cuò)誤；帶電粒子的電勢能Ep＝qφ，由題意知帶電粒子帶正電，所以粒子在O點(diǎn)的電勢能最大，故B錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理知，靜電力做的功等于動(dòng)能的變化量，有qEx＝Ek－Ek0，由題意知帶電粒子的初動(dòng)能Ek0＝0，得Ek＝qEx，靜電力始終做正功，動(dòng)能一直增大。由于電場強(qiáng)度隨x先增大后減小，所以動(dòng)能隨x變化的圖像的切線斜率先增大后減小，故C正確；帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過程中，只有靜電力做功，故電勢能與動(dòng)能的總和保持不變，故D錯(cuò)誤。
8．如圖甲，粗糙絕緣的水平地面上，電荷量為QA、QB的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別固定于相距為6L的A、B兩處。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從x＝－L處由靜止釋放后沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，在x＝2L處開始反向運(yùn)動(dòng)?；瑝K與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，滑塊在不同位置所具有的電勢能Ep如圖乙所示，P點(diǎn)是圖線最低點(diǎn)，重力加速度為g。下列說法正確的是( )
A．兩固定點(diǎn)電荷均為正電荷
B．QA＝2QB
C．x＝L處電勢最低
D．從－L到2L，電勢升高eq \f(3μmgL,q)
答案 D
解析 小滑塊帶負(fù)電，結(jié)合題意可知兩固定點(diǎn)電荷均為負(fù)電荷，在x＝L處電勢能最低，則x＝L處電勢最高，故A、C錯(cuò)誤；根據(jù)功能關(guān)系知Ep－x圖像的斜率表示靜電力，可知在x＝L處靜電力為零，則keq \f(QA,?4L?2)＝keq \f(QB,?2L?2)，解得QA＝4QB，故B錯(cuò)誤；對滑塊，從－L到2L，由動(dòng)能定理有－qU－μmg·3L＝0－0，解得U＝eq \f(μmg·3L,－q)，則從－L到2L，電勢差為負(fù)，電勢升高eq \f(3μmgL,q)，故D正確。
9.(多選)(2023·福建廈門市質(zhì)檢)空間中有水平方向上的勻強(qiáng)電場，一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的微粒在某平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其電勢能和重力勢能隨時(shí)間的變化如圖所示，則該微粒( )
A．一定帶正電
B．0～3 s內(nèi)靜電力做的功為－9 J
C．運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能不變
D．0～3 s內(nèi)除靜電力和重力外所受其他力對微粒做的功為12 J
答案 BCD
解析 由于不清楚電場強(qiáng)度的方向，故無法確定微粒的電性，故A錯(cuò)誤；由題圖可知，0～3 s內(nèi)電勢能增加9 J，則0～3 s靜電力做的功為－9 J，故B正確；由題圖可知，電勢能均勻增加，即靜電力做的功與時(shí)間成正比，說明微粒沿靜電力方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，同理，沿重力方向也做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則微粒的合運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)過程中速度不變，動(dòng)能不變，故C正確；由功能關(guān)系可知，0～3 s內(nèi)重力勢能與電勢能共增加12 J，又微粒的動(dòng)能不變，故0～3 s內(nèi)除靜電力和重力外所受其他力對微粒做的功為12 J，故D正確。
10．(2021·山東卷·6)如圖甲所示，邊長為a的正方形，四個(gè)頂點(diǎn)上分別固定一個(gè)電荷量為＋q的點(diǎn)電荷；在0≤x

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