1．（3分）四個數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣10B．﹣1C．0D．10
2．（3分）下列圖案中，點O為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關(guān)于點O對稱的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若a≠0，則下列運算正確的是（ ）
A．+＝B．a(chǎn)3?a2＝a5C．?＝D．a(chǎn)3÷a2＝1
4．（3分）若a＜b，則（ ）
A．a(chǎn)+3＞b+3B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2C．﹣a＜﹣bD．2a＜2b
5．（3分）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調(diào)查了本地50個公園的用地面積，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)的值為20
B．用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多
C．用地面積在4＜x≤8這一組的公園個數(shù)最少
D．這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃
6．（3分）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A．1.2x+1100＝35060B．1.2x﹣1100＝35060
C．1.2（x+1100）＝35060D．x﹣1100＝35060×1.2
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（ ）
A．18B．9C．9D．6
8．（3分）函數(shù)y1＝ax2+bx+c與y2＝的圖象如圖所示，當（ ）時，y1，y2均隨著x的增大而減?。?br>A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜2D．x＞1
9．（3分）如圖，⊙O中，弦AB的長為4，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點P，若OP＝5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在⊙O上B．點P在⊙O內(nèi)C．點P在⊙O外D．無法確定
10．（3分）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（ ）
A．πB．πC．2πD．π
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數(shù)為 .
12．（3分）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3，當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U的值為 ．
13．（3分）如圖，?ABCD中，BC＝2，點E在DA的延長線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝ ．
14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，則2a2﹣4a+1＝ ．
15．（3分）定義新運算：a?b＝例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若x?1＝﹣，則x的值為 ．
16．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，A（1，0），C（0，2）．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B'（點A平移后的對應(yīng)點為A′），A'B'交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點D，過點D作DE⊥y軸于點E，則下列結(jié)論：
①k＝2；
②△OBD的面積等于四邊形ABDA′的面積；
③AE的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正確的結(jié)論有 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（4分）解方程：＝．
18．（4分）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．
19．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．
20．（6分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有兩個不等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）化簡：÷?．
21．（8分）善于提問是應(yīng)用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學們的提問水平，對A，B兩組同學進行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：
（1）求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；
（2）現(xiàn)從A，B兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率．
22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點，再垂直下降到著陸點C，從B點測得地面D點的俯角為36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的長；
（2）若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，求模擬裝置從A點下降到B點的時間．
參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．
23．（10分）一個人的腳印信息往往對應(yīng)著這個人某些方面的基本特征．某數(shù)學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：
（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點（x，y）；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數(shù)關(guān)系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）如圖2，某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計這個人的身高．
24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．（1）當∠BAF＝30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB＝6+6，⊙O為△AEF的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r．
①求r的取值范圍；
②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．
25．（12分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）過點A（x1，2）和點B（x2，2），直線l：y＝m2x+n過點C（3，1），交線段AB于點D，記△CDA的周長為C1，△CDB的周長為C2，且C1＝C2+2．
（1）求拋物線G的對稱軸；
（2）求m的值；
（3）直線l繞點C以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒后（0≤t＜45）得到直線l′，當l′∥AB時，直線l′交拋物線G于E，F(xiàn)兩點．
①求t的值；
②設(shè)△AEF的面積為S，若對于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此時拋物線G的解析式．
2024年廣東省廣州市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．（3分）四個數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣10B．﹣1C．0D．10
【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)．3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y(jié)論即可．
【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10，
∴最小的數(shù)是：﹣10．
故選：A．
【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)，兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是本題的關(guān)鍵．
2．（3分）下列圖案中，點O為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關(guān)于點O對稱的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：由題可知，A、B、D不是中心對稱圖形，C是中心對稱圖形圖形．
故選：C．
【點評】本題考查的是中心對稱，正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，熟知把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）若a≠0，則下列運算正確的是（ ）
A．+＝B．a(chǎn)3?a2＝a5C．?＝D．a(chǎn)3÷a2＝1
【分析】利用合并同類項法則，同底數(shù)冪乘法及除法法則，分式的乘法法則計算即可．
【解答】解：+＝＝，則A不符合題意；
a3?a2＝a5，則B符合題意；
?＝，則C不符合題意；
a3÷a2＝a，則D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查合并同類項，同底數(shù)冪乘法及除法，分式的乘法，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）若a＜b，則（ ）
A．a(chǎn)+3＞b+3B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2C．﹣a＜﹣bD．2a＜2b
【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項判斷即可．
【解答】解：若a＜b，兩邊同時加上3得a+3＜b+3，則A不符合題意；
若a＜b，兩邊同時減去2得a﹣2＜b﹣2，則B不符合題意；
若a＜b，兩邊同時乘﹣1得﹣a＞﹣b，則C不符合題意；
若a＜b，兩邊同時乘2得2a＜2b，則D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．
5．（3分）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調(diào)查了本地50個公園的用地面積，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)的值為20
B．用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多
C．用地面積在4＜x≤8這一組的公園個數(shù)最少
D．這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃
【分析】用樣本容量50分別減去其它四組的頻數(shù)可得a的值；根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可知用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多，用地面積在0＜x≤4這一組的公園個數(shù)最少，這50個公園中有20個公園用地面積超過12公頃．
【解答】解：由題意可得，a＝50﹣4﹣16﹣12﹣8＝10，故選項A不符合題意；
由頻數(shù)分布直方圖可知，用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多，故選項B符合題意；
由頻數(shù)分布直方圖可知，用地面積在0＜x≤4這一組的公園個數(shù)最少，故選項C不符合題意；
由頻數(shù)分布直方圖可知，這50個公園中有20個公園用地面積超過12公頃，沒有達到一半，故選項D不符合題意．
故選：B．
【點評】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，解決問題的關(guān)鍵是在頻數(shù)分布直方圖中獲取數(shù)據(jù)進行計算．
6．（3分）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（ ）
A．1.2x+1100＝35060B．1.2x﹣1100＝35060
C．1.2（x+1100）＝35060D．x﹣1100＝35060×1.2
【分析】等量關(guān)系：今年5月交付新車的數(shù)量＝1.2×去年5月交付的新車數(shù)量+1100．
【解答】解：根據(jù)題意，得1.2x+1100＝35060．
故選：A．
【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程．
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（ ）
A．18B．9C．9D．6
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解．
【解答】解：如圖，連接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴四邊形AEDF的面積＝S△ADC＝S△ABC＝9，
故選：C．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）函數(shù)y1＝ax2+bx+c與y2＝的圖象如圖所示，當（ ）時，y1，y2均隨著x的增大而減?。?br>A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．0＜x＜2D．x＞1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象解答即可．
【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象當x＞1時，y1隨著x的增大而減小，同樣當x＞1時，反比例函數(shù)y2隨著x的增大而減小．
故選：D．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，⊙O中，弦AB的長為4，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點P，若OP＝5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點P在⊙O上B．點P在⊙O內(nèi)C．點P在⊙O外D．無法確定
【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，設(shè)OD＝x，則OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出OA的長，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)AB與OC交于點D，
∵弦AB的長為4，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴OA＝2OD，
設(shè)OD＝x，則OA＝2x，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2，
解得x＝±2（負值舍去），
∴OA＝2x＝4，
∵OP＝5，
∴OP＞OA，
∴點P在圓外．
故選：C．
【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，垂徑定理及勾股定理，圓周角定理，熟知點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（ ）
A．πB．πC．2πD．π
【分析】根據(jù)扇形的弧長公式可得圓錐的底面周長，進而得出底面半徑，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，然后根據(jù)圓錐的體積公式計算即可．
【解答】解：由題意得，圓錐的底面圓周長為＝2π，
故圓錐的底面圓的半徑為＝1，
所以圓錐的高為：＝，
該圓錐的體積是：＝π．
故選：D．
【點評】本題考查了幾何體的展開圖，關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長；弧長公式為：．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數(shù)為 109° .
【分析】由鄰補角的性質(zhì)得到∠3＝180°﹣71°＝109°，由平行線的性質(zhì)推出∠2＝∠3＝109°．
【解答】解：∵∠1＝71°，
∴∠3＝180°﹣71°＝109°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝109°．
故答案為：109°．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠2＝∠3＝109°．
12．（3分）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3，當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U的值為 220 ．
【分析】根據(jù)題干條件代值即可．
【解答】解：由題意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220．
故答案為：220．
【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意列出式子是解題關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，?ABCD中，BC＝2，點E在DA的延長線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝ 5 ．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC＝2，則∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，則AE＝BE＝3，求得DE＝AD+AE＝5，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAB＝∠CBA，
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，
故答案為：5．
【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、“等角對等邊”等知識，推導出∠EAB＝∠EBA是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，則2a2﹣4a+1＝ 11 ．
【分析】由已知條件可得a2﹣2a＝5，將原式變形后代入數(shù)值計算即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0，
∴a2﹣2a＝5，
∴原式＝2（a2﹣2a）+1
＝2×5+1
＝11，
故答案為：11．
【點評】本題考查代數(shù)式求值，將原式進行正確的變形是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）定義新運算：a?b＝例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若x?1＝﹣，則x的值為 ﹣或 ．
【分析】根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論的方法列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵x?1＝﹣，
∴當x≤0時，x2﹣1＝﹣，
解得x＝﹣或x＝（不合題意，舍去）；
當x＞0時，﹣x+1＝﹣，
解得x＝；
由上可得，x的值為﹣或，
故答案為：﹣或．
【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．
16．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，A（1，0），C（0，2）．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B'（點A平移后的對應(yīng)點為A′），A'B'交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點D，過點D作DE⊥y軸于點E，則下列結(jié)論：
①k＝2；
②△OBD的面積等于四邊形ABDA′的面積；
③AE的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正確的結(jié)論有 ①②④ ．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷①，根據(jù)反比例函數(shù)k值幾何意義判斷②，根據(jù)矩形性質(zhì)判斷③④即可．
【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形OABC的頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴k＝2，故①正確；
②∵點B、點D在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴S△AOB＝S△AOD＝，
∴S△OBM＝S梯形AMDA′，
∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正確；
③隨著線段AB向右平移的過程，平移后的線段與反比例函數(shù)的交點D也逐漸下移，此時過點D作y軸的垂線交點E也下移，所以AE的最小值逐漸趨向于OA的長度，故③錯誤；
④向右平移的過程中角B′BD與角BB′O變化相同，這兩個角剛好是矩形BB′ND的對角線與邊的夾角，所以是相等，④正確．
故正確的結(jié)論有①②④．
故答案為：①②④．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、坐標與圖形變化，熟練掌握平移性質(zhì)是關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（4分）解方程：＝．
【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．
【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15，
解得：x＝3，
檢驗：當x＝3時，x（2x﹣5）≠0，
故原方程的解為x＝3．
【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．
【分析】先根據(jù)BE＝3，EC＝6得出BC的長，進而可得出AB的長，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝3+6＝9，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∴△ABE∽△ECF．
【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．
【分析】（1）作線段AC的垂直平分線交AC于O，連接BO，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖所示，線段BO為AC邊上的中線；
（2）證明：∵點O是AC的中點，
∴AO＝CO，
∵將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，
∴BO＝DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，矩形的判定，中心對稱圖形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有兩個不等的實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）化簡：÷?．
【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．
（2）根據(jù)m的取值范圍化簡即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，
解得m＞3；
（2）∵m＞3，
∴m﹣3＞0，
∴÷?
＝??
＝﹣2．
【點評】此題主要考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系以及絕對值和分式乘除法的化簡，根據(jù)題意得到關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）善于提問是應(yīng)用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學們的提問水平，對A，B兩組同學進行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：
（1）求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；
（2）現(xiàn)從A，B兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這2名同學恰好來自同一組的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）將10名A組同學的得分按照從小到大的順序排列，排在第5和第6名的成績?yōu)?4，86，
∴A組同學得分的中位數(shù)為（84+86）÷2＝85（分）．
由表格可知，A組同學得分的眾數(shù)為82分．
（2）將A組的兩名同學分別記為甲、乙，將B組的兩名同學分別記為丙，丁，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中這2名同學恰好來自同一組的結(jié)果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4種，
∴這2名同學恰好來自同一組的概率為．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)，熟練掌握列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點，再垂直下降到著陸點C，從B點測得地面D點的俯角為36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的長；
（2）若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，求模擬裝置從A點下降到B點的時間．
參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．
【分析】（1）根據(jù)題意可得：AC⊥CD，BE∥CD，從而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，即可解答；
（2）在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，從而利用線段的和差關(guān)系求出AB的長，最后進行計算即可解答．
【解答】解：（1）如圖：
由題意得：AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，
在Rt△BCD中，BD＝10米，
∴CD＝BD?cs36.87°≈10×0.80＝8（米），
∴CD的長約為8米；
（2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD?sin36.87°≈10×0.6＝6（米），
在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，
∴AC＝＝＝15（米），
∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米），
∵模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，
∴模擬裝置從A點下降到B點的時間＝9÷2＝4.5（秒），
∴模擬裝置從A點下降到B點的時間約為4.5秒．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）一個人的腳印信息往往對應(yīng)著這個人某些方面的基本特征．某數(shù)學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：
（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點（x，y）；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數(shù)關(guān)系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）如圖2，某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計這個人的身高．
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在直角坐標系中描點即可；
（2）先排除反比例函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（3）將x＝25.8代入一次函數(shù)解析式求出y值即可．
【解答】解：（1）描點如圖示：
（2）∵y＝（k≠0）轉(zhuǎn)化為k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠???，
∴y與x的函數(shù)不可能是y＝，
故選一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0），將點（23，156）、（24，163）代入解析式得：
，解得，
∴一次函數(shù)解析式為y＝7x﹣5．
（3）當x＝25.8時，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）．
答：腳長約為25.8cm，估計這個人的身高為175.6cm．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．（1）當∠BAF＝30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB＝6+6，⊙O為△AEF的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r．
①求r的取值范圍；
②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)易得AB＝AF＝AD再根據(jù)角度求出∠DAF＝90°即可得證；
（2）畫出示意圖，找到半徑r和AE的關(guān)系，在求出AE的范圍即可求解；
（3）畫出示意圖，利用弦切角定理和圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可求得∠AEF＝∠AEB＝75°，再在解三角形ABE即可求解．
【解答】解：（1）AF＝AD，AF⊥AD，理由如下，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°，
∵△ABE和△AFE關(guān)于AE軸對稱，
∴AB＝AF，
∴AF＝AD，
∵∠BAF＝30°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴AF⊥AD，
綜上，AF＝AD，AF⊥AD．
（2）①如圖，設(shè)△AEF的外接圓圓心為O，連接OA、OE，作OG⊥AE于點G，作AH⊥BC于點H．
∵∠AFE＝∠ABE＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴OA＝＝AG，
∵r＝OA＝AG＝?AE＝AE，
在Rt△ABH中，AH＝AB?sin60°＝9+3，
∵AE≥AH，且點E不與B、C重合，
∴AE≥9+3，且AE≠6+6，
∴r≥3+3，且r≠2+6．
（3）能相切，此時BE＝12，理由如下：
假設(shè)存在，如圖畫出示意圖，設(shè)△AEF的外接圓圓心為O，連接OA、OF，作EH⊥AB于點H，
設(shè)∠AFD＝α，則∠AEF＝∠AEB＝α（弦切角），
∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝α，
∴∠DAF＝180°﹣2α，
∵∠CEF＝∠CAF，
∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF，
∵∠CAD＝∠BAD＝60°，
∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF＝30°，
∴α＝75°，即∠AEB＝75°，
作EH⊥AB于點H，
∵∠B＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴∠AEH＝∠EAH＝45°，
設(shè)BH＝m，則EH＝AH＝m，BE＝2m，
∵AB＝6+6，
∴m+m＝6+6，
∴m＝6，
∴BE＝12．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)知識和畫出示意圖是解題關(guān)鍵．
25．（12分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）過點A（x1，2）和點B（x2，2），直線l：y＝m2x+n過點C（3，1），交線段AB于點D，記△CDA的周長為C1，△CDB的周長為C2，且C1＝C2+2．
（1）求拋物線G的對稱軸；
（2）求m的值；
（3）直線l繞點C以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒后（0≤t＜45）得到直線l′，當l′∥AB時，直線l′交拋物線G于E，F(xiàn)兩點．
①求t的值；
②設(shè)△AEF的面積為S，若對于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此時拋物線G的解析式．
【分析】（1）由拋物線對稱軸公式即可求解；
（2）由C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，得到2xD＝xA+xB+2，即可求解；
（3）①當m＝±1時，一次函數(shù)的表達式為：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，該直線和x軸的夾角為45°，即可求解；
②由S＝×EF×（yA﹣yE）＝EF，而EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），即可求解．
【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝3；
（2）直線l：y＝m2x+n過點C（3，1），則該直線的表達式為：y＝m2（x﹣3）+1，
當y＝2時，2＝m2（x﹣3）+1，
則xD＝+3，
∵C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，
其中，AC＝BC，上式變?yōu)椋篈D＝BD+2，
即2xD＝xA+xB+2，
而函數(shù)的對稱軸為直線x＝3，由函數(shù)的對稱性知，xA+xB＝2×3＝6，
即2xD＝xA+xB+2＝8，
則xD＝4＝+3，
解得：m＝±1；
（3）①當m＝±1時，一次函數(shù)的表達式為：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，
該直線和x軸的夾角為45°，
則t＝45÷3＝15（秒）；
②由①知，l為：y＝1，如下圖：
則S＝×EF×（yA﹣yE）＝EF，
聯(lián)立直線l和拋物線的表達式得：ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1＝1，
即x2﹣6x﹣a2+2a＝0，
設(shè)點E、F的橫坐標為m，n，
則m+n＝6，nm＝﹣a2+2a，
則EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），
則S＝EF＝＝≥2，
當a＝1時，等號成立，
即k的最大值為：2，a＝1，
則拋物線的表達式為：y＝x2﹣6x+2．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、周長的確定、點的對稱性、面積的計算等，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/7/6 20:40:26；用戶：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學號：39221433A組
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