1．（3分）將﹣1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，則此時(shí)該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
2．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝a6B．a(chǎn)6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（ab2）2＝a2b4
3．（3分）一個(gè)幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）在“五?四”文藝晚會(huì)節(jié)目評(píng)選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．中位數(shù)是95B．方差是3
C．眾數(shù)是95D．平均數(shù)是94
5．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠AOC＝128°，則∠CDE等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
6．（3分）如果單項(xiàng)式﹣x2my3與單項(xiàng)式2x4y2﹣n的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（m，n）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD＝3，BC＝1，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
8．（3分）我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023年開(kāi)始通過(guò)拆違建綠、見(jiàn)縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的“口袋公園”，現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)A、B兩種綠植，已知A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購(gòu)買(mǎi)的A種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABP的面積y（cm2）隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊AB的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．7C．D．
10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，﹣2）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（把正確答案直接寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)題目的橫線上．每小題4分，共24分）
11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝ ．
12．（4分）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒，將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為 秒．
13．（4分）點(diǎn)F是正五邊形ABCDE邊DE的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則∠BGC的度數(shù)為 ．
14．（4分）若點(diǎn)Q（x，y）滿足，則稱(chēng)點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)”，寫(xiě)出一個(gè)“美好點(diǎn)”的坐標(biāo) ．
15．（4分）已知y＝x與y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（2，m），點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，將△OAB沿OA翻折，使點(diǎn)B恰好落在y＝（x＞0）上點(diǎn)C處，則B點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，則AC+BC的最大值為 ．
三、解答題（要求寫(xiě)出必要的解答步驟或證明過(guò)程．共96分）
17．（6分）計(jì)算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．
18．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷﹣，其中a，b滿足b﹣2a＝0．
19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．
（1）尺規(guī)作圖：作對(duì)角線AC的垂直平分線，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）連接AE、CF，求證：四邊形AFCE是菱形．
20．（9分）廣元市開(kāi)展“蜀道少年”選拔活動(dòng)，旨在讓更多的青少年關(guān)注蜀道、了解蜀道、熱愛(ài)蜀道、宣傳蜀道，進(jìn)一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識(shí)，為此某校開(kāi)展了“蜀道文化知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，并從全校學(xué)生中抽取了若干學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行整理、描述和分析（競(jìng)賽成績(jī)用x表示，總分為100分，共分成五個(gè)等級(jí)：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
抽取學(xué)生成績(jī)等級(jí)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
其中扇形圖中C等級(jí)區(qū)域所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是120°．
（1）樣本容量為 ，m＝ ；
（2）全校1200名學(xué)生中，請(qǐng)估計(jì)A等級(jí)的人數(shù)；
（3）全校有5名學(xué)生得滿分，七年級(jí)1人，八年級(jí)2人，九年級(jí)2人，從這5名學(xué)生中任意選擇兩人在國(guó)旗下分享自己與蜀道的故事，請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法．求這兩人來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率．
21．（9分）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱(chēng)“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．
（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為α，折射角為β，且csα＝，β＝30°，求該介質(zhì)的折射率；
（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B、C、D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出，如圖②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．
22．（10分）近年來(lái)，中國(guó)傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國(guó)際時(shí)裝周舞臺(tái)，大放異彩．某服裝店直接從工廠購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷(xiāo)售，進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)如表：
（1）該服裝店第一次用4300元購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購(gòu)進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)都不變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？
23．（10分）如圖，已知反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象相交于點(diǎn)A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA，OB．
（1）求y1＝與y2＝mx+n的解析式；
（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積．
24．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，DE∥CF交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半徑．
25．（12分）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．
在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD．
（1）初步探究
如圖2，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；
（2）嘗試應(yīng)用
如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，BC＝4，求CD的長(zhǎng)；
（3）創(chuàng)新提升
如圖4，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的長(zhǎng)．
26．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）作拋物線F關(guān)于直線y＝﹣1上一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖象F′，拋物線F與F′只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F′對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．
2024年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意．每小題3分，共30分）
1．（3分）將﹣1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，則此時(shí)該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】將﹣1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，可列算式﹣1+2，求得此時(shí)該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：由題意得﹣1+2＝1，
所以﹣1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，此時(shí)該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查數(shù)軸、有理數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)，根據(jù)題意正確地列出算式是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝a6B．a(chǎn)6÷a3＝a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（ab2）2＝a2b4
【分析】根據(jù)完全平方式，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合題意；
B、a6÷a3＝a3，故B不符合題意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合題意；
D、（ab2）2＝a2b4，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）一個(gè)幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見(jiàn)的棱用實(shí)線表示，看不見(jiàn)的棱用虛線表示．
【解答】解：從上面看，是一個(gè)正方形，正方形內(nèi)部有一條捺向的對(duì)角線實(shí)線．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
4．（3分）在“五?四”文藝晚會(huì)節(jié)目評(píng)選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．中位數(shù)是95B．方差是3
C．眾數(shù)是95D．平均數(shù)是94
【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義逐一計(jì)算即可判斷．
【解答】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為91，92，94，95，95，95，96，
故中位數(shù)是95，故選項(xiàng)A說(shuō)法正確，不符合題意；
平均數(shù)為（91+92+94+95×3+96）＝94，故選項(xiàng)D說(shuō)法正確，不符合題意．
方差為[（91﹣94）2+（92﹣94）2+（94﹣94）2+3×（95﹣94）2+（96﹣94）2]＝，故選項(xiàng)B說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
眾數(shù)是95，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的定義．
5．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠AOC＝128°，則∠CDE等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
【分析】根據(jù)圓周角定理先求出∠ABC＝64°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝128°，
∴∠ABC＝64°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝64°．
故答案為：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如果單項(xiàng)式﹣x2my3與單項(xiàng)式2x4y2﹣n的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（m，n）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)兩個(gè)單項(xiàng)式的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，可求出m，n的值，進(jìn)而得出點(diǎn)（m，n）所在象限．
【解答】解：因?yàn)閱雾?xiàng)式﹣x2my3與單項(xiàng)式2x4y2﹣n的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，
所以2m＝4，2﹣n＝3，
解得m＝2，n＝﹣1，
所以點(diǎn)（2，﹣1）所在的象限為第四象限．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能根據(jù)題意求出m，n的值并熟知每個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD＝3，BC＝1，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
【分析】連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，再根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的長(zhǎng)即可．
【解答】解：如圖，連接BD，
∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，
∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
又CD＝3，BC＝1，
∴BD＝，
∴AD＝，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023年開(kāi)始通過(guò)拆違建綠、見(jiàn)縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的“口袋公園”，現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)A、B兩種綠植，已知A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購(gòu)買(mǎi)的A種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)A，B兩種綠植單價(jià)間的關(guān)系，可得出A種綠植單價(jià)是3x元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用6750元購(gòu)買(mǎi)的A種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的B種綠植少50株，即可列出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
【解答】解：∵A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，B種綠植單價(jià)是x元，
∴A種綠植單價(jià)是3x元．
根據(jù)題意得：+50＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABP的面積y（cm2）隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊AB的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．7C．D．
【分析】由面積公式和圖象可知AC×BC＝12，AC+BC＝7，再根據(jù)完全平方公式即可得出AC2+BC2的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，△ABP的面積y＝6，
即AC×BC＝6，
即AC×BC＝12，
又由圖象可知，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B的時(shí)間為7s，
即AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝49，
∴AC2+BC2+2AC×BC＝49，
∴AC2+BC2＝25，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AB＝5．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到有用信息是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，﹣2）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)題干條件逐一判斷每一個(gè)小選項(xiàng)即可．
【解答】解：①∵拋物線開(kāi)口向上，﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
故①不符合題意；
②∵拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，﹣2），
∴函數(shù)的最小值y＜﹣2，
∴ax2+bx+c＝﹣2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
∴方程ax2+bx+c+2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
故②符合題意；
③∴﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且，且，而a＞0，
∴﹣3a＜b＜﹣a，
∴a+b＜0，
故③不符合題意；
④∵拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，即3a﹣3b+3c＞0，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＞0，
∴12a+4c＞0，
∴12a＞8，
∴，
故④符合題意；
⑤：﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴x2﹣x1＞2，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
∴＝＝＝，
∴，
∴b2﹣4ac＞4a2，
故⑤符合題意；
綜上，②④⑤正確，符合題意，正確個(gè)數(shù)有三個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（把正確答案直接寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)題目的橫線上．每小題4分，共24分）
11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝ （a﹣1）2 ．
【分析】首先利用完全平方把（a+1）2展開(kāi)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可．
【解答】解：（a+1）2﹣4a＝a2+2a+1﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．
故答案為：（a﹣1）2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
12．（4分）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒，將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為 4.3×10﹣17 秒．
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．
【解答】解：∵1阿秒是10﹣18秒，
∴43阿秒＝43×10﹣18＝4.3×10﹣17．
故答案為：4.3×10﹣17．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法﹣表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
13．（4分）點(diǎn)F是正五邊形ABCDE邊DE的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則∠BGC的度數(shù)為 18° ．
【分析】由正五邊形的對(duì)稱(chēng)性得出BG是正五邊形ABCDE的對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而得到BG⊥DE，再求出正五邊形的外角的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．
【解答】解：由正五邊形的性質(zhì)可知，BG是正五邊形ABCDE的對(duì)稱(chēng)軸，
∴∠DFG＝90°，
∵∠FDG是正五邊形ABCDE的外角，
∴∠FDG＝＝72°，
∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°，
故答案為：18°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正五邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的關(guān)鍵．
14．（4分）若點(diǎn)Q（x，y）滿足，則稱(chēng)點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)”，寫(xiě)出一個(gè)“美好點(diǎn)”的坐標(biāo) （2，﹣1）（答案不唯一，滿足x+y＝1且x≠0，y≠0） ．
【分析】根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義，把已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算后，得到x與y的關(guān)系式，寫(xiě)出一個(gè)即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：+＝＝，即x+y＝1，
當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，“美好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2，﹣1）（答案不唯一，滿足x+y＝1且x≠0，y≠0）．
故答案為：（2，﹣1）（答案不唯一，滿足x+y＝1且x≠0，y≠0）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
15．（4分）已知y＝x與y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（2，m），點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，將△OAB沿OA翻折，使點(diǎn)B恰好落在y＝（x＞0）上點(diǎn)C處，則B點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，4） ．
【分析】依據(jù)題意，由A在y＝x上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函數(shù)y＝上，進(jìn)而可得k＝2×2＝4，進(jìn)而可得反比例函數(shù)為y＝，再由翻折的性質(zhì)，BC⊥OA，進(jìn)而可設(shè)BC為y＝﹣x+b，則B為（0，b），設(shè)直線BC與直線OA的交點(diǎn)為P，建立求出P（b，b），又B與C關(guān)于直線OA對(duì)稱(chēng)，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函數(shù)y＝上，最后可得b×b＝4，求出b可以得解．
【解答】解：由題意，∵A在y＝x上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函數(shù)y＝上，
∴k＝2×2＝4．
∴反比例函數(shù)為y＝．
由翻折的性質(zhì)，BC⊥OA，
∴可設(shè)BC為y＝﹣x+b，
∴B為（0，b）．
設(shè)直線BC與直線OA的交點(diǎn)為P，
∴．
∴P（b，b）．
又B與C關(guān)于直線OA對(duì)稱(chēng)，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函數(shù)y＝上，
∴b×b＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案為：（0，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，則AC+BC的最大值為 5 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1，首先推導(dǎo)出；延長(zhǎng)DC到E，使 EC＝CD＝x，連接BE，如圖2，得到；由輔助圓﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圓，如圖3，當(dāng)弦AE過(guò)圓心O，即AE是直徑時(shí)，弦最大，最后由勾股定理可得．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1所示：
∵tan∠C＝2，
在Rt△BCD中，設(shè)DC＝x，則BD＝2x，由勾股定理可得，
∴，即，
∴，
延長(zhǎng)DC到E，使 EC＝CD＝x，連接BE，如圖2所示：
∴，
∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，則∠E＝45°，
在△ABE 中，AB＝5，∠E＝45°，
由輔助圓﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圓，如圖3所示：
由圓周角定理可知，點(diǎn)E在⊙O上運(yùn)動(dòng)，AE是⊙O的弦，求 的最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦AE過(guò)圓心O，即AE是直徑時(shí)，弦最大，如圖4所示：
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
∵∠E＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝5，
∴BE＝AB＝5，則由勾股定理可得，即 的最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查胡不歸問(wèn)題，勾股定理，等腰直角三角形，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題﹣定弦定角模型的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
三、解答題（要求寫(xiě)出必要的解答步驟或證明過(guò)程．共96分）
17．（6分）計(jì)算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．
【分析】原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2﹣+﹣4
＝1+2﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷﹣，其中a，b滿足b﹣2a＝0．
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把b＝2a代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝?﹣
＝﹣
＝，
∵b﹣2a＝0，
∴b＝2a，
∴原式＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．
（1）尺規(guī)作圖：作對(duì)角線AC的垂直平分線，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）連接AE、CF，求證：四邊形AFCE是菱形．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）證明四邊相等可得結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖1所示：
（2）證明：如圖2設(shè)EF與AC的交點(diǎn)為O，由（1）可知，直線EF是線段AC的垂直平分線，
∴EA＝EC，F(xiàn)A＝FC，
∠COE＝∠AOF＝90°，
OA＝OC，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（ASA），
∴EC＝FA，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四邊形AFCE是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
20．（9分）廣元市開(kāi)展“蜀道少年”選拔活動(dòng)，旨在讓更多的青少年關(guān)注蜀道、了解蜀道、熱愛(ài)蜀道、宣傳蜀道，進(jìn)一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識(shí)，為此某校開(kāi)展了“蜀道文化知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，并從全校學(xué)生中抽取了若干學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行整理、描述和分析（競(jìng)賽成績(jī)用x表示，總分為100分，共分成五個(gè)等級(jí)：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
抽取學(xué)生成績(jī)等級(jí)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
其中扇形圖中C等級(jí)區(qū)域所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是120°．
（1）樣本容量為 90 ，m＝ 15 ；
（2）全校1200名學(xué)生中，請(qǐng)估計(jì)A等級(jí)的人數(shù)；
（3）全校有5名學(xué)生得滿分，七年級(jí)1人，八年級(jí)2人，九年級(jí)2人，從這5名學(xué)生中任意選擇兩人在國(guó)旗下分享自己與蜀道的故事，請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法．求這兩人來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率．
【分析】（1）由C等級(jí)的人數(shù)除以所占比例得出樣本容量，即可得出m的值；
（2）由全校學(xué)生人數(shù)乘以A等級(jí)的人數(shù)所占的比例即可；
（3）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中選擇的兩人來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）樣本容量為：30÷＝90，
∴m＝90﹣27﹣30﹣12﹣6＝15，
故答案為：90，15；
（2）1200×＝200（名），
答：全校1200名學(xué)生中，估計(jì)A等級(jí)的人數(shù)有200名；
（3）把七年級(jí)1人記為A，八年級(jí)2人分別記為B、C，九年級(jí)2人分別記為D、E，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中選擇的兩人來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的結(jié)果有4種，即BC、CB、DE、ED，
∴這兩人來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表等知識(shí)．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21．（9分）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱(chēng)“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．
（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為α，折射角為β，且csα＝，β＝30°，求該介質(zhì)的折射率；
（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B、C、D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出，如圖②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．
【分析】（1））根據(jù)，求出sinα，再計(jì)算出sinβ，直接按照折射率公式計(jì)算即可；
（2）首先根據(jù)α＝60°，折射率為 ，算出，即，在Rt△ODC中，設(shè)，OC＝3x，可算出，得到 OD＝＝，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，點(diǎn)O是AD中點(diǎn)，故AD＝，直接算矩形面積即可．
【解答】解：（1）∵，
∴如圖，設(shè) ，則c＝4x，
由勾股定理得，，
∴，
又∵β＝30°，
∴，
∴折射率為：；
（2）由題意可得α＝60°，折射率為 ，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)O是AD中點(diǎn)
∴AD＝2OD，∠D＝90°，
又∵∠OCD＝β，
∴，
在Rt△ODC中，設(shè)，OC＝3x，由勾股定理得，，
∴，
∴OD＝＝，
∴AD＝2OD＝，
∴截面ABCD的面積為：AD×CD＝＝cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)三角函數(shù)正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）近年來(lái)，中國(guó)傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國(guó)際時(shí)裝周舞臺(tái)，大放異彩．某服裝店直接從工廠購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷(xiāo)售，進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)如表：
（1）該服裝店第一次用4300元購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購(gòu)進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)都不變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)購(gòu)進(jìn)短款服裝x件，購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)款服裝y件，可得 ，計(jì)算即可得解；
（2）依據(jù)題意，設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)m件短款服裝，則購(gòu)進(jìn)（200﹣m） 件長(zhǎng)款服裝，從而80m+90（200﹣m）≤16800，故m≥120，又設(shè)利潤(rùn)為w元，進(jìn)而w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，設(shè)購(gòu)進(jìn)短款服裝x件，購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)款服裝y件，
∴．
∴．
答：長(zhǎng)款服裝購(gòu)進(jìn)30件，短款服裝購(gòu)進(jìn)20件．
（2）由題意，設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)m件短款服裝，則購(gòu)進(jìn)（200﹣m） 件長(zhǎng)款服裝，
∴80m+90（200﹣m）≤16800．
∴m≥120．
又設(shè)利潤(rùn)為w元，
則w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．
∵﹣10＜0
∴w隨m的增大而減?。?br>∴當(dāng)m＝120時(shí)，利潤(rùn)w最大為：﹣10×120+6000＝4800（元）．
答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)120件短款服裝，80件長(zhǎng)款服裝時(shí)有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4800元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，已知反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象相交于點(diǎn)A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA，OB．
（1）求y1＝與y2＝mx+n的解析式；
（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積．
【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出，求得a＝3，進(jìn)一步利用待定系數(shù)法求得y1＝與y2＝mx+n的解析式；
（2）根據(jù)圖象即可求解；
（3）利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象相交于點(diǎn)A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點(diǎn)
∴k＝，
∴a＝3，
∴點(diǎn)A（﹣3，3），B（ ，
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
∴y1＝﹣，
把A（﹣3，3），B ，﹣2）代入y＝mx+n得 ，
解得，
∴y2＝﹣；
（2）由圖象可知，當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍為﹣3＜x＜0或 ；
（3）若AB與y軸相交于點(diǎn)C，
∴C（0，1），
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC
＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，DE∥CF交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半徑．
【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝45°，根據(jù)圓周角定理得到∠COD＝2∠CAB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDO＝90°根據(jù)切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CH＝AH＝＝2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到FH＝，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠COD＝2∠CAB＝90°，
∵DE∥CF，
∴∠COD+∠EDO＝180°，
∴∠EDO＝90°
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
∵△ACB為等腰直角三角形，AC＝4，
∴CH＝AH＝＝2，
∵tan∠CFD＝＝2，
∴FH＝，
在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＝FH2，
∴，
∵tan∠CFD＝＝＝＝2，
∴OD＝．
故⊙O的半徑為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
25．（12分）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．
在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD．
（1）初步探究
如圖2，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；
（2）嘗試應(yīng)用
如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，BC＝4，求CD的長(zhǎng)；
（3）創(chuàng)新提升
如圖4，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的長(zhǎng)．
【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，證明△ACD∽△ABC，得＝，則AC2＝AD?AB；
（2）設(shè)AD＝m，則AD＝BD＝m，AB＝2m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得＝＝，則AC2＝2m2，求得AC＝m，所以＝＝，而B(niǎo)C＝4，則CD＝BC＝2；
（3）作BF⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)CE＝DE＝n，則CB＝CD＝2n，再證明∠FBC＝30°，所以CF＝CB＝n，求得EF＝2n，BF＝n，則BD＝2n，BE＝n，作CH∥EB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則△HDC∽△BDE，所以＝＝＝2，則HC＝2n，HD＝4n，再證明△ACD∽△AHC，得＝＝＝，則AD＝AC＝2，AH＝AC＝14，所以HD＝4n＝12，則n＝，求得BE＝．
【解答】（1）證明：如圖2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD?AB．
（2）解：如圖3，設(shè)AD＝m，
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝m，AB＝2m，
由（1）得△ACD∽△ABC，
∴＝＝，
∴AC2＝AD?AB＝m×2m＝2m2，
∴AC＝m或AC＝m（不符合題意，舍去），
∴＝＝＝，
∵BC＝4，
∴CD＝BC＝×4＝2，
∴CD的長(zhǎng)是2．
（3）解：如圖4，作BF⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠F＝90°，
∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，
∴CE＝DE，
設(shè)CE＝DE＝n，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB+∠CBD＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴CF＝CB＝n，
∴EF＝CE+CF＝2n，BF＝＝＝n，
∴BD＝2BF＝2n，BE＝＝＝n，
作CH∥EB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則△HDC∽△BDE，
∴＝＝＝＝2，
∴HC＝2BE＝2n，HD＝2BD＝4n，
∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AHC，
∴＝＝＝＝＝，
∵AC＝2，
∴AD＝AC＝×2＝2，AH＝AC＝×2＝14，
∴HD＝AH﹣AD＝14﹣2＝12，
∴4n＝12，
解得n＝，
∴BE＝×＝，
∴BE的長(zhǎng)是．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）作拋物線F關(guān)于直線y＝﹣1上一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖象F′，拋物線F與F′只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F′對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交AB于點(diǎn)M，則CM∥y軸，可知△CDM∽△ODB，由此得到，設(shè)C（t，﹣t2﹣2t+2），則M（t，t+2），所以CM＝﹣（t+）2+，當(dāng)t＝﹣時(shí)，CM有最大值，此時(shí) 的最大值為，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，）；
（3）由中心對(duì)稱(chēng)可知，拋物線F與F′的公共點(diǎn)E為直線y＝﹣1與拋物線F的右交點(diǎn)，求出E（1，﹣1），拋物線F'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣5），設(shè)G（m，m+2），當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，G（﹣2，0）；當(dāng)BG為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，G（4，6）；當(dāng)BH為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，G（2，4）．
【解答】解：（1）將A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入 y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交AB于點(diǎn)M，則CM∥y軸，
∴△CDM∽△ODB，
∴，
設(shè)AB的解析式為y＝mx+n，
把A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入解析式得 ，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝x+2，
設(shè)C（t，﹣t2﹣2t+2），則M（t，t+2），
∴CM＝﹣t2﹣2t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣3＜t＜0，
∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，CM有最大值，此時(shí) 的最大值為，
此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，）；
（3）由中心對(duì)稱(chēng)可知，拋物線F與F′的公共點(diǎn)E為直線y＝﹣1與拋物線F的右交點(diǎn)，
當(dāng)x2﹣2x+2＝1時(shí)，解得x＝﹣3（舍）或x＝1，
∴E（1，﹣1），
∵拋物線F：y＝﹣x2﹣2x+2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），
∴拋物線F'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣5），
設(shè)G（m，m+2），
當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，x+3＝1，解得x＝﹣2，
∴G（﹣2，0）；
當(dāng)BG為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，x＝3+1＝4，
∴G（4，6）；
當(dāng)BH為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，x+1＝3時(shí)，解得x＝2，
∴G（2，4）；
綜上所述：G點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/13 14:28:11；用戶(hù)：陳莉；郵箱：badywgy52@xyh.cm；學(xué)號(hào)：39221433等級(jí)
A
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C
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E
人數(shù)
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27
30
12
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價(jià)格/類(lèi)別
短款
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進(jìn)貨價(jià)（元/件）
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