1. 下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. -2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較即可求解．
【詳解】,
因?yàn)?
所以最小的是為-2，
故選：A.
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、積的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】對(duì)于A，，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于B，，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于C，，運(yùn)算正確，該選項(xiàng)符合題意；
對(duì)于D，，運(yùn)算錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：C.
3. 2024年3月份，低空經(jīng)濟(jì)首次被寫(xiě)入《政府工作投告》．截止2023年底，全國(guó)注冊(cè)通航企業(yè)690家、無(wú)人機(jī)萬(wàn)架，運(yùn)營(yíng)無(wú)人機(jī)的企業(yè)達(dá)萬(wàn)家．將萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義表示出來(lái)即可.
【詳解】萬(wàn),
故選：B.
4. 關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是，由此列不等式求解即得．
【詳解】因關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
故，解得．
故選：B．
5. 已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結(jié)合三點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象分布在第二、四象限，
在每一象限，y隨x的增大而增大，因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：C.
6. 同一條公路連接，，三地，地在，兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時(shí)出發(fā)前往地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時(shí)間，繼續(xù)行駛．下圖表示甲、乙兩車之間的距離（）與時(shí)間（）的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 甲車行駛與乙車相遇B. ，兩地相距
C. 甲車的速度是D. 乙車中途休息分鐘
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得兩地之間的距離為（），兩車行駛了小時(shí)，同時(shí)到達(dá)地，
如圖所示，在小時(shí)，兩車同向運(yùn)動(dòng)，在第2小時(shí)，即點(diǎn)時(shí)，兩車距離發(fā)生改變，此時(shí)乙車休息，
點(diǎn)的意義是兩車相遇，點(diǎn)意義是乙車休息后再出發(fā)，

∴乙車休息了1小時(shí)，故D不正確，
設(shè)甲車的速度為，乙車的速度為，
根據(jù)題意，乙車休息后兩車同時(shí)到達(dá)地，則甲車速度比乙車的速度慢，，
∵，即，
在時(shí)，乙車不動(dòng)，則甲車的速度是，
∴乙車速度為，故C不正確，
∴的距離為千米，故B不正確，
設(shè)小時(shí)兩輛車相遇，依題意得，，
解得：，即小時(shí)時(shí)，兩車相遇，故A正確.
故選：A
7. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，書(shū)中提到這樣一道題目：以繩測(cè)井．若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾何？題目大意是：用繩子測(cè)量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長(zhǎng)比井深多尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長(zhǎng)比井深多尺．繩長(zhǎng)、井深各是多少尺？若設(shè)繩長(zhǎng)尺，井深尺，則符合題意的方程組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】閱讀條件找出等量關(guān)系可得方程組即可．
【詳解】設(shè)繩長(zhǎng)x尺，井深y尺，
依題意，得：．
故選：C
8. 如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】由作圖可知垂直平分線段、平分，進(jìn)而證明可判定①；再說(shuō)明可得垂直平分線段可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得可判定③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定④．
【詳解】由作圖可知垂直平分線段，
∴，
∴，
由作圖可知平分，
∴，
∵，
∴，故①正確，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分線段，故②正確，
∵，
∴，故③正確，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正確．
故選：D.
9. 如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn).若，，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”可得，.根據(jù)三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解.
【詳解】∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，，
，，
，
，，，
，解得，
，.
故選：C
10. 如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，則，，①正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2、3之間，
則與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在、0之間，方程一定有一個(gè)根在和0之間，②錯(cuò)誤；
拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，③正確；
拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，則，又圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
則，即，于是，④錯(cuò)誤，
所以①③正確，共2個(gè)．
故選：B
二、填空題（每題3分，共18分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】.
故答案為：.
12. 若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】x>1
【解析】
【分析】根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】依題意,
解得x>1.
故答案為：x>1.
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，．則滿足的的取值范圍______．

【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象解答即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】由題意可知，在雙曲線上，
故，則.
故.
由圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，
故填：或
14. 將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對(duì)折，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，交AD于點(diǎn)E．若，，，則________．
【答案】32
【解析】
【分析】先根據(jù)勾股定理求出，然后證明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解題即可．
【詳解】在中，，
由折疊可得，，
又是矩形，則，，
于是，又，則，
因此，，
，，
，，
設(shè)，則，在中，，即，
所以.
故答案為：
15. 如圖①是半徑為1的圓，在其中挖去2個(gè)半徑為的圓得到圖②，挖去個(gè)半徑為的圓得到圖③……，則第個(gè)圖形陰影部分的面積是______.

【答案】
【解析】
【分析】分別求出圖②與圖③中陰影部分面積，再?gòu)闹邪l(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得出第個(gè)圖形陰影部分的面積.
【詳解】圖②中陰影部分的面積為：；
圖③中陰影部分的面積為：；
圖④是半徑為1的圓，在其中挖去個(gè)半徑為的圓得到的，
則圖④中陰影部分的面積為：；
…，
則第個(gè)圖形陰影部分的面積為：.
故答案為：
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示．已知點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線為，聯(lián)立方程求得的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，同理求得的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，即可找出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴直線為，，
∵，
∴直線為，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直線為，
解得或，
∴，
∴
…，
∴，
故答案為：
三、解答題
17. （1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先化簡(jiǎn)立方根，負(fù)指數(shù)，絕對(duì)值，再相加減；
（2）先括號(hào)內(nèi)通分，分子分解因式，除法換作乘法，約分化簡(jiǎn)，再代入a值，合并即得．
【詳解】（1）
；
（2）
；
當(dāng)時(shí)，
原式.
18. 如圖1，在中，點(diǎn)，在邊上，，.
（1）求證：.
（2）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線上取點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（3）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線上取一點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，使得，且（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）作圖見(jiàn)解析 （3）作圖見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，證明即可；
（2）由（1）的結(jié)論，通過(guò)證明，再利用全等三角形的性質(zhì)定理，證明,尺規(guī)作圖即可；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，先證明，再利用全等三角形的性質(zhì)定理即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，∴.
在和中，
，
∴(SAS)，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，，圖形如圖所示．
【小問(wèn)3詳解】
以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，
以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，
圖形如圖所示．
根據(jù)作圖可得：，
又∵，
∴，
∴.
19. 在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從地沿相同路線騎行去距地30千米的地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．若乙先騎行2千米，甲才開(kāi)始從地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；
【答案】千米/時(shí)；
【解析】
【分析】設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，根據(jù)甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙列方程求解即可；
【詳解】設(shè)乙的速度為千米/時(shí)，則甲的速度為千米/時(shí)，
由題意得：，
解得：，則，
答：甲騎行的速度為千米/時(shí)；
20. 直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）求直線的表達(dá)式；
（2）若，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的的取值范圍；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入，求出m、n值，再分別代入中即可解答；
（2）根據(jù)函數(shù)圖像確定不等式的解集即可；
（3）先把代入中，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入中，
可得：，，
解得：，，
點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
把點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，
可得，
解得：，
一次函數(shù)表達(dá)式為．
【小問(wèn)2詳解】
∵直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，
∴由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．
【小問(wèn)3詳解】
把時(shí)代入中，得，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
即，
．
21. 如圖①是位于嘉峪關(guān)市雄關(guān)廣場(chǎng)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的象征這座城市的雄關(guān)之光，于2001年6月建成，其形如長(zhǎng)劍指天，寓意親手創(chuàng)造了戈壁鋼城的嘉峪關(guān)人堅(jiān)韌不拔，奮發(fā)向上，繼續(xù)創(chuàng)建嘉峪關(guān)更加輝煌明天的美好愿望.某校實(shí)踐小組把“測(cè)量雄關(guān)之光雕塑的高度”作為一項(xiàng)活動(dòng)課題，并設(shè)計(jì)了如下的測(cè)量方案.
請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算雄關(guān)之光雕塑的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】39米
【解析】
【分析】根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到（米），（米)，于是得到結(jié)論。
【詳解】，
，
在中，，米，
（米，
在中，，米，
（米，
（米，
答：雄關(guān)之光雕塑的高度約為39米.
22. 為做好青少年安全教育工作，某校開(kāi)展了主題為“珍愛(ài)生命，牢記安全”的知識(shí)競(jìng)賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學(xué)生成績(jī)都不低于80分的八年級(jí)（1）班和（3）班中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖及分析表．
【收集數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)：
85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)：
90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
【分析數(shù)據(jù)】
八年級(jí)（1）班和（3）班20名學(xué)生成績(jī)分析表
【應(yīng)用數(shù)據(jù)】
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題．
（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：
（2）填空：______，______；
（3）你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)的成績(jī)更好一些？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）從上面5名得100分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)知識(shí)競(jìng)賽．請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）91，92.5 （3）八年級(jí)（1）班成績(jī)較好，理由見(jiàn)解析
（4）
【解析】
【分析】（1）由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補(bǔ)全條形統(tǒng)即可.
（2）由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得，，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.
（3）從平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)綜合分析得八年級(jí)（1）班成績(jī)較好.
（4）設(shè)八年級(jí)（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示，八年級(jí)（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能結(jié)果，再?gòu)闹姓页?名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
小問(wèn)2詳解】
由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)可得，，
則，
一共20名學(xué)生，中位數(shù)應(yīng)該為第10名與第11名的平均數(shù)，
．
【小問(wèn)3詳解】
八年級(jí)（1）班和八年級(jí)（3）班的平均成績(jī)相同，而，
則八年級(jí)（1）班的中位數(shù)和眾數(shù)都比八年級(jí)（3）班高，即八年級(jí)（1）班高分段人數(shù)較多，
所以八年級(jí)（1）班成績(jī)較好．
【小問(wèn)4詳解】
設(shè)八年級(jí)（1）班的三名100分的學(xué)生用A、B、C表示．八年級(jí)（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，
則隨機(jī)抽兩名學(xué)生的所有情況如下：
一共有20種情況，其中兩名同學(xué)在同一個(gè)班級(jí)的有共8種，
所以所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率為．
23. 如圖，內(nèi)接于，D是上一點(diǎn)，．E是外一點(diǎn)，，連接．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）求證：是的切線．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)可得，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案.
（2）連接，首先證明，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理求出，然后計(jì)算出即可．
【小問(wèn)1詳解】
由，得，又，，
則，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接，
由（1）得：，則，，
又，則，
而，于是，
又，則，
因此，而是半徑，
所以是的切線．
24. 問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
（1）數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問(wèn)題；
（2）深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題．

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問(wèn)題；

②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．
【答案】（1）正方形，理由見(jiàn)解析
（2）①，證明見(jiàn)解析；②
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點(diǎn)為M，過(guò)M作于G，則易得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識(shí)可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
四邊形為正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四邊形為矩形．
∵，
∴．
∴矩形為正方形．
【小問(wèn)2詳解】
①，證明如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M，過(guò)M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的長(zhǎng)為．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求出四邊形的面積最大時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)和四邊形的最大面積；
（3）在直線BC找一點(diǎn)Q，使得為等腰三角形，寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2），四邊形的面積的最大值為；
（3）、、或．
【解析】
【分析】（1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可求出b，c的值，故可得出二次函數(shù)的解析式.
（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，設(shè)，直線BC的解析式為，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)即可得出結(jié)論.
（3）分當(dāng)OC=QC時(shí)，當(dāng)OC=QO時(shí)，當(dāng)QC=QO時(shí)三種情況求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：.
【小問(wèn)2詳解】
如圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，

設(shè)，設(shè)直線BC的解析式為：，則，
解得，于是直線BC的解析式為，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，解得：，，即，
，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形的面積的最大值為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，而，
則OC=3，，，
為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)OC=QC時(shí)，，解得，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，
②當(dāng)時(shí)，，解得m=3或m=0（舍去），此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
③當(dāng)時(shí)，有，解得，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為、、或.
活動(dòng)課題
測(cè)量雄關(guān)之光雕塑的高度
工具
無(wú)人機(jī)
示意圖
說(shuō)明
如圖②，用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)處測(cè)得雕塑頂端處的仰角為，雕塑底端處的俯角為，無(wú)人機(jī)距離雕塑的水平距離為，雕塑垂直于地面，，，，在同一平面內(nèi)
測(cè)量數(shù)據(jù)
米
分?jǐn)?shù)
80
85
90
95
100
人數(shù)
3
3
a
b
3
統(tǒng)計(jì)量班級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
八年級(jí)（1）班
95
41.5
八年級(jí)（3）班
91
90
26.5
（1）班 （3）班
A
B
C
X
Y
A
AB
AC
AX
AY
B
BA
BC
BX
BY
C
CA
CB
CX
CY
X
XA
XB
XC
XY
Y
YA
YB
YC
YX

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