一．單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若空間向量，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為，，所以．
故選：A
2. 已知點，，則直線的一個方向向量可以為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量中直線的方向向量的坐標運算求解即可.
【詳解】解：由題意得：
，則直線的方向向量為
逐項分析即可知只有C符合要求.
故選：C
3. 已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不對
【答案】B
【解析】
【分析】先證明出若且，則、、、四點共面，進而可得出合適的選項.
【詳解】設(shè)且，
則，，
則，所以，、、為共面向量，則、、、四點共面.
對于A選項，，，、、、四點不共面；
對于B選項，，，、、、四點共面；
對于C選項，，，、、、四點不共面.
故選：B.
【點睛】本題考查利用空間向量判斷四點共面，考查推理能力，屬于中等題.
4. 已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的角為（）
A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用空間向量的夾角公式求解兩平面所成的角即可．
【詳解】設(shè)兩平面所成的角為，由題意，得
，
所以，即兩平面所成的角為.
故選：A.
5. 若平面α，β的法向量分別為＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，則x的值為（）
A. 10B. －10
C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】由α⊥β，可得它們的法向量也互相垂直，從而可求出x的值
【詳解】解：因為α⊥β，所以它們的法向量也互相垂直，
所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10．
故選：B
6. 若點，，在同一條直線上，則（）
A. 21B. 4C. 4D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】若∥，則．
【詳解】，
∵點，，在同一條直線上
∴∥則
解得
∴
故選：C．
7. 如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別在棱和上，且.記，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由空間向量的線性運算可得，由空間向量基本定理即可求解.
【詳解】設(shè)，因為
，
所以，，.
因為，所以.
故選:B.
8. 已知，，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量減法和模長的坐標運算，結(jié)合二次函數(shù)基本性質(zhì)可求得的最小值.
【詳解】由已知可得，
所以，
故選：A.
二．多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用向量坐標運算法則直接求解．
【詳解】解：向量，
，，，故正確；
，1，，故錯誤；
，故錯誤；
，故正確．
故選：．
10. 若，，與的夾角為120°，則的值為（）
A. B. 17C. 1D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由空間向量夾角的坐標表示求解
【詳解】由題意得
解得或
故選：BD
11. 在空間直角坐標系中，已知點，則（）
A. 在軸上的投影向量的坐標為
B. 在軸上的投影向量的坐標為
C. 在軸上的投影向量的坐標為
D. 點在坐標平面內(nèi)的射影的坐標為
【答案】ABD
【解析】
【分析】分別求出在軸、軸、軸、平面內(nèi)的投影向量，即可判斷.
【詳解】在軸上的投影向量的坐標為，在軸上的投影向量的坐標為，在軸上的投影向量的坐標為，點在坐標平面內(nèi)的射影的坐標為．
故選：ABD
12. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（）
A.
B. 與平面所成角為
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 平面與平面所成二面角的平面角為銳角時的余弦值為
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)，則，由余弦定理求出的長，可得，由底面可得，由線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理即可判斷選項A；計算即可判斷選項B；計算即可判斷選項C；建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，計算再結(jié)合圖形可判斷選項D，進而可得正確選項.
【詳解】對于A，由，及余弦定理得，從而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正確.
對于B，因為底面，所以就是與平面所成的角，又，所以.故B錯誤.
對于C，顯然是異面直線與所成的角，易得.故C錯誤.
對于D，以D為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設(shè)，則，，，，所以，，.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
取，則，，
此時.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
取，則，，此時，
所以，
所以平面與平面所成二面角的平面角為銳角時的余弦值為.故D正確.
故選：AD.
第二部分非選擇題
三．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 在空間四邊形中，________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量加法法則即可求解.
【詳解】解：.
故答案為：.
14. 已知點，向量且，則點的坐標為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，得出的坐標，利用向量相等列方程組求解即可.
【詳解】解：設(shè)，則，
因為，，所以，解得，
所以點的坐標為.
故答案為：.
15. 若二面角內(nèi)一點到兩個面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個二面角的大小是______．
【答案】
【解析】
【分析】畫出圖象，可知二面角的平面角為，與互補，利用余弦定理可求，即可求解.
【詳解】如圖所示，
設(shè)為二面角內(nèi)一點，，，，由題，則，，，
設(shè)平面，，，則二面角的平面角為，
由四邊形的性質(zhì)可知，與互補，則
，所以，
所以，
故答案為：
16. 將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結(jié)論：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等邊三角形；
（3）AB與平面BCD所成的角為60°；
（4）AB與CD所成的角為60°．
則正確結(jié)論的序號為_______
【答案】（1）（2）（4）
【解析】
【分析】作出此直二面角，由二面角的平面角的定義和線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷（1）；由等邊三角形的判斷可判斷（2）；由線面角的定義可得為所求角，可判斷（3）；取中點，的中點，連接，，，可得，所成角或補角即為所求角，計算可判斷（4）．
【詳解】解：如圖，其中，是的中點，
由，，可得即為此直二面角的平面角．
對于命題（1），由于面，故，此命題正確；
對于命題（2），在等腰直角三角形中，，
故是等邊三角形，此命題正確；
對于命題（3），與平面所成的線面角的平面角是，故與平面成的角不正確；
對于命題（4），可取中點，的中點，連接，，，
由于，是中位線，可得其長度為正方形邊長的一半，
而是直角三角形的中線，其長度是的一半即正方形邊長的一半，
故是等邊三角形，由此即可證得與所成的角為；
綜上知（1）（2）（4）是正確的．
故答案為：（1）（2）（4）
四．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知，．
（1）若，且，求；
（2）若與互相垂直，求實數(shù)．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）計算，設(shè)，根據(jù)向量模長公式計算得到答案.
（2），，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，解得答案.
【小問1詳解】
，，，，設(shè)，
，解得，故或.
【小問2詳解】
，
，
與互相垂直，即，
解得或.
18. 已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；
（1）試用、、表示；
（2）求的長度.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）用向量的線性運算求；
（2）把（1）等式平方，由數(shù)量積的運算求模．
【詳解】解：（1）
（2）
，，
所以
．
的長度為．
19. 如圖，在直三棱柱中，，．
（1）求異面直線和所成角的大??；
（2）求直線和平面所成角的大?。?br>【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）、根據(jù)題意可證得兩兩垂直，以為坐標原點建立空間直角坐標系，然后根據(jù)即可求出異面直線和所成角的大小；
（2）、先求出平面的一個法向量，然后根據(jù)即可求出直線和平面所成角的正弦值，進而求出直線和平面所成角的大小.
【小問1詳解】
為直三棱柱，⊥平面，,
又，兩兩垂直，
以為坐標原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則
設(shè)直線和所成角的大小為，則，
又，，直線和所成角的大小為．
【小問2詳解】
由（1）可知：
設(shè)平面的一個法向量，
則，取，得，
設(shè)直線和平面所成角的大小為，則，．
直線和平面所成角的大小為．
20. 如圖,四邊形為正方形,平面,,且.
（1）證明：平面平面
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)面面平行的判定定理,先由,證明平面,再由證明平面,一個面中兩條相交直線平行于另一個面，進而證明面面平行即可;
(2)根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標系,寫出點的坐標,分別求出平面和平面的法向量,求出兩個法向量夾角的余弦值的絕對值,即面與面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
證明:由題知四邊形為正方形,
,
平面,平面,
平面,
平面,平面,
平面,
平面,平面,
平面平面得證;
【小問2詳解】
由題知,平面,且四邊形為正方形,
,
則以原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸建立空間直角坐標系如圖所示:
,
,
,
平面,平面,
平面,
平面法向量為,
記平面法向量為,
,即,
不妨取,可得,
則,
故平面與平面所成角的余弦值為.
21. 如圖，在三棱錐中，，，為的中點．
（1）證明：平面；
（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；
（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)各點坐標，根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程，解得M坐標，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．
【詳解】（1）因為，為的中點，所以，且．
連結(jié)．
因為，所以為等腰直角三角形，
且，由知．
由知，平面．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．
由已知得
取平面法向量．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量為．
由得，
可取
所以．由已知得．
所以．解得(舍去)，．
所以．
又，所以．
所以與平面所成角的正弦值為．
［方法二］：三垂線＋等積法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．
設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．
［方法三］：三垂線＋線面角定義法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．
在中，過N作，在中，過N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因為，所以．
由平面，可得平面平面，交線為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角．
設(shè)，則，又，所以直線與平面所成角的正弦值為．
［方法四］：【最優(yōu)解】定義法
如圖7，取的中點H，聯(lián)結(jié)，則．過C作平面的垂線，垂足記為T（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．
聯(lián)結(jié)，則為直線與平面所成的角．在中，，所以．
【整體點評】（2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角向量公式以及線面角的向量公式硬算即可求出，是該類型題的通性通法；
方法二：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點到面的距離，由定義求出線面角，是幾何法解決空間角的基本手段；
方法三：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再利用線面角的等價轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線面角解出，是幾何法解決線面角的基本思想，對于該題，略顯麻煩；
方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線面角的定義解決，原理簡單，計算簡單，是該題的最優(yōu)解．
22. 如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；
（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標系，得到相應(yīng)點的坐標，設(shè)出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【詳解】（1）證明：
在正方形中，，因為平面，平面，
所以平面，又因平面，平面平面，
所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以
因為，所以平面．
（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示：
因為，設(shè)，
設(shè)，則有，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個法向量為，則
根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
［方法二］：定義法
如圖2，因為平面，，所以平面．
在平面中，設(shè)．
在平面中，過P點作，交于F，連接．
因為平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．
設(shè)，在中，易求．
由與相似，得，可得．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
［方法三］：等體積法
如圖3，延長至G，使得，連接，，則，過G點作平面，交平面于M，連接，則即為所求．
設(shè)，在三棱錐中，．
在三棱錐中，．
由得，
解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．
【整體點評】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量的夾角的余弦值的絕對值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點面距與線段長度的比值的方法，即可求出．

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