一、選擇題
1．設(shè)集合,,則( )
A.B.C.D.
2．在空間中,下列命題是真命題的是( )
A.三條直線(xiàn)最多可確定1個(gè)平面B.三條直線(xiàn)最多可確定2個(gè)平面
C.三條直線(xiàn)最多可確定3個(gè)平面D.三條直線(xiàn)最多可確定4個(gè)平面
3．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足,則z的實(shí)部與虛部之和為( )
A.3B.5C.7D.9
4．已知,,則( )
A.0B.2C.D.4
5．從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取2張,則抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為( )
A.B.C.D.
6．已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件則的最大值是( )
A.B.0C.2D.4
8．在人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論中,根據(jù)不同的需要,可以設(shè)置不同的激活神經(jīng)單元的函數(shù),其中函數(shù)是比較常用的一種,其解析式為.關(guān)于函數(shù),下列結(jié)論正確的是( )
A.是偶函數(shù)B.是單調(diào)遞增函數(shù)
C.方程有唯一解D.恒成立
9．若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,則圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是( )
A.B.
C.D.
10．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù),,…,的平均值是1,且,,…,的平均值是3,則數(shù)據(jù),,…,的方差是( )
A.1B.2C.3D.4
11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)與E交于A(yíng),B兩點(diǎn),直線(xiàn)與E交于C,D兩點(diǎn),若A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成的梯形的面積為18,則( )
A.14B.12C.16D.18
12．已知正四棱錐外接球的半徑為3,內(nèi)切球的半徑為1,則該正四棱錐的高為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.
14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S的值為_(kāi)_______.
15．在中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若,,,則________.
16．若函數(shù)的最小值為0,則________.
三、解答題
17．人工智能發(fā)展迅猛,在各個(gè)行業(yè)都有應(yīng)用.某地圖軟件接入了大語(yǔ)言模型后,可以為用戶(hù)提供更個(gè)性化的服務(wù),某用戶(hù)提出:“請(qǐng)統(tǒng)計(jì)我早上開(kāi)車(chē)從家到公司的紅燈等待時(shí)間,并形成統(tǒng)計(jì)表.”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過(guò)程中的紅燈等待時(shí)間詳細(xì)統(tǒng)計(jì)出來(lái),將數(shù)據(jù)分成了,,,,（單位:秒）這5組,并整理得到頻率分布直方圖,如圖所示.
（1）求圖中a的值;
（2）估計(jì)該用戶(hù)紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）;
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計(jì)該用戶(hù)在接下來(lái)的10次早上從家到公司的出行中,紅燈等待時(shí)間低于85秒的次數(shù).
18．如圖,在四棱錐中,四邊形ABCD是矩形,M,N分別是PD和BC的中點(diǎn),平面平面ABCD,.
（1）證明:平面PAB;
（2）求三棱錐的體積.
19．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為是等比數(shù)列,,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
20．已知雙曲線(xiàn)的焦距為,且C的離心率為.記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
（1）求C的方程;
（2）證明:“的面積為”是“軸”的必要不充分條件.
21．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
（2）若是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
22．在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)的方程為,曲線(xiàn)的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線(xiàn),的極坐標(biāo)方程;
（2）若射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A（異于極點(diǎn)）,與曲線(xiàn)交于點(diǎn)B,且,求.
23．已知函數(shù).
（1）求不等式的解集;
（2）若不等式恒成立,求的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：由,,得.
故選:A.
2．答案：C
解析：在空間中,三條直線(xiàn)最多可確定3個(gè)平面,
例如:三棱錐中的三個(gè)側(cè)面.
故選:C
3．答案：D
解析：因?yàn)?所以,所以z的實(shí)部與虛部之和為9.
故選:D.
4．答案：C
解析：因?yàn)?因?yàn)?所以,
所以.
故選:C.
5．答案：D
解析：從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取2張,
總共包含,,,,,,,,,這10個(gè)基本事件,
抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)包含其中,,這3個(gè)基本事件,
所以抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為.
故選:D.
6．答案：B
解析：將橢圓方程變形為,因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,所以,解得.
故選:B.
7．答案：D
解析：由題意x,y滿(mǎn)足平面區(qū)域如圖:
聯(lián)立,解得,
所以當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí),z取到最大值為.
故選:D
8．答案：B
解析：對(duì)于A(yíng)項(xiàng),因?yàn)榈亩x域?yàn)镽,且,所以是奇函數(shù),故A項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于B項(xiàng),,
因是增函數(shù),是增函數(shù)且恒為正數(shù),則是減函數(shù),故是增函數(shù),故B項(xiàng)正確;
對(duì)于C,D兩項(xiàng),因,則,可得,即故C,D項(xiàng)都不正確.
故選:B.
9．答案：C
解析：,
由題意得.
令,得,
所以圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是.
故選:C.
10．答案：B
解析：由題意得,,
所以數(shù)據(jù),,…,的方差
.
故選:B
11．答案：A
解析：將代入,得,將代入,得,
所以,因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成的梯形的面積為18,
所以,解得,
故由拋物線(xiàn)定義知.
故選:A
12．答案：D
解析：設(shè)正四棱錐的底邊長(zhǎng)為2a,高為h,外接球半徑,內(nèi)切球半徑.
設(shè)M,N分別為AD和BC的中點(diǎn),則的內(nèi)切圓半徑即為內(nèi)切球半徑.
設(shè),則,.
由,得,即.
另外的外接圓半徑即為正四棱錐的外接球半徑,所以在中,
有,即,即,
所以,解得.
故選:D
13．答案：
解析：由題意得,解得,
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為:
14．答案：45
解析：由框圖可得輸出的.
故答案為:45
15．答案：2
解析：由余弦定理得,代入數(shù)據(jù)得,解得.
故答案為:2.
16．答案：e
解析：由題意可知,,恒成立,
所以恒成立.
令,則是增函數(shù),且,
所以,即恒成立且等號(hào)能成立.
令,則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
所以的最小值為,所以.
故答案為:e.
17．答案：（1）
（2）79.3
（3）7次
解析：（1）因?yàn)楦鹘M頻率之和為1,組距為10,
所以,
解得.
（2）因?yàn)?
所以中位數(shù)位于第三組中,
設(shè)中位數(shù)為x,則,
解得,所以該用戶(hù)紅燈等待時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值為79.3.
（3）由題紅燈等待時(shí)間低于85秒的頻率為,
故估計(jì)該用戶(hù)在接下來(lái)的10次中紅燈等待時(shí)間低于85秒的次數(shù)為次.
18．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）如圖,取PA的中點(diǎn)E,連接EB,EM,
因?yàn)槭堑闹形痪€(xiàn),所以,且,
又因?yàn)榍?所以且,
所以四邊形MEBN是平行四邊形,所以,
又因?yàn)槠矫鍼AB,平面PAB,所以平面PAB;
（2）取AB的中點(diǎn)F,連接PF,
因?yàn)?所以,且,
又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面平面,
平面PAB,所以平面ABCD,
因?yàn)?
所以,
又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn),所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由是等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則由得,所以,
所以,所以,,故由得,
所以,所以,所以;
（2）由（1）可得,當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),.經(jīng)檢驗(yàn)不適合,
所以,所以,
則數(shù)列的前n項(xiàng)和,
,
兩式相減可得,
所以.
20．答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）設(shè)的焦距為2c,則,得,
因?yàn)?所以,
所以,故C的方程為.
（2）當(dāng)軸時(shí),不妨假設(shè)A在第一象限,
由,解得,
則,,
則,必要性得證;
由題意直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)l的方程為,,
聯(lián)立,得,
由且,得且,
,.
,
整理得,則當(dāng)或（滿(mǎn)足且）時(shí),
均有的面積為,所以充分性不成立.
故“的面積為”是“軸”的必要不充分條件.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),,,
因?yàn)?,
所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.
（2）.
因?yàn)槭嵌x域內(nèi)的單調(diào)函數(shù),所以恒成立或恒成立,
即恒成立或恒成立.
令,則.
再令,則,所以是增函數(shù).
因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,,在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,,在單調(diào)遞增.
所以的最小值為.
又因?yàn)?
當(dāng)時(shí),,,所以的值域?yàn)?
所以不可能有恒成立,只有恒成立,且.
故a的取值范圍是.
22．答案：（1）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為:,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為:
（2）
解析：（1）因?yàn)榍€(xiàn)即,
所以由得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為:,
曲線(xiàn)的方程為,
所以由,得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為:,
整理得.
（2）射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A,故,故,
射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)B,故,故,
由于,故,整理得,
因?yàn)?所以,所以.
23．答案：（1）
（2）.
解析：（1）當(dāng)時(shí),,得,即;
當(dāng)時(shí),恒成立;
當(dāng)時(shí),,得,即.
綜上所述,不等式的解集為.
（2）因?yàn)?當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的最小值為5.
由不等式恒成立可得,
解得,
所以的取值范圍是.

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