一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．若,則z的虛部為( )
A.2B.-2C.D.
3．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為( )
A.-24B.-4C.4D.24
4．在中,點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn),記,,則( )
A.B.C.D.
5．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為( )
A.B.C.D.
6．在正方體中,過點(diǎn)B的平面與直線垂直,則截該正方體所得截面的形狀為( )
A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形
7．新風(fēng)機(jī)的工作原理是,從室外吸入空氣,凈化后輸入室內(nèi),同時(shí)將等體積的室內(nèi)空氣排向室外.假設(shè)某房間的體積為,初始時(shí)刻室內(nèi)空氣中含有顆粒物的質(zhì)量為m,已知某款新風(fēng)機(jī)工作時(shí),單位時(shí)間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為,室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度與時(shí)刻t的函數(shù)關(guān)系為,其中常數(shù)為過濾效率,若該款新風(fēng)機(jī)的過濾效率為,且時(shí)室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度是時(shí)的倍,則v的值約為( )
(參考數(shù)據(jù)：,)
8．若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若,且,則( )
A.B.C.D.
10．有一組樣本數(shù)據(jù),,,,,已知,,則該組數(shù)據(jù)的( )
A.平均數(shù)為2B.中位數(shù)為2C.方差為2D.標(biāo)準(zhǔn)差為2
11．在中,,,D是AB的中點(diǎn),將沿CD翻折,得到三棱錐,則( )
A.
B.當(dāng)時(shí),三棱錐的體積為
C.當(dāng)時(shí),二面角的大小為
D.當(dāng)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為
12．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,若,,
則( )
A.為偶函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.D.
三、填空題
13．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則____________.
14．某批麥種中,一等麥種占90%,二等麥種占10%,一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6,0.2,則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為__________.
15．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,則___________.
16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C右支上一點(diǎn),線段與C的左支交于點(diǎn)M.若,且,則C的離心率為_______________.
四、解答題
17．已知公比大于1的等比數(shù)列滿足：,.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,證明：是等差數(shù)列.
18．記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,,求的面積.
19．某地區(qū)對某次考試成績進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取100名學(xué)生的A,B兩門學(xué)科成績作為樣本.將他們的A學(xué)科成績整理得到如下頻率分布直方圖,且規(guī)定成績達(dá)到70分為良好.已知他們中已B學(xué)科良好的有50人,兩門學(xué)科均良好的有40人.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān);
(2)用樣本頻率估計(jì)總體頻率,從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中抽取3人,記這3人中A,B學(xué)科均良好的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：,其中.
20．如圖,四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面,點(diǎn)F在底面圓O上,,,點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn)．
（1）證明：平面DAF;
（2）求直線EF與平面DAF所成角的正弦值．
21．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓的右焦點(diǎn),過F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn).當(dāng)A為短軸頂點(diǎn)時(shí),的周長為.
(1)求C的方程;
(2)若線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P,Q,點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),求
的取值范圍.
22．已知函數(shù)，其中.
(1)若，證明：；
(2)設(shè)函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)?故選：C.
2．答案：B
解析：因?yàn)?故選：B
3．答案：D
解析：有二項(xiàng)式定理,得,故選：D
4．答案：D
解析：因?yàn)?故選：D
5．答案：C
解析：如圖，當(dāng)直線與圓C相切，且A為切點(diǎn)時(shí)，最大，易得.由得，即，，所以，.故選C.
6．答案：A
解析：如圖所示,正方體中,連接AC,,,BD,
平面ABCD,平面ABCD,,
又,AC,是平面內(nèi)的相交直線,
平面,平面,,同理可得,
,平面,即所在平面是經(jīng)過點(diǎn)B與垂直的平面,
因此,平面截該正方體所得截面的形狀為三角形,A正確.
故選:A.
7．答案：B
解析：由題意得
因?yàn)?得,從而,
故選：B.
8．答案：B
解析：由,有一根,
區(qū)間端點(diǎn)對稱,左端點(diǎn)為實(shí)心點(diǎn),故得,
故選：B.
9．答案：ABD
解析：由,,則,故A正確.
B.由,則,故B正確
C．,故C錯(cuò)誤
D．,故D正確
10．答案：AC
解析：A.由,得,故A正確
B.已知,,不能確定樣本數(shù)據(jù)具體值
C,D,,故C正確,D不正確
11．答案：ACD
解析：A．由翻折可知,,易知平面,則,故,故A正確
B．當(dāng)時(shí),平面,則
C．當(dāng)時(shí),易知,而,,故二面角的大小為
D．正確,利用二面角外接球單交線終極公式,
含二面角的外接球終極公式：
雙距離單交線公式：
如右圖,若空間四邊形中,二面角的平面角大小為,外接圓圓心為,的外接圓圓心為,E為公共弦中點(diǎn),則,,,,,由于O、、E、四點(diǎn)共圓,且,根據(jù)余弦定理,.
12．答案：BC
解析：A．,則為偶函數(shù),故A錯(cuò)誤
B.由,得,令,則,故B正確
C．由,得,則,故C正確
D．由B知,,代入得,
則
13．答案：
解析：
14．答案：0.56
解析：
15．答案：
解析：n為奇數(shù),,則;n為偶數(shù)時(shí),
故.
16．答案：
解析：易知為等比三角形,設(shè),
對于M點(diǎn),根據(jù)第一定義得,
對于P點(diǎn),根據(jù)第一定義得,
得,在中使用余弦定理
得：,
,故.
17．答案：(1)
(2)是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列
解析：(1)設(shè)公比為,由得,則;
(2)由,兩式相減得：,
整理得：,則,即,又得,
則,故是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由正弦定理,結(jié)合,
可得,進(jìn)一步,則
(2)若,則,則,
則
19．答案：(1)有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān)
(2)1.2
解析：(1)由頻率分布直方圖可知樣本中A學(xué)科成績良好的有人,
數(shù)據(jù)見表格,則,
故有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān).
(2)樣本中A,B學(xué)科均良好的人數(shù)占,
可知,,
分布列如下：
.
20．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證法一：連接OE,OG．
在圓柱OE中,四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面,所以．
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF．
在中,點(diǎn)O,G分別是AB和BF的中點(diǎn),所以．
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF．
又,OE,平面OEG,所以平面平面DAF．
又平面OEG,所以平面DAF．
證法二：取AF的中點(diǎn)M,連接MD,MG．
因?yàn)辄c(diǎn)M,G分別是FA和FB的中點(diǎn),所以,．
在圓柱OE的軸截面四邊形ABCD中,,,
所以,因此四邊形DEGM是平行四邊形．
因此．
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF．
證法三：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的中垂線為x軸,OB為y軸,OE為z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則,．
因?yàn)锳B為底面圓O的直徑,點(diǎn)F在圓O上,所以．
又,所以,因此．
因?yàn)辄c(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn),所以,
因此．
因?yàn)槠矫鍭BF,平面ABF,所以．
又,,AF,平面DAF,所以平面DAF,
因此是平面DAF的一個(gè)法向量．
因?yàn)?
又平面DAF,所以平面DAF．
（2）法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的中垂線為x軸,OB為y軸,OE為z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則,．
因?yàn)锳B為底面圓O的直徑,點(diǎn)F在圓O上,所以．
又,所以,因此．
因此,．
因?yàn)槠矫鍭BF,平面ABF,所以．
又,,AF,平面DAF,所以平面DAF,
因此是平面DAF的一個(gè)法向量．
設(shè)EF與平面DAF所成角為,,
則,
所以EF與平面DAF所成角的正弦值為．
法二：由（1）得平面DAF,

所以點(diǎn)E到平面DAF的距離等于點(diǎn)G到平面DAF的距離．
因?yàn)槠矫鍭BF,平面ABF,所以．
因?yàn)锳B為底面圓O的直徑,點(diǎn)F在圓O上,所以．
又,AF,平面DAF,所以平面DAF．
所以點(diǎn)E到平面DAF的距離．
連結(jié)OE,OF,則,所以．
設(shè)EF與平面DAF所成角為,,則,
所以EF與平面DAF所成角的正弦值為．
法三：過F作AD的平行線交上底面于點(diǎn)H,連結(jié)DH,
則平面ADF即為平面AFHD．
過E作,K為垂足,
平面DHC,平面DHC,
故,,,平面AFHD,則平面AFHD,
則為EF與平面ADF所成的角．
連接HC,則,則,
而E為DC中點(diǎn),故K為DH的中點(diǎn),故,
由于HCBF為平行四邊形,故,
故,．
設(shè)EF與平面DAF所成角為,,則,
所以EF與平面DAF所成角的正弦值為．
21．答案：(1)
(2)
解析：(1),,,由,解得
所以C的方程為
(2)設(shè),由,得
又,即
整理得,解得
則
直線,
令,得
.
22．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：若，則，
且，則，
令，得.
在上，，單調(diào)遞減；
在上，，單調(diào)遞增；
故.
（2），.
當(dāng)時(shí)，易得，所以由（1）可得，
若，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
這與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾.
若，令，則，
又令，則對恒成立，
所以在上單調(diào)遞增.
又，，
因?yàn)?，所以?br>因此存在唯一，使得，
所以，在上，，單調(diào)遞減，
又，
所以在上，，故單調(diào)遞增；
在上，，故單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足題意.
綜上，a的取值范圍為.
B學(xué)科良好
B學(xué)科不夠良好
合計(jì)
A學(xué)科良好
40
30
70
A學(xué)科不夠良好
10
20
30
合計(jì)
50
50
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064

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