南京市2022屆高三上學(xué)期8月學(xué)情檢測考前熱身卷數(shù)學(xué)試題  一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1．已知非零向量，，那么“?的夾角為鈍角”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．3．已知，，且，則的最大值為（    ）A．1 B． C．2 D．4．某課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（    ）A． B．C． D．5．九連環(huán)是一個(gè)古老的智力游戲，在多部中國古典數(shù)學(xué)典籍里都有對其解法的探究，在《九章算術(shù)》中古人對其解法的研究記載如下：記解n連環(huán)需要的步驟為，，研究發(fā)現(xiàn){an+1}是等比數(shù)列，已知，則（    ）A．127 B．128 C．255 D．2566．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．?dāng)€尖建筑的屋面在頂部交匯為一點(diǎn)，形成尖頂，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校園內(nèi)的明心亭，為一個(gè)八角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正八棱錐，設(shè)正八棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，它的側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長度之比為（    ）．A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的所有零點(diǎn)為，當(dāng)號時(shí)，（    ）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，滿足，則對于任意實(shí)數(shù)，的最小值為（    ）A．4 B．16 C．17 D．25二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分.每題全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．若函數(shù)，則（    ）A．是周期函數(shù) B．在上有4個(gè)零點(diǎn)C．在上是增函數(shù) D．的最小值為10．已知P為雙曲線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，線段PA，PB的長分別為m，n，則下列結(jié)論正確的是 （    ）A．∠APB＝ B．k1k2＝ C．mn＝ D．|AB|≥11．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，若，則（    ）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是B．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為C．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是D．，其中為虛數(shù)單位12．已知數(shù)列滿足：，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減 B．C． D．三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．的展開式中的系數(shù)為_____.14．已知 ，則___________.15．如圖，在底面邊長為，高為的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為___________．16．已知函數(shù)，對任意的，使得，則___________.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（本題滿分10分）在①數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，且是和的等差中項(xiàng)，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的k存在，求出k的最小值；若不存在，說明理由．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，____，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)k，使得恒成立？18．（本題滿分12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，設(shè)為的面積，滿足．（1）求角的大小；（2）若邊長，求的周長的取值范圍．19．（本題滿分12分）某農(nóng)林科技大學(xué)培育出某一小麥新品種，為檢驗(yàn)該新品種小麥的最佳播種日期，把一塊地均分為，兩塊試驗(yàn)田（假設(shè)，兩塊試驗(yàn)田地質(zhì)情況一致），10月10日在試驗(yàn)田播種該新品種小麥，10月20日在試驗(yàn)田播種該新品種小麥，小麥?zhǔn)崭詈螅瑥倪@兩塊試驗(yàn)田收獲的小麥中各隨機(jī)抽取了20份（每份1000粒），并測其千粒重（單位：），按照[20，30)，[30，40)，[40，50]進(jìn)行分組，得到如下表格．其中千粒重不低于的小麥視為飽滿，否則為不飽滿． [20，30)[30，40)[40，50]試驗(yàn)田/份479試驗(yàn)田/份7103（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為小麥?zhǔn)欠耧枬M與播種日期有關(guān)； 10月10日播種10月20日播種合計(jì)飽滿   不飽滿   合計(jì)   （2）從，兩塊試驗(yàn)田的樣本中各隨機(jī)抽取1份小麥，求抽取的2份小麥中至少有1份飽滿小麥的概率；（3）用樣本估計(jì)總體，從試驗(yàn)田隨機(jī)選取50份（每份1000粒）小麥，記飽滿的小麥份數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．（）0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828 20．（本題滿分12分）如圖，，分別是圓臺上下底面的圓心，是下底面圓的直徑，，點(diǎn)是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)不在上）.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.21．（本題滿分12分）已知點(diǎn)，，的周長等于，點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）是否存在過原點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在線段上），且，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.22．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．   一、單項(xiàng)選擇題12345678ADDDCACB       二、多項(xiàng)選擇題9101112BCACBCABC  三、填空題13.    4096       14.          15.       16.   -3   四、解答題17. 解：若選①時(shí)，數(shù)列為公比為q的遞增的等比數(shù)列，，且是和的等差中項(xiàng)，故，解得，整理得，故或（舍去），所以．所以．所以，當(dāng)時(shí)，使得恒成立，故k的最小值為1． 若選②時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以．所以，當(dāng)時(shí)，使得恒成立，故k的最小值為1．18. （1）的面積滿足，由面積公式和余弦定理得，則，即，又，所以．（2）因?yàn)?/span>，，所以由正弦定理得，則的周長，由得，則，所以，故的周長的取值范圍是，．19. （1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下： 10月10日播種10月20日播種合計(jì)飽滿9312不飽滿111728合計(jì)202040由表中的數(shù)據(jù)可得，由于，所以有95%的把握認(rèn)為小麥?zhǔn)欠耧枬M與播種日期有關(guān)．（2）解法一：由（1）可得，從試驗(yàn)田的樣本中隨機(jī)抽取1份小麥，抽到飽滿小麥的概率為，從試驗(yàn)田的樣本中隨機(jī)抽取1份小麥，抽到飽滿小麥的概率為，所以從，兩塊試驗(yàn)田的樣本中各隨機(jī)抽取1份小麥，抽取的2份小麥中至少有1份飽滿小麥的概率．解法二：由（1）可得，從試驗(yàn)田的樣本中隨機(jī)抽取1份小麥，抽到飽滿小麥的概率為，從試驗(yàn)田的樣本中隨機(jī)抽取1份小麥，抽到飽滿小麥的概率為，所以從，兩塊試驗(yàn)田的樣本中各隨機(jī)抽取1份小麥，抽取的2份小麥中沒有飽滿小麥的概率，故所求概率．（3）因?yàn)閺?/span>試驗(yàn)田的樣本中隨機(jī)抽取1份小麥，抽到飽滿小麥的概率為，所以，故．20. （1）由題意，分別是圓臺上下底面的圓心，可得底面，因?yàn)?/span>底面，所以，又由點(diǎn)是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個(gè)動點(diǎn)，可得，又因?yàn)?/span>，且平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?/span>，則，，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，所以，又由，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，所以，所以，因?yàn)槎娼?/span>為鈍角，所以二面角的余弦值為. 21. 解：（1）設(shè)，，由得，，.已知點(diǎn)，，的周長等于，，則點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.，，所以，，.故點(diǎn)的軌跡方程為（）.將，代入（）并化簡得到點(diǎn)的軌跡的方程：（）.（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求得，，，，符合要求.此時(shí)直線的方程為：.當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.由消去整理得，由韋達(dá)定理得，，則.圓心到直線的距離，則..，整理得，，即.此時(shí)直線的方程為.綜上，符合條件的直線存在三條，其方程為和.22. （1）當(dāng)時(shí)，，可得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>，，，所以，．（2）因?yàn)?/span>，可得：．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，故不成立；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，成立；③當(dāng)時(shí)，令，得或．當(dāng)時(shí)，，恒成立，在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即．若或，則；若，則．在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，即．若或，則；若時(shí)，則．在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)， ，．僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是． 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org

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