一、選擇題
1．在空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
2．對A,B兩地國企員工上班遲到情況進行統(tǒng)計,可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布,其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min）,,對應(yīng)的曲線為,B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min）,,對應(yīng)的曲線為,則下列圖象正確的是( )
A.B.
C.D.
3．在寒假中,某小組成員去參加社會實踐活動,已知該組成員有4個男生?2個女生,現(xiàn)將他們分配至兩個社區(qū),保證每個社區(qū)有2個男生?1個女生,則不同分配方法有________種( )
A. 6B. 9C. 12D. 24
4．設(shè)隨機變量X的分布列為,,則X的數(shù)學(xué)期望( )
A.B.C.D.
5．將編號為1,2,3,4,5的小球放入編號為1,2,3,4,5的小盒中,每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為( )
A.B.C.D.
6．已知平行六面體中,,,,則( )
A.B.C.D.
7．的展開式中x的系數(shù)是( )
A.-32B.152C.88D.
8．設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,且,,,則( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列說法中,正確的是( )
A.設(shè)有一個經(jīng)驗回歸方程為,變量增加1個單位時,平均增加2個單位
B.已知隨機變量X服從超幾何分布,則
C.樣本相關(guān)系數(shù)r越大,兩個變量的線性相關(guān)程度越強,反之,線性相關(guān)程度越弱
D.將4名老師分派到兩個學(xué)校支教,每個學(xué)校至少派1人,則共有14種不同的分派方法
10．下列說法正確的是( )
A.若隨機變量~,則
B.若隨機變量X的方差,則
C.若,,,則事件A與事件B獨立
D.若隨機變量X服從正態(tài)分布,若,則
11．在棱長為2的正方體中,點F滿足,則( )
A.當(dāng)時,平面平面
B.任意,三棱錐的體積是定值
C.存在,使得與平面所成的角為
D.當(dāng)時,平面截該正方體的外接球所得截面的面積為
三、填空題
12．將4個相同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中,共有___________種放法（數(shù)字作答）
13．____________
14．如圖,長方體的頂點A在平面內(nèi),其余頂點均在平面的同側(cè),,,,若頂點B到平面的距離為2,頂點D到平面的距離為2,則頂點到平面的距離為__________.
四、解答題
15．如圖,在四棱柱中,側(cè)棱平面,,,,,E為棱的中點,M為棱的中點．
（1）證明：;
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
16．在的展開式中,前3項的系數(shù)成等差數(shù)列,且第二項的系數(shù)大于1
（1）求展開式中含的項;
（2）求展開式中系數(shù)最大的項．
17．現(xiàn)有編號為1,2,3的三個口袋,其中1號口袋內(nèi)裝有兩個1號球,一個2號球和一個3號球;2號口袋內(nèi)裝有兩個1號球,一個3號球;3號口袋內(nèi)裝有三個1號球,兩個2號球;第一次先從1號口袋內(nèi)隨機抽取1個球,將取出的球放入與球同編號的口袋中,第二次從該口袋中任取一個球,
（1）在第一次抽到3號球的條件下,求第二次抽到1號球的概率;
（2）求第二次取到2號球的概率;
18．在四棱柱中,已知平面,,,,,E是線段上的點．
（1）點到平面的距離;
（2）若E為的中點,求異面直線與所成角的余弦值;
（3）在線段上是否存在點E,使得二面角的余弦值為？若存在,請確定E點位置;若不存在,試說明理由．
19．有甲乙兩個骰子,甲骰子正常且均勻,乙骰子不正常且不均勻,經(jīng)測試,投擲乙骰子得到6點朝上的概率為p,若投擲乙骰子共6次,設(shè)恰有3次得到6點朝上的概率為,是的極大值點．
（1）求;
（2）若且等可能地選擇甲乙其中的一個骰子,連續(xù)投擲3次,在得到都是6點朝上的結(jié)果的前提下,求這個骰子是乙骰子的概率;
（3）若且每次都等可能地選擇其中一個骰子,共投擲了10次,在得到都是6點朝上的結(jié)果的前提下,設(shè)這10次中有X次用了乙骰子的概率為,試問當(dāng)X取何值時最大？并求的最大值（精確到0.01）．(參考數(shù)據(jù))
參考答案
1．答案：A
解析：在空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于平面對稱點的坐標(biāo)為．
故選：A.
2．答案：D
解析：由可知,由可知,
因,故曲線的對稱軸應(yīng)在曲線的右側(cè),排除A,B兩項;
又因,故曲線比曲線“矮胖”,總體分布較分散,排除C項.
故選：D.
3．答案：C
解析：男生的分配方法有,女生的分配方法有,
所以總的分配方法有,
故選：C.
4．答案：A
解析：因為隨機變量X的分布列為,,
所以,解得,
所以,,,
所以.
故選：A.
5．答案：B
解析：由題得任意放球共有種方法,如果有2個小球與所在的盒子的編號相同,
第一步：先從5個小球里選2個編號與所在的盒子相同,有種選法;
第二步：不妨設(shè)選的是1、2號球,則再對后面的3,4,5進行排列,且3個小球的編號與盒子的編號都不相同,則有兩種,
所以有2個小球與所在的盒子的編號相同,共有種方法．
由古典概型的概率公式得恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為,
故選:B
6．答案：B
解析：因為
所以,
.
故選：B.
7．答案：C
解析：因為的展開式的通項為,
所以的展開式中x的系數(shù)是．
故選：C
8．答案：D
解析：因為,,所以,,
又,所以,
所以,
所以.
故選：D.
9．答案：BD
解析：對于A,因為回歸方程的斜率參數(shù)為-2,故變量x增加1個單位時,平均減少2個單位,故A錯誤.
對于B,因為隨機變量X服從超幾何分布,
所以,故B正確.
對于C,樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大,兩個變量的線性相關(guān)程度越強,故C錯誤.
對于D,將4名老師分派到兩個學(xué)校支教,每個學(xué)校至少派1人,共有,故D正確.
故選：BD.
10．答案：ACD
解析：隨機變量,則,故A正確;
隨機變量X的方差,則,故B錯誤;
由,即事件A與事件B獨立,故C正確;
隨機變量X服從正態(tài)分布,,
則,故D正確．
故選：ACD．
11．答案：BC
解析：A：當(dāng)時,F與重合,又,均是等邊三角形,
設(shè),則O為的中點,所以,,
所以為二面角的平面角,
在中,由正方體的棱長為2,得,,
所以,則,所以平面與平面不垂直,故A錯誤;
B：因為平面,,
所以對于,F到平面的距離為定值,又的面積也為定值,
所以三棱錐的體積為定值,故B正確;
C：當(dāng)時,F與重合,由三垂線定理得,,
又平面,所以平面（即平面）,
此時與平面所成的角為;
當(dāng)時,F與重合,此時易知平面,
設(shè),,則H為的中點,
所以在平面（即平面）內(nèi)的射影為,
故即為與平面所成的角,
又,所以.
綜上,存在,使得與平面所成的角為,故C正確;
D：因為正方體的外接球的球心P為正方體的體心,且外接球的直徑為正方體的體對角線,
所以,解得,
當(dāng)時,F為靠近的三等分點,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,所以,,
設(shè)平面的一個法向量為,則,
令,則,所以,故球心P到平面的距離為,
所以平面截正方體的外接球所得截面小圓半徑為,
得該小圓面積為,故D錯誤.
故選：BC.
12．答案：35
解析：依題意,①放入一個盒子中,則有種放法;
②放入兩個盒子中,首先選出兩個盒子有種,個相同的小球分成兩堆,有,兩種方法,
若是,則放法只有一種,若是,則放法有種,
所以有種放法;
③放入三個盒子中,首先選出三個盒子有種,每個盒子給一個球,多出一個球有種放法,則有種放法;
④放入四個盒子中,則有種放法;
綜上可得,一共有種放法.
故答案為：
13．答案：
解析：由題意知,
.
故答案為：
14．答案：
解析：以A為原點,,,所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
所以,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
由題意可得,解得,
所以頂點到平面的距離為.
故答案為：.
15．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因為底面,,平面,
所以,
而,
所以、、兩兩互相垂直,
不妨以點A為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為x、y、z軸建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則、、、、、,,
,,
因為,所以,則;
（2）,,
,
因此,異面直線與所成角的余弦值為.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）二項式通項公式為
,
所以第一項的系數(shù)為：,第二項的系數(shù)為：,第三項的系數(shù)為：,
由于前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,所以,解得,或 （舍去）,
二項式通項公式為,
根據(jù)題意,得,解得,因此,展開式中含的項為.
（2）設(shè)第k項的系數(shù)最大,故,
即,即,
解得,因為,所以或,
故系數(shù)最大的項為或．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）記事件,分別表示第一次、第二次取到i號球,,
則第一次抽到3號球的條件下,第二次抽到1號球的概率;
（2）依題意,,兩兩互斥,其和為,并且,,
,,,,
,,,
應(yīng)用全概率公式,有.
18．答案：（1）
（2）
（3）存在,點E在D處或在靠近的三等分點處
解析：（1）過A作直線平面,
則可以點A為坐標(biāo)原點,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則有,,,,,,
則,,
設(shè)面的一個法向量為,則,
令,則,,所以,
所以點到面的距離.
（2）因為E為的中點,所以,所以,,
所以
所以異面直線與AE所成角的余弦值為．
（3）設(shè),其中,
則,,
設(shè)面的一個法向量為,
則有,令,則,,
所以,平面的一個法向量為,
設(shè)平面的一個法向量為,
則,令,則,,
所以平面的一個法向量為,
所以,
若存在點E,使得二面角的余弦值為,
則,所以,解得或,
故存在或滿足題意,即存在點E在D處或在靠近的三等分點處．
另解：
連接,則,易得,所以,
又平面,,
所以,,所以兩兩互相垂直,
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
設(shè),,則,
所以,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則,即,
令,得,,所以,
同理可得平面的一個法向量,
所以,即,
解得或,所以存在點E在D處或在靠近的三等分點處．
19．答案：（1）
（2）
（3）時最大,且最大值為
解析：（1）設(shè)恰有3次得到6點朝上的概率為,
則,,
令,得,
當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減,
故的極大值點．
（2）設(shè)事件3次6點朝上,事件選擇了乙骰子,
則,,
故所求概率為.
（3）設(shè)事件{10次有k次用了乙骰子,則.
設(shè)事件10次6點朝上,則.
,
,
令,,
則.
由可得,,解得
所以的最大值是,所以當(dāng)時最大,
且最大值.

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