一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．若向量,的夾角為,則( )
A.B.C.D.
3．已知圓關(guān)于直線對稱,則的最小值是( )
A.2B.3C.6D.4
4．的展開式中項的系數(shù)為( )
A.B.C.D.
5．已知函數(shù)有三個零點,則b的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．如圖所示,為測量一座古塔的高度,工作人員從塔底同一水平面的A處測得塔頂C的仰角為,然后從A處出發(fā)朝古塔方向走了60米到達B處,在B處測得塔頂C的仰角為,把塔頂正下方的一點記為點D,則該古塔的高度為( )
A.米B.米C.米D.米
7．已知直線與橢圓相交于A,B兩點,橢圓的兩個焦點是,,線段的中點為,則的面積為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)滿足：對任意實數(shù)x,y,都有成立,且.給出下列四個結(jié)論：①;②的圖象關(guān)于點對稱;③若,則;④,.其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①③B.③④C.②③D.②④
二、多項選擇題
9．已知復(fù)數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.若z為純虛數(shù),則
B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限,則
C.若,則
D.若,則
10．已知函數(shù),若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.將的圖象向右平移個單位長度后,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
C.的圖象關(guān)于點對稱
D.在上單調(diào)遞增
11．已知拋物線的準(zhǔn)線l與圓相切,P為C上的動點,N是圓M上的動點,過P作l的垂線,垂足為Q,C的焦點為F,則下列結(jié)論正確的是( )
A.點F的坐標(biāo)為
B.的最小值為
C.存在兩個P點,使得
D.若為正三角形,則圓M與直線PQ相交
三、填空題
12．已知函數(shù),則_____________.
13．在三棱錐中,,,D為AC的中點,平面ABC,且,則三棱錐外接球的表面積為________________________.
四、雙空題
14．已知一組樣本數(shù)據(jù)1,2,m,6的極差為6,若,則______________,這組數(shù)據(jù)的方差為_______________.
五、解答題
15．已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極小值.
16．甲、乙兩人進行圍棋比賽,每局勝者得1分,負者得0分,約定一方比另一方多3分或比賽滿7局時結(jié)束,并規(guī)定：當(dāng)一方比另一方多3分或比賽滿7局時,得分多的一方才算贏.假設(shè)在每局比賽中不存在平局,且甲每局獲勝的概率為,各局比賽相互獨立.已知前3局中,甲勝1局,乙勝2局,兩人又打了X局后比賽結(jié)束.
(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;
(2)求X的分布列及期望.
17．在三棱錐中,,,,E為線段的中點.
(1)證明：.
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知雙曲線的離心率為,實軸長為6,A為雙曲線C的左頂點,設(shè)直線l過定點,且與雙曲線C交于E,F兩點.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)證明：直線AE與AF的斜率之積為定值.
19．若n項有窮數(shù)列滿足,,…,,即,則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”,,若,,成等差數(shù)列,且,試寫出所有可能的數(shù)列.
(2)已知遞增數(shù)列的前n項和為,且.
①求的通項公式;
②組合數(shù),,,,具有對稱性,恰好構(gòu)成一個“對稱數(shù)列”,記,求.
參考答案
1．答案：A
解析：由題可知,,
所以,
故選：A.
2．答案：C
解析：由題可知,,
故選：C.
3．答案：D
解析：因為圓關(guān)于直線對稱,
所以直線l過圓心,即,
則
因為,且,所以,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)即,等號成立,
則的最小值是4.
故選：D.
4．答案：B
解析：由二項式定理得的展開式的通項為,
化簡得,
令,解得,
所以項的系數(shù)為,故B正確.
故選：B.
5．答案：B
解析：因為有三個零點,
所以有三個根,所以和有三個交點,
而,令,,
令,,
所以在,上分別單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以極小值為,極大值為,
當(dāng)時,,時,,
所以,故B正確.
故選：B.
6．答案：C
解析：由題意得,,,,
所以,且設(shè),得到即為所求古塔高度,
而,
由銳角三角函數(shù)的定義得,
解得,故C正確.
故選：C.
7．答案：B
解析：設(shè),,由題可知,,,
則,所以,即,解得,
所以,則,
所以,
故選：B.
8．答案：C
解析：對于①,令,則,所以,故錯誤;
對于②,令,則,
所以的圖象關(guān)于對稱,所以的圖象關(guān)于點對稱,故正確;
對于③,因為,若,則,故正確;
對于④,令,則,可得,
令,則,故錯誤.
故選：C.
9．答案：BCD
解析：由,
若z為純虛數(shù),即且,則,故A錯誤;
若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限,則,得,即,故B正確;
若,則,則,故C正確;
若,則,解得,故D正確.
故選：BCD.
10．答案：BC
解析：因為,
所以,
所以,而將的圖象平移后能與
函數(shù)的圖象完全重合,所以,解得,故A錯誤,
此時,向右平移個單位長度后,
設(shè)得到的新函數(shù)為,,
由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù),故B正確,
令,,解得,
當(dāng)時,,所以的圖象關(guān)于點對稱,故C正確,
由題意得,,,
所以在上不單調(diào),故D錯誤.
故選：BC
11．答案：ACD
解析：對A,準(zhǔn)線與圓相切,
可知,可得,所以,故A正確;
對B,根據(jù)可得,
可確定最小值為,故B錯誤;
對C,若,則,做中垂線,
根據(jù)題意知,,設(shè)B為中點,則可得,
直線斜率為,根據(jù)點斜式可確定為,
與拋物線聯(lián)立得,
,
所以可知有兩個解,所以存在兩個P點,使得,故C正確;
對D,根據(jù)為正三角形,所以,則,
且,所以可得,和圓與y軸交點為,
,所以可知圓M與直線PQ相交,故D正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：因為函數(shù),
所以,
所以.
故答案為：.
13．答案：
解析：在中,,,
由余弦定理得,
所以,設(shè)的外接圓的半徑為r,
則由正弦定理得,解得
結(jié)合圖形分析：

因為D為AC的中點,平面ABC,且,
在中,,,
又,則圓心到D點的距離為,
另設(shè)三棱錐的外接球球心O到平面的距離為,設(shè)外接球的半徑為R,
則中,,即,
直角梯形中,,即,
解得,,所以.
故答案為：.
14．答案：7;
解析：因為一組樣本數(shù)據(jù)1,2,m,6的極差為6,且,
所以,解得,則,
所以方差為.
故答案為：7,.
15．答案：(1)
(2)的增區(qū)間為,,減區(qū)間為;的極小值為
解析：(1)因為,定義域為,
所以,,
則,又,
所以曲線在點處的切線方程為,即,
令得,令得,
故所求三角形的面積為.
(2)因為,,
令得或,
令得或,令得,
又函數(shù)的定義域為,
所以的增區(qū)間為,,減區(qū)間為,
所以的極小值為.
16．答案：(1)
(2)分布列詳見解析,數(shù)學(xué)期望為
解析：(1)情況1：在接下來的比賽中,甲連贏3局,則甲獲勝,
概率為;
情況2：在接下來的比賽中,前3局甲贏2局,負1局,第4局甲贏,則甲獲勝,
概率為.
所以甲獲得這次比賽勝利的概率為.
(2)X的可能取值為2,4,
時,在接下來的比賽中,乙連贏2局,
所以,則,
所以X的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)作面,,
如圖,以中點O為原點建立如下空間直角坐標(biāo)系,
所以,因為,
所以,是等邊三角形,設(shè),
因為E為線段的中點,所以,,
故,所以,,
得到,
因為,所以,
而,,
所以,
解得,,所以,,
所以,設(shè),因為是等邊三角形,
所以,故,而,,
所以,解得,所以,
因為,所以,
,故,
由兩點間距離公式得,解得,,
所以,故,
而,可得,故得證.
(2)由上問得,
,設(shè)面的法向量為,
所以,故得到,
令,解得,,所以,
而,,
設(shè)面的法向量為,
所以,故得到,
令,解得,,所以,
設(shè)平面與平面的夾角為,
所以,
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18．答案：(1)
(2)證明見詳解
解析：(1)因為雙曲線的實軸長為6,所以,
因為雙曲線的離心率為,所以,解得,
由,得,則C的方程為.
(2)設(shè),,因為直線l過定點,顯然直線l不垂直于y軸,
則設(shè)直線,
聯(lián)立方程組,消去x得,
由,得,
則,,
因為A為雙曲線C的左頂點,所以,
直線AE的斜率,直線AF的斜率,
所以
,
即直線AE與AF的斜率之積為定值.
19．答案：(1)答案見解
(2)①;②
解析：(1)因為,,成等差數(shù)列,所以,
又,所以,則,
①當(dāng)時,,,,
則所以可能數(shù)列為：;;;;
①當(dāng)時,
由,解得,,,,
當(dāng)時,由,且,,所以不合題意舍去;
所以可能數(shù)列為：;;;;;;;;;;;.
綜上,所有可能的數(shù)列為：;;;;;;;;;;;;;;;.
(2)①當(dāng)時,,則;
當(dāng),,
所以,
因為為遞增數(shù)列,且,所以時,,
所以,即,
所以為首項為,公差為2的等差數(shù)列,
;
②
,
設(shè),
兩邊求導(dǎo)得,,
令,則,
所以,
所以,
設(shè),
則,
兩式相減得,
所以,
所以.
X
2
4
P

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