新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第10章第5節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布（含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第10章第5節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布（含解析），共18頁(yè)。
1.結(jié)合古典概型，考查條件概率、獨(dú)立事件的概率的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，考查隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合頻率分布直方圖，考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)、3σ原則的應(yīng)用，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．條件概率
(1)條件概率的定義
設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．
(2)條件概率的性質(zhì)
①條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即0≤P(B|A)≤1.
②如果B，C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互獨(dú)立事件的概率
(1)相互獨(dú)立事件的定義及性質(zhì)
①定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．
②性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也都相互獨(dú)立．
(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式
在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)二項(xiàng)分布的定義
在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
3．正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的定義
函數(shù)φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e SKIPIF 1 < 0 ，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)，稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．
(2)正態(tài)分布的定義及表示
如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，隨機(jī)變量X滿足P(a＜X≤b)＝eq \i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作N(μ，σ2)．
(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)
①曲線位于x軸的上方，與x軸不相交．
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．
③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
④曲線與x軸之間的面積為1.
⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移．
⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
(4)正態(tài)分布中的3σ原則
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6.
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4.
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(條件概率)甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來(lái)的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時(shí)下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，則P(A|B)和P(B|A)分別等于( )
A.eq \f(1,3)，eq \f(2,5) B.eq \f(2,3)，eq \f(2,5)
C.eq \f(2,3)，eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)，eq \f(3,5)
解析：選C P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(0.12,0.18)＝eq \f(2,3)，P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(0.12,0.2)＝eq \f(3,5).
2．(正態(tài)分布)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析：選C ∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
3．(二項(xiàng)分布)設(shè)隨機(jī)變量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)等于________．
解析：∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,2)))，∴P(X＝3)＝Ceq \\al(3,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))3＝eq \f(5,16).
答案：eq \f(5,16)
4．(相互獨(dú)立事件)甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測(cè)試．他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人都達(dá)標(biāo)的概率為_(kāi)_______，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為_(kāi)_______．
解析：每個(gè)人是否達(dá)標(biāo)是相互獨(dú)立的，
“三人中至少有一人達(dá)標(biāo)”的對(duì)立事件為“三人均未達(dá)標(biāo)”，
設(shè)三人都達(dá)標(biāo)為事件A，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)為事件B，
則P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，
P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.
答案：0.24 0.96
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(條件概率公式使用錯(cuò)誤)由0,1組成的三位數(shù)編號(hào)中，若事件A表示“第二位數(shù)字為0”，事件B表示“第一位數(shù)字為0”，則P(A|B)＝________.
解析：因?yàn)榈谝晃粩?shù)字可為0或1，所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)＝eq \f(1,2)，第一位數(shù)字為0且第二位數(shù)字也為0，即事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，所以P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
2．(恰有一個(gè)發(fā)生理解錯(cuò)誤)計(jì)算機(jī)畢業(yè)考試分為理論與操作兩部分，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”，只有兩部分考試都“合格”者，才給頒發(fā)計(jì)算機(jī)“合格證書”．甲、乙兩人在理論考試中“合格”的概率依次為eq \f(4,5)，eq \f(2,3)，在操作考試中“合格”的概率依次為eq \f(1,2)，eq \f(5,6)，所有考試是否合格相互之間沒(méi)有影響．則甲、乙進(jìn)行理論與操作兩項(xiàng)考試后，恰有一人獲得“合格證書”的概率為_(kāi)_______．
解析：甲獲得“合格證書”的概率為eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,5)，乙獲得“合格證書”的概率是eq \f(2,3)×eq \f(5,6)＝eq \f(5,9)，兩人中恰有一個(gè)人獲得“合格證書”的概率是eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,9)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(5,9)＝eq \f(23,45).
答案：eq \f(23,45)
考點(diǎn)一 事件的相互獨(dú)立性及條件概率
考法(一) 條件概率
[例1] (1)現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
(2)2020年疫情的到來(lái)給人們生活學(xué)習(xí)等各方面帶來(lái)種種困難．為了順利迎接高考，某省制定了周密的畢業(yè)年級(jí)復(fù)學(xué)計(jì)劃．為了確保安全開(kāi)學(xué)，全省組織畢業(yè)年級(jí)學(xué)生進(jìn)行核酸檢測(cè)的篩查．學(xué)生先到醫(yī)務(wù)室進(jìn)行咽拭子檢驗(yàn)，檢驗(yàn)呈陽(yáng)性者需到防疫部門做進(jìn)一步檢測(cè)．已知隨機(jī)抽一人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為0.2%，且每個(gè)人檢驗(yàn)是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立，假設(shè)該疾病患病率為0.1%，且患病者檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為99%.若某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性，則他確實(shí)患病的概率為( )
A．0.99% B．99%
C．49.5% D．36.5%
[解析] (1)法一：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(3×2,A\\al(2,5)),\f(3,5))＝eq \f(1,2).故選C.
法二：在第1次抽到理科題的條件下，還有2道理科題和2道文科題，故在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為eq \f(1,2).故選C.
(2)設(shè)A為“某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性”，B為“此人患病”，則“某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性時(shí)他確實(shí)患病”為B|A，由題意知P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(99%×0.1%,0.2%)＝49.5%，故選C.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧] 條件概率的3種求法
考法(二) 事件的相互獨(dú)立性
[例2] (2019·全國(guó)卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
[解] (1)X＝2就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲獲勝，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．
因此所求概率為
[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
[方法技巧]
利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路
(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡(jiǎn)單事件的和．
(2)將彼此互斥簡(jiǎn)單事件中的簡(jiǎn)單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件．
(3)代入概率的積、和公式求解．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
解析：選B P(A)＝eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(AB)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，由條件概率公式，得P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4).
2．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立．
(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；
(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解：(1)設(shè)部件1,2,3需要調(diào)整分別為事件A，B，C，
由題知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，
所以部件1,2都不需要調(diào)整的概率P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝0.9×0.8＝0.72，
故部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為1－P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B))＝0.28.
(2)X可取0,1,2,3，
P(X＝0)＝P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A·eq \x\t(B)·eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)·B·eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)·eq \x\t(B)·C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝3)＝P(A·B·C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092，
所以X的分布列為
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0.6.
考點(diǎn)二 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
[典例] (2021·合肥模擬)“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地．為了將來(lái)更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目，某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生在某旅行社實(shí)習(xí)期間，把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機(jī)抽取了100所學(xué)校，統(tǒng)計(jì)如下：
該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響)．
(1)若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率；
(2)設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”的學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
[解] (1)依題意，學(xué)校選擇“科技體驗(yàn)游”的概率為eq \f(2,5)，選擇“自然風(fēng)光游”的概率為eq \f(1,5)，
∴若這3所學(xué)校選擇研學(xué)游類型為“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，則這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率為
P＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＋Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＝eq \f(18,125).
(2)X可能取值為0,1,2,3.
則P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3＝eq \f(27,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(54,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))＝eq \f(36,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＝eq \f(8,125)，
∴X的分布列為
∴E(X)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(6,5).
[方法技巧]
與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法
(1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．
(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b).
[針對(duì)訓(xùn)練]
一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．
將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．
(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；
(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·0.63＝0.216.
故X的分布列為
E(X)＝3×0.6＝1.8.
考點(diǎn)三 正態(tài)分布
[典例] 為提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力確保公交車的準(zhǔn)點(diǎn)率，減少居民乘車候車時(shí)間，為此，該公司對(duì)某站臺(tái)乘客的候車時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．乘客候車時(shí)間受公交車準(zhǔn)點(diǎn)率、交通擁堵情況、節(jié)假日人流量增大等情況影響，在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，乘客候車時(shí)間隨機(jī)變量X滿足正態(tài)分布N(μ，σ2)．在公交車準(zhǔn)點(diǎn)率正常、交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的情況下，調(diào)查了大量乘客的候車時(shí)間，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到如圖頻率分布直方圖．
(1)在直方圖各組中，以該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組中的各個(gè)值，試估計(jì)μ，σ2的值；
(2)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，發(fā)生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般認(rèn)為，在正常情況下，一次試驗(yàn)中，小概率事件是不可能發(fā)生的．在交通擁堵情況正常、非節(jié)假日的某天，隨機(jī)調(diào)查了該站的10名乘客的候車時(shí)間，發(fā)現(xiàn)其中有3名乘客候車時(shí)間超過(guò)15分鐘，試判斷該天公交車準(zhǔn)點(diǎn)率是否正常，并說(shuō)明理由．
參考數(shù)據(jù)：eq \r(19.2)≈4.38，eq \r(21.4)≈4.63，eq \r(26.6)≈5.16，0.841 357≈0.298 4,0.841 356≈ 0.354 7,0.158 653≈0.004 0，0.158 654≈0.000 6，
P(μ－σ