1．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用等差數(shù)列以及三角形內(nèi)角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可．
【詳解】
（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以當(dāng)時，即時，．
2．已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）當(dāng)時，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及輔助角公式，可化簡，再利用正弦型函數(shù)的周期公式，即得解；
（2）由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即得解
【詳解】
（1）由題意，
，
（2）∵
∴
∴
∴的值域為
3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由題意及余弦定理得，由此即可求出結(jié)果；
（2）由正切公式對化簡，再結(jié)合正弦定理得，再根據(jù)，可得，可得，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意及余弦定理得，
所以，從而，
因為，所以.
（2）由，得，
所以由正弦定理得
又因為，
所以，
，所以
又，所以，所以.
從而是等邊三角形.
因為，所以.
4．在中，，，是延長線上一點，且.
（1）求的值；
（2）求的長.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可得，利用誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式即可求解.
（2）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解.
【詳解】
解：（1）由，
得，
所以
.
（2）由正弦定理，得，
即.
由余弦定理，得
.
5．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，當(dāng)邊c取最小值時，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理，將角化為邊的表達(dá)形式；結(jié)合余弦定理即可求得角C的值．
（2）由余弦定理求得與的關(guān)系，結(jié)合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，進(jìn)而求得三角形面積．
【詳解】
（1）由條件和正弦定理可得，
整理得從而由余弦定理得．
又∵C是三角形的內(nèi)角，
∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
∴c的最小值為2，
故．
6．在中，角、、的對邊分別為、、，已知.
（1）若，，求；
（2）若角，求角.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)利用余弦定理代入化簡，并代入和的值，計算可得；
(2)利用正弦定理邊化角,結(jié)合,解出關(guān)于的方程，利用的范圍求出的值．
【詳解】
（1）由余弦定理得，
∴，即，
代入數(shù)值得，解得；
（2）∵，∴由正弦定理得，
由可得，，∴，
即，
解得或(舍去)，又∵，∴.
7．已知△ABC中，為鈍角，而且，，AB邊上的高為.
（1）求的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）8.
【分析】
（1）利用三角形ABC的面積相等，求出的大小；
（2）由余弦定理得出，以及，可得的值．
【詳解】
（1）由三角形面積可知，
，又因為是銳角，所以.
（2）由（1）可知，
所以.
又因為，
因此.
8．在中，，，分別是角，，的對邊，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由及正弦定理可得，進(jìn)一步可得，，又，由正弦定理得，代入即可得到答案；
（2）由余弦定理，得，由，可得，代入可得，再利用面積公式計算即可得到答案.
【詳解】
由已知得，
根據(jù)正弦定理得，
∵∴，∴．
（1）因為，所以，
，
所以，∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，由余弦定理，得
，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面積．
9．在中，三內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別是，，，，且.
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）若的面積是，求的周長.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理的邊角互化可得，再由兩角和的正弦公式以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.
（Ⅱ）利用三角形的面積公式可得，解得，再根據(jù)余弦定理可得，從而可得，進(jìn)而求出的周長.
【詳解】
（Ⅰ）將，，，
代入中，得到，
即.
因為，所以，
于是，.
（Ⅱ）因為，所以，.
由余弦定理得，，
即，所以.
于是的周長是.
10．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）在中，角的對邊分別為.若，，求的面積的取值范圍.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）
【分析】
（1）由二倍角公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由可得，所以，，結(jié)合，進(jìn)一步可得，即可得到答案.
【詳解】
（1）
∴的周期，
由，得
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.
（2）∵，即，又，
∴，由正弦定理有
∴
∵，∴
∴.
11．在中，角所對的邊分別是，且，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值
【答案】（1）4；（2）.
【分析】
（1）由已知，易得，由正弦定理可得，再由角B的余弦定理即可得到答案；
（2）正弦定理得，所以，，再利用兩角和的正弦公式以輔助角公式可得，即可得到最大值.
【詳解】
（1）因為，
又，得.
又，由正弦定理得，即，
由余弦定理，
得，解得或（舍）.
（2）由正弦定理得，
，
，
由，得，
當(dāng)，即時，.
12．在中，已知，其中為的面積，，，分別為角，，的對邊.
（1）求角的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）.（2）
【分析】
（1）利用三角形的面積公式化簡可得，從而可得，即可求得的值.
（2）利用兩角和的正切公式可得，再有，求出，再利用二倍角公式，利用弦化切齊次式即可求解.
【詳解】
解：（1）因為，所以，
則，
因為在中，，所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，又因為，
所以，
因為在中，，所以，
所以.
13．已知中，角，，的對邊分別為，，，且滿足，，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若邊上中線，求的面積．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）6
【分析】
（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式化簡整理即可求解.
（2）由（Ⅰ）根據(jù)正弦定理求出，在中，利用余弦定理可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【詳解】
（Ⅰ）由正弦定理及，得
又，
所以
由，得，代入上式整理得,即，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由正弦定理得①
在中，,將①代入上式得
，化簡得
所以，
14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．
（1）求B；
（2）若△ABC的面積等于，求△ABC的周長的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的方程，求出∠B．
（2）因為B已知，所以求面積的最小值即為求ac的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．
【詳解】
（1）因為，
由正弦定理得．
因為，所以sinA＞0，所以，
所以，因為，
所以，即．
（2）依題意，即ac＝4．
所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
又由余弦定理得
∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時取等號．
所以△ABC的周長最小值為．
15．已知平面向量，，函數(shù)．
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）； （2）
【分析】
（1），利用公式計算周期，令可得單調(diào)減區(qū)間；
（2），通過分析易知，將配成，利用兩角差的正弦公式展開即可得到答案.
【詳解】
（1），
，
故，又令
解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），
又，
又，故，
.
16．在中，，是邊上一點，且，.
（1）求的長；
（2）若的面積為14，求的長.
【答案】（1）1；（2）5.
【分析】
（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.
（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.
【詳解】
（1）據(jù)題意，，且，
所以.
所以
.
在中，據(jù)正弦定理可知，，
所以.
（2）在中，據(jù)正弦定理可知，
所以.
因為的面積為14，所以，即，
得.
在中，據(jù)余弦定理可知，，
所以.
17．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的面積的最大值．
【答案】（1）（2）
【分析】
(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;
(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.
【詳解】
（1），，
所以，
所以，
，，
，．
（2）由余弦定理得.，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
.
所以的面積的最大值為.
18．如圖，在中，，，點在線段上.
（1）若，求的長；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）先根據(jù)平方關(guān)系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出；
（2）分別在和中，根據(jù)正弦定理列出兩個等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據(jù)余弦定理求出，即可根據(jù)求出的面積．
【詳解】
（1）由，得，所以.
由正弦定理得，，即，得.
（2）由正弦定理，在中，，①
在中，，②
又，，，
由得，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面積.
19．已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角；
（2）在中，為邊上一點，且，，求面積的最大值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由已知結(jié)合余弦定理可求，進(jìn)而可求；
（2）由向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)及基本不等式可求的范圍，進(jìn)而可求面積的最大值．
【詳解】
(1)∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
(2)∵，
∴為的中點，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時面積的最大值．
20．已知函數(shù)
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的最大值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式對進(jìn)行化簡，然后利用，得到的周期；
（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，得到的最大值，以及此時的取值.
【詳解】
（1）因為
，
所以的最小正周期為，
（2）因為，
所以，
所以，當(dāng)即時，
函數(shù)取得最大值1.
21．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
（1）求內(nèi)角的大??；
（2）若的周長為，面積為，求邊的長度.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，將已知條件進(jìn)行化簡，從而得到的值，再得到；（2）根據(jù)的面積，得到的值，結(jié)合三角形周長和余弦定理，從而解出的值.
【詳解】
（1）由
在中，，所以
所以
整理得：
故，
而，從而
（2）的面積為，
所以，得①
的周長為，得②
由余弦定理得： ③
將①代入③得： ④
由②④得：.
22．中，角，，的對邊分別為，，，且滿足 .
(1)求角的大小;
(2)若，的面積為，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理將邊化成角，再進(jìn)行化簡，得到的值，從而得到的值；（2）根據(jù)的面積，得到，根據(jù)余弦定理得到關(guān)系，從而得到的值.
【詳解】
（1）在中，，
由正弦定理，
得，
所以，
即，
因為為的內(nèi)角，所以，
所以，
因為因為為的內(nèi)角，所以.
（2），即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以得到.
23．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的最小正周期;
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）對進(jìn)行化簡，得到正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)，得到答案；（2）先得到，再將所求的，利用兩角和的正弦公式，計算得到答案.
【詳解】
（1）
所以的最小正周期為.
（2）由（1）得，
所以
由得，
所以
24．在中，內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，且滿足，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理求出角的大??；
（2）根據(jù)正弦定理求出的值，再通過判斷，利用同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.
【詳解】
解析：（1）由正弦定理得，∴，
又由余弦定理有，
又，∴.
（2）由正弦定理有，
∴，由知，從而，
∴，∴，
∴，
，
∴.
25．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為.
(1)求角C；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
(1)利用二倍角的余弦公式、三角形內(nèi)角和定理、對已知聽等式進(jìn)行化簡，最后通過解方程可以得到角C的余弦值，結(jié)合三角形的性質(zhì)求出；
(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面積公式可以求出面積的最大值.
【詳解】
解：(1)由，可得，，因為，所以，.
(2)由，得，，，
所以，
當(dāng)時，△面積的最大值為.
26．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為， ，滿足，且邊上一點使得.
（1）求角的大?。?br>（2）若，，求的面積.
【答案】（1）；（2）
【分析】
根據(jù)正弦定理，將邊化成角，然后整理化簡，得到的值，從而得到的值；（2）根據(jù)條件得到為等邊三角形，從而得到，根據(jù)正弦定理，得到的值，根據(jù)余弦定理，得到的長，根據(jù)三角形面積公式，得到答案.
【詳解】
（1）因為
在，由正弦定理
所以得.
所以.
即
所以，
因為，所以
（2）由（1）知，而
為等邊三角形.
由于是的外角，
所以.
在中，由正弦定理得，
即，所以.
所以由余弦定理得，，
即，
所以，
故，，
所以.
27．已知向量,,且．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)先將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求方程在區(qū)間上所有根之和．
【答案】(1)，；(2).
【分析】
化函數(shù)為余弦型函數(shù),再求它的單調(diào)增區(qū)間；
由三角函數(shù)圖象平移法則,得出的分析式,再求在內(nèi)的實數(shù)解即可．
【詳解】
解：函數(shù),
，,
，；
的單調(diào)增區(qū)間為,；
由題意,,
又,得,
解得：,,
即或，,
,
，或，
故所有根之和為．
28．已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上對稱軸、對稱中心及其最值.
【答案】(1)最小正周期為(2)對稱軸，對稱中心為，最大值為，最小值為
【分析】
(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式的平方和關(guān)系、降冪公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡成正弦型函數(shù)解析形式,最后根據(jù)最小正周期公式求出函數(shù)的最小正周期；
(2)利用正弦型函數(shù)的對稱性和單調(diào)性,求出在區(qū)間上對稱軸、對稱中心及其最值
【詳解】
解：(1)因為
,
所以，函數(shù)的最小正周期為.
(2)由(1)知，
因為，所以，①
令，得，
所以，即為所求函數(shù)在上的對稱軸；
令，得，所以，
所以函數(shù)在上的對稱中心為；（＊）
易判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增.
所以，，，，
故函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為.
【另解】
接（＊）式
由①得，所以，
故函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為.
29．函數(shù)（，，），且的最大值為，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為，并過點.
（1）求；
（2）計算….
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先對函數(shù)進(jìn)行降冪，然后根據(jù)最大值為，得到的值，再由相鄰兩對稱軸間的距離為，得到周期，從而求出，代入點并結(jié)合的范圍，求出的值；（2）對函數(shù)進(jìn)行整理，并得到，根據(jù)函數(shù)的周期性，得到答案.
【詳解】
（1）.
的最大值為，，
，.
又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為，
周期，，
，，.
過點，
，
，.
，，
，，
又，.
（2），
，
又的周期為，，
.
30．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；
（Ⅱ）中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，求的面積．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）對進(jìn)行化簡，得到正弦型函數(shù)，然后根據(jù)的范圍，求出的范圍，得到的值域. （Ⅱ）由得到的值，根據(jù)和正弦定理得到的值，再由求出，根據(jù)和正弦定理，得到，由面積公式求出的面積.
【詳解】
解：（Ⅰ）
，
∵，∴，
∴．
∴函數(shù)的值域為
（Ⅱ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，即．
由，由正弦定理，∵∴，∴．
∵∴
∴，∵，∴
∴．
31．已知通數(shù)的圖像經(jīng)過點，圖像與x軸兩個相鄰交點的距離為．
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由圖像與x軸兩個相鄰交點的距離為，可以求出周期，利用周期公式可以求出，再由圖像經(jīng)過點，結(jié)合，可以求出，也就能求出的解析式：
（Ⅱ）由，可以求出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，可求出，分類討論，運用兩角差的正弦公式，求出的值
【詳解】
解：（Ⅰ）由已知得，，則，所以．
又，所以，
又，所以.
所以，即，
所以.
（Ⅱ）因為，所以，
所以．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
所以，或.
32．已知向量，，函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，內(nèi)角、、所對邊的長分別是、、，若，，，求的面積.
【答案】（1）的增區(qū)間是，（2）
【分析】
（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降冪公式、以及輔助角公式可以函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）所得的結(jié)論和，可以求出角的值，利用三角形內(nèi)角和定理可以求出角的值，再運用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面積公式可以求出的面積..
【詳解】
（1）
令，
解得
∴的增區(qū)間是，
（2）
∵
∴解得
又∵∴中，
由正弦定理得
∴
33．在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足：.
（Ⅰ）求角的大?。?br>（Ⅱ）若，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）運用正弦定理實現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大??；
（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；
方法2：利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值；
【詳解】
（I）由正弦定理得：，
因為，所以，
所以由余弦定理得：，
又在中，，
所以.
（II）方法1：由（I）及，得
，即，
因為，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
所以.
則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
故的最大值為2.
方法2：由正弦定理得，，
則，
因為，所以，
故的最大值為2（當(dāng)時）.
34．在①面積，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，求.
如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.
【答案】見解析
【分析】
選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長；
選擇②：在，中，分別運用正弦定理，可以求接求出的長；
【詳解】
解：選擇①：
所以；
由余弦定理可得
所以
選擇②
設(shè)，則，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
35．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足________.
（1）求；
（2）若的面積為，的中點為，求的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）選①，利用正弦定理的邊角互化以及誘導(dǎo)公式可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.
（2）利用三角形的面積公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.
（1）
選①，
由正弦定理可得，
又因為，可得，
即，所以，
又因為，所以，
所以，解得.
②，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因為，解得，
因為，所以.
③，
由正弦定理可得，
整理可得，
即，
即，
所以或（舍），
即，即，解得.
（2）
，
解得，
由余弦定理可得
，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，即取等號，
所以的最小值為.
36．在①，②sin（A+B）＝1+2這兩個條件中選一個，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問題．
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，已知___．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，點D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，△CDB的面積為，求邊長a的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】
（1）答案不唯一，見解析
（2）2
【分析】
（1）選①，由可得，然后結(jié)合余弦定理可得答案；選②，由條件可得，然后可求出答案；
（2）由可得，然后結(jié)合S△CDB＝a×CD＝可解出答案.
（1）
選①，由可得：，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得＝，因為C∈（0，π），所以C＝．
選②，由sin（A+B）＝1+2sin2可得，可得2sin（C+）＝2，
可得：sin（C+）＝1，因為C∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．
（2）
在△ABC中，
可得
可得，①
又S△CDB＝a×CD＝，②
由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），所以邊長a的值為2．
37．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．
問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且________．
（1）求角；
（2）若是內(nèi)一點，，，，，求．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）選條件①：利用正弦定理的邊角互化即可求解；選條件②：利用正弦定理的邊角互化以及余弦定理即可求解；選條件③：利用正弦定理的邊角互化以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.
（2）由題意可得，在與中，分別利用正弦定理得出與，兩式相等計算求解即可.
【詳解】
解：（1）方案一：選條件①
，
，
，，又.
方案二：選條件②
又.
方案三：選條件③
整理得
，，又，.
（2），
在中，，
在中，
，
整理得，.
38．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，，求邊上的垂線長.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，選擇①②③求得，利用余弦定理求得，結(jié)合面積相等列出方程，即可求得邊上的垂線長.
【詳解】
若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，
即，
即，
可得，因為，所以，
因為，，
由余弦定理可得，所以，
設(shè)邊上的垂線長為，可得，解得，
即邊上的垂線長為.
選②：由，根據(jù)正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因為，所以，
又因為，，
由余弦定理可得，所以，
設(shè)邊上的垂線長為，可得，解得，
即邊上的垂線長為.
若選③：由，可得，
即，可得，
因為，所以，
又因為，，
由余弦定理可得，所以，
設(shè)邊上的垂線長為，可得，解得，
即邊上的垂線長為.
39．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，，，求的值.
【答案】3
【分析】
選①利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選②利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選③利用三角形面積公式可得，進(jìn)而由余弦定理直接可得解.
【詳解】
選①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
選②，由得，
∴即，
∴又，
∴；
選③，由得又，
∴即，又，
∴；
由，解得或（舍）.
所以
40．記的內(nèi)角的對邊分別為．請在下列三個條件中任選一個作為已知條件，解答問題．
①；②（其中為的面積）；③．
（1）若，求的值；
（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．
【答案】條件選擇見解析，（1）；（2）．
【分析】
選擇①②③結(jié)合正余弦定理均得到，（1）利用余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得，，結(jié)合角的范圍即可求解．
【詳解】
選擇①
由正弦定理得，所以，，則；
選擇②，則，所以，又，則；
選擇③，由正弦定理得
又因為，
所以，則所以，又，則；
故選擇①②③均得到 ；
（1）若，由余弦定理得 ，
即，∴．
（2）由為銳角三角形及，
得且,∴，
由正弦定理得，
∴．
∵，∴，∴，
∴，即所求的取值范圍是．
任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題
1．在①；②；③三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.
問題：已知的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，___________.
（1）求角A的大小；
（2）求面積的最大值.
【答案】
（1）選①：；選②：；選③：；
（2）選①：；選②：；選③：
【分析】
（1）選①：由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；
選②：由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得，故；
選③：由余弦定理得，再根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合和角公式得，故
（2）選①：結(jié)合（1）和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積的最大值為.
選②：結(jié)合（1）和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積的最大值為.
選③：結(jié)合（1）和余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積的最大值為.
（1）
解：選①：因為，
所以，即，
又因為，所以
選②：因為，所以，
因為，
所以，
因為，
所以，即，
因為，所以
選③：因為，
所以，即，
所以，
因為，所以，
因為，所以
（2）
解：選①：因為由（1）得，，
所以，即，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以面積
所以面積的最大值為.
選②：因為由（1）得，
所以，即，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以
所以面積
所以面積的最大值為.
選③：因為由（1）得，
所以，即，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以
所以面積
所以面積的最大值為.
2．已知函數(shù)，直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令，若是函數(shù)在的零點，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式、兩角和的正弦公式化函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)形式，由對稱軸求得，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；
（2）先求出的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的對稱性（注意變量的范圍）可得，從而求得．
（1）
函數(shù)，
直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，
，，，故．
令，求得，
可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．
（2）


∴，
（滿足，取銳角）
函數(shù)的圖像在內(nèi)只有一條對稱軸，滿足，
， 得：，
．
3．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.
（1）求角的大??；
（2）若，為邊上一點，，且___________，求的面積.（從①為的平分線，②為的中點，這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）
【答案】
（1）
（2）條件選擇見解析，
【分析】
（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式展開后可求得角；
（2）選①，由，用面積公式得出，然后由余弦定理得出一等式，兩者結(jié)合可得，從而由面積公式得面積；
選②，利用向量的線性運算，得，平方后由數(shù)量積運算可得，再結(jié)合余弦定理，求得，從而得三角形面積．
（1）
由題意得，

得：，
中，，所以，又， 所以
（2）
選①由BD平分得：
，①
在中，由余弦定理得：，，
所以，②，
① ② 聯(lián)立得 解得，解得，
所以，
選②得，，
，得，
中，由余弦定理得，，
相減即可得 得．
4．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)面積的大小為S，且.
（1）求A的值；
（2）若的外接圓直徑為1，求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用數(shù)量積的運算及三角形面積公式對進(jìn)行化簡，即可求出A的值；
（2）利用正弦定理結(jié)合已知條件將問題中的邊化為角，再根據(jù)三角恒等變換及二倍角公式進(jìn)行化簡，最后結(jié)合角的范圍即可求解.
（1）
解：由
得：
化簡得：
當(dāng)時，，，等式不成立
所以，即
又
所以
（2）
解： 的外接圓直徑為1，
由正弦定理得：，
的取值范圍為：.
5．在中，，．
（1）若邊，求的面積；
（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出．
①； ②； ③
【答案】
（1）
（2）選①，不存在；選②，；選③，
【分析】
（1）由余弦定理求得，再由同角三角函數(shù)間的關(guān)系求得，根據(jù)三角形的面積公式可求得答案；
（2）若選①，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，與相矛盾，所以不存在；
若選②，由正弦定理和兩角差的正弦公式得，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系可得解；
若選③，由正弦定理和正弦的二倍角公式得，再由余弦定理得，結(jié)合兩角和的正弦公式可得解..
（1）
解：由余弦定理得，
因為，所以，
所以的面積.
（2）
解：若選①，由正弦定理得，所以，因為，所以不存在；
若選②，由正弦定理得，整理得，又，且，所以，因為，所以有兩解，又，所以角B為銳角，所以唯一；
若選③，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，即，解得，又，所以角B為銳角，即，，所以，，
所以.
6．已知，，令其中，滿足.
（1）求的解析式；
（2）在銳角中，角所對邊分別為，且，求的面積的取值范圍．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用向量的坐標(biāo)運算及三角公式求出，再根據(jù)求出即可；
（2）先通過求出B，再根據(jù)三角形為銳角三角形求出的范圍，最后通過面積公式可得計算面積的范圍.
（1）
又，
則
即
，又，
，
即；
（2）
由（1）知，又，
，即
如圖，當(dāng)點C在線段MN之間運動（不含端點）時，可使為銳角三角形
，即
，
即的面積的取值范圍是.
7．在①，②，③中任選一個，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題．
在中，角，，所對的邊分別為，，，且________．
（1）求角的大小；
（2）已知，為中點，且，求面積．
【答案】
（1）選①；選②；選③
（2）選①；選②；選③
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，并結(jié)合余弦定理和恒等變換公式計算，求出角的大??；
（2）根據(jù)余弦定理，三角形面積公式的計算，求出面積．
（1）
解：選①：，
由正弦定理可得：，，，
由余弦定理可得，所以，
選②：，
由正弦定理得：，
所以，
，
所以，，，
選③：，
由正弦定理可得：，
可得：
可得：，
，，解得，
，．
（2）
解：，為的中點，，
，，
，即，
，，
（另一值不符合題意，舍去，，
在中，由余弦定理有，解得，
．
8．如圖，D是直角斜邊上一點（不含端點），，記，．
（1）求的最大值；
（2）若，求角的值．
【答案】
（1）2
（2）
【分析】
（1）由等腰三角形和三角形外角定理得出的關(guān)系，這樣求值式可化二元函數(shù)為一元函數(shù)，然后利用兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值；
（2）由正弦定理得出的三角函數(shù)的關(guān)系式，再結(jié)合（1）中函數(shù)關(guān)系式利用二倍角公式可求得的值，從而得．
（1）
設(shè)，
∵，，①
∴，，②
①②聯(lián)立得，
∴，∴，
∴，③
，④
∴
∵，，
故當(dāng)，即時，取得最大值2
（2）
在中，由正弦定理得，，
∴，∴，①
由（1）知，，
∴
所以，
解得或（舍去）．
因為為鈍角，所以
9．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，點在邊上，已知．
（1）求；
（2）若是角的平分線，且，求的面積的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡即可；
(2)如圖，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，過作平行于交于可得三角形為正三角形，利用三角形面積公式列出三角形面積，結(jié)合基本不等式即可求出面積的最小值.
（1）
，由正弦定理得，
，
，，，
，．
（2）
由是角的平分線，，設(shè)，
過作平行于交于，則三角形為正三角形，
，，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．即的面積的最小值為．
10．1.已知，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，，再從下面條件①與②中任選個作為已知條件，完成以下問題．
（1）證明：為銳角三角形；
（2）若，為的內(nèi)角平分線，且與邊交于，求的長．
①；②．
【答案】
（1）證明見解析
（2）選擇①②結(jié)果相同，
【分析】
（1）利用正弦定理得到，結(jié)合①或者②，均可以得到，大邊對大角，故只要證明，即可證明出為銳角三角形；（2）由，結(jié)合第一問中的，可以求出，，接下來可以用兩種方法求解，一種是利用，另一種是利用角平分線定理，，均可以求出的長
（1）
方案一：選條件①
由正弦定理，
又，，，
令，（），從而，
由，解得：或（舍去）
從而最大，又
為銳角三角形
方案二：選條件②
由正弦定理，
又，，，
令，（），從而，
解得：或（舍去）
從而最大，又
為銳角三角形
（2）
方案一：選條件①
由，
∴
又由第一問可知：，∴，
法一：由，
∴，
由面積公式得：
由，從而，
解得：．
法二：，解得：
由角平分線定理，，
從而
在中，由余弦定理，，
解得：
方案二：選條件②
由，
又由第一問可知：，，，
由，解得：或（舍去）
法一：故，由，
∴，
由面積公式得：
由，從而，
解得：．
法二：由角平分線定理，，
從而
在中，由余弦定理，，
解得：
11．在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且________．
（1）求角；
（2）若是內(nèi)一點，，求．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）若選條件①，利用正弦定理邊化角公式以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡，即可求出的值；
若選條件②，利用利用正弦定理邊化角公式以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡，得，再利用輔助角公式得，結(jié)合三角形中，從而可求出的值；
（2）結(jié)合題中條件及三角形內(nèi)角和得出，利用正弦定理、兩角和與差的正弦公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，即可求出的值.
（1）
解：若選條件①：，
整理得：，
則，即，
又，，所以，
所以；
若選條件②：，
整理得：，
所以，
化簡得：，
又，，所以，
故，由于，
所以．
（2）
解：由于，
，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
，
整理得：，
故．
12．在“①；②，，”這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行求解.
問題：在中，，，分別是三內(nèi)角，，的對邊，已知，是邊上的點，且，，若_______________，求的長度.
【答案】答案見解析.
【分析】
選①可得，再結(jié)合條件可得，可求，然后利用余弦定理即求；選②可得，由條件得，再利用輔助角公式可得，得，進(jìn)而可求，然后利用余弦定理即求.
【詳解】
若選擇條件①
由，根據(jù)正弦定理得，
所以，
即，也即，
因為，所以 （1）式
又因為，
即，
所以，
又由（1）式，，
所以，
所以，，
所以，，
因為，所以，，
在中，
，
所以.
若選擇條件②
因為，，且，
所以，
即，
所以，又，
所以 （1）式，
又因為，
即，
所以 （2）式，又，，
所以，
所以，
所以，也即，
所以，
即，又，
∴，
所以，
所以，，
所以，，
又，所以，，
在中，
，
所以.
13．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，點D在射線AC上，滿足.
（1）求；
（2）設(shè)的角平分線與直線AC交于點E，求證：.
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）利用正弦定理化角為邊由表示，利用余弦定理求出即可求出；
（2）分別在和中利用正弦定理表示，化簡整理可得.
（1）
因為，由正弦定理得，
因為，由正弦定理得，即，則，
由余弦定理得，
則，因為，所以；
（2）
如圖，，
在中，，，
在中，，則，
，，
所以,
，
所以.
14．在中，內(nèi)角所對邊分別為，若.
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子進(jìn)行化簡，進(jìn)而用正弦定理進(jìn)行角化邊，最后用余弦定理解得答案；
（2）用面積公式，結(jié)合正弦定理即可得到答案.
（1）
∵，∴，∴，由正弦定理得，
又由余弦定理得，∴，
由于，所以.
（2）
∵是銳角三角形，得到.
由正弦定理可知，，
由三角形面積公式有：
又因故
故取值范圍是
15．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，已知且.
（1）求角的大?。?br>（2）求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)三角恒等變換化簡可得，即可求解；
（2）利用正弦定理及三角恒等變換可得，再根據(jù)三角函數(shù)的值域求解.
（1）
∵，
∴.
即，
，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴.
（2）
由正弦定理可得，
，
其中，，，
為銳角
∵為銳角三角形，則，
從而，
得，
，
∴，
，
∴，
從而的取值范圍為.
16．已知中，角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若點，是函數(shù)的圖象在某個周期內(nèi)的最高點與最低點，求面積的最大值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先由余弦定理結(jié)合條件可得，再由余弦定理可得答案.
（2）由（1）先求出的值，由函數(shù)解析式得出周期，求出邊長，由余弦定理結(jié)合均值不等式得出，從而得出面積的最大值.
（1）
由及余弦定理得，
整理得，所以.
（2）
的最大值與最小值之差為，最小正周期，
所以，
由余弦定理得，所以，
又，
所以面積，
所以面積的最大值為.
17．在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．
（1）證明：3csA－4csC＝1；
（2）記△ABD與△BCD的面積分別為S1，S2，求S12＋S22的最大值．
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
(1)在和中分別利用余弦定理表示出，列出方程整理即可；
(2)根據(jù)三角形的面積公式分別求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可.
（1）
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以．
（2）
，
則，
由（1）知：，代入上式得，
配方得，因為，
∴當(dāng)時，取到最大值．
18．在銳角中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求角A的大??；
（2）若，求周長的范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理和和差角公式轉(zhuǎn)化為，即可求出角A；
（2）利用正弦定理表示出，，得到周長為利用三角函數(shù)求最值，即可求出周長.
（1）
由正弦定理得：，
，
，
，
，
，，
.
（2）
由正弦定理：，
則，，
，，
周長為
，
又銳角，，結(jié)合
，
，
，
，
∴周長的范圍是.
19．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，，邊上的中垂線交于點，求的長.
【答案】
【分析】
選①，利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形內(nèi)角的關(guān)系及兩角和的正弦公式求得角，利用余弦定理求得邊，證明，求出，即可得解；
選②，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求得角，利用余弦定理求得邊，證明，求出，即可得解；
選③，利用向量數(shù)量積的定義及三角形的面積公式求得角，利用余弦定理求得邊，證明，求出，即可得解.
【詳解】
解：選①，由，可得，
即，
所以，
又，所以，
所以，所以，
則，所以，
所以，
如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點，
因為垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
選②，由，可得，
即，所以，
所以，又因，所以，
則，所以，
所以，
如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點，
因為垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
選③，因為，
所以，
又，所以，
則，所以，
所以，
如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點，
因為垂直平分，所以，又，
所以，
在中，，
所以，
即.
20．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．
（1）求角A的大?。?br>（2）求周長的范圍．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可的解；
（2）利用正弦定理求得邊，再利用三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
（1）
解：由余弦定理，即，
所以，因為，所以．
（2）
由正弦定理：，則，，
由（1），故
因為，則，
所以，即周長范圍是．
21．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大?。?br>（2）若的周長為，求面積的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）在中，利用余弦定理化角為邊，可得，再結(jié)合，即得解；
（2）由余弦定理以及可得，再利用面積公式即得解
（1）
由余弦定理，得，
即，則，
所以
又，所以．
（2）
由題意，，
根據(jù)余弦定理，得，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”．
所以，面積，
故面積的最大值為．
22．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大??；
（2）若，，為邊上一點，且，求的值．
【答案】
（1）
（2）或1
【分析】
（1）根據(jù)，結(jié)合， 利用正弦定理得到，再利用二倍角公式求解；
（2）根據(jù)，得到進(jìn)而得到，，然后由正弦定理求得a，再利用余弦定理求解.
（1）
因為，
在△ABC中，，
所以．
在△ABC中，由正弦定理得：
又，，
所以，即 ，
又，所以，所以，
所以，
因為，
所以，
即．
（2）
因為，
所以，
，
，
在ABC中，由正弦定理得，
所以，
在ABC中，由余弦定理得：，
即，
故，
所以或，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
所以的值為或1．
23．如圖，在中，，、分別為邊上的高和中線，，
（1）若，求的長；
（2）是否存在這樣的，使得射線和三等分?
【答案】
（1）
（2）不存在，理由見解析
【分析】
（1）由勾股定理先求出，再由結(jié)合已知條件求出和，然后利用余弦定理即可求出的長；
（2）先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件求出和，然后即可判斷是否存在.
（1）
解：、分別為邊上的高和中線，，
又，
所以，
，
在中，，
即
所以
（2）
解：假設(shè)存在這樣的，不妨設(shè)，則，
易得，，
而，
在中，，
即，
解得：，即
而在中，，所以，故，
即不可能是的中點.
因此，不存在這樣的，使得射線和三等分
24．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖像相鄰的對稱軸之間的距離為
（1）求函數(shù)的解析式及其減區(qū)間；
（2）在中，角A、B、C對應(yīng)的邊為a、b、c，且，，求的周長的取值范圍．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）由二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由對稱軸間距離求得周期得，由奇函數(shù)性質(zhì)得，從而得解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得減區(qū)間；
（2）由（1）求得角，利用正弦定理把表示為的函數(shù)，再由三角恒等變換得取值范圍，也即得周長范圍．
（1）
，
由函數(shù)相鄰的對稱軸之間的距離為，得，
∴，
又∵為奇函數(shù)，∴，即，
得，即，而，故，
令，得，
∴的減區(qū)間為；
（2）
由（1）可知，得，即，
∵，∴，∴，即，
∵，∴
∴
，
而，故；∵，故；
∴，即的周長的取值范圍為.
25．在中，角的對邊分別為，滿足 且.
（1）求證：；
（2）若，求的面積的最大值.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）由已知可得，將展開化簡可求得，由正弦定理化角為邊即可求證；
（2）由余弦定理求得，再由三角形面積公式計算轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值，開方即可求解.
（1）
因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
因為，所以，所以，
由正弦定理化角為邊可得：.
（2）
在中，由余弦定理可得：，
的面積為：
，
所以當(dāng)時，取得最大值，
所以的面積的最大值為.
26．在中，，，.
（1）若，求BC；
（2）若，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，再利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理進(jìn)行求解；
（2）先構(gòu)造，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式得到，再利用正弦定理、余弦定理求出邊長，進(jìn)而利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.
（1）
解：由，
得：.
由，
得：，
則
，
所以.
（2）
解：在AC上取點D，使得，
于是，
則，
，
由和正弦定理，
知：，
于是
，
所以.
由知：，
所以，
所以
.
27．1.已知向量，，設(shè)，.
（1）求的值域；
（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求，的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積和三角變換求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案；
（2）由方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求出，再計算出，的值.
（1）
解：
，
因為，所以，則，即函數(shù)的值域為.
（2）
解：由方程有兩個不相等的實數(shù)根，，由（1），，，如圖：
則，關(guān)于對稱，所以，
由，得.
28．如圖，的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，且.
（1）求角的大小；
（2）在內(nèi)有點，，且，直線交于點，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）將已知條件利用正弦定理化邊為角，結(jié)合整理可得，即可得角的大??；
（2）求出，由已知可得，在和中，由正弦定理可得，可求出，，由余弦定理即可求解.
（1）
在中，由正弦定理化邊為角可得：，
因為，
所以，
可得，即，
所以或，
由可得，所以不成立，
所以，因為可得，
（2）
在中，因為，所以，
因為，所以，，
在中，由正弦定理可得：，
在中，由正弦定理可得：，
兩式相除可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，所以.
29．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且滿足記的面積為S.
（1）求證：；
（2）若為銳角三角形，，且恒成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，可得證明；
（2）由余弦定理可得的范圍，再由三角形的面積公式可得關(guān)于的函數(shù)，由二次函數(shù)的值域可得的范圍，再由不等式恒成立思想可得所求范圍．
（1）
證明：由，，，，，，，，
，.
（2）
解：，，.
且，，
，
為銳角三角形，，，，
設(shè)則，則故在為增函數(shù)，又恒成立，所以
30．已知，，分別是的內(nèi)角，，所對的邊，從下面條件①與②中任選一個作為已知條件，并完成下列問題：
（1）求；
（2）若，求的周長的最大值．
條件①：；條件②：．
注：如果選擇不同的條件分別解答，按照第一種選擇的解答計分．
【答案】選擇見解析；（1）；（2）12．
【分析】
（1）選定條件分別使用正弦定理和余弦定理求得.
（2）根據(jù)（1）的條件利用余弦定理與基本不等式計算出，簡單計算即可.
【詳解】
解：（1）若選條件①：
，
由正弦定理得：，
則．
即，，
又，．
，
若選條件②：
，
由正弦定理得：
即，，
由余弦定理得：，故，
，．
（2）由余弦定理得：，即，
，
即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
故的周長的最大值為12．
31．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，是的平分線交于點，若，求的最小值.
【答案】9
【分析】
若選①：根據(jù)正弦定理得，再由正弦和角公式求得，繼而有，分別在和中，運用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若選②：根據(jù)正弦定理得，再由余弦定理得，又，所以，，繼而有，分別在和中，運用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值；
若選③：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積運算得，繼而有，分別在和中，運用正弦、余弦定理可得，，整理，再由基本不等式可求得的最小值.
【詳解】
解：若選①：根據(jù)正弦定理由，得，即，
又因為，，所以，
又，所以，
因為是的平分線交于點，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最小值9；
若選②：根據(jù)正弦定理由，得，即，所以由余弦定理得，即，又，所以，因為是的平分線交于點，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最小值9；
若選③：由得，即，所以，又，所以，因為是的平分線交于點，，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，所以，
，
所以，整理得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最小值9；
32．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的最值
【答案】①或②或③，有最大值，無最小值.
【分析】
選①利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選②利用正弦定理，可得，進(jìn)而可得，選③利用三角形面積公式可得；再利用正弦定理及面積公式可得，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可求最值.
【詳解】
選①，由得，
∴，
又，，
∴又，
∴；
選②，由得，
∴即，
∴又，
∴；
選③，由得又，
∴即，又，
∴；
在△ACD中，，，
∴，
設(shè)，則，
，
∴
，
，
∵，
∴，又在△ABC中，，
∴，，
∴，當(dāng)即時，
∴，
即有最大值，無最小值.
33．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，若，求的取值范圍.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意，選擇①②③求得，利用正弦定理求得外接圓的直徑，進(jìn)而化簡，其中，，且，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，
即，
即，
可得，因為，所以;
選②：由，根據(jù)正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因為，所以;
若選③：由，可得，
即，可得，
因為，所以;
又由，可得外接圓的直徑為，
所以
，
其中，，且，
因為，可得，
根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的取值范圍為.
34．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面積；
（3）求的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）最大值為.
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】
（1）因為，又，
所以，
所以，
所以，
因為，，所以，可得.
（2）因為，所以，所以，
所以的面積為.
（3）由，得，
因為，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.
設(shè)，則，所以，
設(shè)，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，
所以，的最大值為.
35．如圖，在四邊形中，，，.
（1）若，求的面積；
（2）若，，求的長.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面積．
（2）設(shè)∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得從而，在中，由正弦定理得，建立關(guān)于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得結(jié)果.
【詳解】
（1）因為，，，
所以，即，
所以.
所以.
（2）設(shè)，，則，
在中，由正弦定理得：，
所以；
在中，，所以.
即，化簡得：，
所以，
所以，，
所以在中，.
即，解得或（舍）.
36．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答
在中，角，，的對邊分別為，，且______，求的取值范圍.
【答案】
【分析】
選①，利用正弦定理邊化角，得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍；
選②，利用正弦定理角化邊，得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍；
選③，將三角形面積公式和數(shù)量積公式代入化簡得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍.
【詳解】
選①，由正弦定理得
即
整理得
即
即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
又
即的取值范圍為；
選②，，由正弦定理得
，即
即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
，即
又
即的取值范圍為；
選③，
由，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
，即
又
即的取值范圍為.
37．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對邊，且．
（1）求的大??；
（2）若，試判斷的形狀；
（3）若，求周長的最大值．
【答案】（1）；（2）為等腰鈍角三角形；（3）.
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合余弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用三角恒等變換化簡得出，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，由此可得出結(jié)論；
（3）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即可得出周長的最大值．
【詳解】
（1）因為，
根據(jù)正弦定理得，所以，，
由余弦定理可得，
又，所以，；
（2）由（1）知，又得，
即，
因為，則，所以，，所以，，，
則為等腰鈍角三角形；
（3）由，及 余弦定理知
，
則，知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，，因此，周長的最大值為.
38．如圖，在四邊形中，，且，，.
（1）求的長；
（2）求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由二倍角公式得，進(jìn)而在中，利用余弦定理求解即可；
（2）設(shè)四邊形面積為，則，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式，并結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.
【詳解】
解：（1）∵，，
∴，
∵在中，，，，
∵，
∴；
（2）設(shè)四邊形面積為，則，
∵，
所以，
在中，，，由余弦定理可得：，
又則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，
∴ .
39．現(xiàn)給出三個條件：①a sin ＝b sin A，②a cs C＋c cs A＝2b cs B，③2c－a＝2b cs A.從中選出一個補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，________．
（1）求角B的大?。?
（2）若b＝2，求△ABC周長的取值范圍．
【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）(4，6].
【分析】
（1）選①：利用正弦定理邊化角，同時結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件及變名的誘導(dǎo)公式即可求出sin＝，從而求出Β＝；
選②：利用余弦定理角化邊，同時結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件即可求出；
選③：利用正弦定理邊化角，同時結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件及和差公式即可求出，從而求出Β＝；
（2）利用余弦定理求出，再根據(jù)基本不等式即可求出，同時結(jié)合三角形內(nèi)邊之間的關(guān)系可得到2＜a＋c≤4，從而求出△ABC周長的取值范圍．
【詳解】
（1） 若選①，由正弦定理與三角形內(nèi)角和定理可得sin A·sin＝sin B sin A，
因為，所以，
所以cs ＝2sincs，所以sin＝，
又因為0＜＜，所以＝，即Β＝.
若選②，由余弦定理得a·＋c·＝2b cs B，
即＋＝2b cs B，所以，
即，又0＜B＜π，所以B＝.
若選③，由正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cs A，
因為，所以，
所以，
即2sin A cs B＋2cs A sin B－sin A＝2sin B cs A，所以，
因為，所以，
所以，又0＜B＜π，所以B＝.
（2）由(1)可得B＝，若b＝2，
則由余弦定理得，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又a＋c＞b＝2，所以2＜a＋c≤4，即4＜a＋b＋c≤6，所以△ABC周長的取值范圍為(4，6].
40．目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為37°，測得基站頂端A的仰角為45°．
（1）求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；
（2）如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離，且記在M處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為.試問當(dāng)多大時，觀測基站的視角最大?參考數(shù)據(jù)：，，，．
【答案】（1）m；（2）m.
【分析】
（1）在中，由正弦定理求出，即可求出，進(jìn)而求出；
（2）根據(jù)題意得出，列出關(guān)于的式子，利用基本不等式可求出.
【詳解】
解：（1）由題知，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
在中，，即，所以，
所以山高m.
（2）由題知，，則在中，，
在中，，由題知，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)即m時，取得最大值，即視角最大.
任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題
1.中，D是BC上的點，AD平分，面積是面積的2倍．
（1）求的值；
（2）從①，②，③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求BD和AC的長．
【答案】
（1）
（2）選①②: BD=，AC=1；選②③: BD=，AC=1；選①③：BD=，AC=1或BD=，AC=．
【分析】
（1）過A作于E，由已知及面積公式可得，由AD平分及正弦定理可得，，從而得解．
（2）若選①②，由（1）可求，過D作于M，作于N，由AD平分，可求，令，則，利用余弦定理即可解得BD和AC的長；
若選②③，由（1）知BD的值，在中，由正弦定理可得，由余弦定理可得，解得b的值，即可得解；
若選①③，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，整理可得，可得，解得x的值，進(jìn)而可求b的值，即可得解．
（1）
如圖，過A作于E，
∵，∴，∵AD平分，∴，
在中，，∴，
在中，，∴；
∴．
（2）
若選①，②，由（1）知，，
過D作于M，作于N，∵AD平分，∴，
∴，∴，令，則，
∵，∴，
∴由余弦定理可得：，∴，∴，
∴BD的長為，AC的長為1．
若選②，③，由（1）知，，
因為，所以在中，由正弦定理可得，即，
由余弦定理，整理可得，解得，（負(fù)值舍去）
∴BD的長為，AC的長為1．
若選①，③，
因為，所以在中，由正弦定理可得，即，
因為，可得，設(shè)，，
所以由余弦定理可得：，整理可得，①
又，整理可得，②
由①②可得，解得，或，解得或，
由①可得，可得BD的長為，AC的長為1．或，可得BD的長為，AC的長為．
2．已知函數(shù)（）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間以及圖象的對稱中心坐標(biāo)；
（2）是否存在銳角，，使，同時成立？若存在，求出角，的值；若不存在，請說明理由．
【答案】
（1）遞增區(qū)間為（）；對稱中心的坐標(biāo)為（）
（2）存在；，
【分析】
（1）根據(jù)三角恒等變換化簡解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解即可；
（2）由誘導(dǎo)公式可得，又，代入化簡可得，。
（1）
解：
，
由圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得的最小正周期，解得．
所以，
由（），得（），
所以的遞增區(qū)間為（），
由（），得（）；
所以圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）．
（2）
解：存在．
因為，，
所以，
所以．
又，，所以，
即，即，
即，即，
所以，由為銳角，得，所以，，從而．
故存在，符合題意．
3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
（1）求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求方程的所有根的和.
【答案】
（1），遞減區(qū)間為，
（2）
【分析】
（1）利用恒等變換化簡后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）利用圖象變換法則求得g(x)的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求得.
（1）
由題意，
圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
的最小正周期為，即可得，
又為奇函數(shù)，則，，
又，，故，
令，得
函數(shù)的遞減區(qū)間為，
（2）
將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
又，則或，
即或.
令，當(dāng)時，，
畫出的圖象如圖所示：
有兩個根,關(guān)于對稱，即,
有,
在上有兩個不同的根，,；
又的根為，
所以方程在內(nèi)所有根的和為.
4．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若的圖像向右平移個單位得到的函數(shù)在上僅有一個零點，求ω的取值范圍．
【答案】
（1）和
（2）
【分析】
（1）化簡函數(shù)，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，得到，得出，進(jìn)而求得的單調(diào)增區(qū)間.
（2）令，求得，根據(jù)在上僅有一個零點，列出不等式組，即可求解.
（1）
解：因為，
所以
，
由的圖象關(guān)于直線對稱，可得，
所以解得，
又因為，所以當(dāng)時，.
所以，令，
解得，
又由，所以，或，
即在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（2）
解：由已知得，令得，
即，因為在上僅有一個零點，
所以，
由于，所以得，
解得因為，所以，所以.
5．在平面四邊形中，，，，
（1）求的長；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的長；
（2）先推出A、B、C、D四點共圓，然后求出，問題歸結(jié)為求的最大值.，顯然當(dāng)為外接圓的直徑時最大，再用正弦定理求出外接圓直徑即可.
【詳解】
（1）∵在中，，，
∴利用余弦定理得：
∵
∴
（2）∵，
∴
∴A、B、C、D四點共圓
如圖所示：
在AC上取點E，使得∠CBE=∠DBA，
又∵∠BCE=∠BDA
∴
∴ ，即①
同理可得：
∴，即②
①+②得：
由（1）可知，
∴
∴求的最大值即求的最大值.
當(dāng)AC為圓的直徑時，最大
由正弦定理得：
∴最大值為，此時
的最大值為
6．在①，②，③三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.
在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，， 求的取值范圍.
【答案】.
【分析】
根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】
若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，
即，
即，
可得，因為，所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得

，
因為，可得，
當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
選②：由，根據(jù)正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因為，所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得

，
因為，可得，
當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
若選③：由，可得，
即，可得，
因為，所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得

，
因為，可得，
當(dāng)時，即，可得，
當(dāng)時，即，可得，
所以的取值范圍是.
7．已知是的內(nèi)角，函數(shù)的最大值為．
（1）求的大小；
（2）若，關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用兩角和差、二倍角和輔助角公式化簡得到，結(jié)合最大值可求得，由此可得；
（2）根據(jù)的范圍可求得的范圍，將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個不同的解，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可得的大致圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式，分別在不同的取值范圍情況下，結(jié)合的范圍得到對應(yīng)的解的個數(shù)，由此可求得結(jié)果.
【詳解】
（1）
的最大值為，，解得：，
，；
（2）由（1）得：，，
，，；
當(dāng)，即時，方程無解，，
在內(nèi)有兩個不同的解，
令，則，，
設(shè)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；
又，，，，
的大致圖象如下圖所示，
設(shè)對應(yīng)的根分別為，
當(dāng)時，，，則對應(yīng)的，對應(yīng)的，滿足題意；
當(dāng)時，，此時，即，方程有唯一解，不合題意；
當(dāng)時，，此時，即，方程有唯一解，不合題意；
當(dāng)時，，，則對應(yīng)的，對應(yīng)的，，方程有三個不同的解，不合題意；
當(dāng)時，或，此時，符合題意；
綜上所述：的取值范圍為.
8．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中O為圓心，直徑的長為，C，D兩點在半圓弧上，且，設(shè)；
（1）當(dāng)時，求四邊形的面積.
（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段，，和組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時，觀光道路的總長l最長，并求出l的最大值.
【答案】（1）；（2）5
【分析】
（1）把四邊形分解為三個等腰三角形：，利用三角形的面積公式即得解；
（2）利用表示（1）中三個等腰三角形的頂角，利用正弦定理分別表示，和，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，即得解.
【詳解】
（1）連結(jié)，則
四邊形的面積為
（2）由題意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
時，即，的最大值為5
9．某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，為地面，，為路燈燈桿，，，在處安裝路燈，且路燈的照明張角，已知m，m．
（1）當(dāng)，重合時，求路燈在路面的照明寬度；
（2）求此路燈在路面上的照明寬度的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由余弦定理求出ME，再求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)正弦定理求出答案；
（2）先用等面積法求出間的關(guān)系，進(jìn)而運用余弦定理結(jié)合基本不等式建立之間的不等式，兩者結(jié)合即可得到答案 .
【詳解】
（1）當(dāng)，重合時，
由余弦定理知，
所以，
因為，所以
因為，所以，
因為，所以，
∴在中，由正弦定理可知，，解得m.
（2）易知到地面的距離，
所以，所以
又由余弦定理可知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.
所以，解得m．
答：（1）路燈在路面的照明寬度為；（2）照明寬度的最小值為．
10．已知向量．令函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的角平分線交于D．其中，函數(shù)恰好為函數(shù)的最大值，且此時，求的最小值．
【答案】（1）的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）
【分析】
（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡可得，即可求出最小正周期，令可解出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）可得，解得，再根據(jù)正弦定理解得，進(jìn)而表示出，利用基本不等式可求解.
【詳解】
（1），
，
則的最小正周期為，
令，解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）由恰好為函數(shù)的最大值可得，
即，，則可解得，則，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
，
在中，，
則可得，，
則，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故的最小值?
11．如圖，在四邊形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周長的最大值.
【答案】（1）；（2）12
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可求得結(jié)果；
（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，設(shè)，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，進(jìn)而求出周長的最大值.
【詳解】
（1）在中，，
利用正弦定理得：，
又為鈍角，為銳角，
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去）
在中，，設(shè)
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，
所以
所以周長的最大值為12
12．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的值域；
（2）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有2021個零點？若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）答案見解析.
【分析】
（1）利用三角恒等變換得出，根據(jù)正弦型函數(shù)的值域求解；
（2）由題意可知，函數(shù)與直線在上恰有個交點，然后對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，考查實數(shù)在不同取值下兩個函數(shù)的交點個數(shù)，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）
，
當(dāng)時，，
∴，則.
（2）假設(shè)同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在上恰有2021個零點，即函數(shù)與直線在上恰有2021個交點.
當(dāng)時，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：
①當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上無交點，
②當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上有一個交點，
此時要使函數(shù)與直線在上恰有2021個交點，
則；
③當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上有兩個交點，
此時函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個交點，不符合題意；
④當(dāng)時，函數(shù)與直線在上有三個交點，
此時要使函數(shù)與直線在上恰有2021個交點，則；
綜上所述，存在實數(shù)和滿足題設(shè)條件：
時，；
時，；
時，.
13．如圖，在半徑為，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點N，M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y.

（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：
①設(shè)PN＝x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠POB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值.
【答案】（1）①.②；（2）選擇②時，函數(shù)取得最大值.
【分析】
（1）①根據(jù)PN＝QM=x，結(jié)合半徑為，圓心角為60°，分別求得，，進(jìn)而得到MN求解；②根據(jù)∠POB＝θ，結(jié)合半徑為，圓心角為60°，求得，再由，進(jìn)而得到MN求解.
（2）選擇②利用二倍角公式和輔助角公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化，利用直線函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】
（1）①因為PN＝QM=x，
所以，
而，
所以，
所以.
因為點P在扇形的弧上，
所以，
所以
②因為∠POB＝θ，
所以，
而，
所以，
所以.
因為點P在扇形的弧上，
所以，
所以.
（2）選擇②，
，
，
因為，
所以，
當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.
14．如圖，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面積；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)中，利用含的余弦定理表達(dá)式建立BC的方程，求出BC而得面積，再利用面積關(guān)系求的面積得解；
(2)由題設(shè)中角的信息用表示出與中的相關(guān)角，再在這兩個三角形中利用正弦定理建立兩個方程，聯(lián)立整理得的方程，解之即得.
【詳解】
(1)設(shè)，在中，由余弦定理得：
，即，而x>0，解得，
所以，則的面積，
梯形中，，與等高，且，
所以的面積，
則梯形的面積；
(2)在梯形中，設(shè)，而，
則，，，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
兩式相除得：，
整理得，
即
解得或，
因為，則，即．
15．已知a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對邊，且的面積.
（1）記，，若.
（i）求角C，
（ii）求的值；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）；或.（2）
【分析】
（1）（i）由，利用向量共線的坐標(biāo)運算可得，再利用正弦定理邊化角得，借助 ，即可求得角C
（ii）由，得，由余弦定理得： ，兩邊同除以可得，，解方程即可求解.
（2）由，得，由余弦定理得： ，兩邊同除以可得，，分離取值范圍已知的量：
由，則，即，解不等式即可得到答案.
【詳解】
（1）（i），，，
，即
利用正弦定理得：，
即，化簡得
又，，
又，
（ii）由，得，即，化簡得
由余弦定理得：，
即，兩邊同除以可得，
令，得，解得
所以的值為或
（2）由，得，即
由余弦定理得：，
即，兩邊同除以可得，
令，得， 即
由，則，即，
解不等式得：
所以的取值范圍為：
16．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.
(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數(shù)，并求出定義域；
(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.
【答案】（1），； （2）或時，L取得最大值為米．.
【分析】
（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．
（2）設(shè)sinθ+csθ=t，根據(jù)函數(shù) L= 在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．
所以當(dāng)時，即 或 時，L取得最大值為米．
【詳解】
由題意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
設(shè)，則，由于，
由于在上是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時，即或時，L取得最大值為米．
17．某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計劃從點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．
（1）用表示線段并確定的范圍；
（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設(shè)計到最長，求的最大值．
【答案】（1），；（2）米.
【分析】
(1) 過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.
(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.
【詳解】
解：
過點作于點
則,
在中,,
,
由正弦定理得：,
,
,
,
,因為,
化簡得
,
令,,且,
因為,故
令
即,
記,
當(dāng)時,單調(diào)遞增；
當(dāng)時,單調(diào)遞減,
又,
當(dāng)時,取最大值,
此時,
的最大值為米．
18．隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉，“日行一萬步，健康一輩子”.通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，為某市的一條健康步道，，為線段，是以為直徑的半圓，，，.
（1）求的長度；
（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計劃新增健康步道（，在兩側(cè)），，為線段.若，到健康步道的最短距離為，求到直線距離的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理求出半徑，利用圓的周長公式可得結(jié)果；
（2）先求出點的大致軌跡，再結(jié)合正弦定理、圓的幾何性質(zhì)求最點到直線距離的最值即可求解．
【詳解】
（1）在 中，由余弦定理可得，
，
．
（2） 的軌跡為 外接圓的一部分，設(shè) 外接圓的半徑為，
由正弦定理，且滿足，
由（1）得：，所以為直角，
過作于，設(shè)所求距離為，
①當(dāng)通過圓心時， 達(dá)到最大，由幾何關(guān)系得，四邊形為矩形，
所以，此時滿足，
②當(dāng)無限接近時，此時，
綜上：所求 到直線 距離 的取值范圍為．
19．已知函數(shù)（）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且為等腰直角三角形.
（1）求的值及函數(shù)的值域；
（2）若，且，求的值；
（3）已知函數(shù)的圖象是由的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后再向左平移1個單位長度得到的，若存在，使成立，求a的取值范圍.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）先將原式整理，得到，得出值域，求出點縱坐標(biāo)為，推出周期，進(jìn)而可求出；
（2）先由題中條件，和（1）的結(jié)果，得到，求出，再由兩角和的正弦公式，即可求出結(jié)果；
（3）先根據(jù)函數(shù)平移，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出時，，令，將問題轉(zhuǎn)為存在使成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）因為
，即的值域為；
所以點縱坐標(biāo)為，
又為等腰直角三角形，所以，因此最小正周期為；
所以；
（2）由（1）知，
因為，所以，
又，所以，
因此，
所以
；
（3）由題意，可得，
若，則，所以，
令，則可化為，
即，
因為函數(shù)是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，
所以時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以；
因為存在，使成立，
所以存在使成立，
因此只需.
20．已知△ABC中，函數(shù)的最大值為.
（1）求∠A的大??；
（2）若，方程在內(nèi)有兩個不同的解，求實數(shù)m取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦和二倍角正弦余弦公式化簡，最后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合最大值可求.
（2）令，，畫出該函數(shù)的圖象，考慮方程在上的解的情況，結(jié)合前者進(jìn)一步加強(qiáng)解的范圍，利用根分布可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）
，
故，故.
因為，故.
（2）
故，令，，
則的圖象如圖所示：
又，考慮在上的解.
若，則或
當(dāng)時，方程的解為，此時有兩解或，
故方程在內(nèi)有兩個不同的解，符合.
當(dāng)時，方程的解為，此時僅有一解，
故方程在內(nèi)有一個解，舍.
若，則或，
此時在有兩個不同的實數(shù)根（），
當(dāng)時，則，
要使得方程在內(nèi)有兩個不同的解，
則.
令，則，解得.
當(dāng)時，則且，故，，
要使得方程在內(nèi)有兩個不同的解，
則，，故，此時，符合.
綜上，的取值范圍為：.

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