1．直線7x－24y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相切，則正實數(shù)m的取值是( )
A．25eq \r(5)－55或25eq \r(5) B．25eq \r(5)＋55或25eq \r(5)－55
C．25eq \r(5)－55D．25eq \r(5)＋55
2．“點(a，b)在圓x2＋y2＝1外”是“直線ax＋by＋2＝0與圓x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知直線l：x－2ky＋1＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，則k＝( )
A．1 B．±1
C．eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
4．已知點P(6,0)，點A(1,1)，動點C滿足eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))＝0(O為坐標原點)，過A點的直線被動點C的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為( )
A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1
C．y＝eq \f(1,2)x－1D．y＝－eq \f(1,2)x＋1
5．已知圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直線恒過點P(a，b)，且點P在直線mx－ny－2＝0上，則mn的取值范圍是( )
A．(－∞，1]B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
6．(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．則以下命題正確的有( )
A．直線l恒過定點(3,1)B．直線l與圓C相切
C．直線l與圓C恒相交D．直線l與圓C相離
7．(多選)已知圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列說法正確的是( )
A．圓A的半徑為2
B．圓A截y軸所得的弦長為2eq \r(3)
C．圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
8．已知直線l與圓x2＋y2－2x＝0相交于A，B兩點，線段AB中點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，則|AB|＝________．
9．直線x－eq \r(3)y＝0截圓(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所對的圓心角是________．
10．已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l．
(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；
(2)當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．
11．已知點P是直線kx＋y＋4＝0(k＞0)上一動點，PA是圓C：x2＋y2－2y＝0的一條切線，A為切點，若PA長度的最小值為2，則k的值為( )
A．3B．eq \f(\r(21),2)
C．eq \r(2)D．2
12．(多選)已知圓O1：x2＋y2－2x－3＝0和圓O2：x2＋y2－2y－1＝0的交點為A，B，則( )
A．圓O1和圓O2有兩條公切線
B．直線AB的方程為x－y＋1＝0
C．圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圓O1上的點到直線AB的最大距離為2＋eq \r(2)
13．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k＞0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知O(0,0)，A(3,0)，圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且僅有一個點P滿足|PA|＝2|PO|，則r的值為________．
14．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，且y軸和直線x－eq \r(3)y＋2＝0均與圓相切．
(1)求圓C的標準方程；
(2)設(shè)點P(0,1)，若直線y＝x＋m與圓C相交于M，N兩點，且∠MPN＝90°，求m的值．
15．過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓O的切線，切點分別為A，B，我們可以把線段AB叫做圓O的切點弦，其所在直線方程為x0x＋y0y＝r2．現(xiàn)過點P(1,3)作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線的方程為________；若點Q是直線l：x－y－4＝0上的動點，過點Q作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點________．
16．在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)．當m變化時，解答下列問題：
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
課時過關(guān)檢測(四十九)
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【解析版】
1．直線7x－24y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相切，則正實數(shù)m的取值是( )
A．25eq \r(5)－55或25eq \r(5) B．25eq \r(5)＋55或25eq \r(5)－55
C．25eq \r(5)－55D．25eq \r(5)＋55
解析：C 圓x2＋y2－2x＋4y＝0?(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圓心(1，－2)，半徑r＝eq \r(5)，由題意可知圓心到直線的距離d＝eq \f(|7×1－24×?－2?＋m|,\r(72＋242))＝eq \r(5)，即m2＋110 m－100＝0，解得m＝－55±25eq \r(5)，∵m＞0，∴m＝－55＋25eq \r(5)．故選C．
2．“點(a，b)在圓x2＋y2＝1外”是“直線ax＋by＋2＝0與圓x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
解析：B 命題p：點(a，b)在圓x2＋y2＝1外等價于a2＋b2＞1，命題q：直線ax＋by＋2＝0與圓x2＋y2＝1相交等價于eq \f(2,\r(a2＋b2))＜1?a2＋b2＞4，從而有p?/ q，q?p，所以p是q的必要不充分條件．故選B．
3．已知直線l：x－2ky＋1＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，則k＝( )
A．1 B．±1
C．eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
解析：D ∵⊙O的半徑為1，eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)，得cs∠AOB＝－eq \f(1,2)，∠AOB＝eq \f(2,3)π，∠ABO＝eq \f(π,6)，∴圓心到直線AB的距離為OB·sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)，則eq \f(1,\r(1＋4k2))＝eq \f(1,2)，k＝±eq \f(\r(3),2)．故選D．
4．已知點P(6,0)，點A(1,1)，動點C滿足eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))＝0(O為坐標原點)，過A點的直線被動點C的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為( )
A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1
C．y＝eq \f(1,2)x－1D．y＝－eq \f(1,2)x＋1
解析：A 設(shè)C(x，y)，由eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(PC,\s\up7(―→))＝0得動點C的軌跡方程為x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，則動點C的軌跡曲線為圓，圓心為D(3,0)．又點A(1,1)在圓內(nèi)，所以kAD＝eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，所以最短弦所在直線的斜率為2，所以所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．故選A．
5．已知圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直線恒過點P(a，b)，且點P在直線mx－ny－2＝0上，則mn的取值范圍是( )
A．(－∞，1]B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
解析：A 由圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圓C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程為k(x＋y)－2y－2＝0，求得定點P(1，－1)，又P(1，－1)在直線mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m．∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1，∴mn的取值范圍是(－∞，1]．故選A．
6．(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．則以下命題正確的有( )
A．直線l恒過定點(3,1)B．直線l與圓C相切
C．直線l與圓C恒相交D．直線l與圓C相離
解析：AC 將直線l的方程整理為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,2x＋y－7＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))則無論m為何值，直線l過定點(3,1)，又定點(3,1)與圓心C(1,2)的距離為eq \r(?3－1?2＋?1－2?2)＝eq \r(5)＜5，故直線l與圓C恒相交，故A、C正確．
7．(多選)已知圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列說法正確的是( )
A．圓A的半徑為2
B．圓A截y軸所得的弦長為2eq \r(3)
C．圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
解析：ABC 把圓A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成標準方程為(x－1)2＋y2＝4，所以圓A的圓心坐標為(1,0)，半徑為2，A正確；圓A截y軸所得的弦長為2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3)，B正確；圓心(1,0)到直線3x－4y＋12＝0的距離為3，故圓A上的點到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為3－2＝1，C正確；圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圓心為B(4,4)，半徑為3，則點A與點B之間的距離為eq \r(?4－1?2＋42)＝5，圓A與圓B相切，D錯誤．故選A、B、C．
8．已知直線l與圓x2＋y2－2x＝0相交于A，B兩點，線段AB中點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，則|AB|＝________．
解析：圓的圓心為(1,0)，半徑為1，則圓心與線段中點的距離d＝eq \f(\r(2),2)，所以|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(1－\f(1,2))＝eq \r(2)．
答案：eq \r(2)
9．直線x－eq \r(3)y＝0截圓(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所對的圓心角是________．
解析：畫出圖形，如圖，圓心(2,0)到直線的距離為d＝eq \f(|2|,\r(12＋?\r(3)?2))＝1，∴sin∠AOC＝eq \f(d,|OC|)＝eq \f(1,2)，∴∠AOC＝eq \f(π,6)，∴∠CAO＝eq \f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)．
答案：eq \f(2π,3)
10．已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l．
(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；
(2)當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長．
解：(1)由題意可得圓心為C(2,3)，半徑為2，直線l與圓C相切，
當斜率不存在時，直線l的方程為x＝4，滿足題意；
當斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
∴eq \f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)，
∴直線l的方程為3x＋4y－8＝0，
綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0．
(2)當直線l的傾斜角為135°時，直線l的方程為x＋y－3＝0，
圓心C(2,3)到直線l的距離為eq \f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴弦長為2eq \r(22－?\r(2)?2)＝2eq \r(2)．
11．已知點P是直線kx＋y＋4＝0(k＞0)上一動點，PA是圓C：x2＋y2－2y＝0的一條切線，A為切點，若PA長度的最小值為2，則k的值為( )
A．3B．eq \f(\r(21),2)
C．eq \r(2)D．2
解析：D 易知點P在圓外，圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為C(0,1)，半徑r＝1．當PC所在直線與直線kx＋y＋4＝0(k＞0)垂直時，|PA|最?。藭r在Rt△PAC中，|PC|＝eq \r(|PA|2＋|AC|2)＝eq \r(5)，即點C到直線kx＋y＋4＝0(k＞0)的距離為eq \r(5)，所以eq \f(5,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，解得k＝±2．又k＞0，所以k＝2．故選D．
12．(多選)已知圓O1：x2＋y2－2x－3＝0和圓O2：x2＋y2－2y－1＝0的交點為A，B，則( )
A．圓O1和圓O2有兩條公切線
B．直線AB的方程為x－y＋1＝0
C．圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|＞|AB|
D．圓O1上的點到直線AB的最大距離為2＋eq \r(2)
解析：ABD 對于A，因為兩個圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對于B，將兩圓方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程為x－y＋1＝0，故B正確；對于C，直線AB經(jīng)過圓O2的圓心(0,1)，所以線段AB是圓O2的直徑，故圓O2中不存在比AB長的弦，故C錯誤；對于D，圓O1的圓心坐標為(1,0)，半徑為2，圓心到直線AB：x－y＋1＝0的距離為eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，所以圓O1上的點到直線AB的最大距離為2＋eq \r(2)，D正確．故選A、B、D．
13．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k＞0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知O(0,0)，A(3,0)，圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且僅有一個點P滿足|PA|＝2|PO|，則r的值為________．
解析：設(shè)動點P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，又點P是圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且僅有的一點，所以兩圓相切．圓(x＋1)2＋y2＝4的圓心坐標為(－1,0)，半徑為2，圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圓心坐標為(2,0)，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當兩圓外切時，r＋2＝3，得r＝1；當兩圓內(nèi)切時，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5．
答案：1或5
14．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，且y軸和直線x－eq \r(3)y＋2＝0均與圓相切．
(1)求圓C的標準方程；
(2)設(shè)點P(0,1)，若直線y＝x＋m與圓C相交于M，N兩點，且∠MPN＝90°，求m的值．
解：(1)設(shè)圓心(a,0)，a＞0，∴圓的半徑為r＝a，∴eq \f(|a＋2|,2)＝a，解得a＝2．
∴圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4．
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,?x－2?2＋y2＝4，))消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，∵直線與圓有兩個交點，
∴Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，解得－2－2eq \r(2)＜m＜－2＋2eq \r(2)，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2－m，,x1·x2＝\f(m2,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝2＋m，,y1·y2＝\f(m2,2)＋2m，))又eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，
∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，
整理得m2＋m－1＝0，解得m＝eq \f(－1－\r(5),2)或m＝eq \f(－1＋\r(5),2)．
15．過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓O的切線，切點分別為A，B，我們可以把線段AB叫做圓O的切點弦，其所在直線方程為x0x＋y0y＝r2．現(xiàn)過點P(1,3)作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線的方程為________；若點Q是直線l：x－y－4＝0上的動點，過點Q作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點________．
解析：根據(jù)題意，圓O：x2＋y2＝4中，由r2＝4，點P(1,3)在圓O外，過點P(1,3)作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線的方程為x＋3y－4＝0．設(shè)Q的坐標為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，過點Q作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，則直線AB的方程變形可得n(x＋y)＋4x－4＝0，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,4x－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))則直線AB恒過定點(1，－1)．
答案：x＋3y－4＝0 (1，－1)
16．在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)．當m變化時，解答下列問題：
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
(2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．
解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：
設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2．
又點C的坐標為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為eq \f(－1,x1)·eq \f(－1,x2)＝－eq \f(1,2)，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．
(2)證明：BC的中點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，\f(1,2)))，可得BC的中垂線方程為y－eq \f(1,2)＝x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2)))．
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂線方程為x＝－eq \f(m,2)．
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x2,2)))，))
又xeq \\al(2,2)＋mx2－2＝0，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))
所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，－\f(1,2)))，半徑r＝eq \f(\r(m2＋9),2)．
故圓在y軸上截得的弦長為2 eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2)＝3，即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值．

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2025年高考數(shù)學一輪復習-9.4-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-專項訓練【含解析】

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