考試時(shí)間：100分鐘 滿分：120分
一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分，每小題A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）
1. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同類二次根式的概念：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】=5，錯(cuò)誤；B=，正確；C.，錯(cuò)誤；D.=，錯(cuò)誤
故答案選B
【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的意義，解決本題的關(guān)鍵是正確的將二次根式化成最簡(jiǎn).
2. 在中，，，，則不能作為判定是直角三角形的條件的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及勾股定理可進(jìn)行求解．
【詳解】解：A、∵，，∴，能判定是直角三角形，故不符合題意；
B、∵，∴，即，根據(jù)勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合題意；
C、由可設(shè)，則有，根據(jù)勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合題意；
D、由可設(shè)，所以，解得，則，所以不能判定是直角三角形，故符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理逆定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
3. 若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
【答案】C
【解析】
【詳解】根據(jù)題意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac，關(guān)鍵是熟練掌握：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【詳解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
5. 如圖所示，小華從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)24°，……，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（ ）
A. 140米B. 150米C. 160米D. 240米
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知小華走出了一個(gè)正多邊形，根據(jù)正多邊形的外角和公式可求解.
【詳解】解：已知多邊形的外角和為360°，而每一個(gè)外角為24°，
所以多邊形的邊數(shù)為360°÷24°=15，
所以小明一共走了：15×10=150米．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和，熟練掌握運(yùn)用多邊形的外角和是解題關(guān)鍵.
6. 為了宣傳環(huán)保，某學(xué)生寫了一份倡議書在微博傳播，規(guī)則為：將倡議書發(fā)表在自己的微博，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，以此類推，已知經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，共有1641人參與了傳播活動(dòng)，則方程列為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩輪傳播后，共有1641人參與了傳播活動(dòng)，列出方程即可．
【詳解】解：第一輪傳播人數(shù)為：，第二輪又增加，由題意，得：；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
7. 四分位數(shù)是在統(tǒng)計(jì)學(xué)中把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份后，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值．第一四分位數(shù)，又稱“較小四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第的數(shù)字，第二四分位數(shù)就是中位數(shù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，可用相似的處理方式計(jì)算第一、第三四分位數(shù)，九年級(jí)某小組的8名同學(xué)每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)分別為：．這一數(shù)據(jù)中第一四分位數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)第一四分位數(shù)的定義，將8個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，第2個(gè)與第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)即為所求．
【詳解】解：這8名同學(xué)每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列為：
，
則這組數(shù)據(jù)中第一四分位數(shù)是第2個(gè)與第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)，理解第一四分位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在直角三角形ABC中，，，，點(diǎn)M是邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，則CP的最小值是（ ）
A. 1.2B. 1.5C. 2.4D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，再證四邊形CEMF是矩形，得，當(dāng)時(shí)，CM最短，此時(shí)EF也最小，則CP最小，然后由三角形面積求出，即可得出答案．
【詳解】解：連接CM，如圖所示：
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四邊形CEMF是矩形，
∴，
∵點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，
∴，
當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最短，
此時(shí)EF也最小，則CP最小，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積以及最小值等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. 對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個(gè)規(guī)定，若，則x的值是（ ）
A. 5B. 5或C. 或D. 5或
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，可得，求出x的值即可；當(dāng)時(shí)，可得求出x的值即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，
∴，即，
解得：（不符合題意，舍去），
當(dāng)時(shí)，則，
∴，即，
解得：（不符合題意，舍去），，
綜上：x的值是5或，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的運(yùn)算和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給新定義的運(yùn)算法則，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．
10. 如圖，的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，平分，分別交、于點(diǎn)、，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的是（ ）
A. ①②④B. ①③④
C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計(jì)算；①先根據(jù)角平分線和平行得：，則，由有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：，，根據(jù)勾股定理計(jì)算和的長(zhǎng)，可得的長(zhǎng)；③因?yàn)?，根?jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷．
【詳解】解：①平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正確；
②，，
，，
，
中，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
中，，
，故②正確；
③由②知：，
，故③正確；
④由②知：是的中位線，
，
，
，
故④正確；
故選：D．
二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）
11. 若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件．根據(jù)分式有意義的條件“分母不為0”以及二次根式有意義的條件“被開方數(shù)不小于0”列不等式組，求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
解得：且，
故答案為：且．
12. 已知，分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則式子的值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)的整數(shù)范圍先確定、的值，再計(jì)算的值．
【詳解】解：，
，．
．
故答案為：4．
13. 某公司從德、能、勤、績(jī)、廉等五方面按對(duì)員工進(jìn)行年終考評(píng)．公司某職員在2023年度五個(gè)方面得分如圖所示，則該職員的年終考評(píng)為 _____分．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法即可解答本題．
【詳解】解：由題意可得，該職員的年終考評(píng)為（分，
故答案為：．
14. 已知α、β是方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)根，則α2＋2β＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】先用一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系，再利用方程變形即可
詳解】解：由題意可得：
∴
∴
∵α、β是方程x2－2x－1＝0的兩個(gè)根
∴
∴
∴α2＋2β=5
故答案是：5
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系，換元法是關(guān)鍵
15. 如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)M，N分別在邊，上，沿著折疊矩形，使點(diǎn)B，C分別落在，處，且點(diǎn)在線段上（不與兩端點(diǎn)重合）．
（1）若為線段的中點(diǎn)，則____________；
（2）折痕的長(zhǎng)度的取值范圍為_____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）設(shè)，則，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．
（2）根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)與點(diǎn)A重合時(shí)，取得最大值，運(yùn)用折疊性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵矩形中，，，沿著折疊矩形，為線段的中點(diǎn)，
∴；
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
（2）根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，
∵矩形中，，，，
∴四邊形是矩形，
∴；
當(dāng)與點(diǎn)A重合時(shí)，取得最大值，
∵矩形中，，，沿著折疊矩形，
∴；
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得．
∵矩形中，沿著折疊矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)E，
則四邊形是矩形，
∴；
∴，
∴，
故折痕的長(zhǎng)度的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
三、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
16. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去絕對(duì)值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵；
先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去絕對(duì)值，然后把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式即可求解．
【詳解】解：
17. 用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：
（1）第個(gè)圖案有 顆黑色棋子，第個(gè)圖案中黑色棋子的顆數(shù)為 ；
（2）據(jù)此規(guī)律用顆黑色棋子，是否能擺放成一個(gè)圖案，如果能，是第幾個(gè)圖案？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；
（2）能，是第個(gè)圖案
【解析】
【分析】此題考查了圖形變化規(guī)律的問題，能熟練運(yùn)用歸納的方法從特殊到一般是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)總結(jié)規(guī)律，即可求解；
（2）令第個(gè)圖形的代數(shù)式等于，求得的值為正整數(shù)就能，否則就不能．
【小問1詳解】
解：由圖可得，第一個(gè)圖形有個(gè)黑色棋子；
第二個(gè)圖形有個(gè)黑色棋子；
第三個(gè)圖形有個(gè)黑色棋子；
第四個(gè)圖形有個(gè)黑色棋子；
，
由此可得，
第五個(gè)圖形有個(gè)黑色棋子，
第n個(gè)圖形有個(gè)黑色棋子；
故答案為：；；
【小問2詳解】
解：不能；理由如下：
設(shè)第個(gè)圖形有顆黑色棋子，
由（1）可得，，
解得，（舍去）
∴用顆黑色棋子能擺放成一個(gè)圖案，是第個(gè)圖案．
18. 為貫徹《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》的方針政策，幫助同學(xué)們更好地理解勞動(dòng)的價(jià)值與意義，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)情感、勞動(dòng)能力和勞動(dòng)品質(zhì)，學(xué)校給八（1）班、八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動(dòng)試驗(yàn)基地．
（1）當(dāng)班主任測(cè)量出八（1）班試驗(yàn)基地的三邊長(zhǎng)分別為，，時(shí)，一邊的小明很快給出這塊試驗(yàn)基地的面積．你求出的面積為______．
（2）八（2）班的勞動(dòng)實(shí)踐基地的三邊長(zhǎng)分別為，，如圖），你能幫助他們求出面積嗎？
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．
（1）利用勾股定理的逆定理判斷該三角形為直角三角形，進(jìn)而求解即可；
（2）過(guò)A作交于點(diǎn)D．設(shè)，則，利用勾股定理分別求得、、即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴該三角形為直角三角形，其中13為斜邊，
∴這塊試驗(yàn)基地的面積為，
故答案為：30；
【小問2詳解】
解：過(guò)A作交于點(diǎn)D．
設(shè)，則．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
四、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）
19. 在網(wǎng)格中，點(diǎn)和直線的位置如圖所示：
（1）將點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，在圖1中網(wǎng)格中標(biāo)出點(diǎn)，并寫出線段的長(zhǎng)度______．
（2）在（1）的條件下，在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小，在圖1中保留畫圖痕跡，并直接寫出的最小值______；
（3）若點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0,2，；點(diǎn)為直線l上的點(diǎn)，是以為斜邊的直角三角形，在圖2網(wǎng)格中建立直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】（1）作圖見解析，
（2）作圖見解析，
（3）作圖見解析，或
【解析】
【分析】本題考查作圖—平移變換，軸對(duì)稱—最短問題，勾股定理的應(yīng)用，
（1）根據(jù)要求畫出線段即可，利用勾股定理求出的長(zhǎng)．
（2）作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，連接，此時(shí)的值最?。?br>（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理建立方程，求解即可；
解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)及勾股定理．
【小問1詳解】
解：如圖，線段即為所作，
根據(jù)題意，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴，
故答案為：；
小問2詳解】
如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接，
∴，
∴，
∴的最小值為的長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所作，
此時(shí)，
∴的最小值為，
故答案為：；
小問3詳解】
建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，
∵，，
∴，，
，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，
即：，
解得：或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是2,0或．
故答案為：2,0或．
20. 某校深入開展了以“珍愛生命 謹(jǐn)防溺水”為主題的安全教育活動(dòng)，并在九年級(jí)舉辦了防溺水知識(shí)競(jìng)賽，從兩班各隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，整理如下：（成績(jī)得分用表示，共分成四組：，，，）
九年級(jí)（1）班名學(xué)生的成績(jī)是：，，，，，，，，，
九年級(jí)（2）班名學(xué)生的成績(jī)?cè)诮M中的數(shù)據(jù)是：，，
通過(guò)數(shù)據(jù)分析，結(jié)果如下：
九年級(jí)（1）班、（2）班抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
九年級(jí)（2）班學(xué)生成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出上述、、的值： ， ， ；
（2）學(xué)校欲選派成績(jī)更穩(wěn)定的班級(jí)參加下一階段的活動(dòng)，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，學(xué)校會(huì)選派哪一個(gè)班級(jí)？說(shuō)明理由．
（3）九年級(jí)兩個(gè)班共有人參加了此次活動(dòng)，估計(jì)兩個(gè)班參加此次活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)是多少？
【答案】（1），，
（2）學(xué)校會(huì)選派九年級(jí)（1）班
（3）人
【解析】
【分析】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，用樣本估計(jì)總體，理解相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的意義，能從統(tǒng)計(jì)圖中獲取有用數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵；
（1）先求出組所占百分比，再將減去其他三組所占百分比，即可求出的值；根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念即可確定，的值；
（2）根據(jù)方差的意義即可判斷會(huì)選派哪一個(gè)班級(jí)；
（3）用樣本估計(jì)總體的思想即可解決問題．
【小問1詳解】
解：組占，
，
，
∵九年級(jí)（2）班名學(xué)生的成績(jī)A組有（人），B組有（人），
九年級(jí)（2）班名學(xué)生的成績(jī)?cè)诮M中的數(shù)據(jù)是：，，
∴第5名和第6名的成績(jī)?yōu)?2，94，
，
九年級(jí)（1）班名學(xué)生的成績(jī)中，出現(xiàn)兩次，是出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，
；
故答案為：，，；
【小問2詳解】
這次比賽，學(xué)校會(huì)選派九年級(jí)（1）班，
，且兩班的平均數(shù)相同，
九年級(jí)（1）班成績(jī)更穩(wěn)定，
學(xué)校會(huì)選派九年級(jí)（1）班；
【小問3詳解】
（人），
答：估計(jì)兩個(gè)班參加此次活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人．
五、（本題12分）
21. 某青年旅社有60間客房供游客居住，在旅游旺季，當(dāng)客房的定價(jià)為每天200元時(shí)，所有客房都可以住滿．客房定價(jià)每提高10元，就會(huì)有1個(gè)客房空閑，對(duì)有游客入住的客房，旅社還需要對(duì)每個(gè)房間支出20元/每天的維護(hù)費(fèi)用，設(shè)每間客房的定價(jià)提高了x元．
（1）填表（不需化簡(jiǎn)）
（2）若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客，則每間客房的定價(jià)應(yīng)為多少元？（純收入=總收入﹣維護(hù)費(fèi)用）
【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元
【解析】
【分析】（1）住滿為60間，x表示每個(gè)房間每天的定價(jià)增加量；定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，房間空閑個(gè)數(shù)為，入住量=60﹣房間空閑個(gè)數(shù)，列出代數(shù)式；
（2）用：每天的房間收費(fèi)=每間房實(shí)際定價(jià)×入住量，每間房實(shí)際定價(jià)=200+x，列出方程．
【詳解】（1）∵增加10元，就有一個(gè)房間空閑，增加20元就有兩個(gè)房間空閑，以此類推，空閑的房間為，
∴入住的房間數(shù)量=60﹣，房間價(jià)格是（200+x）元，總維護(hù)費(fèi)用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
（2）依題意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
當(dāng)x=320時(shí)，有游客居住的客房數(shù)量是：60﹣=28（間）．
當(dāng)x=100時(shí)，有游客居住的客房數(shù)量是：60﹣=50（間）．
所以當(dāng)x=100時(shí)，能吸引更多的游客，則每個(gè)房間的定價(jià)為200+100=300（元）．
答：每間客房的定價(jià)應(yīng)為300元．
六、（本題14分）
22. 【方法回顧】
如圖1，過(guò)正方形的頂點(diǎn)作一條直線交邊于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：：

【問題解決】
如圖2，菱形的邊長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作一條直線交邊于點(diǎn)，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，與直線交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)：

【思維拓展】
如圖3，在正方形中，點(diǎn)在所在直線的上方，，連接、，若的面積與的面積之差為，則的值為________．（用含的式子表示）

【答案】【方法回顧】見解析；【問題解決】；【思維拓展】．
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)：
方法回顧：如圖1，利用“”證明，則，然后利用得到．
問題解決：證明，推出，，再利用勾股定理構(gòu)建方程解決問題即可．
思維拓展：如圖3中，過(guò)點(diǎn)P作交的延長(zhǎng)線于N，交的延長(zhǎng)線于M，設(shè)，，設(shè)，由，推出，可得，利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：方法回顧：如圖1中，

四邊形為正方形，
，，
，
，
，
，，
問題解決：如圖2中，

四邊形是菱形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
．
，
．
思維拓展：如圖3中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于，則，

設(shè)，．
，
四邊形是矩形，
，，
四邊形是正方形，
，設(shè)，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，
∴
．年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
九年級(jí)（1）班
九年級(jí)（2）班
入住的房間數(shù)量
房間價(jià)格
總維護(hù)費(fèi)用
提價(jià)前
60
200
60×20
提價(jià)后



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