第1講 描述運(yùn)動(dòng)的基本概念
一、質(zhì)點(diǎn)、參考系
1．質(zhì)點(diǎn)
(1)定義：用來代替物體的有質(zhì)量的點(diǎn)。
(2)物體看作質(zhì)點(diǎn)的條件：物體的大小和形狀對(duì)研究問題的影響可以忽略。
2．參考系
(1)定義：在描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，用來作為參考的物體。
(2)選?。嚎扇我膺x取，但對(duì)同一物體的運(yùn)動(dòng)，所選的參考系不同，運(yùn)動(dòng)的描述可能會(huì)不同，通常以地面為參考系。
二、位移和路程
三、速度與速率
1．平均速度：物體的位移與發(fā)生這段位移所用時(shí)間之比，即v＝eq \f(Δx,Δt)，是矢量，其方向與位移的方向相同。
2．瞬時(shí)速度：運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻或某一位置的速度，是矢量，方向沿軌跡的切線方向。
3．速率：瞬時(shí)速度的大小，是標(biāo)量。
4．平均速率：物體運(yùn)動(dòng)的路程與通過這段路程所用時(shí)間的比值。
四、加速度
1．定義：物體速度的變化量與發(fā)生這一變化所用時(shí)間之比。
2．定義式：a＝eq \f(Δv,Δt)。單位：m/s2。
3．方向：與Δv的方向一致，由合力的方向決定，而與初速度v0、末速度v的方向無關(guān)。
4．物理意義：描述物體速度變化快慢的物理量。
情境創(chuàng)設(shè)
港珠澳大橋是連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，位于廣東省珠江口伶仃洋海域內(nèi)，為珠江三角洲地區(qū)環(huán)線高速公路南環(huán)段。港珠澳大橋東起香港國際機(jī)場附近的香港口岸人工島，向西橫跨南海伶仃洋水域接珠海和澳門人工島，止于珠海洪灣立交，橋隧全長55 km，橋面為雙向六車道高速公路，設(shè)計(jì)速度為100 km/h。
某輛轎車在17：00進(jìn)入該大橋，17：40離開大橋。
eq \a\vs4\al(微點(diǎn)判斷)
(1)研究該轎車通過港珠澳大橋的時(shí)間時(shí)，可以將該轎車視為質(zhì)點(diǎn)。(√)
(2)以該轎車為參考系，港珠澳大橋是運(yùn)動(dòng)的。(√)
(3)該轎車在17：00進(jìn)入港珠澳大橋，17：40離開大橋，這里的“17：00”和“17：40”實(shí)際上指的是時(shí)刻。(√)
(4)該轎車經(jīng)過港珠澳大橋的位移是55 km。(×)
(5)“設(shè)計(jì)速度為100 km/h”，該速度為平均速度。(×)
(6)該轎車通過港珠澳大橋的平均速度約為82.5 km/h。(×)
(7)該轎車瞬時(shí)速度的方向就是轎車在該時(shí)刻或該位置的運(yùn)動(dòng)方向。(√)
(8)該轎車在某位置的速度很大，其加速度一定不為零。(×)
(9)該轎車的加速度增大，其速度可能增大。(√)
(10)該轎車的加速度減小，其速度可能增大。(√)
(一) 質(zhì)點(diǎn)、參考系、位移(固基點(diǎn))
[題點(diǎn)全練通]
1．[物體看作質(zhì)點(diǎn)的條件](2024·浙江1月選考)杭州亞運(yùn)會(huì)順利舉行，如圖所示為運(yùn)動(dòng)會(huì)中的四個(gè)比賽場景。在下列研究中可將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)的是( )
A．研究甲圖運(yùn)動(dòng)員的入水動(dòng)作
B．研究乙圖運(yùn)動(dòng)員的空中轉(zhuǎn)體姿態(tài)
C．研究丙圖運(yùn)動(dòng)員在百米比賽中的平均速度
D．研究丁圖運(yùn)動(dòng)員通過某個(gè)攀巖支點(diǎn)的動(dòng)作
解析：選C 研究甲圖運(yùn)動(dòng)員的入水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的形狀和體積對(duì)所研究問題的影響不能夠忽略，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員不能夠視為質(zhì)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；研究乙圖運(yùn)動(dòng)員的空中轉(zhuǎn)體姿態(tài)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的形狀和體積對(duì)所研究問題的影響不能夠忽略，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員不能夠視為質(zhì)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；研究丙圖運(yùn)動(dòng)員在百米比賽中的平均速度時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的形狀和體積對(duì)所研究問題的影響能夠忽略，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員能夠視為質(zhì)點(diǎn)，故C正確；研究丁圖運(yùn)動(dòng)員通過某個(gè)攀巖支點(diǎn)的動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的形狀和體積對(duì)所研究問題的影響不能夠忽略，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員不能夠視為質(zhì)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤。
2．[參考系的選取](2023·浙江1月選考)“神舟十五號(hào)”飛船和空間站“天和”核心艙成功對(duì)接后，在軌運(yùn)行如圖所示，則( )
A．選地球?yàn)閰⒖枷?，“天和”是靜止的
B．選地球?yàn)閰⒖枷?，“神舟十五?hào)”是靜止的
C．選“天和”為參考系，“神舟十五號(hào)”是靜止的
D．選“神舟十五號(hào)”為參考系，“天和”是運(yùn)動(dòng)的
解析：選C 以地球?yàn)閰⒖枷?，“天和”和“神舟十五?hào)”都是運(yùn)動(dòng)的，故A、B錯(cuò)誤；由于“神舟十五號(hào)”和“天和”核心艙成功對(duì)接，二者是相對(duì)靜止的，因此選“天和”為參考系，“神舟十五號(hào)”是靜止的，同理選“神舟十五號(hào)”為參考系，“天和”也是靜止的，故C正確，D錯(cuò)誤。
3．[位移與路程]如圖所示，在距墻壁1 m的A點(diǎn)，小球以某一速度沖向一端固定在墻壁上的彈簧，將彈簧壓縮到最短時(shí)到達(dá)距離墻壁0.2 m的B點(diǎn)，然后又被反方向彈回至距墻壁1.5 m的C點(diǎn)靜止，則從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，小球的位移大小和路程分別是( )
A．0.5 m、1.3 m B．0.8 m、1.3 m
C．0.8 m、1.5 m D．0.5 m、2.1 m
解析：選D 位移的大小等于始、末位置的距離，可知位移的大小等于AC的距離，即為1.5 m－1 m＝0.5 m。路程等于運(yùn)動(dòng)軌跡的長度，可知s＝1 m＋1.5 m－2×0.2 m＝2.1 m，故D正確。
[要點(diǎn)自悟明]
1．對(duì)質(zhì)點(diǎn)的三點(diǎn)說明
(1)質(zhì)點(diǎn)是一種理想化物理模型，實(shí)際并不存在。
(2)物體能否被看作質(zhì)點(diǎn)是由所研究問題的性質(zhì)決定的，并非依據(jù)物體自身大小和形狀來判斷。
(3)質(zhì)點(diǎn)不同于幾何“點(diǎn)”，是忽略了物體的大小和形狀的有質(zhì)量的點(diǎn)，而幾何中的“點(diǎn)”僅僅表示空間中的某一位置。
2．對(duì)參考系的三點(diǎn)提醒
(1)由于運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性，凡是提到物體的運(yùn)動(dòng)，都應(yīng)該明確它是相對(duì)哪個(gè)參考系而言的，在沒有特殊說明的情況下，一般選地面作為參考系。
(2)在同一個(gè)問題中，若要研究多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)或同一物體在不同階段的運(yùn)動(dòng)，則必須選取同一個(gè)參考系。
(3)對(duì)于復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的物體，應(yīng)選取能最簡單描述物體運(yùn)動(dòng)情況的物體為參考系。
3．位移與路程的兩點(diǎn)區(qū)別
(1)決定因素不同：位移由始、末位置決定，路程由實(shí)際的運(yùn)動(dòng)路徑?jīng)Q定。
(2)運(yùn)算法則不同：位移應(yīng)用矢量的平行四邊形定則運(yùn)算，路程應(yīng)用標(biāo)量的代數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算。
(二) 平均速度與瞬時(shí)速度(釋疑點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 平均速度的計(jì)算
1．(2024年1月·吉林、黑龍江高考適應(yīng)性演練)如圖，齊齊哈爾到長春的直線距離約為400 km。某旅客乘高鐵從齊齊哈爾出發(fā)經(jīng)哈爾濱到達(dá)長春，總里程約為525 km，用時(shí)為2.5 h。則在整個(gè)行程中該旅客( )
A．位移大小約為525 km，平均速度大小約為160 km/h
B．位移大小約為400 km，平均速度大小約為160 km/h
C．位移大小約為525 km，平均速度大小約為210 km/h
D．位移大小約為400 km，平均速度大小約為210 km/h
解析：選B 位移是起點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段，則在整個(gè)行程中該旅客位移大小約為400 km，平均速度大小約為v＝eq \f(x,t)＝eq \f(400,2.5) km/h＝160 km/h，故選B。
一點(diǎn)一過
1．平均速度的求解思路
(1)畫出運(yùn)動(dòng)軌跡。
(2)根據(jù)初、末位置確定位移。
(3)根據(jù)位移和時(shí)間由公式eq \x\t(v)＝eq \f(Δx,Δt)確定平均速度。
2．注意的三個(gè)問題
(1)求解平均速度必須明確是哪一段位移或哪一段時(shí)間內(nèi)的平均速度。
(2)eq \x\t(v)＝eq \f(Δx,Δt)是平均速度的定義式，適用于所有的運(yùn)動(dòng)。
(3)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即eq \x\t(v)＝veq \f(t,2)。
研清微點(diǎn)2 平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系
2.物體沿曲線的箭頭方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示(小正方格邊長為 1米)。AB、ABC、ABCD、ABCDE四段運(yùn)動(dòng)軌跡所用的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別是：1 s、2 s、3 s、4 s。下列說法正確的是( )
A．物體過B點(diǎn)的速度等于AC段的平均速度
B．物體過C點(diǎn)的速度大小一定是eq \f(\r(5),2) m/s
C．ABC段的平均速度比ABCD段的平均速度更能反映物體處于B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度
D．物體在ABCDE段的運(yùn)動(dòng)速度方向時(shí)刻改變
解析：選C 物體的運(yùn)動(dòng)不是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)；物體過AC段的平均速度為eq \f(\r(5),2) m/s，C點(diǎn)速度不一定為此值，故B錯(cuò)；根據(jù)平均速度公式eq \x\t(v)＝eq \f(Δx,Δt)可知，位移越小，平均速度越能代表某點(diǎn)的瞬時(shí)速度，所以ABC段的平均速度比ABCD段的平均速度更能反映物體處于B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度，故C正確；物體在BC段的速度方向沒有時(shí)刻改變，故D錯(cuò)。
一點(diǎn)一過
1．平均速度和瞬時(shí)速度的區(qū)別
(1)平均速度是過程量，與位移和時(shí)間有關(guān)，表示物體在某段位移或某段時(shí)間內(nèi)的平均運(yùn)動(dòng)快慢程度。
(2)瞬時(shí)速度是狀態(tài)量，與位置和時(shí)刻有關(guān)，表示物體在某一位置或某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度。
2．平均速度和瞬時(shí)速度的聯(lián)系
(1)瞬時(shí)速度等于運(yùn)動(dòng)時(shí)間Δt→0時(shí)的平均速度。
(2)對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，瞬時(shí)速度與平均速度相等。
研清微點(diǎn)3 平均速度與平均速率的比較
3．(2023·福建高考) “祝融號(hào)”火星車沿如圖所示路線行駛，在此過程中揭秘了火星烏托邦平原淺表分層結(jié)構(gòu)，該研究成果被列為“2022年度中國科學(xué)十大進(jìn)展”之首?！白Ｈ谔?hào)”從著陸點(diǎn)O處出發(fā)，經(jīng)過61天到達(dá)M處，行駛路程為585米；又經(jīng)過23天，到達(dá)N處，行駛路程為304米。已知O、M間和M、N間的直線距離分別約為463米和234米，則火星車( )
A．從O處行駛到N處的路程為697米
B．從O處行駛到N處的位移大小為889米
C．從O處行駛到M處的平均速率約為20米/天
D．從M處行駛到N處的平均速度大小約為10米/天
解析：選D 由題意可知從O到N處的路程為lON＝lOM＋lMN＝585 m＋304 m＝889 m，故A錯(cuò)誤；位移的大小為兩點(diǎn)之間的直線距離，因“祝融號(hào)”行駛路徑是一條曲線，則位移大小一定小于路程，故B錯(cuò)誤；平均速率為路程與時(shí)間的比值，故從O行駛到M處的平均速率為eq \(v,\s\up6(－))OM＝eq \f(lOM,tOM)＝eq \f(585,61)米/天≈9.59米/天，故C錯(cuò)誤；平均速度大小為位移與時(shí)間的比值，則從M行駛到N處的平均速度大小為eq \(v,\s\up6(－))MN＝eq \f(sMN,tMN)＝eq \f(234,23)米/天≈10米/天，故D正確。
一點(diǎn)一過
平均速率≠平均速度大小
1．平均速度是位移與時(shí)間之比，平均速率是路程與時(shí)間之比。
2．一般情況下，平均速率大于平均速度的大小。
3．單向直線運(yùn)動(dòng)中，平均速率等于平均速度的大小。
(三) 加速度(精研點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 加速度的計(jì)算
1．蹦床是運(yùn)動(dòng)員在一張繃緊的彈性網(wǎng)上蹦跳、翻滾并做各種空中動(dòng)作的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。一位運(yùn)動(dòng)員從高處自由落下，以大小為8 m/s的豎直速度著網(wǎng)，與網(wǎng)作用后，沿著豎直方向以大小為10 m/s的速度彈回。已知運(yùn)動(dòng)員與網(wǎng)接觸的時(shí)間Δt＝1.0 s，那么運(yùn)動(dòng)員在與網(wǎng)接觸的這段時(shí)間內(nèi)加速度的大小和方向分別為( )
A．2 m/s2，向下 B．8 m/s2，向上
C．10 m/s2，向下 D．18 m/s2，向上
解析：選D 取著網(wǎng)前的速度方向?yàn)檎较颍瑒tv1＝8 m/s，v2＝－10 m/s，則a＝eq \f(v2－v1,Δt)＝eq \f(－10－8,1.0) m/s2＝－18 m/s2，負(fù)號(hào)說明加速度的方向與正方向相反，即向上，D正確。
2．為了測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度為d＝3.0 cm的遮光板，如圖所示，滑塊在牽引力作用下勻加速先后通過兩個(gè)光電門，配套的數(shù)字毫秒計(jì)記錄了遮光板通過光電門1的時(shí)間為Δt1＝0.30 s，通過光電門2的時(shí)間為Δt2＝0.10 s，遮光板從開始遮住光電門1到開始遮住光電門2的時(shí)間為Δt＝3.0 s，則滑塊的加速度約為( )
A．0.067 m/s2 B．0.67 m/s2
C．6.7 m/s2 D．不能計(jì)算出
解析：選A 遮光板通過光電門1時(shí)的速度v1＝eq \f(d,Δt1)＝eq \f(0.03,0.30) m/s＝0.10 m/s，遮光板通過光電門2時(shí)的速度v2＝eq \f(d,Δt2)＝eq \f(0.03,0.10) m/s＝0.30 m/s，故滑塊的加速度a＝eq \f(v2－v1,Δt)≈0.067 m/s2，選項(xiàng)A正確。
一點(diǎn)一過
計(jì)算加速度的步驟及方法
研清微點(diǎn)2 速度、速度變化量與加速度的關(guān)系
3．如圖所示，在平直機(jī)場跑道上，客機(jī)和汽車并排沿正方向運(yùn)動(dòng)，a機(jī)＝5 m/s2，a車＝－5 m/s2，對(duì)客機(jī)和汽車的運(yùn)動(dòng)，下列判斷正確的是( )
A．客機(jī)的加速度大于汽車的加速度
B．客機(jī)做加速直線運(yùn)動(dòng)，汽車做減速直線運(yùn)動(dòng)
C．客機(jī)的速度比汽車的速度變化快
D．客機(jī)、汽車在相等時(shí)間內(nèi)速度變化相同
解析：選B 客機(jī)與汽車的加速度大小相等，A錯(cuò)誤；客機(jī)的加速度與速度同向，所以做加速直線運(yùn)動(dòng)，汽車的加速度與速度方向相反，所以做減速直線運(yùn)動(dòng)，B正確；加速度大小表示速度變化的快慢，因此客機(jī)和汽車的速度變化一樣快，C錯(cuò)誤；由Δv＝a·Δt可知，相等時(shí)間內(nèi)，客機(jī)、汽車的速度變化大小相等，方向相反，D錯(cuò)誤。
一點(diǎn)一過
速度、速度變化量和加速度的比較
研清微點(diǎn)3 物體速度變化規(guī)律分析
4．(多選)一個(gè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，物體的加速度(方向不變)大小從某一值逐漸減小到零，則在此過程中，關(guān)于該物體的運(yùn)動(dòng)情況的說法可能正確的是( )
A．物體速度不斷增大，加速度減小到零時(shí)，物體速度最大
B．物體速度不斷減小，加速度減小到零時(shí)，物體速度為零
C．物體速度減小到零后，反向加速再勻速
D．物體速度不斷增大，然后逐漸減小
解析：選ABC 物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，若速度方向與加速度方向相同，加速度逐漸減小，速度不斷增大，當(dāng)加速度減小到零時(shí)，速度達(dá)到最大，而后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A正確；若速度方向與加速度方向相反，加速度逐漸減小，速度不斷減小，當(dāng)加速度減小到零時(shí)，物體速度可能恰好為零，也可能當(dāng)速度減為零時(shí)，加速度不為零，然后物體反向做加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度等于零后，物體做勻速運(yùn)動(dòng)，B、C正確，D錯(cuò)誤。
一點(diǎn)一過
根據(jù)a與v的方向關(guān)系判斷物體速度變化
eq \a\vs4\al(?1?a和v同向,?加速直線運(yùn)動(dòng)?)?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a不變，v隨時(shí)間均勻增大,a增大，v增大得越來越快,a減小，v增大得越來越慢))
eq \a\vs4\al(?2?a和v反向,?減速直線運(yùn)動(dòng)?)?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a不變，v隨時(shí)間均勻減小,a增大，v減小得越來越快,a減小，v減小得越來越慢))
[課時(shí)跟蹤檢測]
1．下列說法正確的是( )
A．研究甲圖中排球運(yùn)動(dòng)員扣球動(dòng)作時(shí)，排球可以看成質(zhì)點(diǎn)
B．研究乙圖中乒乓球運(yùn)動(dòng)員的發(fā)球技術(shù)時(shí)，乒乓球不能看成質(zhì)點(diǎn)
C．研究丙圖中羽毛球運(yùn)動(dòng)員回?fù)粲鹈騽?dòng)作時(shí)，羽毛球大小可以忽略
D．研究丁圖中體操運(yùn)動(dòng)員的平衡木動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員身體各部分的速度可視為相同
解析：選B 研究甲圖中排球運(yùn)動(dòng)員扣球動(dòng)作時(shí)，排球的形狀和大小不能忽略，故不可以看成質(zhì)點(diǎn)，A錯(cuò)誤；研究乙圖中乒乓球運(yùn)動(dòng)員的發(fā)球技術(shù)時(shí)，要考慮乒乓球的大小和形狀，則乒乓球不能看成質(zhì)點(diǎn)，B正確；研究丙圖中羽毛球運(yùn)動(dòng)員回?fù)粲鹈騽?dòng)作時(shí)，羽毛球大小不可以忽略，C錯(cuò)誤；研究丁圖中體操運(yùn)動(dòng)員的平衡木動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員身體各部分有轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)，各部分的速度不可以視為相同，D錯(cuò)誤。
2.某校舉行教職工趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一項(xiàng)比賽項(xiàng)目——“五米三向折返跑”，活動(dòng)場地如圖所示，AB＝AC＝AD＝5 m，參賽教師聽到口令后從起點(diǎn)A跑向B點(diǎn)，用手觸摸折返線后再返回A點(diǎn)，然后依次跑向C點(diǎn)、D點(diǎn)，最終返回A點(diǎn)。若人可視為質(zhì)點(diǎn)，現(xiàn)測得某參賽教師完成活動(dòng)的時(shí)間為7.5 s，則( )
A．A到B和A到C的位移相同
B．該教師全程的平均速度為零
C．該教師通過的總位移為30 m
D．7.5 s指的是該教師回到起點(diǎn)的時(shí)刻
解析：選B A點(diǎn)到B點(diǎn)和A點(diǎn)到C點(diǎn)的路程相等，位移大小相等，方向不同，A錯(cuò)誤；根據(jù)位移的定義可知，參賽教師從A點(diǎn)出發(fā)通過三方向折返跑后回到A點(diǎn)，位移為零，C錯(cuò)誤；根據(jù)平均速度的定義，可知該教師平均速度為零，B正確；7.5 s指的是該教師完成該項(xiàng)活動(dòng)所用的時(shí)間，不是該教師回到起點(diǎn)的時(shí)刻，D錯(cuò)誤。
3．(多選)如圖甲所示，火箭發(fā)射時(shí)，速度能在10 s內(nèi)由0增加到100 m/s；如圖乙所示，汽車以108 km/h的速度行駛，急剎車時(shí)能在2.5 s內(nèi)停下來，下列說法中正確的是( )
A．10 s內(nèi)火箭的速度改變量為10 m/s
B．2.5 s內(nèi)汽車的速度改變量為－30 m/s
C．火箭的速度變化比汽車的快
D．火箭的加速度比汽車的加速度小
解析：選BD 因火箭發(fā)射時(shí)，速度在10 s內(nèi)由0增加到100 m/s，故10 s內(nèi)火箭的速度改變量為100 m/s，A錯(cuò)誤；汽車以108 km/h＝30 m/s的速度行駛，急剎車時(shí)能在2.5 s內(nèi)停下來，則2.5 s內(nèi)汽車的速度改變量為0－30 m/s＝－30 m/s，B正確；火箭的加速度為：a1＝eq \f(Δv1,Δt1)＝eq \f(100,10) m/s2＝10 m/s2，汽車的加速度為：a2＝eq \f(Δv2,Δt2)＝eq \f(－30,2.5) m/s2＝－12 m/s2，故火箭的速度變化比汽車的慢，火箭的加速度比汽車的加速度小，C錯(cuò)誤，D正確。
4．(2024·廣州高三模擬)華南師范大學(xué)附屬中學(xué)知識(shí)城校區(qū)位于廣州市黃埔區(qū)，為一所新建學(xué)校。李老師打算駕車從天河校本部到知識(shí)城校區(qū)。她用手機(jī)導(dǎo)航，導(dǎo)航推薦了三種方案，其中方案一是高速多，用時(shí)少；方案二是走免費(fèi)公路；方案三是走普通國道。李老師按照方案一駕駛小汽車從天河校本部出發(fā)，行駛了37 km，共用了36分鐘到達(dá)了知識(shí)城校區(qū)。則( )
A．汽車可能做勻變速運(yùn)動(dòng)
B．汽車運(yùn)動(dòng)的平均速度約為61.67 km/h
C．研究汽車的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可以將汽車視為質(zhì)點(diǎn)
D．手機(jī)導(dǎo)航推薦的三種方案位移大小相等，方向不同
解析：選C 汽車運(yùn)動(dòng)過程中肯定經(jīng)歷了加速和減速階段，所以加速度不可能不變，故不可能做勻變速運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；題干中沒有給出兩地的直線距離，也就是位移不確定，所以無法計(jì)算平均速度，若根據(jù)題干中的路程和時(shí)間，則只能求出汽車的平均速率，B錯(cuò)誤；當(dāng)物體的形狀、大小對(duì)所研究的問題沒有影響或者影響很小時(shí)，可以將物體看作質(zhì)點(diǎn)，所以研究汽車的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，汽車的形狀、大小均可忽略，故可以將汽車視為質(zhì)點(diǎn)，C正確；位移是指從初位置到末位置的有向線段，手機(jī)導(dǎo)航推薦的三種方案位移大小都相等，方向也相同，D錯(cuò)誤。
5.排球在我國是廣受歡迎的比賽項(xiàng)目，女排精神更是體現(xiàn)了頑強(qiáng)拼搏、永不放棄的中國精神。在排球比賽中，扣球手抓住機(jī)會(huì)打了一個(gè)“探頭球”，已知來球速度大小v1＝6 m/s，擊回的球速度大小v2＝8 m/s，擊球時(shí)間為0.2 s。關(guān)于擊球過程中的平均加速度，下列說法正確的是( )
A．平均加速度大小為70 m/s2，方向與v1相同
B．平均加速度大小為10 m/s2，方向與v1相同
C．平均加速度大小為70 m/s2，方向與v2相同
D．平均加速度大小為10 m/s2，方向與v2相同
解析：選C 選取初速度v1的方向?yàn)檎较?，則v1＝6 m/s，v2＝－8 m/s，所以排球的平均加速度為a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(v2－v1,Δt)＝eq \f(－8－6,0.2) m/s2＝－70 m/s2，負(fù)號(hào)表示平均加速度方向與v1的方向相反，與v2的方向相同，C正確，A、B、D錯(cuò)誤。
6．(多選)沿直線做勻變速運(yùn)動(dòng)的一列火車和一輛汽車的速度分別為v1和v2，v1、v2在各個(gè)時(shí)刻的大小如表中所示，從表中數(shù)據(jù)可以看出( )
A．火車的速度變化較慢 B．汽車的加速度較小
C．火車的位移在減小 D．汽車的位移在增大
解析：選AD 從表格中可得火車的加速度a火＝eq \f(Δv火,Δt火)＝eq \f(－0.5,1) m/s2＝－0.5 m/s2，汽車的加速度a汽＝eq \f(Δv汽,Δt汽)＝eq \f(1.2,1) m/s2＝1.2 m/s2，故火車的加速度較小，火車的速度變化較慢，A正確，B錯(cuò)誤；由于汽車和火車的速度一直為正值，速度方向不變，則位移都增加，C錯(cuò)誤，D正確。
7．獵豹是陸地上奔跑速度最快的動(dòng)物，最大速度可達(dá)110 km/h，為了捕捉正前方的羚羊，它由靜止出發(fā)沿直線加速運(yùn)動(dòng)2.5 s后追上羚羊，此時(shí)獵豹的速度為108 km/h，假定獵豹的運(yùn)動(dòng)可簡化為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是( )
A．獵豹的加速度大小為43.2 m/s2
B．2.5 s內(nèi)獵豹運(yùn)動(dòng)的距離為75 m
C．2.5 s內(nèi)獵豹運(yùn)動(dòng)的平均速度為15 m/s
D．1.0 s時(shí)刻獵豹運(yùn)動(dòng)的速度為54 km/h
解析：選C 獵豹的加速度a＝eq \f(Δv,Δt)＝12 m/s2，故A錯(cuò)誤；2.5 s內(nèi)獵豹運(yùn)動(dòng)的距離x＝eq \f(1,2)at2＝37.5 m，故B錯(cuò)誤；2.5 s內(nèi)獵豹運(yùn)動(dòng)的平均速度v＝eq \f(x,t)＝15 m/s，故C正確；1.0 s時(shí)刻獵豹運(yùn)動(dòng)的速度v＝at＝12 m/s＝43.2 km/h，故D錯(cuò)誤。
第2講 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
1．基本規(guī)律
(1)速度公式：v＝v0＋at。
(2)位移公式：x＝v0t＋eq \f(1,2)at2。
(3)速度與位移的關(guān)系式：v2－v02＝2ax。
2．重要推論
(1)平均速度關(guān)系式：eq \x\t(v)＝veq \f(t,2)＝eq \f(v0＋vt,2)，即一段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，也等于這段時(shí)間初、末時(shí)刻速度矢量和的一半。
(2)位移差公式：任意兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間間隔(T)內(nèi)的位移之差相等，即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。
(3)位移中點(diǎn)速度公式：veq \f(x,2)＝ eq \r(\f(v02＋vt2,2))。
(4)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的比例關(guān)系：
①1T末、2T末、3T末…nT末的瞬時(shí)速度之比：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
②第1個(gè)T內(nèi)、第2個(gè)T內(nèi)、第3個(gè)T內(nèi)…第n個(gè)T內(nèi)的位移之比：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
③從靜止開始通過連續(xù)相等的位移所用時(shí)間之比：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))。
3．自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律
情境創(chuàng)設(shè)
根據(jù)《道路交通安全法》的規(guī)定，為了保障通行安全，霧天駕駛機(jī)動(dòng)車在高速公路行駛時(shí)，應(yīng)當(dāng)降低行駛速度。霧天視線受阻，應(yīng)該打開霧燈。
eq \a\vs4\al(微點(diǎn)判斷)
(1)機(jī)動(dòng)車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其在任意兩段相等時(shí)間內(nèi)的速度變化量相等。(√)
(2)機(jī)動(dòng)車在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，中間時(shí)刻的速度一定小于該段時(shí)間內(nèi)位移中點(diǎn)的速度。(√)
(3)機(jī)動(dòng)車遇到險(xiǎn)情剎車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直至停止的過程中一共用時(shí)nT，則第1個(gè)T內(nèi)、第2個(gè)T內(nèi)、第3個(gè)T內(nèi)…第n個(gè)T內(nèi)的位移之比為(2n－1)∶…∶5∶3∶1。(√)
eq \a\vs4\al(情境創(chuàng)設(shè))
在無風(fēng)的雨天，水滴從屋檐無初速度滴落，不計(jì)空氣阻力。
eq \a\vs4\al(微點(diǎn)判斷)
(4)水滴做自由落體運(yùn)動(dòng)，下落的高度與時(shí)間成正比。(×)
(5)水滴做自由落體運(yùn)動(dòng)的加速度一定等于9.8 m/s2。(×)
(6)水滴下落過程中，在1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬時(shí)速度之比為1∶2∶3∶…∶n。(√)
(7)水滴滴在屋檐下的石板上后，又豎直向上濺起，水滴到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)。(×)
(一) 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律(釋疑點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 基本公式的應(yīng)用
1．某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝100t－10t2＋100 m，則對(duì)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述正確的是( )
A．初速度為0
B．加速度為20 m/s2
C．在3 s末，瞬時(shí)速度為40 m/s
D．質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
解析：選C 由位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式x＝100t－10t2＋100 m，可得x－100 m＝100t－10t2，對(duì)比勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系x＝v0t＋eq \f(1,2)at2可知，初速度為v0＝100 m/s，加速度為a＝－20 m/s2，由于初速度和加速度方向相反，所以質(zhì)點(diǎn)先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為0后，再沿負(fù)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故A、B、D錯(cuò)誤；由勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系v＝v0＋at，可得在3 s末，瞬時(shí)速度為v＝(100－20×3)m/s＝40 m/s，故C正確。
一點(diǎn)一過
1．公式間的關(guān)系
2．公式選取技巧
研清微點(diǎn)2 兩類特殊的勻減速直線運(yùn)動(dòng)對(duì)比
2．[剎車類問題](多選)一輛汽車以25 m/s 的速度沿平直公路行駛，突然發(fā)現(xiàn)前方有障礙物，立即剎車，汽車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為5 m/s2，那么從剎車開始計(jì)時(shí)，前6 s內(nèi)的位移大小與第6 s末的速度大小分別為( )
A．x＝60 m B．x＝62.5 m
C．v＝0 D．v＝5 m/s
解析：選BC 汽車速度減為零需要的時(shí)間t＝eq \f(v0,a)＝eq \f(25,5) s＝5 s，汽車在前6 s內(nèi)的位移x＝eq \f(v02,2a)＝eq \f(252,2×5) m＝62.5 m，A錯(cuò)誤，B正確；經(jīng)過5 s汽車停止運(yùn)動(dòng)，因此第6 s末汽車的速度大小為0，C正確，D錯(cuò)誤。
3．[雙向可逆類問題]在足夠長的光滑斜面上，有一物體以10 m/s的初速度沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，如果物體的加速度始終為5 m/s2，方向沿斜面向下。經(jīng)過3 s時(shí)物體的速度大小和方向是( )
A．25 m/s，沿斜面向上 B．5 m/s，沿斜面向下
C．5 m/s，沿斜面向上 D．25 m/s，沿斜面向下
解析：選B 取初速度方向?yàn)檎较颍瑒tv0＝10 m/s，a＝－5 m/s2，由v＝v0＋at可得，當(dāng)t＝3 s時(shí)，v＝－5 m/s，“－”表示物體在t＝3 s時(shí)速度方向沿斜面向下，故B正確。
一點(diǎn)一過
研清微點(diǎn)3 勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的多過程問題
4．(2024年1月·河南高考適應(yīng)性演練)如圖，在平直路面上進(jìn)行汽車剎車性能測試。當(dāng)汽車速度為v0時(shí)開始剎車，先后經(jīng)過路面和冰面(結(jié)冰路面)，最終停在冰面上。剎車過程中，汽車在路面與在冰面所受阻力之比為7∶1，位移之比為8∶7。則汽車進(jìn)入冰面瞬間的速度為( )
A.eq \f(1,2)v0 B.eq \f(1,3)v0
C.eq \f(1,8)v0 D.eq \f(1,9)v0
解析：選B 設(shè)汽車在路面與在冰面上的加速度大小分別為a1、a2，汽車進(jìn)入冰面瞬間的速度為v1，由牛頓第二定律有f＝ma，則汽車在路面與在冰面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小之比為eq \f(a1,a2)＝eq \f(f1,f2)＝eq \f(7,1)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，在路面上有v02－v12＝2a1x1，在冰面上有v12＝2a2x2，其中eq \f(x1,x2)＝eq \f(8,7)，解得汽車進(jìn)入冰面瞬間的速度為v1＝eq \f(v0,3)。故選B。
一點(diǎn)一過
求解多過程運(yùn)動(dòng)問題的方法
(1)根據(jù)題意畫出物體在各階段的運(yùn)動(dòng)示意圖，直觀呈現(xiàn)物體的運(yùn)動(dòng)過程。
(2)明確物體在各階段的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，找出題目給定的已知量、待求量以及中間量。
(3)合理選擇運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，列出物體在各階段的運(yùn)動(dòng)方程，同時(shí)列出物體各階段間的關(guān)聯(lián)方程，聯(lián)立求解。
[注意] 物體前一階段的末速度是后一階段的初速度，即速度是聯(lián)系各階段運(yùn)動(dòng)的橋梁。
(二) 自由落體和豎直上拋(融通點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 自由落體運(yùn)動(dòng)
1.(多選)一根輕質(zhì)細(xì)線將2個(gè)薄鐵墊片A、B連接起來，一同學(xué)用手固定B，此時(shí)A、B間距為3L，A距地面為L，如圖所示。由靜止釋放A、B，不計(jì)空氣阻力，且A、B落地后均不再彈起。從開始釋放到A落地歷時(shí)t1，A落地前的瞬時(shí)速率為v1，從A落地到B落在A上歷時(shí)t2，B落在A上前的瞬時(shí)速率為v2，則( )
A．t1＞t2 B．t1＝t2
C．v1∶v2＝1∶2 D．v1∶v2＝1∶3
解析：選BC A墊片下落用時(shí)t1等于B墊片開始下落距離L用時(shí)，B墊片再下落3L用時(shí)t2，由于t1、t2時(shí)間內(nèi)B下落的位移滿足1∶3的關(guān)系，故t1＝t2，由v＝gt可知，v1∶v2＝1∶2，所以B、C均正確。
一點(diǎn)一過
自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的快捷應(yīng)用
可充分利用自由落體運(yùn)動(dòng)初速度為零的特點(diǎn)、比例關(guān)系及推論等規(guī)律解題。
(1)從運(yùn)動(dòng)開始連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)的下落高度之比為1∶3∶5∶7∶…
(2)從運(yùn)動(dòng)開始一段時(shí)間內(nèi)的平均速度
eq \x\t(v)＝eq \f(h,t)＝eq \f(v,2)＝eq \f(1,2)gt
(3)連續(xù)相等時(shí)間T內(nèi)的下落高度之差Δh＝gT2
研清微點(diǎn)2 豎直上拋運(yùn)動(dòng)
2．(2023·廣東高考)銫原子噴泉鐘是定標(biāo)“秒”的裝置。在噴泉鐘的真空系統(tǒng)中，可視為質(zhì)點(diǎn)的銫原子團(tuán)在激光的推動(dòng)下，獲得一定的初速度。隨后激光關(guān)閉，銫原子團(tuán)僅在重力的作用下做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)后再做一段自由落體運(yùn)動(dòng)。取豎直向上為正方向。下列可能表示激光關(guān)閉后銫原子團(tuán)速度v或加速度a隨時(shí)間t變化的圖像是( )
解析：選D 銫原子團(tuán)僅受重力的作用，加速度g豎直向下，大小恒定，在v-t圖像中，斜率表示加速度，故斜率不變，所以v-t圖像應(yīng)該是一條傾斜的直線，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)榧铀俣群愣?，且方向豎直向下，故為負(fù)值，故C錯(cuò)誤，D正確。
3．研究人員為檢驗(yàn)?zāi)骋划a(chǎn)品的抗撞擊能力，乘坐熱氣球并攜帶該產(chǎn)品豎直升空，當(dāng)熱氣球以10 m/s的速度勻速上升到某一高度時(shí)，研究人員從熱氣球上將產(chǎn)品自由釋放，測得經(jīng)11 s產(chǎn)品撞擊地面。不計(jì)產(chǎn)品所受的空氣阻力，求產(chǎn)品的釋放位置距地面的高度。(g取10 m/s2)
解析：法一：分段法
根據(jù)題意畫出運(yùn)動(dòng)草圖如圖所示，在A→B段，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知tAB＝eq \f(v0,g)＝1 s，hAB＝hBC＝eq \f(1,2)gtAB2＝5 m，由題意可知tBD＝11 s－1 s＝10 s，
根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得hBD＝eq \f(1,2)gtBD2＝500 m，故釋放點(diǎn)離地面的高度H＝hBD－h(huán)AB＝495 m。
法二：全程法
將產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)視為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，規(guī)定向上為正方向，則v0＝10 m/s，a＝－g＝－10 m/s2，
根據(jù)H＝v0t＋eq \f(1,2)at2，解得H＝－495 m，
即產(chǎn)品剛釋放時(shí)離地面的高度為495 m。
答案：495 m
一點(diǎn)一過
1．研究豎直上拋運(yùn)動(dòng)的兩種方法
2．用好豎直上拋運(yùn)動(dòng)的三類對(duì)稱
(三) 解決勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題的六種方法(培優(yōu)點(diǎn))
方法1 基本公式法
解決勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題常用的方法有六種：基本公式法、平均速度法、圖像法、比例法、逆向思維法、推論法。不同的題目，采用的求解方法也不相同，即使多種方法都能采用，各方法的解題效率也會(huì)有區(qū)別，要注意領(lǐng)會(huì)和把握。
[研一題] 京津城際高鐵最高速度可以達(dá)到350 km/h(可看成100 m/s)，其中從北京南站到天津武清站這一段距離約80 km，中間不停車，若維持最高時(shí)速的時(shí)間為8 min，試估算該高鐵的加速度大小為(已知高鐵加速運(yùn)動(dòng)與減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小相同)( )
A．0.1 m/s2 B．0.3 m/s2
C．1 m/s2 D．3 m/s2
解析：選B 該高鐵從北京南站到天津武清站，近似看成先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。該高鐵做勻速運(yùn)動(dòng)的距離x2＝vt＝48 km，此時(shí)可將高鐵看成質(zhì)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，高鐵做勻加速運(yùn)動(dòng)的距離x1＝eq \f(x－x2,2)＝16 km，由公式v2－0＝2ax1，解得a≈0.3 m/s2，B正確。
[悟一法] 基本公式法是指利用v＝v0＋at、x＝v0t＋eq \f(1,2)at2、v2－v02＝2ax，求解勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題，需要注意這三個(gè)公式均為矢量式，使用時(shí)要注意方向性。
方法2 平均速度法
[研一題] 汽車啟動(dòng)后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，汽車上的司機(jī)發(fā)現(xiàn)尚有乘客未上車，急忙使汽車做勻減速運(yùn)動(dòng)直至停止，若整個(gè)過程歷時(shí)為t，行駛位移為s，那么，此過程中汽車的最大速度大小為( )
A.eq \f(s,2t) B.eq \f(s,t) C.eq \f(3s,2t) D.eq \f(2s,t)
解析：選D 設(shè)此過程中汽車的最大速度為v，則有s＝eq \f(v,2)t1＋eq \f(v,2)t2＝eq \f(v,2)t，解得v＝eq \f(2s,t)，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。
[悟一法] 平均速度法是指利用eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)和eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋vt,2)＝veq \f(t,2)，求解勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題，eq \x\t(v)＝veq \f(t,2)也常用于處理紙帶類問題。
方法3 圖像法
[研一題] 如圖所示，甲、乙兩車同時(shí)由靜止從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線AC運(yùn)動(dòng)。甲以加速度a3做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v。乙以加速度a1做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)后做加速度為a2的勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度也為v。若a1≠a2≠a3，則( )
A．甲、乙不可能同時(shí)由A到達(dá)C
B．甲一定先由A到達(dá)C
C．乙一定先由A到達(dá)C
D．若a1＞a3，則甲一定先由A到達(dá)C
解析：選A 根據(jù)速度—時(shí)間圖線得，若a1＞a3，如圖1所示，因?yàn)槟┧俣认嗟?，位移相等，即圖線與時(shí)間軸所圍成的面積相等，則t乙＜t甲。
若a3＞a1，如圖2所示，因?yàn)槟┧俣认嗟?，位移相等，即圖線與時(shí)間軸所圍成的面積相等，則t乙＞t甲。通過圖線作不出位移相等、速度相等、時(shí)間也相等的圖線，所以甲、乙不能同時(shí)到達(dá)。故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。
[悟一法] 圖像法是指利用v-t圖像分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，注意掌握以下三點(diǎn)：
①確定不同時(shí)刻速度的大小，利用圖線斜率求加速度；②利用圖線截距、斜率及斜率變化確定物體運(yùn)動(dòng)情況；③利用圖線與時(shí)間坐標(biāo)軸圍成的面積計(jì)算位移。
方法4 比例法
[研一題] 質(zhì)點(diǎn)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在第1個(gè)2 s、第2個(gè)2 s和第5 s內(nèi)三段位移之比為( )
A．2∶6∶5 B．2∶8∶7
C．4∶12∶9 D．2∶2∶1
解析：選C 質(zhì)點(diǎn)在從靜止開始運(yùn)動(dòng)的前5 s內(nèi)的每1 s內(nèi)位移之比應(yīng)為1∶3∶5∶7∶9，因此第1個(gè)2 s內(nèi)的位移為(1＋3)＝4份，第2個(gè)2 s內(nèi)的位移為(5＋7)＝12份，第5 s內(nèi)的位移即為9份，C正確。
[悟一法] 比例法適用于初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和末速度為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng)。
方法5 逆向思維法
[研一題] 一物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))以一定的初速度從一光滑斜面底端A點(diǎn)上滑，最高可滑到C點(diǎn)，已知AB長度是BC的3倍，如圖所示，已知物塊從A到B所需時(shí)間為t0，則它從B經(jīng)C再回到B，需要的時(shí)間是( )
A．t0 B.eq \f(t0,4)
C．2t0 D.eq \f(t0,2)
解析：選C 將物塊從A到C的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用逆向思維可看成從C到A的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可知連續(xù)相鄰相等的時(shí)間內(nèi)位移之比為1∶3∶5∶…∶(2n－1)，而CB∶BA＝1∶3，正好符合奇數(shù)比，故tAB＝tBC＝t0，且從B到C的時(shí)間等于從C到B的時(shí)間，故從B經(jīng)C再回到B需要的時(shí)間是2t0，C正確。
[悟一法] 逆向思維法是指把末速度為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng)看成反向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。
在利用逆向思維法求解問題時(shí)，結(jié)合比例法求解往往會(huì)使問題簡化。
方法6 推論法
[研一題] 如圖所示，某次蹦床運(yùn)動(dòng)員豎直向上跳起后，在向上運(yùn)動(dòng)的過程中依次通過O、P、Q三點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)距蹦床的高度分別為5 m、7 m、8 m，并且從O至P所用時(shí)間和從P至Q所用時(shí)間相等，已知重力加速度g取10 m/s2，蹦床運(yùn)動(dòng)員可以上升的最大高度(距離蹦床)為( )
A．8.125 m B．9.125 m
C．10.5 m D．11.5 m
解析：選A 由題意可知，OP＝2 m，PQ＝1 m，根據(jù)Δx＝gT2可知，蹦床運(yùn)動(dòng)員從O至P所用時(shí)間為T＝eq \r(\f(1,10)) s，過P點(diǎn)時(shí)的速度為vP＝eq \f(OQ,2T)，設(shè)最高點(diǎn)距P點(diǎn)的高度為h，有2gh＝vP2，解得h＝1.125 m，故蹦床運(yùn)動(dòng)員可以上升的最大高度H＝7 m＋h＝8.125 m，A正確。
[悟一法] 推論法是指利用Δx＝aT 2或xm－xn＝(m－n)aT 2，求解勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題，在此類問題中，利用推論法求出加速度往往是解決問題的突破口。
[課時(shí)跟蹤檢測]
一、立足主干知識(shí)，注重基礎(chǔ)性和綜合性
1．以8 m/s的初速度從地面豎直上拋一石子，該石子兩次經(jīng)過小樹頂端的時(shí)間間隔為0.8 s，則小樹高約為( )
A．0.8 m B．1.6 m
C．2.4 m D．3.2 m
解析：選C 石子豎直上升的最大高度為H＝eq \f(v2,2g)＝3.2 m，由題意可知，石子從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到小樹頂端的時(shí)間為t1＝eq \f(t,2)＝0.4 s，則最高點(diǎn)到小樹頂端的距離為h1＝eq \f(1,2)gt12＝0.8 m，則小樹高約為h＝H－h(huán)1＝2.4 m，故C正確。
2．一旅客在站臺(tái)8號(hào)車廂候車線處候車，若動(dòng)車一節(jié)車廂長25米，動(dòng)車進(jìn)站時(shí)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。他發(fā)現(xiàn)第6節(jié)車廂經(jīng)過他時(shí)用了4 s，動(dòng)車停下時(shí)旅客剛好在8號(hào)車廂門口，如圖所示，則該動(dòng)車的加速度大小約為( )
A．2 m/s2 B．1 m/s2
C．0.5 m/s2 D．0.2 m/s2
解析：選C 將動(dòng)車的運(yùn)動(dòng)等效為反向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)車第7節(jié)車廂經(jīng)過旅客的時(shí)間為t，動(dòng)車第7節(jié)車廂通過旅客過程，有eq \f(1,2)at2＝25 m，第6、7節(jié)車廂通過旅客過程，有eq \f(1,2)a(t＋4 s)2＝2×25 m，解得a≈0.5 m/s2，C正確。
3．(2024·汕頭高三聯(lián)考)如圖所示，一輛汽車A在t＝0時(shí)刻從坐標(biāo)為(－10 m,0)的A點(diǎn)以5 m/s的速率沿x軸正方向勻速行駛，另一輛汽車B在t＝2 s時(shí)刻從坐標(biāo)為(20 m，－10 m)的B點(diǎn)以5 m/s的速率沿y軸正方向勻速行駛，運(yùn)動(dòng)過程中兩車相距最近的時(shí)刻是( )
A．t＝6 s B．t＝5 s
C．t＝8 s D．t＝16 s
解析：選B 經(jīng)2 s時(shí)間A車運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，以此為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，設(shè)A、B兩車相距為s，s2＝(vAt－20)2＋(vBt－10)2，解得s最小時(shí)t＝3 s，故運(yùn)動(dòng)過程中兩車相距最近的時(shí)刻是t＝5 s。故選B。
4.如圖所示，一點(diǎn)光源固定在水平面上，一小球位于點(diǎn)光源和右側(cè)豎直墻壁之間的正中央，某時(shí)刻小球以初速度v0豎直上拋。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則在小球上升過程中，小球的影子在豎直墻壁上做( )
A．速度為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)
B．速度為2v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)
C．初速度為2v0、加速度為2g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)
D．初速度為v0、加速度為g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)
解析：選C 根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得，小球上升的位移為y＝v0t－eq \f(1,2)gt2，由幾何關(guān)系可知，小球的影子在豎直墻壁上的位移為y′＝2y＝(2v0)t－eq \f(1,2)(2g)t2，則小球的影子做初速度為2v0、加速度為2g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，所以C正確。
5．(多選)有一質(zhì)點(diǎn)從某一高度處自由下落，開始的eq \f(1,3)高度用時(shí)為t，重力加速度為g，則( )
A．物體自由下落eq \f(1,2)高度所用的時(shí)間為eq \f(\r(6),2)t
B．物體落地所用的時(shí)間為3t
C．物體自由下落eq \f(1,2)高度時(shí)的速度為eq \f(\r(3),2)gt
D．物體落地時(shí)的速度為eq \r(3)gt
解析：選AD 根據(jù)題意可得eq \f(1,3)h＝eq \f(1,2)gt2，設(shè)物體自由下落eq \f(1,2)高度所用的時(shí)間為t1，則有eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)gt12，聯(lián)立上式解得t1＝eq \f(\r(6),2)t，則物體自由下落eq \f(1,2)高度時(shí)的速度為v1＝gt1＝eq \f(\r(6),2)gt，A正確，C錯(cuò)誤；設(shè)物體落地所用的時(shí)間為t2，則有h＝eq \f(1,2)gt22，聯(lián)立解得t2＝eq \r(3)t，物體落地時(shí)的速度為v2＝gt2＝eq \r(3)gt，B錯(cuò)誤，D正確。
6.如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)開始做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，B、C、D是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑上的三個(gè)點(diǎn)，且BC＝x1，CD＝x2，質(zhì)點(diǎn)通過B、C間所用時(shí)間與通過C、D間所用時(shí)間相等，則質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)的速度為( )
A.eq \f(x1＋x2,2) eq \r(\f(a,x2－x1)) B.eq \f(x1＋x2,4) eq \r(\f(a,x2－x1))
C.eq \f(x2－x1,2) eq \r(\f(a,x1＋x2)) D.eq \f(x2－x1,4) eq \r(\f(a,x1＋x2))
解析：選A 設(shè)質(zhì)點(diǎn)從B到C所用時(shí)間為T，則x2－x1＝aT2，可得T＝ eq \r(\f(x2－x1,a))，則從B到D的時(shí)間為2 eq \r(\f(x2－x1,a))，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)的速度vC＝eq \f(x1＋x2,2T)＝eq \f(x1＋x2,2) eq \r(\f(a,x2－x1))，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。
7．在平直的測試汽車加速性能的場地上，每隔100 m有一個(gè)醒目的標(biāo)志桿。兩名測試員駕車由某個(gè)標(biāo)志桿從靜止開始勻加速啟動(dòng)，當(dāng)汽車通過第二個(gè)標(biāo)志桿開始計(jì)時(shí)，t1＝10 s時(shí)，汽車恰好經(jīng)過第5個(gè)標(biāo)志桿，t2＝20 s時(shí)，汽車恰好經(jīng)過第10個(gè)標(biāo)志桿(圖中未畫出)，汽車運(yùn)動(dòng)過程中可視為質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。求：
(1)汽車加速度的大小；
(2)若汽車勻加速達(dá)到最大速度64 m/s后立即保持該速度勻速行駛，則汽車從20 s末到30 s末經(jīng)過幾個(gè)標(biāo)志桿。
解析：(1)設(shè)汽車的加速度為a，經(jīng)過第二個(gè)標(biāo)志桿的速度為v0，在0～10 s內(nèi)，3L＝v0t1＋eq \f(1,2)at12
在0～20 s內(nèi)，8L＝v0t2＋eq \f(1,2)at22
解得a＝2 m/s2，v0＝20 m/s。
(2)在t2＝20 s時(shí)，vt＝v0＋at2＝60 m/s
達(dá)到最大速度v′＝vt＋aΔt，解得Δt＝2 s
設(shè)t3＝30 s，在t2～t3內(nèi)汽車位移
s＝eq \f(vt＋v′,2)Δt＋v′(t3－t2－Δt)＝636 m
則經(jīng)過的標(biāo)志桿數(shù)n＝eq \f(s,L)＝6.36個(gè)，即6個(gè)。
答案：(1)2 m/s2 (2)6個(gè)
二、強(qiáng)化遷移能力，突出創(chuàng)新性和應(yīng)用性
8．(2023·山東高考)如圖所示，電動(dòng)公交車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)站，連續(xù)經(jīng)過R、S、T三點(diǎn)，已知ST間的距離是RS的兩倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，則公交車經(jīng)過T點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度為( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
解析：選C 設(shè)RS段位移為x，所用時(shí)間為t，則ST段位移為2x，所用時(shí)間為t′，由題意得：在RS段的時(shí)間t＝eq \f(x,v1)＝eq \f(x,10)，在ST段的時(shí)間t′＝eq \f(2x,v2)＝eq \f(2x,5)，可解得t′＝4t，設(shè)電動(dòng)公交車的加速度大小為a，逆向推導(dǎo)可得v2＝vT＋aeq \f(t′,2)，v1＝vT＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t′＋\f(t,2)))，解得vT＝1 m/s，故C正確。
9．(多選)汽車在路上出現(xiàn)故障時(shí)，應(yīng)在車后放置三角警示牌(如圖所示)，以提醒后面駕車司機(jī)減速安全通過。在夜間，有一貨車因故障停駛，后面有一小轎車以30 m/s的速度向前駛來，由于夜間視線不好，小轎車駕駛員只能看清前方50 m內(nèi)的物體，并且他的反應(yīng)時(shí)間為0.6 s，制動(dòng)后最大加速度為5 m/s2。假設(shè)小轎車始終沿直線運(yùn)動(dòng)。下列說法正確的是( )
A．小轎車從剎車到停止所用的最短時(shí)間為6 s
B．小轎車的剎車距離(從剎車到停止運(yùn)動(dòng)所走的距離)為80 m
C．小轎車運(yùn)動(dòng)到三角警示牌時(shí)的最小速度為20 m/s
D．三角警示牌至少要放在貨車后58 m遠(yuǎn)處，才能有效避免兩車相撞
解析：選AD 設(shè)小轎車從剎車到停止時(shí)間為t2，則t2＝eq \f(0－v0,a)＝6 s，故A正確；小轎車的剎車距離x＝eq \f(0－v02,2a)＝90 m，故B錯(cuò)誤；反應(yīng)時(shí)間內(nèi)通過的位移為x1＝v0t1＝18 m，減速通過的位移為x′＝50 m－18 m＝32 m，設(shè)減速到警示牌的速度為v′，則2ax′＝v′2－v02，解得v′＝2eq \r(145) m/s，故C錯(cuò)誤；小轎車駕駛員發(fā)現(xiàn)三角警示牌到小轎車停止的過程中，小轎車通過的總位移為x總＝(90＋18)m＝108 m，三角警示牌放置的位置到貨車的距離為Δx＝(108－50)m＝58 m，故D正確。
10．強(qiáng)行超車是道路交通安全的極大隱患之一。下圖是汽車超車過程的示意圖，汽車甲和貨車均以36 km/h 的速度在路面上勻速行駛，其中甲車車身長L1＝5 m、貨車車身長L2＝8 m，貨車在甲車前s＝3 m處。若甲車司機(jī)開始加速從貨車左側(cè)超車，加速度大小為2 m/s2。假定貨車速度保持不變，不計(jì)車輛變道的時(shí)間及車輛的寬度。求：
(1)甲車完成超車至少需要多長時(shí)間；
(2)若甲車開始超車時(shí)，看到道路正前方的乙車迎面駛來，此時(shí)二者相距110 m，乙車速度為54 km/h。甲車超車的整個(gè)過程中，乙車速度始終保持不變，請(qǐng)通過計(jì)算分析，甲車能否安全超車。
解析：(1)設(shè)甲經(jīng)過時(shí)間t剛好完成超車，在時(shí)間t內(nèi)
甲車位移x1＝v1t＋eq \f(1,2)at2
貨車位移x2＝v2t
根據(jù)題圖可知x1＝x2＋L1＋L2＋s
代入數(shù)據(jù)得t＝4 s
即甲車最短的超車時(shí)間為4 s。
(2)在最短4 s內(nèi)
甲車位移x1＝56 m
乙車位移x3＝v3t＝60 m
由于x1＋x3＝116 m>110 m，故不能安全超車。
答案：(1)4 s (2)見解析
第3講 “運(yùn)動(dòng)圖像”的分類研究
類型(一) 位移—時(shí)間(x-t)圖像
1．位移—時(shí)間圖像反映了做直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，圖像并非物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。
2．位移—時(shí)間圖像只能描述物體做直線運(yùn)動(dòng)的情況，這是因?yàn)槲灰啤獣r(shí)間圖像只能表示物體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方向：t軸上方代表正方向，t軸下方代表負(fù)方向；如果物體做曲線運(yùn)動(dòng)，則畫不出位移—時(shí)間圖像。
3．位移—時(shí)間圖線上每一點(diǎn)的斜率表示物體在該時(shí)刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正負(fù)表示速度的方向。
[多維訓(xùn)練]
考法1 x-t圖像的理解
1.一遙控玩具小車在平直路上運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像如圖所示，則( )
A．8 s末小車的位移為20 m
B．前10 s內(nèi)小車的加速度為3 m/s2
C．20 s末小車的速度為－1 m/s
D．前25 s內(nèi)小車做單方向直線運(yùn)動(dòng)
解析：選C x-t圖像中斜率表示速度，小車在0～10 s內(nèi)的速度為v1＝eq \f(Δx1,Δt1)＝3 m/s，故小車在0～10 s內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為0,8 s末小車的位移為x＝v1t1＝3×8 m＝24 m，故A、B錯(cuò)誤；15～25 s時(shí)間內(nèi)小車的速度為v2＝eq \f(Δx2,Δt2)＝－1 m/s，即20 s末小車的速度為－1 m/s，故C正確；小車在15 s末速度方向變?yōu)樨?fù)方向，故D錯(cuò)誤。
考法2 x-t圖像中圖線交點(diǎn)及斜率的理解
2．(2024·湛江高三檢測)2024年1月21日，“紅樹林之城”湛江半程馬拉松賽在湛江舉行。在比賽中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員沿某段直線道路同向運(yùn)動(dòng)，其位置x隨時(shí)間t的變化如圖所示，甲、乙圖線分別為圓弧、直線。下列說法正確的是( )
A．甲做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
B．乙做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
C．第4 s末，二者速度相等
D．前4 s內(nèi)，二者位移相等
解析：選D 如果甲做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其位移—時(shí)間圖像應(yīng)為拋物線，A錯(cuò)誤；乙做勻速直線運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；圖像的斜率表示速度，第4 s末，二者的斜率不相等，所以速度不等，二者的初末位置相同，所以位移相同，C錯(cuò)誤，D正確。
考法3 由x-t圖像比較物體運(yùn)動(dòng)情況
3．(2024年1月·貴州高考適應(yīng)性演練)(多選)圖(a)是貴州特有的“獨(dú)竹漂”表演，此項(xiàng)目已被列入第五批國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)名錄。某次表演過程中，表演者甲在河中心位置完成表演后沿直線劃向岸邊，同時(shí)表演者乙從另一岸邊沿同一直線劃向河中心并準(zhǔn)備表演，該過程甲、乙運(yùn)動(dòng)的位置x與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖(b)所示，則( )
A．0～t0內(nèi)，甲、乙的運(yùn)動(dòng)方向相反
B．0～t0內(nèi)，甲、乙的位移大小相等
C．0～2t0內(nèi)，乙的平均速度等于甲的平均速度
D．0～2t0內(nèi)，乙的速度最大值大于甲的速度最大值
解析：選CD x-t圖像斜率的正負(fù)表示運(yùn)動(dòng)的方向，0～t0內(nèi)，甲、乙的x-t圖像的斜率均為負(fù)，所以運(yùn)動(dòng)方向相同，A錯(cuò)誤；0～t0內(nèi)，乙的位移大小為x0，甲的位移大小小于x0，所以0～t0內(nèi)甲、乙的位移大小不相等，B錯(cuò)誤；0～2t0內(nèi)乙的位移等于甲的位移，時(shí)間也相同，所以0～2t0內(nèi)乙的平均速度等于甲的平均速度，C正確；x-t圖線斜率的大小代表速度的大小，明顯乙的圖線最大斜率絕對(duì)值大于甲的圖線最大斜率絕對(duì)值，所以0～2t0內(nèi)乙的速度最大值大于甲的速度最大值，D正確。
類型(二) 速度—時(shí)間(v-t)圖像
1．v-t圖像的理解
(1)v-t圖像反映了做直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律，它只能描述物體做直線運(yùn)動(dòng)的情況。
(2)v-t圖像中圖線上每一點(diǎn)的斜率表示物體該時(shí)刻的加速度。斜率的大小表示加速度的大小，斜率為正表示加速度沿規(guī)定的正方向，但物體不一定做加速運(yùn)動(dòng)，斜率為負(fù)則加速度沿負(fù)方向，物體不一定做減速運(yùn)動(dòng)。
(3)v-t圖像中圖線與t軸所圍面積表示這段時(shí)間內(nèi)物體的位移。t軸上方的面積表示位移沿正方向，t軸下方的面積表示位移沿負(fù)方向，如果上方與下方的面積大小相等，說明物體恰好回到出發(fā)點(diǎn)。
2．x-t圖像與v-t圖像的比較
[多維訓(xùn)練]
考法1 v-t圖像的理解
1．(2022·河北高考)科學(xué)訓(xùn)練可以提升運(yùn)動(dòng)成績，某短跑運(yùn)動(dòng)員科學(xué)訓(xùn)練前后百米全程測試中，速度v與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖所示。由圖像可知( )
A．0～t1時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均加速度大
B．0～t2時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練前、后運(yùn)動(dòng)員跑過的距離相等
C．t2～t3時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均速度小
D．t3時(shí)刻后，運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練前做減速運(yùn)動(dòng)，訓(xùn)練后做加速運(yùn)動(dòng)
解析：選D 根據(jù)加速度的定義式a＝eq \f(Δv,Δt)，由題圖可知0～t1時(shí)間內(nèi)訓(xùn)練前的速度變化量大于訓(xùn)練后的
速度變化量，所以訓(xùn)練前的平均加速度大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)v -t圖像與橫軸圍成的面積表示位移，由題圖可知0～t2時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練前運(yùn)動(dòng)員跑過的距離比訓(xùn)練后的大，故B錯(cuò)誤；由題圖可知t2～t3時(shí)間內(nèi)，訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的位移比訓(xùn)練前大，根據(jù)平均速度等于位移與時(shí)間的比值，可知訓(xùn)練后運(yùn)動(dòng)員的平均速度大，故C錯(cuò)誤；根據(jù)v -t圖像可直接判斷知，t3時(shí)刻后，運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練前速度減小，做減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練后速度增加，做加速運(yùn)動(dòng)，故D正確。
考法2 x-t圖像與v-t圖像的比較
2．(多選)賽龍舟是端午節(jié)的傳統(tǒng)活動(dòng)。下列v-t和x-t圖像描述了五條相同的龍舟從同一起點(diǎn)線同時(shí)出發(fā)、沿長直河道劃向同一終點(diǎn)線的運(yùn)動(dòng)全過程，其中能反映龍舟甲與其他龍舟在途中出現(xiàn)船頭并齊的有( )
解析：選BD 從v-t圖像上看，由于所有龍舟出發(fā)點(diǎn)相同，故只要存在甲龍舟與其他龍舟從出發(fā)到某時(shí)刻圖線與t軸所圍圖形面積相等，就存在船頭并齊的情況，故A錯(cuò)誤，B正確。從x-t圖像上看，圖像的交點(diǎn)即代表兩龍舟船頭并齊，故D正確，C錯(cuò)誤。
考法3 x-t圖像與v-t圖像的轉(zhuǎn)化
3.某駕校學(xué)員在教練的指導(dǎo)下沿直線路段練習(xí)駕駛技術(shù)，汽車的位置x與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則汽車行駛速度v與時(shí)間t的關(guān)系圖像可能正確的是( )
解析：選A x-t圖像斜率的物理意義是速度，在0～t1時(shí)間內(nèi)，x-t圖像斜率增大，汽車的速度增大；在t1～t2時(shí)間內(nèi)，x-t圖像斜率不變，汽車的速度不變；在t2～t3時(shí)間內(nèi)，x-t圖像的斜率減小，汽車做減速運(yùn)動(dòng)，綜上所述可知A中v-t圖像可能正確。
類型(三) 非常規(guī)運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像
(1)由v＝v0＋at可知，v－v0＝at＝Δv，a-t圖像與t軸所圍面積表示物體速度的變化量。
(2)圖像與縱軸的交點(diǎn)表示初始時(shí)刻的加速度。
考法1 a-t圖像
[例1] (2023·湖北高考)(多選)t＝0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)P從原點(diǎn)由靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a隨時(shí)間t按圖示的正弦曲線變化，周期為2t0。在0～3t0時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是( )
A．t＝2t0時(shí)，P回到原點(diǎn)
B．t＝2t0時(shí)，P的運(yùn)動(dòng)速度最小
C．t＝t0時(shí)，P到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)
D．t＝eq \f(3,2)t0時(shí)，P的運(yùn)動(dòng)速度與t＝eq \f(1,2)t0時(shí)相同
[解析] 質(zhì)點(diǎn)在0～t0時(shí)間內(nèi)從靜止開始先做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)再做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，此過程一直向前加速運(yùn)動(dòng)；t0～2t0時(shí)間內(nèi)加速度和速度反向，先做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)再做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，2t0時(shí)刻速度減小到零，0～2t0時(shí)間內(nèi)一直向前運(yùn)動(dòng)；2t0～4t0重復(fù)此過程的運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)一直向前運(yùn)動(dòng)，A、C錯(cuò)誤，B正確。a-t圖像的面積表示速度變化量，eq \f(1,2)t0～eq \f(3,2)t0時(shí)間內(nèi)速度的變化量為零，因此eq \f(1,2)t0時(shí)刻的速度與eq \f(3,2)t0時(shí)刻的速度相同，D正確。
[答案] BD
考法2 eq \f(x,t)-t圖像
由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2→eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at可知：
(1)eq \f(x,t)-t圖像中圖線的斜率k＝eq \f(1,2)a。
(2)圖線與縱軸的交點(diǎn)表示物體的初速度。
[例2] (多選)直線坐標(biāo)系Ox軸原點(diǎn)處有a、b兩質(zhì)點(diǎn)，t＝0時(shí)a、b同時(shí)沿x軸正方向做直線運(yùn)動(dòng)，其位置坐標(biāo)x與時(shí)間t的比值隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示，則( )
A．質(zhì)點(diǎn)a做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為10 m/s2
B．a(chǎn)、b從原點(diǎn)出發(fā)后再次到達(dá)同一位置時(shí)，a的速度為10 m/s
C．a(chǎn)、b從原點(diǎn)出發(fā)后再次到達(dá)同一位置之前，最遠(yuǎn)相距1.25 m
D．a(chǎn)、b從原點(diǎn)出發(fā)后，t＝1 s時(shí)再次到達(dá)同一位置
[解析] 對(duì)質(zhì)點(diǎn)a，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得：eq \f(x,t)＝5t＋5(m/s)，則x＝5t2＋5t(m)，與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2對(duì)比得：v0＝5 m/s，a＝10 m/s2，所以質(zhì)點(diǎn)a做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為10 m/s2，A正確；t＝1 s時(shí)，eq \f(x,t)相等，則x相等，所以1 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)a、b再次到達(dá)同一位置，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)a的速度為v1a＝v0＋at＝15 m/s，B錯(cuò)誤，D正確；由題圖知，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)b，有eq \f(x,t)＝10 m/s，所以質(zhì)點(diǎn)b做速度為10 m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)a、b速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，則有v0＋at′＝vb，得t′＝0.5 s，xa＝v0t′＋eq \f(1,2)at′2＝3.75 m，xb＝vbt′＝5 m，所以最遠(yuǎn)相距s＝xb－xa＝1.25 m，C正確。
[答案] ACD
考法3 eq \a\vs4\al(v2)-x圖像
由v2－v02＝2ax→v2＝v02＋2ax可知：
(1)v2-x圖像的斜率k＝2a。
(2)圖線與v2軸的交點(diǎn)表示物體的初速度的平方，即v02。
[例3] 在某試驗(yàn)場地的水平路面上甲、乙兩車在相鄰平行直車道上行駛。當(dāng)甲、乙兩車并排行駛的瞬間，同時(shí)開始剎車，剎車過程中兩車速度的二次方v2隨剎車位移x的變化規(guī)律如圖所示。則下列說法正確的是( )
A．乙車先停止運(yùn)動(dòng)
B．甲、乙兩車剎車過程中加速度大小之比為1∶12
C．從開始剎車起經(jīng)4 s，兩車再次恰好并排相遇
D．甲車停下時(shí)兩車相距3.25 m
[解析] 根據(jù)勻變速速度位移關(guān)系式得v2＝2ax，根據(jù)題圖，可得甲、乙加速度大小分別為7.5 m/s2和eq \f(5,8) m/s2，加速度比值為12∶1，B錯(cuò)誤；兩車停下的時(shí)間為t甲＝eq \f(v甲,a甲)＝2 s，t乙＝eq \f(v乙,a乙)＝8 s，所以甲車先停，A錯(cuò)誤；甲經(jīng)2 s先停下時(shí)，此時(shí)甲的位移為15 m，乙的位移為x1＝v0t1－eq \f(1,2)a乙t12＝8.75 m，兩車相距6.25 m，兩車再次相遇有15 m＝v0t2－eq \f(1,2)a乙t22，解得t2＝4 s，C正確，D錯(cuò)誤。
[答案] C
[課時(shí)跟蹤檢測]
1．(2023·江蘇高考)電梯上升過程中，某同學(xué)用智能手機(jī)記錄了電梯速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖所示。電梯加速上升的時(shí)段是( )
A．從20.0 s到30.0 s B．從30.0 s到40.0 s
C．從40.0 s到50.0 s D．從50.0 s到60.0 s
解析：選A 電梯上升，由速度時(shí)間圖像可知，電梯加速上升的時(shí)段為20.0 s到30.0 s。故選A。
2．四輛小車從同一地點(diǎn)向同一方向運(yùn)動(dòng)的情況分別如圖所示，下列說法正確的是( )
A．甲車做直線運(yùn)動(dòng)，乙車做曲線運(yùn)動(dòng)
B．這四輛車均從靜止開始運(yùn)動(dòng)
C．在0～t2時(shí)間內(nèi)，丙、丁兩車在時(shí)刻t2相距最遠(yuǎn)
D．在0～t2時(shí)間內(nèi)，丙、丁兩車間的距離先增大后減小
解析：選C x-t圖像只能用來描述直線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；由x-t圖像切線的斜率表示速度可知，乙車做減速直線運(yùn)動(dòng)，甲車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且甲車和乙車都不是從靜止開始運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；0～t2時(shí)間內(nèi)，由v-t圖像與時(shí)間軸圍成圖形的面積表示位移可知，丙、丁兩車在t2時(shí)刻面積差最大，所以相距最遠(yuǎn)，C正確；在0～t2時(shí)間內(nèi)，丁車的速度大于丙車的速度，兩車間的距離一直增大，D錯(cuò)誤。
3．(2023·全國甲卷)一小車沿直線運(yùn)動(dòng)，從t＝0開始由靜止勻加速至t＝t1時(shí)刻，此后做勻減速運(yùn)動(dòng)，到t＝t2時(shí)刻速度降為零。在下列小車位移x與時(shí)間t的關(guān)系曲線中，可能正確的是( )
解析：選D x-t圖像的斜率表示速度，小車先做勻加速運(yùn)動(dòng)，因此速度變大，即0～t1時(shí)間內(nèi)x-t圖像的斜率變大，t1～t2時(shí)間內(nèi)做勻減速運(yùn)動(dòng)，則x-t圖像的斜率變小，在t2時(shí)刻停止，圖像的斜率變?yōu)榱恪?br>4．(2024年1月·廣西高考適應(yīng)性演練)2023年11月，在廣西舉辦的第一屆全國學(xué)生(青年)運(yùn)動(dòng)會(huì)的自行車比賽中，若甲、乙兩自行車的v-t圖像如圖，在t＝0時(shí)刻兩車在賽道上初次相遇，則( )
A．0～t1內(nèi)，乙的加速度越來越大
B．t1時(shí)刻，甲、乙再次相遇
C．0～t1內(nèi)，甲、乙之間的距離先增大后減小
D．t1～t2內(nèi)，甲、乙之間的距離先減小后增大
解析：選D v-t圖像的斜率表示加速度，由題圖可得，0～t1內(nèi)乙圖線的斜率逐漸變小，即加速度減小，故A錯(cuò)誤；v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移，由題圖可知在t1時(shí)刻，乙的位移大于甲的位移，即此時(shí)乙在甲前面，故B錯(cuò)誤；v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移，由題圖可得，0～t1內(nèi)，甲、乙的位移差一直增大，甲、乙之間的距離一直增大，故C錯(cuò)誤；由以上分析可得，t1時(shí)刻乙在甲前面，由題圖可知t1～t2內(nèi)，v甲>v乙，且最后都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則甲會(huì)追上乙，并超越乙到乙的前面，即t1～t2內(nèi)，甲、乙之間的距離先減小到甲追上乙，后甲超越乙到乙的前面，甲、乙之間的距離又增大，故D正確。
5．甲、乙兩物體沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，其a-t圖像如圖所示，t＝0時(shí)刻，兩物體處于同一位置且速度均為0，則在0～2t0時(shí)間內(nèi)( )
A．t0時(shí)刻兩物體的速度相等
B．t0時(shí)刻兩物體再次相遇
C．t0時(shí)刻兩物體的間距大于eq \f(1,4)a0t02
D．2t0時(shí)刻兩物體再次相遇
解析：選C 將a-t圖像轉(zhuǎn)換為v-t圖像，如圖所示。兩個(gè)圖像結(jié)合分析，t0時(shí)刻兩物體的加速度相等，速度不相等，故A錯(cuò)誤；t0時(shí)刻，由a-t圖像與t軸所圍圖形面積表示速度變化量，知甲的速度為a0t0，乙的速度為eq \f(1,2)a0t0,0～t0時(shí)間內(nèi)，甲的位移為eq \f(1,2)a0t02，乙的位移小于eq \f(1,4)a0t02，所以t0時(shí)刻兩物體的間距大于eq \f(1,4)a0t02，故C正確，B錯(cuò)誤；0～2t0時(shí)間內(nèi)甲的速度一直大于乙的速度，所以兩物體的間距一直增大，2t0時(shí)刻兩物體的速度相等，相距最遠(yuǎn)，故D錯(cuò)誤。
6．(多選)在勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)課中，某小組同學(xué)將拾取的垃圾打包成袋從斜坡頂端以不同的初速度v0下滑至垃圾存放處，斜坡長為4 m，垃圾袋可視為質(zhì)點(diǎn)，其在斜坡上下滑的最遠(yuǎn)距離x與v02的關(guān)系圖像如圖所示，下列說法正確的是( )
A．垃圾袋下滑時(shí)加速度大小為2 m/s2
B．當(dāng)垃圾袋的初速度為4 m/s時(shí)，垃圾袋剛好到達(dá)斜坡最低點(diǎn)
C．當(dāng)垃圾袋的初速度為5 m/s時(shí)，滑到斜坡最低點(diǎn)時(shí)間為1 s
D．當(dāng)垃圾袋的初速度為5 m/s時(shí)，滑到斜坡最低點(diǎn)時(shí)間為4 s
解析：選ABC 由v02＝2ax推知，圖線斜率為eq \f(1,2a)，所以垃圾袋下滑的加速度大小為a＝2 m/s2，A正確；由圖像可知，當(dāng)垃圾袋的初速度為4 m/s時(shí)，x＝4 m，所以垃圾袋剛好滑到斜坡最低點(diǎn)，B正確；當(dāng)垃圾袋的初速度為5 m/s時(shí)，減速到零所用時(shí)間為t0＝
eq \f(v0,a)＝2.5 s，根據(jù)x＝v0t－eq \f(1,2)at2，即4＝5t－eq \f(1,2)×2t2，解得t＝1 s或t＝4 s>t0(舍去)，C正確，D錯(cuò)誤。
7.某物體做直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)該物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，位移為x，其eq \f(x,t2)-eq \f(1,t)圖像如圖所示，則下列說法正確的是( )
A．物體做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)
B．t＝0時(shí)，物體的速度為ab
C．0～b時(shí)間內(nèi)物體的位移為2ab2
D．0～b時(shí)間內(nèi)物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，b～2b時(shí)間內(nèi)物體做反向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)
解析：選D 根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)a加t2得eq \f(x,t2)＝v0eq \f(1,t)＋eq \f(1,2)a加，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得v0＝k＝eq \f(\a\vs4\al(2a),\f(1,b))＝2ab，B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得eq \f(1,2)a加＝－a，解得a加＝－2a，將t＝b代入x＝v0t＋eq \f(1,2)a加t2得x＝2ab×b＋eq \f(1,2)×(－2a)×b2＝ab2，C錯(cuò)誤；由題圖可知a加0，t＝b時(shí)，v＝v0＋a加t＝0，故在0～b時(shí)間內(nèi)物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，b～2b時(shí)間內(nèi)物體做反向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤，D正確。
第4講 “追及相遇問題”的題型技法
技法(一) 情境分析法
情境分析法的基本思路
[典例] 汽車A以vA＝4 m/s的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)前方相距x0＝7 m處、以vB＝10 m/s的速度同向運(yùn)動(dòng)的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動(dòng)，其剎車的加速度大小a＝2 m/s2。從此刻開始計(jì)時(shí)。求：
(1)A追上B前，A、B間的最遠(yuǎn)距離是多少；
(2)經(jīng)過多長時(shí)間A恰好追上B。
[解題指導(dǎo)] 汽車A和B的運(yùn)動(dòng)過程如圖所示。
[解析] (1)當(dāng)A、B兩汽車速度相等時(shí)，兩車間的距離最遠(yuǎn)，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s，
此時(shí)汽車A的位移xA＝vAt＝12 m，
汽車B的位移xB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m，
故最遠(yuǎn)距離Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。
(2)汽車B從開始減速直到靜止經(jīng)歷的時(shí)間t1＝eq \f(vB,a)＝5 s，運(yùn)動(dòng)的位移xB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m，
汽車A在t1時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移xA′＝vAt1＝20 m，此時(shí)相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m，
汽車A需再運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝eq \f(Δx,vA)＝3 s，
故A追上B所用時(shí)間t總＝t1＋t2＝8 s。
[答案] (1)16 m (2)8 s
[升維訓(xùn)練]
(1)若某同學(xué)應(yīng)用關(guān)系式vBt－eq \f(1,2)at2＋x0＝vAt，解得經(jīng)過t＝7 s(另解舍去)時(shí)A恰好追上B。這個(gè)結(jié)果合理嗎？為什么？
(2)若汽車A以vA＝4 m/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，其后方相距x0＝7 m處、以vB＝10 m/s的速度同方向運(yùn)動(dòng)的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動(dòng)，其剎車的加速度大小為a＝2 m/s2，則經(jīng)過多長時(shí)間兩車恰好相遇？
提示：(1)這個(gè)結(jié)果不合理，因?yàn)槠嘊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長為t＝eq \f(vB,a)＝5 s＜7 s，說明汽車A追上B時(shí)汽車B已停止運(yùn)動(dòng)。
(2)可由位移關(guān)系式：vBt－eq \f(1,2)at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2))s，t2＝(3＋eq \r(2))s。
[微點(diǎn)撥]
典例及升維訓(xùn)練旨在培養(yǎng)考生“貼合實(shí)際、全面分析”運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的思維習(xí)慣：
(1)如勻速運(yùn)動(dòng)的物體追勻減速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，注意判斷追上時(shí)被追的物體是否已停止。
(2)勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，有追不上、恰好追上、相撞或相遇兩次等多種可能。
技法(二) 圖像分析法
圖像分析法的解題要領(lǐng)
圖像分析法是指將兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)圖像畫在同一坐標(biāo)系中，然后根據(jù)圖像分析求解相關(guān)問題。
(1)若用位移圖像求解，分別作出兩個(gè)物體的位移圖像，如果兩個(gè)物體的位移圖像相交，則說明兩物體相遇。
(2)若用速度圖像求解，則注意比較速度圖線與時(shí)間軸包圍的面積。
[注意] x-t圖像的交點(diǎn)表示兩物體相遇，而v-t圖像的交點(diǎn)只表示兩物體此時(shí)速度相等。實(shí)際解題過程中，常選擇v-t圖像求解。
[典例] 如圖甲所示，A車原來臨時(shí)停在一水平路面上，B車在后面勻速向A車靠近，A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)后啟動(dòng)A車，以A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)B車為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t＝0)，A、B兩車的v-t圖像如圖乙所示。已知B車在第1 s內(nèi)與A車的距離縮短了x1＝12 m。
(1)求B車運(yùn)動(dòng)的速度vB和A車的加速度a的大??；
(2)若A、B兩車不會(huì)相撞，則A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)B車時(shí)(t＝0)兩車的距離x0應(yīng)滿足什么條件？
[解析] (1)在t1＝1 s時(shí)A車剛啟動(dòng)，兩車縮短的距離為x1＝vBt1，
代入數(shù)據(jù)解得B車的速度為vB＝12 m/s
速度—時(shí)間圖像的斜率表示加速度，則A車的加速度為a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(vA－0,t2－t1)＝3 m/s2。
(2)兩車的速度達(dá)到相等時(shí)，兩車的距離達(dá)到最小，對(duì)應(yīng)于v-t圖像的t2＝5 s，此時(shí)兩車已發(fā)生的相對(duì)位移為梯形的面積，為x＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)＝36 m，
若A、B兩車不會(huì)相撞，距離x0應(yīng)滿足條件為s0≥36 m。
[答案] (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x0≥36 m
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(多選)甲、乙兩人騎車沿同一平直公路運(yùn)動(dòng)，t＝0時(shí)經(jīng)過路邊的同一路標(biāo)，下列位移—時(shí)間(x-t)圖像和速度—時(shí)間(v-t)圖像對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)中，甲、乙兩人在t0時(shí)刻之前能再次相遇的是( )
解析：選BC 圖A中，甲、乙在t0時(shí)刻之前位移沒有相等，即兩人在t0時(shí)刻之前不能相遇，A錯(cuò)誤；圖B中，甲、乙在t0時(shí)刻之前圖像有交點(diǎn)，即此時(shí)位移相等，即兩人在t0時(shí)刻之前能再次相遇，B正確；因v-t圖像的面積等于位移，圖C中甲、乙在t0時(shí)刻之前位移有相等的時(shí)刻，即兩人能再次相遇，圖D中甲、乙在t0時(shí)刻之前甲的位移始終大于乙的位移，則兩人不能相遇，故C正確，D錯(cuò)誤。
2．(多選)假設(shè)高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛。甲車在前，乙車在后，速度均為v0＝30 m/s，距離s0＝100 m。t＝0時(shí)刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時(shí)間變化關(guān)系如圖1、2所示。取原運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?。下面說法正確的是( )
A．t＝3 s時(shí)，兩車相距最近
B．0～9 s內(nèi)，兩車位移之差為45 m
C．t＝6 s時(shí)，兩車距離最近為10 m
D．兩車在0～9 s內(nèi)會(huì)相撞
解析：選BC 由加速度—時(shí)間圖像可畫出兩車的速度—時(shí)間圖像，如圖所示。由圖像可知，t＝6 s時(shí)兩車同速，此時(shí)距離最近，圖中陰影部分面積為0～6 s內(nèi)兩車位移之差：Δx＝eq \f(1,2)×30×3 m＋eq \f(1,2)×30×(6－3)m＝90 m，則此時(shí)兩車相距：Δs＝s0－Δx＝10 m，C正確，A錯(cuò)誤；0～9 s內(nèi)兩車位移之差為Δx′＝eq \f(1,2)×30×3 m＝45 m，所以兩輛車不會(huì)相撞，故B正確，D錯(cuò)誤。
技法(三) 函數(shù)分析法
函數(shù)分析法的解題技巧
在勻變速運(yùn)動(dòng)的位移表達(dá)式中有時(shí)間的二次方，可列出位移方程，利用二次函數(shù)求極值的方法求解。
設(shè)兩物體在t時(shí)刻相遇，然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)＝0：
(1)若f(t)＝0有正實(shí)數(shù)解，說明兩物體能相遇。
(2)若f(t)＝0無正實(shí)數(shù)解，說明兩物體不能相遇。
[典例] 一汽車在直線公路上以54 km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現(xiàn)在其正前方14 m處有一輛自行車以5 m/s的速度同向勻速行駛。經(jīng)過0.4 s的反應(yīng)時(shí)間后，司機(jī)開始剎車，則：
(1)為了避免相撞，汽車的加速度大小至少為多少？
(2)若汽車剎車時(shí)的加速度只為4 m/s2，在汽車開始剎車的同時(shí)自行車開始以一定的加速度勻加速，則自行車的加速度至少為多大才能保證兩車不相撞？
[解析] (1)設(shè)汽車的加速度大小為a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距離d＝14 m，
在經(jīng)過反應(yīng)時(shí)間0.4 s后，汽車與自行車相距d′＝d－(v汽－v自)t′＝10 m，
從汽車剎車開始計(jì)時(shí)，自行車的位移為：x自＝v自t，
汽車的位移為：x汽＝v汽t－eq \f(1,2)at2，
假設(shè)汽車能追上自行車，此時(shí)有：x汽＝x自＋d′，
代入數(shù)據(jù)整理得：eq \f(1,2)at2－10t＋10＝0，
要保證不相撞，即此方程至多只有一個(gè)解，即得：Δ＝102－20a≤0，
解得：a≥5 m/s2，汽車的加速度至少為5 m/s2。
(2)設(shè)自行車加速度為a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′，
整理得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a′＋2))t2－10t＋10＝0，
要保證不相撞，即此方程至多只有一個(gè)解，即得：Δ＝102－20a′－80≤0，
解得：a′≥1 m/s2，自行車的加速度至少為1 m/s2。
[答案] (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
[針對(duì)訓(xùn)練]
若A、B兩輛車相距2 m，沿同一直線同向運(yùn)動(dòng)，B車在前做初速度為零，加速度為a1的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，A車在后面做初速度為2 m/s，加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，討論a1與a2滿足什么條件時(shí)兩車相遇一次？
解析：對(duì)A：xA＝v0t＋eq \f(1,2)a2t2，對(duì)B：xB＝eq \f(1,2)a1t2
若相遇，xA＝xB＋x0，整理得eq \f(1,2)(a2－a1)t2＋2t－2＝0
當(dāng)a2－a1＝0時(shí)，t＝1 s，兩車相遇一次
當(dāng)a2－a1＝－1 m/s2時(shí)，t＝2 s，兩車相遇一次
當(dāng)a2－a1＜－1 m/s2時(shí)，Δ＝4＋4(a2－a1)＜0，無解
當(dāng)－1 m/s2＜a2－a1＜0時(shí)，t＝eq \f(－2±2\r(1＋a2－a1),a2－a1)＞0，相遇兩次
當(dāng)a2－a1＞0時(shí)，t＝eq \f(－2＋2\r(1＋a2－a1),a2－a1)＞0，t＝eq \f(－2－2\r(1＋a2－a1),a2－a1)＜0(舍去)，相遇一次
綜上，當(dāng)a2－a1＝－1 m/s2或a2－a1≥0時(shí)，相遇一次。
答案：a2－a1＝－1 m/s2或a2－a1≥0
[課時(shí)跟蹤檢測]
1．兩輛完全相同的汽車，沿水平道路一前一后勻速行駛，速度均為v0。若前車突然以恒定的加速度a剎車，在它剛停住時(shí)，后車以加速度2a開始剎車。已知前車在剎車過程中所行駛的路程為s，若要保證兩輛車在上述情況中不發(fā)生碰撞，則兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為( )
A.eq \f(1,2)s B.eq \f(3,2)s
C．2s D.eq \f(5,2)s
解析：選B 因后車以加速度2a開始剎車，剎車后滑行的距離為eq \f(1,2)s；在前車剎車滑行的時(shí)間內(nèi)，后車勻速運(yùn)動(dòng)的距離為2s，所以，兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為2s＋eq \f(1,2)s－s＝eq \f(3,2)s。
2．一步行者以6.0 m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公共汽車，在跑到距汽車25 m處時(shí)，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動(dòng)前進(jìn)，則( )
A．人能追上公共汽車，追趕過程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽車，人、車最近距離為7 m
C．人能追上公共汽車，追上車前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽車，且車開動(dòng)后，人車距離越來越遠(yuǎn)
解析：選B 汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速到6.0 m/s時(shí)二者相距最近。汽車加速到6.0 m/s所用時(shí)間t＝6 s，人運(yùn)動(dòng)距離為6×6 m＝36 m，汽車運(yùn)動(dòng)距離為18 m，二者最近距離為18 m＋25 m－36 m＝7 m，A、C錯(cuò)誤，B正確。人不能追上公共汽車，且車開動(dòng)后，人車距離先減小后增大，D錯(cuò)誤。
3．A、B兩輛列車在能見度很低的霧天里在同一軌道上同向行駛，A車在前，速度vA＝10 m/s，B車在后，速度vB＝30 m/s。當(dāng)B車發(fā)現(xiàn)A車時(shí)就立刻剎車。已知B車在進(jìn)行剎車測試時(shí)發(fā)現(xiàn)，若車以30 m/s的速度行駛時(shí)，剎車后至少要前進(jìn)1 800 m才能停下，假設(shè)B車剎車過程中加速度恒定。為保證兩輛列車不相撞，則能見度至少要達(dá)到( )
A．400 m B．600 m
C．800 m D．1 600 m
解析：選C 對(duì)B車，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有0－v02＝2ax，解得a＝eq \f(0－302,2×1 800) m/s2＝－0.25 m/s2，作出A、B兩車運(yùn)動(dòng)過程中的速度—時(shí)間圖像如圖所示，圖線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為兩車速度相等的時(shí)刻，有t＝eq \f(vA－vB,a)＝80 s，當(dāng)兩車速度相等時(shí)相距最近，此時(shí)兩車不相撞，則以后不能相撞，由v-t圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移可知，圖像中陰影三角形的面積為能見度的最小值，則xmin＝eq \f(1,2)×(30－10)×80 m＝800 m，C正確。
4．如圖所示，圖線①和②分別表示先后從同一地點(diǎn)以相同速度v做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的兩物體的v-t圖線，則兩物體( )
A．在第①個(gè)物體拋出后3 s末相遇
B．在第②個(gè)物體拋出后4 s末相遇
C．在第②個(gè)物體拋出后2 s末相遇
D．相遇時(shí)必有一個(gè)物體速度為零
解析：選C 根據(jù)v-t圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移，可知在第Ⅰ個(gè)物體拋出后3 s末第Ⅰ個(gè)物體的位移大于第Ⅱ個(gè)物體的位移，而兩者從同一地點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，所以在第Ⅰ個(gè)物體拋出后3 s末沒有相遇，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；在第Ⅱ個(gè)物體拋出后4 s末即圖中第6 s末，第Ⅰ個(gè)物體的位移為0，第Ⅱ個(gè)物體的位移不為0，所以兩者沒有相遇，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；在第Ⅱ個(gè)物體拋出后2 s末，即圖中第4 s末，兩物體的位移相等，所以在第Ⅱ個(gè)物體拋出后2 s末相遇，故C項(xiàng)正確；圖中第4 s末兩物體相遇，由圖看出兩個(gè)物體的速度均不為零，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。
5．(2022·湖北高考)我國高鐵技術(shù)全球領(lǐng)先，乘高鐵極大節(jié)省了出行時(shí)間。假設(shè)兩火車站W(wǎng)和G間的鐵路里程為1 080 km，W和G之間還均勻分布了4個(gè)車站。列車從W站始發(fā)，經(jīng)停4站后到達(dá)終點(diǎn)站G。設(shè)普通列車的最高速度為108 km/h，高鐵列車的最高速度為324 km/h。若普通列車和高鐵列車在進(jìn)站和出站過程中，加速度大小均為0.5 m/s2，其余行駛時(shí)間內(nèi)保持各自的最高速度勻速運(yùn)動(dòng)，兩種列車在每個(gè)車站停車時(shí)間相同，則從W到G乘高鐵列車出行比乘普通列車節(jié)省的時(shí)間為( )
A．6小時(shí)25分鐘 B．6小時(shí)30分鐘
C．6小時(shí)35分鐘 D．6小時(shí)40分鐘
解析：選B 108 km/h＝30 m/s,324 km/h＝90 m/s，由于中間4個(gè)站均勻分布，因此節(jié)省的時(shí)間相當(dāng)于在任意相鄰兩站間節(jié)省的時(shí)間的5倍，相鄰兩站間的距離x＝eq \f(1080×103,5) m＝2.16×105 m，普通列車加速時(shí)間t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(30,0.5) s＝60 s，加速過程的位移x1＝eq \f(1,2)at12＝eq \f(1,2)×0.5×602 m＝900 m，根據(jù)對(duì)稱性可知減速與加速位移相等，可得勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝eq \f(x－2x1,v)＝eq \f(2.16×105－2×900,30) s＝7 140 s，同理高鐵列車加速時(shí)間t1′＝eq \f(v1′,a)＝eq \f(90,0.5) s＝180 s，加速過程的位移x1′＝eq \f(1,2)at1′2＝eq \f(1,2)×0.5×1802 m＝8 100 m，根據(jù)對(duì)稱性可知減速與加速位移相等，可得勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2′＝eq \f(x－2x1′,v′)＝eq \f(2.16×105－2×8 100,90) s＝2 220 s，相鄰兩站間節(jié)省的時(shí)間Δt＝(t2＋2t1)－(t2′＋2t1′)＝4 680 s，因此總的節(jié)省時(shí)間Δt總＝5Δt＝4 680×5 s＝23 400 s＝6小時(shí)30分鐘，B正確。
6．隨著智能手機(jī)的使用越來越廣泛，一些人在駕車時(shí)也常常低頭看手機(jī)，然而開車時(shí)看手機(jī)是一種危險(xiǎn)駕駛行為，極易引發(fā)交通事故。如圖甲所示，一輛出租車在平直公路上以v0＝20 m/s的速度勻速行駛，此時(shí)車的正前方x0＝63.5 m處有一輛電動(dòng)車，正以v1＝6 m/s的速度勻速行駛，而出租車司機(jī)此時(shí)開始低頭看手機(jī)，3.5 s后才發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)，司機(jī)經(jīng)0.5 s反應(yīng)時(shí)間后，立即采取緊急制動(dòng)措施。若從司機(jī)發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)開始計(jì)時(shí)，出租車的速度—時(shí)間圖像如圖乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租車前面沒有任何物體，從司機(jī)開始低頭看手機(jī)到出租車停止運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)，出租車前進(jìn)的距離是多少？
(2)通過計(jì)算判斷電動(dòng)車是否會(huì)被撞。若不會(huì)被撞，求二者之間的最小距離；若會(huì)相撞，求從出租車剎車開始，經(jīng)過多長時(shí)間二者相撞。
解析：(1)根據(jù)題意可知，出租車先勻速行駛t1＝3.5 s，然后在反應(yīng)時(shí)間t2＝0.5 s內(nèi)繼續(xù)勻速行駛，再勻減速行駛t3＝4.0 s停止，
總位移為x＝v0(t1＋t2)＋eq \f(1,2)v0t3＝120 m。
(2)由題圖乙可知，出租車做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a＝eq \f(|Δv|,t3)＝5 m/s2，
設(shè)兩車速度相等時(shí)，出租車的剎車時(shí)間為Δt，
則有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8 s，
出租車的位移為x1＝v0(t1＋t2)＋eq \f(1,2)(v0＋v1)Δt，
代入數(shù)據(jù)可解得x1＝116.4 m。
電動(dòng)車的位移為x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m，
因?yàn)閤1－x2＝75.6 m>63.5 m，故電動(dòng)車會(huì)被撞。
設(shè)出租車剎車后經(jīng)過時(shí)間t′電動(dòng)車被撞，則有
v0(t1＋t2)＋v0t′－eq \f(1,2)at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)，
代入數(shù)據(jù)解得t′＝0.6 s(另一解不符合題意，舍去)。
答案：(1)120 m (2)電動(dòng)車會(huì)被撞 剎車后經(jīng)過0.6 s二者相撞
第5講 實(shí)驗(yàn)：研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)
把握經(jīng)典實(shí)驗(yàn)方案
一、基本原理與操作
二、核心關(guān)鍵——數(shù)據(jù)處理
1．由紙帶計(jì)算某點(diǎn)的瞬時(shí)速度
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于該段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度來計(jì)算，即vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)。
2．利用紙帶求物體加速度的兩種方法
(1)逐差法。
根據(jù)x4－x1＝x5－x2＝x6－x3＝3aT2(T為相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)之間的時(shí)間間隔)，求出a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即eq \x\t(a)＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)＝eq \f(x4＋x5＋x6－?x1＋x2＋x3?,9T2)，即為物體的加速度。
[說明] 在數(shù)據(jù)處理時(shí)也可以對(duì)紙帶重新分段，把6段距離分為“前三”和“后三”，“后三”減“前三”也為相鄰相等時(shí)間間隔內(nèi)的位移差，時(shí)間間隔為3T。
(2)圖像法。
利用vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)求出打各點(diǎn)時(shí)紙帶的瞬時(shí)速度，然后作出v-t圖像，用v-t圖像的斜率求物體運(yùn)動(dòng)的加速度。
融通多彩實(shí)驗(yàn)方案
1．魯科版新教材——測量小車的瞬時(shí)速度
實(shí)驗(yàn)裝置圖
[要點(diǎn)解讀]
(1)本實(shí)驗(yàn)小車沿傾斜木板加速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力是小車重力沿斜面向下的分力。
(2)本實(shí)驗(yàn)可避免因細(xì)繩與木板不平行引起的誤差。
2．粵教版新教材——測量沿斜面運(yùn)動(dòng)小車的瞬時(shí)速度
實(shí)驗(yàn)裝置圖
[要點(diǎn)解讀]
實(shí)驗(yàn)原理及數(shù)據(jù)處理方法與魯科版新教材實(shí)驗(yàn)類似。
歸納共性實(shí)驗(yàn)關(guān)鍵
1．不變的實(shí)驗(yàn)原理
用小車拖著一條紙帶加速運(yùn)動(dòng)，通過分析紙帶上的點(diǎn)記錄的信息計(jì)算小車運(yùn)動(dòng)速度及變化規(guī)律。
2．必備的實(shí)驗(yàn)器材
長木板、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、紙帶、小車、U形夾、毫米刻度尺。
3．通用的數(shù)據(jù)處理方法
(1)計(jì)數(shù)周期T＝5×0.02 s＝0.1 s。
(2)計(jì)數(shù)點(diǎn)的速度vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)。
(3)加速度的計(jì)算方法：逐差法、圖像法。
4．共同的注意事項(xiàng)
(1)實(shí)驗(yàn)中先接通電源，后讓小車運(yùn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)完畢應(yīng)先斷開電源后取紙帶。
(2)小車到達(dá)長木板末端前應(yīng)讓小車停止運(yùn)動(dòng)，防止小車落地和小車與滑輪相撞。
(3)選紙帶時(shí)應(yīng)選點(diǎn)跡清晰的，且舍去打點(diǎn)密集部分。
(4)注意區(qū)別計(jì)時(shí)點(diǎn)和計(jì)數(shù)點(diǎn)，明確計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔。
(5)作圖像時(shí)，縱、橫坐標(biāo)軸單位的選取要適當(dāng)，同時(shí)注意連線的原則。
5．一致的誤差分析思路
(1)木板的粗糙程度不同引起的誤差。
(2)電源頻率不穩(wěn)引起的誤差。
(3)測量紙帶上的打點(diǎn)位移有誤差。
(4)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)、作圖時(shí)引起誤差。
一、基礎(chǔ)考法保住分
考查點(diǎn)(一) 實(shí)驗(yàn)原理與操作
1．(2023·浙江1月選考，節(jié)選)在“探究小車速度隨時(shí)間變化的規(guī)律”的實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示。
(1)需要的實(shí)驗(yàn)操作有________(多選)。
A．調(diào)節(jié)滑輪使細(xì)線與軌道平行
B．傾斜軌道以補(bǔ)償阻力
C．小車靠近打點(diǎn)計(jì)時(shí)器靜止釋放
D．先接通電源再釋放小車
(2)經(jīng)正確操作后打出一條紙帶，截取其中一段如圖乙所示。選取連續(xù)打出的點(diǎn)0、1、2、3、4為計(jì)數(shù)點(diǎn)，則計(jì)數(shù)點(diǎn)1的讀數(shù)為________cm。已知打點(diǎn)計(jì)時(shí)器所用交流電源的頻率為50 Hz，則打計(jì)數(shù)點(diǎn)2時(shí)小車的速度大小為：________m/s(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
解析：(1)實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)調(diào)節(jié)滑輪使細(xì)線與軌道平行，小車從靠近打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的地方靜止釋放，并且要先接通電源后釋放小車，實(shí)驗(yàn)中沒必要平衡摩擦力，故選A、C、D。
(2)計(jì)數(shù)點(diǎn)1的讀數(shù)為2.75 cm。打計(jì)數(shù)點(diǎn)2時(shí)小車的速度大小為v2＝eq \f(x3－x1,2T)＝eq \f(8.62－2.75,2×0.02)×10－2 m/s≈1.47 m/s。
答案：(1)ACD (2)2.75 1.47
[關(guān)鍵點(diǎn)撥]
實(shí)驗(yàn)操作的四點(diǎn)注意
(1)實(shí)驗(yàn)前應(yīng)調(diào)節(jié)紙帶和細(xì)繩，使其與木板平行。
(2)在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)中，可通過改變懸掛的槽碼來改變加速度，無需平衡小車的摩擦力。
(3)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)先接通電源，后讓小車運(yùn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)完畢應(yīng)先斷開電源后取紙帶。
(4)在小車到達(dá)木板末端前應(yīng)讓小車停止運(yùn)動(dòng)，以防止小車與滑輪相撞及槽碼落地。
考查點(diǎn)(二) 數(shù)據(jù)處理與誤差分析
2．在做“測量做直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，某同學(xué)得到一條用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打下的紙帶如圖所示，并在其上取A、B、C、D、E、F、G 7個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)間還有4個(gè)點(diǎn)，圖中沒有畫出，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器接周期為T0＝0.02 s的交流電源。
他經(jīng)過測量并計(jì)算得到打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在打B、C、D、E、F各點(diǎn)時(shí)物體的瞬時(shí)速度如表所示：
(1)計(jì)算vF的公式為vF＝________(用已知量字母表示)。
(2)根據(jù)表中記錄的數(shù)據(jù)，作出vt圖像，令B點(diǎn)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，并求得物體的加速度a＝_______m/s2。
(3)如果當(dāng)時(shí)電網(wǎng)中交變電流的頻率是f＝51 Hz，而做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)并不知道，那么加速度的測量值與實(shí)際值相比____________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
解析：(1)每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)間還有4個(gè)點(diǎn)，故相鄰的計(jì)數(shù)點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為T＝5T0＝0.1 s，利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的推論得vF＝eq \f(xEG,2T)＝eq \f(d6－d4,10T0)。
(2)作出v t圖像如圖所示，根據(jù)圖線斜率可解得a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(0.280－0.150,0.38－0.07) m/s2≈0.42 m/s2。
(3)如果在某次實(shí)驗(yàn)中，交流電的頻率為51 Hz＞50 Hz，則實(shí)際打點(diǎn)周期變小，由Δx＝aT2得，加速度的測量值與實(shí)際值相比偏小。
答案：(1)eq \f(d6－d4,10T0)
(2)見解析圖 0.42 (3)偏小
3．(2023·全國甲卷)某同學(xué)利用如圖(a)所示的實(shí)驗(yàn)裝置探究物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)平均速度與時(shí)間的關(guān)系。讓小車左端和紙帶相連，右端用細(xì)繩跨過定滑輪和鉤碼相連。鉤碼下落，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出紙帶。某次實(shí)驗(yàn)得到的紙帶和相關(guān)數(shù)據(jù)如圖(b)所示。
(1)已知打出圖(b)中相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)的時(shí)間間隔均為0.1 s。以打出A點(diǎn)時(shí)小車的位置為初始位置，將打出B、C、D、E、F各點(diǎn)時(shí)小車的位移Δx填到表中，小車發(fā)生對(duì)應(yīng)位移所用時(shí)間和平均速度分別為Δt和eq \(v,\s\up6(－))。表中ΔxAD＝________cm，eq \(v,\s\up6(－))AD＝________cm/s。
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到小車平均速度eq \(v,\s\up6(－))隨時(shí)間Δt的變化關(guān)系，如圖(c)所示。在圖(c)中補(bǔ)全實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。
(3)從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，小車運(yùn)動(dòng)的eq \(v,\s\up6(－)) -Δt圖線可視為一條直線，此直線用方程eq \(v,\s\up6(－))＝kΔt＋b表示，其中k＝________cm/s2，b＝________cm/s。(結(jié)果均保留3位有效數(shù)字)
(4)根據(jù)(3)中的直線方程可以判定小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，得到打出A點(diǎn)時(shí)小車的速度大小vA＝________，小車的加速度大小a＝________。(結(jié)果用字母k、b表示)
解析：(1)根據(jù)紙帶的數(shù)據(jù)可得ΔxAD＝xAB＋xBC＋xCD＝6.60 cm＋8.00 cm＋9.40 cm＝24.00 cm
平均速度為eq \(v,\s\up6(－))AD＝eq \f(ΔxAD,3T)＝80.0 cm/s。
(2)根據(jù)第(1)小題結(jié)果補(bǔ)全實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，如圖甲所示。
(3)從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，小車運(yùn)動(dòng)的eq \(v,\s\up6(－)) -Δt圖線可視為一條直線，如圖乙所示。
此直線用方程eq \(v,\s\up6(－))＝kΔt＋b表示，由圖像可知其中k＝eq \f(101.0－59.0,0.6)cm/s2＝70.0 cm/s2，b＝59.0 cm/s。
(4)小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，整理得eq \f(x,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，即eq \(v,\s\up6(－))＝vA＋eq \f(1,2)at，故根據(jù)圖像的斜率和截距可得vA＝b，a＝2k。
答案：(1)24.00 80.0 (2)見解析圖甲 (3)70.0 59.0 (4)b 2k
[關(guān)鍵點(diǎn)撥]
1．速度的兩種計(jì)算方法
(1)若已知相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間距，則用vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)計(jì)算。
(2)若已知各計(jì)數(shù)點(diǎn)到第1個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)的距離d，則用vn＝eq \f(dn＋1－dn－1,2T)計(jì)算。
2．運(yùn)動(dòng)學(xué)中加速度的三種計(jì)算方法
(1)公式法：由v＝v0＋at，可得a＝eq \f(v－v0,t)。
(2)逐差法：a＝eq \f(?x4＋x3?－?x2＋x1?,4T2)
或a＝eq \f(?x6＋x5＋x4?－?x3＋x2＋x1?,9T2)。
(3)圖像法：①利用v-t圖像求加速度，描繪v-t圖像，選直線上盡量遠(yuǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，由a＝eq \f(Δv,Δt)求出加速度大小。②利用平均速度eq \(v,\s\up6(－))與時(shí)間t的關(guān)系圖像求加速度，由x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得：eq \f(x,t)＝eq \(v,\s\up6(－))＝v0＋eq \f(1,2)at，圖線的斜率k＝eq \f(a,2)，物體的加速度a＝2k。
二、創(chuàng)新考法不失分
創(chuàng)新角度(一) 實(shí)驗(yàn)器材的創(chuàng)新
1．某同學(xué)利用如圖所示的裝置測量重力加速度，其中光柵板上交替排列著等寬度的遮光帶和透光帶(寬度用d表示)。實(shí)驗(yàn)時(shí)將光柵板置于光電傳感器上方某高度，令其自由下落穿過光電傳感器。光電傳感器所連接的計(jì)算機(jī)可連續(xù)記錄遮光帶、透光帶通過光電傳感器的時(shí)間間隔Δt。
(1)除圖中所用的實(shí)驗(yàn)器材外，該實(shí)驗(yàn)還需要________(填“天平”或“刻度尺”)；
(2)該同學(xué)測得遮光帶(透光帶)的寬度為4.50 cm，記錄時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)如表所示，
根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得編號(hào)為3的遮光帶通過光電傳感器的平均速度大小為v3＝________m/s(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)；
(3)某相鄰遮光帶和透光帶先后通過光電傳感器的時(shí)間間隔分別為Δt1、Δt2，則重力加速度g＝________(用d、Δt1、Δt2表示)。
利用光柵板和光電傳感器測重力加速度，重在考查創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)中器材的選取、數(shù)據(jù)的處理及誤差分析。 [創(chuàng)新點(diǎn)分析]
解析：(1)實(shí)驗(yàn)中，我們不需要測質(zhì)量，但需要測遮光帶和透光帶的寬度，故需要刻度尺；
(2)根據(jù)平均速度定義可得v3＝eq \f(0.045 m,0.03 s)＝1.5 m/s；
(3)可以考慮勻變速直線運(yùn)動(dòng)中平均速度等于中間時(shí)刻速度，分別求出相鄰兩個(gè)中間時(shí)刻速度后，根據(jù)加速度定義式表示g，即g＝eq \f(\f(d,Δt2)－\f(d,Δt1),\f(Δt1＋Δt2,2))，整理可得g＝eq \f(2d?Δt1－Δt2?,Δt1Δt2?Δt1＋Δt2?)。
答案：(1)刻度尺 (2)1.5 (3)eq \f(2d?Δt1－Δt2?,Δt1Δt2?Δt1＋Δt2?)
[創(chuàng)新點(diǎn)分析]
利用光柵板和光電傳感器測重力加速度，重在考查創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)中器材的選取、數(shù)據(jù)的處理及誤差分析。
解析：(1)實(shí)驗(yàn)中，我們不需要測質(zhì)量，但需要測遮光帶和透光帶的寬度，故需要刻度尺；
(2)根據(jù)平均速度定義v3＝eq \f(0.045 m,0.03 s)＝1.5 m/s；
(3)可以考慮勻變速直線運(yùn)動(dòng)中平均速度為中間時(shí)刻速度，分別求出相鄰兩個(gè)中間時(shí)刻速度后，根據(jù)加速度定義式表示g，即g＝eq \f(\f(d,Δt2)－\f(d,Δt1),\f(Δt1＋Δt2,2))，整理可得g＝eq \f(2d?Δt1－Δt2?,Δt1Δt2?Δt1＋Δt2?)；
(4)主要可以考慮的原因有空氣阻力、摩擦阻力等。
答案：(1)刻度尺 (2)1.5 (3)eq \f(2d?Δt1－Δt2?,Δt1Δt2?Δt1＋Δt2?)
(4)光柵板受到空氣阻力的作用(其他答案言之有理即可)
創(chuàng)新角度(二) 實(shí)驗(yàn)原理的創(chuàng)新
2．某學(xué)習(xí)小組用如圖甲所示裝置測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。本?shí)驗(yàn)所用器材有：鐵架臺(tái)、電源、電磁鐵、光電門、數(shù)字計(jì)時(shí)器、小球和刻度尺。實(shí)驗(yàn)中將鐵架臺(tái)豎直放置，上端固定電磁鐵M，在電磁鐵下方適當(dāng)位置固定兩個(gè)位置可調(diào)節(jié)的光電門A、B，A、B均與數(shù)字計(jì)時(shí)器N相連，小球與光電門A、B在同一豎直線上。
(1)實(shí)驗(yàn)前先用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑，測量結(jié)果如圖乙所示，則小球的直徑為d＝________cm。
(2)接通電磁鐵M的開關(guān)，吸住小球；測出兩光電門的高度差h；斷開M的開關(guān)，小球自由下落，數(shù)字計(jì)時(shí)器記錄小球經(jīng)過光電門A、B的時(shí)間分別為t1、t2，則可求得重力加速度g＝________。(用測得的物理量符號(hào)表示)
(3)若實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)光電門A出現(xiàn)故障，不能使用，則用剩余器材________(填“能”或“不能”)正確測得重力加速度。
[創(chuàng)新點(diǎn)分析]
(1)利用光電門測小球經(jīng)過光電門的速度。
(2)利用v22－v12＝2gh或v2＝2gh計(jì)算重力加速度的大小。
解析：(1)小球的直徑為d＝10 mm＋18×0.05 mm＝10.90 mm＝1.090 cm。
(2)小球通過光電門A、B的速度分別為v1＝eq \f(d,t1)，v2＝eq \f(d,t2)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有v22－v12＝2gh，
解得g＝eq \f(d2,2h)eq \f(1,t22)－eq \f(1,t12)。
(3)能，測出電磁鐵吸引住小球時(shí)，小球下端到光電門B的距離H，記錄小球通過光電門B的時(shí)間t，則通過光電門B的速度為v＝eq \f(d,t)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2＝2gH＋eq \f(d,2)，解得g＝eq \f(d2,?2H＋d?t2)。
答案：(1)1.090 (2)eq \f(d2,2h)eq \f(1,t22)－eq \f(1,t12) (3)能
創(chuàng)新角度(三) 數(shù)據(jù)處理的創(chuàng)新
3．用如圖甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置來測量勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。
(1)實(shí)驗(yàn)的主要步驟：
①用游標(biāo)卡尺測量擋光片的寬度d，結(jié)果如圖乙所示，讀得d＝__________ mm。
②用刻度尺測量A點(diǎn)到光電門所在位置B點(diǎn)之間的水平距離x。
③滑塊從A點(diǎn)靜止釋放(已知槽碼落地前擋光片已通過光電門)。
④讀出擋光片通過光電門所用的時(shí)間t。
⑤改變光電門的位置，滑塊每次都從A點(diǎn)靜止釋放，測量相應(yīng)的x值并讀出t值。
(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)，以x為橫坐標(biāo)，eq \f(1,t2)為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)紙中作出eq \f(1,t2)-x圖線如圖丙所示，求得該圖線的斜率k＝________ m－1·s－2；由此進(jìn)一步求得滑塊的加速度a＝________ m·s－2。(計(jì)算結(jié)果均保留3位有效數(shù)字)
[創(chuàng)新點(diǎn)分析]
(1)改變光電門的位置，距離x發(fā)生變化，滑塊經(jīng)過光電門的時(shí)間t將隨之發(fā)生變化。
(2)建立位移x與eq \f(1,t2)的坐標(biāo)系，通過eq \f(1,t2)-x圖線的斜率計(jì)算滑塊的加速度。
解析：(1)根據(jù)游標(biāo)卡尺讀數(shù)規(guī)則，擋光片的寬度d＝6 mm＋12×0.05 mm＝6.60 mm。
(2)該圖線的斜率k＝eq \f(2.0－1.0,0.65－0.23)×104 m－1·s－2＝2.38×104 m－1·s－2；
滑塊通過光電門時(shí)的速度v＝eq \f(d,t)，
由v2＝2ax可得eq \f(1,t2)＝eq \f(2a,d2)x，由k＝eq \f(2a,d2)，
可求得滑塊的加速度a＝0.518 m·s－2。
答案：(1)①6.60
(2)2.38×104 0.518定義
位移：表示質(zhì)點(diǎn)的位置變動(dòng)，它是由初位置指向末位置的有向線段
路程：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度
區(qū)別
①位移是矢量，方向由初位置指向末位置；②路程是標(biāo)量，沒有方向
聯(lián)系
①單向直線運(yùn)動(dòng)中，位移大小等于路程
②其他情況下，位移大小小于路程
物理量
速度
速度變化量
加速度
物理意義
描述物體運(yùn)動(dòng)的快慢
描述物體速度的變化
描述物體速度變化的快慢
定義式
v＝eq \f(Δx,Δt)
Δv＝v－v0
a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(v－v0,Δt)
方向
與位移Δx同向，即物體運(yùn)動(dòng)的方向
由v－v0或a的方向決定
與Δv的方向一致，由合力F的方向決定，而與v0、v的方向無關(guān)
t/s
0
1
2
3
4
v1/(m·s－1)
18.0
17.5
17.0
16.5
16.0
v2/(m·s－1)
9.8
11.0
12.2
13.4
14.6
運(yùn)動(dòng)類型
自由落體運(yùn)動(dòng)
豎直上拋運(yùn)動(dòng)
速度公式
v＝gt
v＝v0－gt
位移公式
h＝eq \f(1,2)gt2
h＝v0t－eq \f(1,2)gt2
速度—位移關(guān)系式
v2＝2gh
v2－v02＝－2gh
涉及的物理量
未涉及的物理量
適宜選用公式
v0，v，a，t
x
v＝v0＋at
v0，a，t，x
v
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2
v0，v，a，x
t
v2－v02＝2ax
v0，v，t，x
a
x＝eq \f(v＋v0,2)t
剎車類問題
(1)其特點(diǎn)為勻減速到速度為零后即停止運(yùn)動(dòng)，加速度a突然消失
(2)求解時(shí)要注意確定其實(shí)際運(yùn)動(dòng)時(shí)間
(3)如果問題涉及最后階段(到停止運(yùn)動(dòng))的運(yùn)動(dòng)，可把該階段看成反向的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)
雙向可逆類問題
(1)示例：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高點(diǎn)后仍能以原加速度勻加速下滑，全過程加速度大小、方向均不變
(2)注意：求解時(shí)可分過程列式，也可對(duì)全過程列式，但必須注意x、v、a等矢量的正負(fù)號(hào)及物理意義
分段法
將全程分為兩個(gè)階段，即上升過程的勻減速階段和下落過程的自由落體階段
全程法
將全過程視為初速度為v0，加速度a＝－g的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，必須注意物理量的矢量性
時(shí)間對(duì)稱
物體上升到最高點(diǎn)所用時(shí)間與物體從最高點(diǎn)落回到原拋出點(diǎn)所用時(shí)間相等，即t上＝t下＝eq \f(v0,g)
物體在上升過程中經(jīng)過某兩點(diǎn)之間所用的時(shí)間與下降過程中經(jīng)過該兩點(diǎn)之間所用的時(shí)間相等
速度對(duì)稱
物體上拋時(shí)的初速度與物體又落回原拋出點(diǎn)時(shí)的速度大小相等、方向相反
物體在上升階段和下降階段經(jīng)過同一個(gè)位置時(shí)的速度大小相等、方向相反
能量對(duì)稱
豎直上拋運(yùn)動(dòng)物體在上升和下降過程中經(jīng)過同一位置時(shí)的動(dòng)能、重力勢能及機(jī)械能分別相等
比較項(xiàng)目
x-t圖像
v-t圖像
軸
橫軸為時(shí)間t，縱軸為位移x
橫軸為時(shí)間t，縱軸為速度v
線
傾斜直線表示勻速直線運(yùn)動(dòng)
傾斜直線表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)
斜率
表示速度
表示加速度
面積
無實(shí)際意義
圖線與時(shí)間軸圍成的面積表示位移大小
縱截距
表示初位置
表示初速度
特殊點(diǎn)
拐點(diǎn)表示速度變化，交點(diǎn)表示相遇
拐點(diǎn)表示加速度變化，交點(diǎn)表示速度相等
原理裝置圖
(1)不需要平衡摩擦力
(2)不需要滿足懸掛槽碼質(zhì)量遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量
操作要領(lǐng)
(1)平行：細(xì)繩、紙帶與長木板平行
(2)靠近：小車釋放前，應(yīng)靠近打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的位置
(3)先后：實(shí)驗(yàn)時(shí)先接通電源，后釋放小車；實(shí)驗(yàn)后先斷開電源，后取下紙帶
(4)防撞：小車到達(dá)滑輪前讓其停止運(yùn)動(dòng)，防止與滑輪相撞或掉下桌面摔壞
(5)適當(dāng)：懸掛槽碼要適當(dāng)，避免紙帶打出的點(diǎn)太少或過于密集
對(duì)應(yīng)點(diǎn)
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.122
0.164
0.205
0.250
0.289
位移區(qū)間
AB
AC
AD
AE
AF
Δx(cm)
6.60
14.60
ΔxAD
34.90
47.30
eq \(v,\s\up6(－))(cm/s)
66.0
73.0
eq \(v,\s\up6(－))AD
87.3
94.6
編號(hào)
1遮光帶
2透光帶
3遮光帶
…
Δt/(×10－3s)
73.04
38.67
30.00
…

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高考物理一輪復(fù)習(xí)第一章運(yùn)動(dòng)的描述勻變速直線運(yùn)動(dòng)第5課時(shí)研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)學(xué)案新人教版

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2021高考物理大一輪復(fù)習(xí)領(lǐng)航教學(xué)案：第一章　運(yùn)動(dòng)的描述　勻變速直線運(yùn)動(dòng) Word版含解析

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