第1講 曲線運(yùn)動 運(yùn)動的合成與分解
一、曲線運(yùn)動
1．速度的方向：質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向，沿曲線在這一點(diǎn)的切線方向。
2．運(yùn)動的性質(zhì)：做曲線運(yùn)動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動。
3．運(yùn)動的條件
(1)運(yùn)動學(xué)角度：物體的加速度方向與速度方向不在同一條直線上。
(2)動力學(xué)角度：物體所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一條直線上。
二、運(yùn)動的合成與分解
1．合運(yùn)動與分運(yùn)動：物體的實(shí)際運(yùn)動是合運(yùn)動，物體同時參與的幾個運(yùn)動是分運(yùn)動。
2．遵循的法則：位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則。
3．運(yùn)動分解的原則：根據(jù)運(yùn)動的實(shí)際效果分解，也可采用正交分解法。
情境創(chuàng)設(shè)
如圖所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上做初速度為零、加速度為a的勻加速運(yùn)動，同時人頂著直桿以速度v0水平勻速移動。
微點(diǎn)判斷
(1)猴子相對地面運(yùn)動的軌跡是直線。(×)
(2)猴子相對地面做勻變速運(yùn)動。(√)
(3)猴子受到的合外力斜向右上方。(×)
(4)t時刻猴子的對地速度的大小為eq \r(v02＋a2t2)。(√)
(5)經(jīng)過時間t，猴子的對地位移的大小為v0t＋eq \f(1,2)at2。(×)
(一) 物體做曲線運(yùn)動的條件與軌跡分析(固基點(diǎn))
[題點(diǎn)全練通]
1．[物體做曲線運(yùn)動的條件]如圖所示，一個鋼球從一斜面上滑下后在水平桌面上做直線運(yùn)動，現(xiàn)在其運(yùn)動路線的一側(cè)放一塊磁鐵，鋼球做曲線運(yùn)動。下列說法正確的是( )
A．鋼球的運(yùn)動軌跡為拋物線
B．鋼球所受合力為零時也可以做曲線運(yùn)動
C．鋼球做曲線運(yùn)動的條件是所受合力的方向與運(yùn)動方向必須垂直
D．鋼球做曲線運(yùn)動的條件是所受合力的方向與運(yùn)動方向不在同一直線上
解析：選D 鋼球的運(yùn)動軌跡為曲線，由于磁鐵對鋼球的吸引力隨鋼球到磁鐵的距離變化而變化，所以鋼球的運(yùn)動軌跡不是拋物線，故A錯誤；鋼球所受合力為零時，只能處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，不可能做曲線運(yùn)動，故B錯誤；鋼球做曲線運(yùn)動的條件是所受合力的方向與運(yùn)動方向不在同一直線上，故C錯誤，D正確。
2．[軌跡、速度與力的位置關(guān)系]雙人滑冰運(yùn)動員在光滑的水平冰面上做表演，甲運(yùn)動員給乙運(yùn)動員一個水平恒力F，乙運(yùn)動員在冰面上完成了一段優(yōu)美的弧線MN。vM與vN正好成90°角，則此過程中，乙運(yùn)動員受到甲運(yùn)動員的恒力可能是圖中的( )
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
解析：選C 根據(jù)題圖所示乙運(yùn)動員由M向N做曲線運(yùn)動，乙運(yùn)動員向前的速度減小，同時向右的速度增大，故合外力的方向指向題圖F2水平線右下方，故F3的方向可能是正確的，C正確，A、B、D錯誤。
3．[速率變化與力的方向的關(guān)系]如圖為“嫦娥五號”返回器在繞地球運(yùn)行回收過程一段時間內(nèi)的運(yùn)動軌跡，返回器沿曲線從M點(diǎn)向N點(diǎn)飛行的過程中速度逐漸減小，在此過程中返回器所受合力方向可能是( )
解析：選A “嫦娥五號”返回器從M點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)，曲線軌跡的左側(cè)為凹側(cè)，則合力一定有向左的分力，“嫦娥五號”返回器在該過程中減速，所以沿軌跡的切線方向有與速度相反的分力，結(jié)合平行四邊形定則可知合力與速度的方向的夾角大于90°，故A正確。
[要點(diǎn)自悟明]
1．合外力與軌跡、速度間的關(guān)系分析思路
2．速率變化的判斷
(二) 運(yùn)動的合成與分解的應(yīng)用(精研點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系
1．如圖，一小船以1.0 m/s的速度勻速前行，站在船上的人豎直向上拋出一小球，小球上升的最大高度為0.45 m。當(dāng)小球再次落入手中時，小船前進(jìn)的距離為(假定拋接小球時人手的高度不變，不計空氣阻力，g取10 m/s2)( )
A．0.3 m B．0.6 m
C．0.9 m D．1.2 m
解析：選B 根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性可知，小球在豎直方向上運(yùn)動的過程中，小船以1.0 m/s的速度勻速前行，由運(yùn)動學(xué)知識h＝eq \f(1,2)gt2，小球上升的時間t＝0.3 s，小球從上拋到再次落入手中所用的時間為2t，則小船前進(jìn)的距離x＝v·2t＝0.6 m，故B正確。
一點(diǎn)一過
合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系
研清微點(diǎn)2 合運(yùn)動的性質(zhì)與軌跡的判斷
2．(2024年1月·安徽高考適應(yīng)性演練)某同學(xué)在水平勻速直線行駛的實(shí)驗(yàn)車上，利用實(shí)驗(yàn)裝置豎直向上提起小球，從某時刻開始計時，坐在實(shí)驗(yàn)車上的人觀測小球運(yùn)動的情況，作出速度平方(v2)與提起高度(y)的關(guān)系圖像如圖所示。則地面上靜止的觀察者看到小球的運(yùn)動軌跡可能是( )
解析：選C 速度平方與提起高度的關(guān)系圖像是坐在實(shí)驗(yàn)車上的人觀察作出的圖像，即小球相對于車的速度位移關(guān)系圖像。小球相對于車豎直提起，則圖像中的速度為小球豎直方向的速度。由速度與位移關(guān)系公式v2－v02＝2ay，結(jié)合圖像可知，開始時小球在豎直方向上做勻速運(yùn)動，之后做勻加速直線運(yùn)動，加速度豎直向上。結(jié)合小球在水平方向一直做勻速直線運(yùn)動可知，地面上靜止的觀察者看到的運(yùn)動軌跡是先斜向上做勻速直線運(yùn)動，后做類斜拋運(yùn)動。故選C。
一點(diǎn)一過
合運(yùn)動的性質(zhì)和軌跡的判斷
(1)若合加速度不變，則為勻變速運(yùn)動；若合加速度(大小或方向)變化，則為非勻變速運(yùn)動。
(2)若合加速度的方向與合初速度的方向在同一直線上，則為直線運(yùn)動，否則為曲線運(yùn)動。
研清微點(diǎn)3 根據(jù)運(yùn)動軌跡分析物體運(yùn)動情況
3．在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m＝2 kg的滑塊在水平方向恒力F＝4 N的作用下運(yùn)動。如圖所示給出了滑塊在水平面上運(yùn)動的一段軌跡，滑塊過P、Q兩點(diǎn)時速度大小均為v＝5 m/s，滑塊在P點(diǎn)的速度方向與PQ連線夾角α＝37°，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，則下列說法正確的是( )
A．水平恒力F的方向與PQ連線成53°夾角
B．滑塊從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的時間為3 s
C．滑塊從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)的過程中速度最小值為3 m/s
D．P、Q兩點(diǎn)連線的距離為10 m
解析：選B 滑塊在水平恒力作用下由P點(diǎn)到Q點(diǎn)，滑塊過P、Q兩點(diǎn)時速度大小均為v＝5 m/s，即水平恒力不做功，所以力應(yīng)該和位移的方向垂直，A錯誤；把滑塊在P點(diǎn)的速度分解到垂直于PQ方向上有v2＝vsin α＝3 m/s，由題意知在這個方向上滑塊先減速后反向加速，由牛頓第二運(yùn)動定律得，運(yùn)動的加速度a＝eq \f(F,m)＝2 m/s2，由于運(yùn)動具有對稱性，得滑塊從P到Q的時間t＝2×eq \f(v2,a)＝3 s，B正確；把速度分解到PQ方向上有v1＝vcs α＝4 m/s，滑塊在PQ方向上做勻速運(yùn)動，所以當(dāng)滑塊在垂直于PQ方向上的速度等于零時，速度最小，為4 m/s，C錯誤；P、Q兩點(diǎn)之間的距離為PQ＝v1t＝12 m，D錯誤。
一點(diǎn)一過
有關(guān)運(yùn)動的合成和分解的三點(diǎn)提醒
(1)由運(yùn)動的合成與分解知識可知，合運(yùn)動的位移、速度、加速度是各分運(yùn)動的位移、速度、加速度的矢量和。
(2)恒力作用下物體的勻變速曲線運(yùn)動可分解為沿力的方向的勻變速直線運(yùn)動和垂直于力的方向的勻速直線運(yùn)動。
(3)兩個相互垂直方向的分運(yùn)動具有等時性，這常是處理運(yùn)動分解問題的關(guān)鍵點(diǎn)。
(三) 小船渡河模型(融通點(diǎn))
1．合運(yùn)動與分運(yùn)動
2．兩類問題、三種情境
[模型應(yīng)用]
應(yīng)用1 求小船渡河的最短時間
1.(多選)某河寬為600 m，河中某點(diǎn)的水流速度v與該點(diǎn)到較近河岸的距離d的關(guān)系圖像如圖所示，現(xiàn)船以靜水中的速度4 m/s渡河，且船渡河的時間最短，下列說法正確的是( )
A．船在河水中航行的軌跡是一條直線
B．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直
C．船離開河岸400 m時的速度大小為2 eq \r(5) m/s
D．渡河最短時間為240 s
解析：選BC 因?yàn)榇陟o水中速度不變，水流速度在變化，可知船在沿河岸方向上有加速度，合速度的方向與加速度的方向不在同一條直線上，所以軌跡是曲線，故A錯誤；當(dāng)船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，則最短時間t＝150 s，故B正確，D錯誤；船離開河岸
400 m時，離較近河岸的距離為200 m，此時水流速度為2 m/s，根據(jù)平行四邊形定則可得v＝2eq \r(5) m/s，故C正確。
應(yīng)用2 求小船渡河的最短位移
2．一小船過河時，船頭與上游河岸夾角為α，其航線恰好垂直于河岸。已知小船在靜水中的速度為v。現(xiàn)水流速度稍有增大，為保持航線不變，且能準(zhǔn)時到達(dá)河對岸，下列措施中可行的是( )
A．減小α角，減小船速v
B．減小α角，增大船速v
C．增大α角，增大船速v
D．增大α角，減小船速v
解析：選B 由題意可知，小船相對水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸，如圖所示，當(dāng)水流速度v1稍有增大，為保持航線不變，且準(zhǔn)時到達(dá)對岸，則船速變化如圖v′所示，可知B正確。
應(yīng)用3 小船渡河最短時間和最短位移的比較
3．如圖所示，一船夫搖船往返于河的兩岸。若該船夫搖船從河岸A點(diǎn)以v1的速度用最短的時間到對岸B點(diǎn)。第二次該船以v2的速度從同一地點(diǎn)以最短的路程過河到對岸B點(diǎn)，船軌跡恰好與第一次船軌跡重合。假設(shè)河水速度保持不變，該船兩次過河所用時間之比是( )
A．v1∶v2 B．v2∶v1
C．v12∶v22 D．v22∶v12
解析：選D 由題意可知，船夫兩次駕船的軌跡重合，知合速度方向相同，第一次船的靜水速度垂直于河岸，第二次船的靜水速度與合速度垂直，如圖所示。船兩次過河的合位移相等，則渡河時間之比等于船兩次過河的合速度之反比。則eq \f(t1,t2)＝eq \f(v2合,v1合)＝eq \f(\f(v2,tan θ),\f(v1,sin θ))＝eq \f(v2,v1)cs θ，而cs θ＝eq \f(v2,v1)，可得eq \f(t1,t2)＝eq \f(v22,v12)，D正確。
(四) 繩(桿)端速度分解模型(融通點(diǎn))
1．模型特點(diǎn)
(1)與繩或桿連接的物體速度方向與繩或桿所在的直線不共線。
(2)繩或桿的長度不變，繩或桿兩端的物體沿繩或桿方向的分速度相等。
2．分解思路
3．常見模型

[模型應(yīng)用]
題型1 繩端速度分解模型
1.如圖所示，水平光滑長桿上套有一物塊Q，跨過懸掛于O點(diǎn)的輕小光滑圓環(huán)的輕繩一端連接Q，另一端懸掛一物塊P。設(shè)輕繩的左邊部分與水平方向的夾角為θ，初始時θ很小?，F(xiàn)將P、Q由靜止同時釋放，關(guān)于P、Q以后的運(yùn)動，下列說法正確的是( )
A．當(dāng)θ＝60°時，P、Q的速度之比是eq \r(3)∶2
B．當(dāng)θ＝90°時，Q的速度最大
C．當(dāng)θ＝90°時，Q的速度為零
D．當(dāng)θ向90°增大的過程中，Q所受的合力一直增大
解析：選B P、Q用同一根繩連接，則Q沿繩子方向的速度與P的速度大小相等，則當(dāng)θ＝60°時，Q的速度沿繩子方向的分速度vQcs 60°＝vP，解得eq \f(vP,vQ)＝eq \f(1,2)，A錯誤；當(dāng)θ＝90°時，即Q到達(dá)O點(diǎn)正下方，垂直Q運(yùn)動方向上的分速度為0，即vP＝0，此時Q的速度最大，B正確，C錯誤；當(dāng)θ向90°增大的過程中，當(dāng)θ＝90°時，Q的速度最大，加速度為零，合力為零，D錯誤。
題型2 桿端速度分解模型
2．如圖所示的機(jī)械裝置可以將圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)化為直線上的往復(fù)運(yùn)動。連桿AB、OB可繞圖中A、B、O三處的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，連桿OB在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動可通過連桿AB使滑塊在水平橫桿上左右滑動。已知OB桿長為L，繞O點(diǎn)沿逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動且角速度為ω，當(dāng)連桿AB與水平方向夾角為α，AB桿與OB桿的夾角為β時，滑塊的水平速度大小為( )
A.eq \f(ωLsin β,sin α) B.eq \f(ωLcs β,sin α)
C.eq \f(ωLcs β,cs α) D.eq \f(ωLsin β,cs α)
解析：選D 設(shè)滑塊的速度大小為v，A點(diǎn)的速度的方向沿水平方向。如圖，將A點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，根據(jù)運(yùn)動的合成與分解可知，A點(diǎn)在沿桿AB方向的分速度為vA分＝vcs α。B點(diǎn)做圓周運(yùn)動，實(shí)際速度是圓周運(yùn)動的線速度，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度。如圖，設(shè)B的線速度為v′，設(shè)v′與桿AB夾角為θ，由幾何知識可知θ＝β－eq \f(π,2)，則vB分＝v′·cs θ＝v′cs(β－90°)＝v′sin β，v′＝ωL，二者沿桿AB方向的分速度是相等的，即vA分＝vB分，聯(lián)立可得v＝eq \f(ωLsin β,cs α)，D正確。
[課時跟蹤檢測]
一、立足主干知識，注重基礎(chǔ)性和綜合性
1. (2023·遼寧高考)某同學(xué)在練習(xí)投籃，籃球在空中的運(yùn)動軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力F的示意圖可能正確的是( )
解析：選A 籃球做曲線運(yùn)動，所受合力指向運(yùn)動軌跡的凹側(cè)。故選A。
2．船在靜水中的速度是1 m/s，河岸筆直，河寬d＝100 m，河水靠近岸邊的流速為3 m/s，河中間的流速為5 m/s，則下列說法正確的是( )
A．船過河的時間不可能等于100 s
B．船過河的航線不可能是直線
C．船不能到達(dá)對岸
D．因船速小于水速，船不能到達(dá)正對岸
解析：選D 船過河的最短時間為河寬除以船在靜水中的速度，與河水流速的大小無關(guān)，當(dāng)船在靜水中的速度始終垂直于河岸時，船過河的時間等于100 s，A錯誤；船過河時，河水流速的大小在變，只要不斷調(diào)整船頭的方向，就可使船的合速度(即航速)方向保持不變，所以船過河的航線可能是直線，因船速小于水速，船的合速度(即航速)方向不能與河岸垂直，所以船不能到達(dá)正對岸，D正確，B、C錯誤。
3.(多選)跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目。如圖所示，當(dāng)運(yùn)動員從直升機(jī)上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風(fēng)力的影響。下列說法中正確的是( )
A．風(fēng)力越大，運(yùn)動員下落時間越長，運(yùn)動員可完成更多的動作
B．風(fēng)力越大，運(yùn)動員著地速度越大，有可能對運(yùn)動員造成傷害
C．運(yùn)動員下落時間與風(fēng)力無關(guān)
D．運(yùn)動員著地速度與風(fēng)力無關(guān)
解析：選BC 水平方向的風(fēng)力對豎直方向的運(yùn)動沒有影響，運(yùn)動員下落時間與風(fēng)力無關(guān)。無風(fēng)時，運(yùn)動員在水平方向速度為零，有風(fēng)時，運(yùn)動員在水平方向上因風(fēng)力作用做加速運(yùn)動，風(fēng)力越大，著地時水平方向速度越大，著地速度也越大，故B、C正確，A、D錯誤。
4．如圖所示是足球比賽時踢出快速旋轉(zhuǎn)的“落葉球”在空中運(yùn)動的軌跡示意圖，跟正常飛行軌跡相比，“落葉球”會更早地向下落回地面。對“落葉球”在飛行過程中的分析正確的是( )
A．“落葉球”在空中的運(yùn)動軌跡是對稱的
B．“落葉球”的更早下落是因?yàn)樵谶\(yùn)動過程中受到了指向軌跡內(nèi)側(cè)的空氣作用力
C．“落葉球”的更早下落是因?yàn)樵谶\(yùn)動過程中受到了沿切線方向的空氣阻力
D．“落葉球”在最高點(diǎn)的瞬時速度為零
解析：選B “落葉球”是快速旋轉(zhuǎn)的球，所以在空中的軌跡不是對稱的，A錯誤；根據(jù)做曲線運(yùn)動的條件，“落葉球”的更早下落是因?yàn)樵谶\(yùn)動過程中受到了指向軌跡內(nèi)側(cè)的空氣作用力，C錯誤，B正確；“落葉球”在最高點(diǎn)的豎直速度為零，水平速度不為零，所以瞬時速度不為零，D錯誤。
5．如圖所示，某河段兩岸平行，越靠近中央水流速度越大。一條小船(可視為質(zhì)點(diǎn))沿垂直于河岸的方向航行，它在靜水中的速度為v，沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐標(biāo)系xOy，則該小船渡河的大致軌跡是( )
解析：選C 小船沿垂直于河岸的方向航行，它在靜水中的速度為v，越靠近中央水流速度越大，越接近河岸水流速度越小，相當(dāng)于小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，結(jié)合曲線運(yùn)動的條件，故C正確。
6．如圖所示，AB桿以恒定角速度ω繞A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)順時針轉(zhuǎn)動，并帶動套在固定水平桿OC上的小環(huán)M運(yùn)動，AO間距離為h。運(yùn)動開始時AB桿在豎直位置，則經(jīng)過時間t(小環(huán)仍套在AB和OC桿上)，小環(huán)M的速度大小為( )
A.eq \f(ωh,cs2ωt) B.eq \f(ωh,cs ωt)
C．ωh D．ωhtan ωt
解析：選A 經(jīng)過時間t，∠OAB＝ωt，則AM的長度為eq \f(h,cs ωt)，則AB桿上與小環(huán)M的接觸點(diǎn)繞A點(diǎn)的線速度v＝eq \f(hω,cs ωt)，將小環(huán)M的速度沿AB桿方向和垂直于AB桿方向分解，垂直于AB桿方向的分速度等于速度v，則小環(huán)M的速度v′＝eq \f(v,cs ωt)＝eq \f(ωh,cs2ωt)，故A正確。
7．一人騎自行車向東行駛，當(dāng)車速為4 m/s時，他感到風(fēng)從正南方向吹來，當(dāng)車速增加到7 m/s時，他感到風(fēng)從東南方向(東偏南45°)吹來。假設(shè)風(fēng)速的方向和大小恒定，則風(fēng)對地的速度大小為( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．4 m/s
解析：選C 當(dāng)車速為4 m/s時，人感到風(fēng)從正南方向吹來，畫出矢量圖如圖(a)所示，故風(fēng)對地的速度大小沿行駛方向的分速度為4 m/s，當(dāng)車速增加到7 m/s時，他感到風(fēng)從東南方向(東偏南45°)吹來，畫出矢量圖如圖(b)所示，可知，風(fēng)對地的速度大小沿著垂直行駛方向的分速度大小為3 m/s，因此風(fēng)對地的速度大小為5 m/s，故C正確。
8．在一光滑的水平面上建立xOy平面坐標(biāo)系，一質(zhì)點(diǎn)在水平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)開始運(yùn)動，沿x方向和y方向的x-t圖像和vy-t圖像分別如圖甲、乙所示，求：
(1)運(yùn)動后4 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的最大速度；
(2)4 s末質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。
解析：(1)由題圖可知，質(zhì)點(diǎn)沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動，速度大小為vx＝eq \f(x,t1)＝2 m/s，在運(yùn)動后4 s內(nèi)，沿y軸方向運(yùn)動的最大速度為4 m/s，則運(yùn)動后4 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的最大速度為vm＝eq \r(vx2＋vy2)＝2eq \r(5) m/s。
(2)0～2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向做勻加速直線運(yùn)動，2～4 s內(nèi)先沿y軸正方向做勻減速直線運(yùn)動，再沿y軸負(fù)方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，
此時加速度大小為a＝eq \f(Δv,Δt)＝3 m/s2
則質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向做勻減速運(yùn)動的時間
t2＝eq \f(v,a)＝eq \f(2,3) s
則運(yùn)動后的4 s內(nèi)沿y軸方向的位移
y＝eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(2,3)))m－eq \f(1,2)×4×eq \f(4,3) m＝0
因此4 s末質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于沿x軸方向的位移，由題圖甲可知，4 s末質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離s＝x＝8 m。
答案：(1)2eq \r(5) m/s (2)8 m
二、強(qiáng)化遷移能力，突出創(chuàng)新性和應(yīng)用性
9．(2021·遼寧高考)1935年5月，紅軍為突破“圍剿”決定強(qiáng)渡大渡河。首支共產(chǎn)黨員突擊隊冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅決強(qiáng)突。若河面寬300 m，水流速度3 m/s，木船相對靜水速度1 m/s，則突擊隊渡河所需的最短時間為( )
A．75 s B．95 s
C．100 s D．300 s
解析：選D 河寬d＝300 m一定，當(dāng)木船船頭垂直河岸時，在河寬方向上的速度最大，渡河用時最短，即木船相對靜水的速度v＝1 m/s，渡河時間最短為tmin＝eq \f(d,v)＝eq \f(300,1) s＝300 s，故D正確。
10．(多選)如圖甲所示，豎直圓筒內(nèi)壁光滑，半徑為R，在側(cè)壁同一豎直線上有A、B兩小孔相距h，將一小球從上部A孔沿筒內(nèi)壁水平射入筒中，小球緊貼筒內(nèi)壁運(yùn)動，并恰好能到達(dá)下部小孔B，所用時間為t1，到達(dá)下部小孔B時的速度大小為vB。如圖乙所示，用光滑細(xì)鋼絲繞成的螺距相同的柱形螺線管，橫截面半徑也為R，豎直固定，鋼絲上下兩端C、D恰好在同一豎直線上，相距h，一小銅環(huán)穿在鋼絲上從上端C無初速度下滑到達(dá)底端D，所用時間為t2，到達(dá)D端時的速度大小為vD，二者相比較，下列結(jié)論正確的是( )
A．t1＝t2 B．t1vD
解析：選BD 題圖甲中小球在筒內(nèi)受重力和水平指向圓筒豎直中心軸的筒壁的彈力，貼著筒壁做螺旋線運(yùn)動，可視為水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動與豎直方向上的自由落體運(yùn)動的合運(yùn)動，由豎直方向上的自由落體運(yùn)動，可求得小球由A運(yùn)動到B的時間為t1＝ eq \r(\f(2h,g))。題圖乙中小銅環(huán)沿鋼絲運(yùn)動，受重力和垂直鋼絲斜向上方的彈力，可等效為小環(huán)沿光滑斜面下滑，如圖所示，則小環(huán)由C運(yùn)動到D的時間為t2＝ eq \r(\f(2s,a))，其中a＝gsin α，s>h，故t1t乙，根據(jù)x＝vxt，乙球在水平方向的位移小于甲球在水平方向的位移，而甲、乙兩球的位移s＝eq \r(h2＋x2)，由于h甲>h乙，x甲>x乙，因此可知s甲>s乙，即乙球的位移小于甲球的位移，故A、B錯誤；落在斜坡上時豎直方向的分速度vy＝gt，小球落在斜坡上時的速度v＝eq \r(vy2＋vx2)，由于甲球下落時間大于乙球下落時間，可知，乙球落在斜坡上的速度小于甲球落在斜坡上的速度，故C錯誤；設(shè)小球落在斜坡上時速度方向與豎直方向的夾角為θ，則小球落在斜坡上時速度與豎直方向夾角的正切值tan θ＝eq \f(vx,vy)，由于vy甲>vy乙，因此tan θ甲vQ，即P的線速度大小比Q的大，故B正確；根據(jù)a＝rω2，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以aP>aQ，即P的向心加速度大小比Q的大，故C正確；因?yàn)檗D(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速恒定，所以同一時刻P所受合力的方向與Q所受合力的方向均指向中心軸，故合力方向不相同，故D錯誤。

[要點(diǎn)自悟明]
1．勻速圓周運(yùn)動各物理量間的關(guān)系
2．三種傳動方式及各自的特點(diǎn)
(二) 向心力來源分析及離心現(xiàn)象(釋疑點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 圓周運(yùn)動的向心力來源分析
1.(多選)如圖所示，長為L的細(xì)繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球。給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，這樣就構(gòu)成了一個圓錐擺，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ。下列說法中正確的是( )
A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和繩的拉力作用
C．θ越大，小球運(yùn)動的速率越大
D．θ越大，小球運(yùn)動的周期越大
解析：選BC 小球受重力、繩的拉力作用，二者合力提供向心力，由牛頓第二定律可得：Fcs θ＝mg，F(xiàn)sin θ＝meq \f(v2,Lsin θ)，T＝eq \f(2πLsin θ,v)，可求得v＝eq \r(gLsin θtan θ)，T＝2π eq \r(\f(Lcs θ,g))，可見θ越大，v越大，T越小。B、C正確，A、D錯誤。
一點(diǎn)一過
1．向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一個向心力。
2．向心力的確定
(1)確定圓周運(yùn)動的軌道所在的平面，確定圓心的位置。
(2)分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力，就是向心力。
研清微點(diǎn)2 勻速圓周運(yùn)動向心力的分析與計算
2.天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小掛鉤可繞過懸掛點(diǎn)的豎直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。一根光滑輕質(zhì)細(xì)繩穿過掛鉤，兩端分別連接小球P和Q。兩小球同時做勻速圓周運(yùn)動，且在任意時刻兩球均在同一水平面上，此時懸掛兩球的細(xì)繩與豎直方向的夾角分別為45°和30°，則( )
A．兩球向心加速度的大小相等
B．小球P、Q的質(zhì)量之比為eq \r(2)∶2
C．小球P、Q所受向心力的大小之比為eq \r(2)∶1
D．兩球線速度的大小相等
解析：選C 對小球受力分析可知，繩的拉力在水平方向的分力提供向心力，則有Fsin θ＝mgtan θ＝ma，得a＝gtan θ，P、Q兩小球相連接的細(xì)繩與豎直方向的夾角的正切值不同，故它們的向心加速度大小不相等，故A錯誤；兩小球由同一細(xì)繩連接，故細(xì)繩對小球的拉力大小相等，由受力分析可知Fcs θ＝mg，故兩小球的質(zhì)量之比為mP∶mQ＝cs 45°∶cs 30°＝eq \r(2)∶eq \r(3)，故B錯誤；兩小球所受向心力由繩的拉力在水平方向的分力提供，有F向＝Fsin θ，故兩小球所受向心力的大小之比為F向P∶F向Q＝sin 45°∶sin 30°＝eq \r(2)∶1，故C正確；設(shè)掛鉤到兩小球做圓周運(yùn)動的平面的距離為h，由圓周運(yùn)動得mgtan θ＝meq \f(v2,htan θ)，得v＝eq \r(gh)tan θ，所以兩小球做圓周運(yùn)動的線速度大小之比為vP∶vQ＝tan 45°∶tan 30°＝eq \r(3)∶1，故D錯誤。
一點(diǎn)一過
1．向心力的公式
Fn＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m·eq \f(4π2,T2)r＝m·4π2f2r＝mωv。
2．做勻速圓周運(yùn)動的條件
當(dāng)物體所受的合外力大小恒定，且始終與速度方向垂直時，物體做勻速圓周運(yùn)動，此時向心力由物體所受合外力提供。
研清微點(diǎn)3 離心現(xiàn)象分析
3.(多選)摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖所示的兩個水平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心，已知兩個輪盤的半徑之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時兩輪盤不打滑。今在兩輪盤上分別放置兩個同種材料制成的完全相同的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊與軸心O、O′的間距RA＝2RB。若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動起來；且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是( )
A．滑塊A和B均與輪盤相對靜止時，角速度之比為ωA∶ωB＝1∶3
B．滑塊A和B均與輪盤相對靜止時，向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9
C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動
D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動
解析：選ABC 由題意可知兩輪盤邊緣的線速度v大小相等，由v＝ωr可知，ω甲∶ω乙＝1∶3，所以兩滑塊均與輪盤相對靜止時，A、B的角速度之比為ωA∶ωB＝1∶3，故A正確；兩滑塊均與輪盤相對靜止時，根據(jù)a＝Rω2，得A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，故B正確；根據(jù)題意可得滑塊的最大靜摩擦力為f＝μmg，轉(zhuǎn)動中所受的靜摩擦力之比為fA′∶fB′＝maA∶maB＝2∶9，可知滑塊B先達(dá)到最大靜摩擦力，先開始滑動，故C正確，D錯誤。
一點(diǎn)一過
圓周運(yùn)動與離心運(yùn)動的判定
(1)當(dāng)物體沿半徑方向指向圓心的合力恰好等于向心力時，物體做勻速圓周運(yùn)動。
(2)當(dāng)物體沿半徑方向指向圓心的合力不足以提供向心力時，物體將做離心運(yùn)動，只有提供向心力的合外力突然消失時，物體才沿切線方向飛出。
(3)靠靜摩擦力提供向心力時，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時，物體將開始做離心運(yùn)動。
(三) 水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(融通點(diǎn))
1．運(yùn)動特點(diǎn)
(1)運(yùn)動軌跡在水平面內(nèi)。
(2)做勻速圓周運(yùn)動。
2．受力特點(diǎn)
(1)物體所受合外力大小不變，方向總是指向圓心。
(2)合外力充當(dāng)向心力。
3．分析思路
[考法全析]
考法(一) 車輛轉(zhuǎn)彎問題
[例1] (多選)在旅游時，游客乘坐列車以恒定速率通過一段水平圓弧形彎道過程中，游客發(fā)現(xiàn)車廂頂部懸掛玩具小熊的細(xì)線穩(wěn)定后與車廂側(cè)壁平行，同時觀察放在桌面(與車廂底板平行)上水杯內(nèi)的水面，已知此彎道路面的傾角為θ，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列判斷正確的是( )
A．列車轉(zhuǎn)彎過程中的向心加速度為gtan θ，方向與水平面的夾角為θ
B．列車的輪緣與軌道無側(cè)向擠壓作用
C．水杯與桌面間無摩擦
D．水杯內(nèi)水面與桌面不平行
[解析] 設(shè)玩具小熊的質(zhì)量為m，則玩具小熊受到的重力mg、細(xì)線的拉力FT的合力提供玩具小熊隨列車做水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的向心力F(如圖)，有mgtan θ＝ma，可知列車在轉(zhuǎn)彎過程中的向心加速度大小為a＝gtan θ，方向與水平面平行，A錯誤；列車的向心加速度由列車的重力與軌道的支持力的合力提供，故列車的輪緣對軌道無側(cè)向擠壓作用，B正確；水杯的向心加速度由水杯的重力與桌面的支持力的合力提供，則水杯與桌面間的靜摩擦力為零，C正確；水杯內(nèi)水面取一微小質(zhì)量元，此微元受到的重力與支持力的合力產(chǎn)生的加速度大小為a＝gtan θ，可知水杯內(nèi)水面與水平方向的傾斜角等于θ，與桌面平行，D錯誤。
[答案] BC
[例2] (2023·汕頭高三質(zhì)檢)如圖所示的路段是一段半徑約為120 m的圓弧形彎道，路面水平，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為正壓力的eq \f(4,5)，下雨時路面被雨水淋濕，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力變?yōu)檎龎毫Φ膃q \f(2,5)。若汽車通過圓弧形彎道時做勻速圓周運(yùn)動，汽車可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10 m/s2，下列說法正確的是( )
A．汽車以72 km/h的速率通過此圓弧形彎道時的向心加速度為43.2 m/s2
B．汽車以72 km/h的速率通過此圓弧形彎道時的角速度為0.6 rad/s
C．晴天時，汽車以100 km/h的速率可以安全通過此圓弧形彎道
D．下雨時，汽車以60 km/h的速率通過此圓弧形彎道時將做離心運(yùn)動
[解析] 汽車以v＝72 km/h＝20 m/s的速率通過此圓弧形彎道時，向心加速度a＝eq \f(v2,R)≈3.3 m/s2，角速度ω＝eq \f(v,R)≈0.17 rad/s，故A、B錯誤；以汽車為研究對象，當(dāng)路面對輪胎的徑向摩擦力指向內(nèi)側(cè)且達(dá)到徑向最大靜摩擦力時，此時汽車的速率為安全通過圓弧形彎道的最大速率vm，設(shè)汽車的質(zhì)量為m，在水平方向上根據(jù)牛頓第二定律得Ffm＝eq \f(mvm2,R)，在豎直方向上有FN＝mg，徑向最大靜摩擦力為正壓力的eq \f(4,5)，即Ffm＝kFN，其中k＝eq \f(4,5)，以上三式聯(lián)立解得vm＝eq \r(kgR)≈31.0 m/s＝111.6 km/h，所以晴天時汽車以100 km/h的速率可以安全通過此圓弧形彎道，故C正確；下雨時，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力變?yōu)檎龎毫Φ膃q \f(2,5)，有vm′＝eq \r(\a\vs4\al(k′)gR)≈21.9 m/s≈78.8 km/h，60 km/h＜78.8 km/h，所以汽車可以安全通過此圓弧形彎道，不做離心運(yùn)動，故D錯誤。
[答案] C
考法(二) 圓錐擺問題
[例3] (多選)如圖，內(nèi)壁光滑的玻璃管內(nèi)用長為L的輕繩懸掛一個小球。當(dāng)玻璃管繞豎直軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，小球與玻璃管間恰無壓力。下列說法正確的是( )
A．僅增加繩長后，小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛏戏降膲毫?br>B．僅增加繩長后，若仍保持小球與玻璃管間無壓力，需減小ω
C．僅增加小球質(zhì)量后，小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛏戏降膲毫?br>D．僅增加角速度至ω′后，小球?qū)⑹艿讲ＡЧ苄毕蛳路降膲毫?br>[解析] 根據(jù)題意可知，mgtan θ＝mrω2＝mω2Lsin θ，僅增加繩長后，小球需要向心力變大，則有離心趨勢會擠壓管壁外側(cè)，小球受到玻璃管給的斜向下方的壓力，若仍保持小球與玻璃管間無壓力，需減小ω，故A錯誤，B正確；小球質(zhì)量可以被約去，所以僅增加小球質(zhì)量，小球仍與管壁間無壓力，故C錯誤；僅增加角速度至ω′后，小球需要向心力變大，則有離心趨勢會擠壓管壁外側(cè)，小球受到玻璃管斜向下方的壓力，故D正確。
[答案] BD
[例4] 撥浪鼓最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時期，宋代時小型撥浪鼓已成為兒童玩具。四個撥浪鼓上分別系有長度不等的兩根細(xì)繩，繩一端系著小球，另一端固定在關(guān)于手柄對稱的鼓沿上，現(xiàn)使鼓繞豎直放置的手柄勻速轉(zhuǎn)動，兩小球在水平面內(nèi)做周期相同的圓周運(yùn)動。下列各圖中兩球的位置關(guān)系可能正確的是(圖中細(xì)繩與豎直方向的夾角α0.75 m×tan 37°，即小球做平拋運(yùn)動沒有落到圓錐表面上，所以落地點(diǎn)與O′點(diǎn)間的距離為0.8 m。
答案：(1)1.088 N (2)0.8 m
第4講 萬有引力與宇宙航行 相對論
第1課時 萬有引力定律及其應(yīng)用(全面落實(shí)基礎(chǔ))
一、開普勒行星運(yùn)動定律
二、萬有引力定律
1．表達(dá)式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G為引力常量，其值為G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
2．適用條件：
①公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球球心間的距離。
三、宇宙速度
四、相對論
1．兩個假設(shè)
(1)狹義相對性原理：在不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是相同的。
(2)光速不變原理：真空中的光速在不同的慣性參考系中都是相同的，光速和光源、觀測者間的相對運(yùn)動沒有關(guān)系。
2．兩個效應(yīng)
(1)時間延緩效應(yīng)：Δt＝eq \f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,c)))2))。
(2)長度收縮效應(yīng)：l＝l0 eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,c)))2)。
3．質(zhì)速關(guān)系：m＝eq \f(m0,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,c)))2))
情境創(chuàng)設(shè)
一顆衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動，A、B是衛(wèi)星運(yùn)動的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)。
微點(diǎn)判斷
(1)根據(jù)開普勒第一定律，衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動的軌跡是橢圓，地球處于橢圓的一個焦點(diǎn)上。(√)
(2)根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星在B點(diǎn)的運(yùn)動速度比在A點(diǎn)小。(×)
(3)開普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k是只與中心天體有關(guān)的物理量。(√)
(4)開普勒根據(jù)自己長期觀察的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總結(jié)出了行星運(yùn)動的規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。(×)
(5)衛(wèi)星在B點(diǎn)的速度應(yīng)大于11.2 km/s。(×)
eq \a\vs4\al(情境創(chuàng)設(shè))
如圖所示，為一艘正在以0.2c的速度遠(yuǎn)離地球的飛船。
微點(diǎn)判斷
(6)地球上的觀察者看到飛船發(fā)出的激光束的速度為1.2c。(×)
(7)地球上的觀察者看到飛船的長度變短了。(√)
(8)飛船上的觀察者看到飛船上的時鐘變慢了。(×)
(一) 開普勒行星運(yùn)動定律(固基點(diǎn))
[題點(diǎn)全練通]
1．[開普勒第一定律的理解](多選)下列說法正確的是( )
A．太陽系中的八大行星有一個共同的軌道焦點(diǎn)
B．行星的運(yùn)動方向總是沿著軌道的切線方向
C．行星的運(yùn)動方向總是與它和太陽的連線垂直
D．太陽是靜止不動的
解析：選AB 太陽系中八大行星繞太陽運(yùn)動的軌跡都是橢圓，而太陽位于八大行星橢圓軌道的一個共同焦點(diǎn)上，故A正確；行星的運(yùn)動軌跡為橢圓，即行星做曲線運(yùn)動，速度方向沿軌道的切線方向，故B正確；橢圓上某點(diǎn)的切線并不一定垂直于此點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線，故C錯誤；太陽并非靜止，它圍繞銀河系的中心不斷轉(zhuǎn)動，故D錯誤。
2．[開普勒第二定律的應(yīng)用]如圖所示，一顆衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動，運(yùn)動周期為T，圖中虛線為衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡，A、B、C、D是軌跡上的四個位置，其中A距離地球最近，C距離地球最遠(yuǎn)。B和D點(diǎn)是弧線ABC和ADC的中點(diǎn)，下列說法正確的是( )
A．衛(wèi)星在C點(diǎn)的速度最大
B．衛(wèi)星在C點(diǎn)的加速度最大
C．衛(wèi)星從A經(jīng)D到C點(diǎn)的運(yùn)動時間為eq \f(T,2)
D．衛(wèi)星從B經(jīng)A到D點(diǎn)的運(yùn)動時間為eq \f(T,2)
解析：選C 衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動，類似于行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)，根據(jù)開普勒第二定律：行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，則知衛(wèi)星與地球的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，所以衛(wèi)星在距離地球最近的A點(diǎn)速度最大，在距離地球最遠(yuǎn)的C點(diǎn)速度最小，衛(wèi)星在B、D兩點(diǎn)的速度大小相等，故A錯誤；在橢圓的各個點(diǎn)上都是引力產(chǎn)生加速度a＝eq \f(GM,r2)，因A點(diǎn)的距離最小，則衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度最大，故B錯誤；根據(jù)橢圓運(yùn)動的對稱性可知tADC＝tCBA＝eq \f(T,2)，故C正確；衛(wèi)星在橢圓上近地點(diǎn)A附近速度較大，衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)C附近速度較小，則tBADeq \f(T,2)，故D錯誤。
3．[開普勒第三定律的應(yīng)用](2024年1月·廣西高考適應(yīng)性演練)我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心在2022年將“夸父一號”衛(wèi)星送入半徑為r1的晨昏軌道；2023年又將“星池一號A星”送入半徑為r2的晨昏軌道eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r1>r2))，“夸父一號”與“星池一號A星”在繞地球運(yùn)行中，周期之比為( )
A．1∶1 B．r1∶r2
C.eq \r(r13)∶eq \r(r23) D.eq \r(r23)∶eq \r(r13)
解析：選C 由開普勒第三定律eq \f(r13,T12)＝eq \f(r23,T22)得，“夸父一號”與“星池一號A星”在繞地球運(yùn)行中，周期之比為eq \f(T1,T2)＝eq \f(\r(r13),\r(r23))，故選C。
[要點(diǎn)自悟明]
對開普勒行星運(yùn)動定律的三點(diǎn)說明
(1)行星繞太陽的運(yùn)動通常按圓軌道處理。
(2)開普勒行星運(yùn)動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動。
(3)開普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。
(二) 宇宙速度(固基點(diǎn))
[題點(diǎn)全練通]
1．[第一宇宙速度]某星球直徑為d，航天員在該星球表面以初速度v0豎直上拋一個物體，物體上升的最大高度為h，若物體只受該星球引力作用，則該星球的第一宇宙速度為( )
A.eq \f(v0,2) B．2v0 eq \r(\f(d,h))
C.eq \f(v0,2) eq \r(\f(h,d)) D.eq \f(v0,2) eq \r(\f(d,h))
解析：選D 由題意可知，星球表面的重力加速度為g＝eq \f(v02,2h)，根據(jù)萬有引力定律可知Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))2)＝meq \f(v2,\f(d,2))，解得v＝eq \r(\f(2GM,d))，又在星球表面重力等于萬有引力Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))2)＝mg，解得v＝eq \f(v0,2) eq \r(\f(d,h))，故D正確。
2．[第二宇宙速度]使物體脫離星球的引力束縛，不再繞星球運(yùn)行，從星球表面發(fā)射所需的最小速度稱為第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝ eq \r(2)v1。已知某星球的半徑為地球半徑R的4倍，質(zhì)量為地球質(zhì)量M的2倍，地球表面重力加速度為g。不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為( )
A. eq \r(\f(1,2)gR) B.eq \f(1,2)eq \r(gR) C.eq \r(gR) D. eq \r(\f(1,8)gR)
解析：選C 設(shè)在地球表面飛行的衛(wèi)星質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝eq \f(mv2,R)，又有Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得地球的第一宇宙速度為v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝ eq \r(gR)；設(shè)該星球的第一宇宙速度為v1′，根據(jù)題意，有eq \f(v1′,v1) ＝ eq \r(\f(2M,M))·eq \f(\r(R),\r(4R))＝eq \f(1,\r(2))；由題意知v2＝eq \r(2)v1，得該星球的第二宇宙速度為v2′＝eq \r(gR)，故A、B、D錯誤，C正確。
3．[對宇宙速度的理解](多選)已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq \f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq \f(1,2)。下列關(guān)于“天問一號”火星探測器的說法中正確的是( )
A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以
C．發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度
D．“天問一號”火星探測器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的一半
解析：選CD 根據(jù)三個宇宙速度的意義，可知A、B錯誤，C正確；已知M火＝eq \f(M地,9)，R火＝eq \f(R地,2)，則vmax∶v1＝eq \r(\f(GM火,R火))∶eq \r(\f(GM地,R地))＝eq \f(\r(2),3)≈0.5，D正確。
[要點(diǎn)自悟明]
1．第一宇宙速度的推導(dǎo)
法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)得v1＝ eq \r(\f(GM,R))
＝ eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s。
法二：由mg＝meq \f(v12,R)得v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s。第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運(yùn)行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))≈5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度與運(yùn)動軌跡的關(guān)系
(1)v發(fā)＝7.9 km/s時，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動。
(2)7.9 km/s＜v發(fā)＜11.2 km/s，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌跡為橢圓。
(3)11.2 km/s≤v發(fā)＜16.7 km/s，衛(wèi)星繞太陽做橢圓運(yùn)動。
(4)v發(fā)≥16.7 km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。
(三) 衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析與比較(釋疑點(diǎn))
研清微點(diǎn)1 衛(wèi)星運(yùn)行狀態(tài)參量的比較與計算
1．(2024年1月·吉林、黑龍江高考適應(yīng)性演練)2023年8月，我國首次在空間站中實(shí)現(xiàn)了微小衛(wèi)星的低成本入軌。在近地圓軌道飛行的中國空間站中，航天員操作機(jī)械臂釋放微小衛(wèi)星。若微小衛(wèi)星進(jìn)入比空間站低的圓軌道運(yùn)動，則入軌后微小衛(wèi)星的( )
A．角速度比空間站的大 B．加速度比空間站的小
C．速率比空間站的小 D．周期比空間站的大
解析：選A 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力可得eq \f(GMm,r2)＝mω2r＝ma＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r，可得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，a＝eq \f(GM,r2)，v＝eq \r(\f(GM,r))，T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，由于微小衛(wèi)星的軌道半徑小于空間站的軌道半徑，則入軌后微小衛(wèi)星的角速度比空間站的大，加速度比空間站的大，速率比空間站的大，周期比空間站的小。故選A。
2．(2023·廣東高考)如圖(a)所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運(yùn)動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖(b)所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G。關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是( )
A．周期為2t1－t0
B．半徑為 eq \r(3,\f(GM?t1－t0?2,4π2))
C．角速度的大小為eq \f(π,t1－t0)
D．加速度的大小為 eq \r(3,\f(2πGM,t1－t0))
解析：選B 由題圖(b)可知探測器探測到Q的亮度隨時間變化的周期為T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期為t1－t0，故A錯誤；P繞恒星Q做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力可得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得半徑為r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq \r(3,\f(GM?t1－t0?2,4π2))，故B正確；P的角速度為ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,t1－t0)，故C錯誤；P的加速度大小為a＝ω2r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,t1－t0)))2·eq \r(3,\f(GM?t1－t0?2,4π2))＝eq \f(2π,t1－t0)·eq \r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D錯誤。
一點(diǎn)一過
物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
eq \a\vs4\al(變,化,規(guī),律)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(,, G\f(Mm,r2)＝, ?r＝R地＋h?\b\lc\{\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2))),mg＝\f(GMm,R地2)?近地時?→GM＝gR地2?黃金代換式?))eq \a\vs4\al(越,高,越,慢,)
[提醒] a、v、ω、T均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑和中心天體質(zhì)量共同決定，所有狀態(tài)參量的比較，最終歸結(jié)到半徑的比較。
研清微點(diǎn)2 地球靜止軌道衛(wèi)星
3．我國首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”已于酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，首次實(shí)現(xiàn)了地球上相距千公里兩個地面站之間的量子態(tài)遠(yuǎn)程傳輸，“墨子”由火箭發(fā)射至高度為500 km的圓形軌道。此前在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第二十三顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星G7，G7屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(高度約為36 000 km)，它將使北斗系統(tǒng)的可靠性進(jìn)一步提高。關(guān)于衛(wèi)星以下說法中正確的是( )
A．這兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行速度可能大于7.9 km/s
B．通過地面控制可以將北斗G7定點(diǎn)于西昌正上方
C．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
解析：選C 根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，知軌道半徑越大，線速度越小，第一宇宙速度的軌道半徑為地球的半徑，所以第一宇宙速度是繞地球做勻速圓周運(yùn)動最大的環(huán)繞速度，所以北斗G7和量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的線速度均小于地球的第一宇宙速度，故A錯誤；北斗G7即地球靜止軌道衛(wèi)星，只能定點(diǎn)于赤道正上方，故B錯誤；根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，所以量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的周期小，故C正確；衛(wèi)星的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，半徑小的量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D錯誤。
一點(diǎn)一過
1．地球靜止軌道衛(wèi)星的6個“一定”
2．地球靜止軌道衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的關(guān)系
地球同步衛(wèi)星位于地面上方，其離地面高度約為 36 000 km，周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，但軌道平面與繞行方向可以是任意的。地球靜止軌道衛(wèi)星是一種特殊的同步衛(wèi)星。
(四) 天體質(zhì)量和密度的計算(培優(yōu)點(diǎn))
利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq \f(gR2,G)。
(2)天體密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。方法1 “自力更生”法(g－R)
[例1] 假設(shè)在月球表面將物體以某速度豎直上拋，經(jīng)過時間t物體落回月球表面，物體上升的最大高度為h。已知月球半徑為R，引力常量為G，不計一切阻力。則月球的密度為( )
A.eq \f(3πh,4Rt2) B.eq \f(6πh,GRt2) C.eq \f(6h,GπRt2) D.eq \f(8πh,3GRt2)
[解析] 設(shè)月球質(zhì)量為M，月球表面重力加速度為g′，由自由落體運(yùn)動公式得h＝eq \f(1,2)g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2，月球表面質(zhì)量為m的物體所受重力mg′＝Geq \f(Mm,R2)，月球體積為V＝eq \f(4,3)πR3，則月球的密度為ρ＝eq \f(M,V)，聯(lián)立以上各式得ρ＝eq \f(6h,GπRt2)，C正確。
[答案] C
測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的周期T和半徑r。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。方法2 “借助外援”法(T－r)
(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq \f(3π,GT 2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T，就可估算出中心天體的密度。
[例2] 若將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動近似看成是勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距地面的高度為h，運(yùn)行周期為T，已知萬有引力常量為G，地球半徑為R。則地球質(zhì)量M和地球的平均密度ρ分別為( )
A．M＝eq \f(4π2?R＋h?3,GT2)，ρ＝eq \f(3π?R＋h?3,GT2R3)
B．M＝eq \f(4π2?R＋h?3,GT2)，ρ＝eq \f(6π?R＋h?3,GT2R3)
C．M＝eq \f(4π2?R＋h?3,3GT2)，ρ＝eq \f(3π?R＋h?3,GT2R3)
D．M＝eq \f(4π2?R＋h?3,3GT2)，ρ＝eq \f(6π?R＋h?3,GT2R3)
[解析] 將北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動近似看成是勻速圓周運(yùn)動，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力有Geq \f(Mm,?R＋h?2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2?R＋h?3,GT2)，又有M＝ρeq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3π?R＋h?3,GT2R3)，A正確。
[答案] A
eq \a\vs4\al([歸納總結(jié)])
有關(guān)天體質(zhì)量和密度計算的兩點(diǎn)提醒
(1)利用“自力更生”法和“借助外援”法估算天體的質(zhì)量和密度時，都是針對中心天體，而不是環(huán)繞天體，因?yàn)橛嬎氵^程中環(huán)繞天體的質(zhì)量被約掉了。
(2)注意區(qū)別中心天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。
(五) 天體表面的重力加速度(精研點(diǎn))
1．萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
2．星體表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，由mg′＝eq \f(GMm,?R＋h?2)，得g′＝eq \f(GM,?R＋h?2)
所以eq \f(g,g′)＝eq \f(?R＋h?2,R2)。
[考法全析]
eq \a\vs4\al(考法?一? 萬有引力與重力的大小關(guān)系)
[例1] (多選)萬有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是( )
A．在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F0＝Geq \f(Mm,R2)
B．在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F1＝Geq \f(Mm,R2)
C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F2＝Geq \f(Mm,?R＋h?2)
D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為F3＝Geq \f(Mm,?R＋h?2)
[解析] 在北極地面稱量時，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，則有F0＝Geq \f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1T地，可知，r火>r地、v火va，即衛(wèi)星b的速度最大，所以在相同時間內(nèi)衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過的弧長最長，B正確；衛(wèi)星a、c角速度相同，在4小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角都為eq \f(2π,6)＝eq \f(π,3)，在2小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角都為eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6)，C正確；衛(wèi)星c和衛(wèi)星b的軌道半徑都小于衛(wèi)星d的軌道半徑，由開普勒第三定律可知，衛(wèi)星b的運(yùn)動周期一定小于衛(wèi)星d的運(yùn)動周期，衛(wèi)星d的運(yùn)動周期一定大于衛(wèi)星c的運(yùn)動周期(24小時)，D錯誤。
3．[近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星狀態(tài)參量的比較]北斗問天，國之夙愿。我國北斗三號系統(tǒng)的收官之星是地球靜止軌道衛(wèi)星，其軌道半徑約為地球半徑的7倍。與近地軌道衛(wèi)星相比，地球靜止軌道衛(wèi)星( )
A．周期大 B．線速度大
C．角速度大 D．加速度大
解析：選A 近地軌道衛(wèi)星的軌道半徑稍大于地球半徑，由萬有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得線速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，由于地球靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑大于近地軌道衛(wèi)星的軌道半徑，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的線速度較小，選項B錯誤；由萬有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(2π,T)2，解得周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的周期較大，選項A正確；由ω＝eq \f(2π,T)，可知地球靜止軌道衛(wèi)星的角速度較小，選項C錯誤；由萬有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq \f(M,r2)，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度較小，選項D錯誤。
[規(guī)律方法]
如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，軌道半徑為r3。

熱點(diǎn)(二) 天體中的“追及相遇”問題
1．[同向運(yùn)動星體的“追及相遇”問題]
(2023·湖北高考)2022年12月8日，地球恰好運(yùn)行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運(yùn)動，火星與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出( )
A．火星與地球繞太陽運(yùn)動的周期之比約為27∶8
B．當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D．下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前
解析：選B 火星和地球均繞太陽運(yùn)動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據(jù)開普勒第三定律有eq \f(r火3,r地3)＝eq \f(T火2,T地2)，可得eq \f(T火,T地)＝eq \r(\f(r火3,r地3))＝eq \f(3\r(3),2\r(2))，故A錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，速度大小均不變，當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面根據(jù)萬有引力近似等于重力，有Geq \f(Mm,r2)＝mg，g＝eq \f(GM,r2)，由于不知道火星和地球的質(zhì)量比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，故C錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，有ω火＝eq \f(2π,T火)，ω地＝eq \f(2π,T地)，要發(fā)生下一次火星沖日，則有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，得t＝eq \f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之后，故D錯誤。
2．[反向運(yùn)動衛(wèi)星的“追及相遇”問題](多選)如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做圓周運(yùn)動，運(yùn)動方向相反。A衛(wèi)星的周期為T1，B衛(wèi)星的周期為T2，在某一時刻兩衛(wèi)星相距最近，則(引力常量為G)( )
A．兩衛(wèi)星下一次相距最近需經(jīng)過時間t＝eq \f(T1T2,T1＋T2)
B．兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為 eq \r(3,\f(T12,T22))
C．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時的距離，可求出地球的密度
D．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時的距離，可求出地球表面的重力加速度
解析：選AB 兩衛(wèi)星運(yùn)動方向相反，設(shè)經(jīng)過時間t再次相遇，則有eq \f(2π,T1)t＋eq \f(2π,T2)t＝2π，解得t＝eq \f(T1T2,T1＋T2)，A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，A衛(wèi)星的周期為T1，B衛(wèi)星的周期為T2，所以兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為eq \r(3,\f(T12,T22))，B正確；若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時的距離，結(jié)合兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比可以求出兩顆衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力得eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可求出地球的質(zhì)量，但不知道地球的半徑，所以不能求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D錯誤。
3．[兩星相距最近或最遠(yuǎn)次數(shù)的計算](多選)如圖，行星a、b的質(zhì)量分別為m1、m2，中心天體c的質(zhì)量為M(M遠(yuǎn)大于m1及m2)，在萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的是( )
A．a(chǎn)、b運(yùn)動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8
B．a(chǎn)、b運(yùn)動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4
C．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線12次
D．從圖示位置開始，在b轉(zhuǎn)動一周的過程中，a、b、c共線14次
解析：選AD 根據(jù)開普勒第三定律：周期的平方與半徑的三次方成正比，則a、b運(yùn)動的周期之比為1∶8，
A對；設(shè)圖示位置夾角為θ v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點(diǎn)加速度也相同。
(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1v問，C正確；“天問一號”離開地球到達(dá)火星運(yùn)動可近似為橢圓運(yùn)動，其橢圓軌道的半長軸小于火星運(yùn)動軌道的半徑，由開普勒第三定律有eq \f(a問3,T問2)＝eq \f(r火3,T火2)，可知“天問一號”的運(yùn)動周期小于火星的運(yùn)動周期，D錯誤。
9．假設(shè)有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運(yùn)動，地球半徑約為6 400 km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36 000 km，宇宙飛船和一地球同步衛(wèi)星繞地球同向運(yùn)動，每當(dāng)兩者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠(yuǎn)，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為( )
A．4次 B．6次
C．7次 D．8次
解析：選C 根據(jù)圓周運(yùn)動的規(guī)律，分析一晝夜同步衛(wèi)星與宇宙飛船相距最近的次數(shù)，即為衛(wèi)星發(fā)射信號的次數(shù)，也為接收站接收到的信號次數(shù)。設(shè)宇宙飛船的周期為T，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，則eq \f(T2,242)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6 400＋4 200,6 400＋36 000)))3，解得T＝3 h，設(shè)兩者由相隔最遠(yuǎn)至第一次相隔最近的時間為t1，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)－\f(2π,T0)))t1＝π，解得t1＝eq \f(12,7) h，再設(shè)兩者相鄰兩次相距最近的時間間隔為t2，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)－\f(2π,T0)))t2＝2π，解得t2＝eq \f(24,7) h，由n＝eq \f(24－t1,t2)＝6.5次，知接收站接收信號的次數(shù)為7次。
10．(多選)根據(jù)科學(xué)家們的推測，雙星的運(yùn)動是產(chǎn)生引力波的來源之一。假設(shè)宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，測得a星的周期為T，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則( )
A．b星的周期為eq \f(l－Δr,l＋Δr)T
B．b星的線速度大小為eq \f(π?l－Δr?,T)
C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq \f(l,l－Δr)
D．a(chǎn)、b兩星的質(zhì)量之比為eq \f(l－Δr,l＋Δr)
解析：選BD 兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，所以兩顆星的周期相等，則Tb＝Ta＝T，A錯誤。a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝eq \f(l＋Δr,2)、rb＝eq \f(l－Δr,2)。a、b兩星的軌道半徑之比eq \f(ra,rb)＝eq \f(l＋Δr,l－Δr)，b星的線速度大小vb＝eq \f(2πrb,T)＝eq \f(π?l－Δr?,T)，B正確，C錯誤。兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，則Geq \f(mamb,l2)＝maraeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2＝mbrbeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，所以a、b兩星的質(zhì)量之比eq \f(ma,mb)＝eq \f(rb,ra)＝eq \f(l－Δr,l＋Δr)，D正確。
11．(多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質(zhì)量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動。從地球上A點(diǎn)看過去，雙星運(yùn)動的平面與AO垂直，AO距離恒為L。觀測發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星P做圓周運(yùn)動的周期為T，運(yùn)動范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認(rèn)為sin Δθ＝tan Δθ＝Δθ，忽略其他星體對雙星系統(tǒng)的作用力。則( )
A．恒星Q的角速度為eq \f(2π,T) eq \r(\f(M,m))
B．恒星Q的軌道半徑為eq \f(ML·Δθ,2m)
C．恒星Q的線速度為eq \f(πML·Δθ,mT)
D．兩顆恒星的質(zhì)量m和M滿足的關(guān)系式為eq \f(m3,?m＋M?2)＝eq \f(π2?L·Δθ?3,2GT2)
解析：選BCD 恒星P與Q具有相同的角速度，則角速度ω＝eq \f(2π,T)，A錯誤；恒星P的軌道半徑R＝Ltan eq \f(Δθ,2)＝eq \f(1,2)L·Δθ，對雙星系統(tǒng)，有mω2r＝Mω2R，解得恒星Q的軌道半徑為r＝eq \f(ML·Δθ,2m)，B正確；恒星Q的線速度大小v1＝ωr＝eq \f(2π,T)·eq \f(ML·Δθ,2m)＝eq \f(πML·Δθ,mT)，C正確；對雙星系統(tǒng)，由萬有引力提供向心力有Geq \f(Mm,?R＋r?2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，又由mω2r＝Mω2R，聯(lián)立可得eq \f(m3,?m＋M?2)＝eq \f(π2?L·Δθ?3,2GT2)，D正確。
第5講 實(shí)驗(yàn)：探究平拋運(yùn)動的特點(diǎn)
把握經(jīng)典實(shí)驗(yàn)方案
一、基本原理與操作
二、核心關(guān)鍵——數(shù)據(jù)處理
1．以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直向下方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系。
2．在小鋼球平拋運(yùn)動軌跡上選取A、B、C、D、E五個點(diǎn)，測出它們的x、y坐標(biāo)值，記到表格內(nèi)。
3．把測到的坐標(biāo)值依次代入公式v0＝x eq \r(\f(g,2y))，求出小鋼球平拋的初速度，并計算其平均值。
融通多彩實(shí)驗(yàn)方案
1．教科版新教材——平拋運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)研究
驗(yàn)裝置圖
[要點(diǎn)解讀]
(1)打擊彈片使小球A平拋的同時小球B做自由落體運(yùn)動，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
(2)改變打擊彈片的力度，改變小球A平拋的初速度，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
(3)通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)A、B兩球總是同時落地，說明小球A做平拋運(yùn)動在豎直方向的分運(yùn)動與小球B的運(yùn)動相同。
2．粵教版新教材——探究平拋運(yùn)動

實(shí)驗(yàn)裝置圖
[要點(diǎn)解讀]
(1)可用平拋運(yùn)動實(shí)驗(yàn)器分別研究平拋運(yùn)動在水平方向的分運(yùn)動特點(diǎn)和在豎直方向的分運(yùn)動特點(diǎn)。
(2)切斷電源，使電磁鐵C、D同時釋放小球，使小球以相同的速度沿水平方向射出，同時碰撞開關(guān)S切斷電磁鐵E的電源，使鋼球自由下落。
(3)控制小鋼球在軌道A、B上的初始位置相對于各自軌道出口水平線處的高度相同，控制小鋼球在電磁鐵E上的位置與軌道A出口在同一高度。
歸納共性實(shí)驗(yàn)關(guān)鍵
1．不變的實(shí)驗(yàn)原理
通過實(shí)驗(yàn)探究平拋運(yùn)動在豎直方向的分運(yùn)動為自由落體運(yùn)動，在水平方向的分運(yùn)動為勻速直線運(yùn)動。
2．必備的實(shí)驗(yàn)器材：斜槽、小鋼球、鉛垂線。
3．共同的注意事項
(1)斜槽末端切線方向必須水平，以保證小球做平拋運(yùn)動。
(2)每次釋放小球的位置必須相同，以保證小球平拋的初速度相同。
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一、基礎(chǔ)考法保住分

考查點(diǎn)(一) 實(shí)驗(yàn)原理與操作
1．用如圖所示裝置研究平拋運(yùn)動。將白紙和復(fù)寫紙對齊重疊并固定在豎直的硬板上。鋼球沿斜槽軌道PQ滑下后從Q點(diǎn)飛出，落在水平擋板MN上。由于擋板靠近硬板一側(cè)較低，鋼球落在擋板上時，鋼球側(cè)面會在白紙上擠壓出一個痕跡點(diǎn)。移動擋板，重新釋放鋼球，如此重復(fù)，白紙上將留下一系列痕跡點(diǎn)。
(1)下列實(shí)驗(yàn)條件必須滿足的有________。
A．斜槽軌道光滑
B．斜槽軌道末端水平
C．擋板高度等間距變化
D．每次從斜槽上相同的位置無初速度釋放鋼球
(2)為定量研究，建立以水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸的坐標(biāo)系，取平拋運(yùn)動的起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，將鋼球靜置于Q點(diǎn)，鋼球的________(填“最上端”“最下端”或“球心”)對應(yīng)白紙上的位置即為原點(diǎn)；在確定y軸時________(填“需要”或“不需要”)y軸與鉛垂線平行。
(3)為了得到平拋物體的運(yùn)動軌跡，同學(xué)們還提出了以下三種方案，其中可行的是________。
A．從細(xì)管水平噴出穩(wěn)定的細(xì)水柱，拍攝照片，即可得到平拋運(yùn)動軌跡
B．用頻閃照相在同一底片上記錄平拋小球在不同時刻的位置，平滑連接各位置，即可得到平拋運(yùn)動軌跡
C．將鉛筆垂直于豎直的白紙板放置，筆尖緊靠白紙板，鉛筆以一定初速度水平拋出，將會在白紙上留下筆尖的平拋運(yùn)動軌跡
(4)伽利略曾研究過平拋運(yùn)動，他推斷：從同一炮臺水平發(fā)射的炮彈，如果不受空氣阻力，不論它們能射多遠(yuǎn)，在空中飛行的時間都一樣。這實(shí)際上揭示了平拋物體________。
A．在水平方向上做勻速直線運(yùn)動
B．在豎直方向上做自由落體運(yùn)動
C．在下落過程中機(jī)械能守恒
解析：(1)為了能畫出平拋運(yùn)動軌跡，首先保證鋼球做的是平拋運(yùn)動，所以斜槽軌道不一定要光滑，但斜槽軌道末端必須是水平的；同時要讓鋼球總是從同一位置無初速度釋放，這樣才能找到同一運(yùn)動軌跡上的幾個點(diǎn)，A錯誤，B、D正確。擋板只要能記錄下鋼球下落在不同高度時的不同的位置即可，不需要等間距變化，C錯誤。
(2)鋼球在運(yùn)動中記錄下的是其球心的位置，故拋出點(diǎn)也應(yīng)是鋼球靜置于Q點(diǎn)時球心的位置，故應(yīng)以鋼球的球心對應(yīng)白紙上的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)；鋼球在豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動，故y軸必須保證與鉛垂線平行。
(3)從細(xì)管水平噴出穩(wěn)定的細(xì)水柱，拍攝照片，即可得到平拋運(yùn)動軌跡；用頻閃照相在同一底片上記錄平拋小球在不同時刻的位置，平滑連接各位置，即可得到平拋運(yùn)動軌跡；將鉛筆垂直于豎直的白紙板放置，筆尖緊靠白紙板，鉛筆以一定初速度水平拋出，由于鉛筆和白紙之間沒有壓力，故不會形成運(yùn)動軌跡。故選A、B。
(4)伽利略的推斷說明了炮彈由同一高度下落時的等時性，故只能說明炮彈在豎直方向?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動，無法說明水平方向的運(yùn)動。
答案：(1)BD (2)球心 需要 (3)AB (4)B
(1)固定斜槽時，必須保證斜槽末端的切線水平。
(2)小球平拋運(yùn)動的起點(diǎn)不是斜槽末端，而是斜槽末端小球球心對應(yīng)的位置。
(3)同一實(shí)驗(yàn)過程中，小球在斜槽上釋放的位置必須相同，以保證小球平拋的初速度相同。[關(guān)鍵點(diǎn)撥]
考查點(diǎn)(二) 數(shù)據(jù)處理與誤差分析
2．某同學(xué)利用圖甲所示裝置研究平拋運(yùn)動的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)時該同學(xué)使用頻閃儀和照相機(jī)對做平拋運(yùn)動的小球進(jìn)行拍攝，頻閃儀每隔0.05 s發(fā)出一次閃光，某次拍攝后得到的照片如圖乙所示(圖中未包括小球剛離開軌道的圖像)。圖中的背景是放在豎直平面內(nèi)的帶有方格的紙板，紙板與小球軌跡所在平面平行，其上每個方格的邊長為5 cm。該同學(xué)在實(shí)驗(yàn)中測得的小球影像的高度差已經(jīng)在圖乙中標(biāo)出。
完成下列填空：(結(jié)果均保留2位有效數(shù)字)
(1)小球運(yùn)動到圖乙中位置A時，其速度的水平分量大小為______m/s，豎直分量大小為______m/s；
(2)根據(jù)圖乙中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊拇笮開_______m/s2。
解析：(1)因小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動，因此速度的水平分量大小為v0＝eq \f(x,t)＝1.0 m/s；小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動，因此在A點(diǎn)的豎直速度可由平均速度等于時間中點(diǎn)的瞬時速度求得，其速度的豎直分量大小為vy＝eq \f(?8.6＋11.0?×10－2,0.05×2) m/s≈2.0 m/s。
(2)由豎直方向的自由落體運(yùn)動可得當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊拇笮間＝eq \f(y3＋y4－y2－y1,4T2)，代入數(shù)據(jù)可得g＝9.7 m/s2。
答案：(1)1.0 2.0 (2)9.7
結(jié)合軌跡計算平拋運(yùn)動的初速度
(1)平拋軌跡完整(即含有拋出點(diǎn))
在軌跡上任取一點(diǎn)，測出該點(diǎn)離原點(diǎn)的水平位移x及豎直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，故v0＝x eq \r(\f(g,2y))。
(2)
平拋軌跡殘缺(即無拋出點(diǎn))
如圖所示，在軌跡上任取三點(diǎn)A、B、C，使A、B間及B、C間的水平距離相等，由平拋運(yùn)動的規(guī)律可知，A、B間與B、C間所用時間相等，設(shè)為t，則Δh＝hBC－h(huán)AB＝gt2，所以t＝eq \r(\f(hBC－h(huán)AB,g))，所以初速度v0＝eq \f(x,t)＝x eq \r(\f(g,hBC－h(huán)AB))。[關(guān)鍵點(diǎn)撥]
二、創(chuàng)新考法不失分

創(chuàng)新角度(一) 實(shí)驗(yàn)器材的創(chuàng)新
1.
試根據(jù)平拋運(yùn)動原理設(shè)計“測量彈射器彈丸出射初速度”的實(shí)驗(yàn)方法，提供的實(shí)驗(yàn)器材有：彈射器(含彈丸，如圖所示)、鐵架臺(帶有夾具)、米尺。(重力加速度g已知)
(1)畫出實(shí)驗(yàn)示意圖。
(2)在安裝彈射器時應(yīng)注意：________________________________________________________________________。
(3)實(shí)驗(yàn)中需要測量的物理量(在畫出的示意圖中用字母標(biāo)出)：________________________________________________________________________。
(4)由于彈射器每次射出的彈丸初速度不可能完全相等，在實(shí)驗(yàn)中采取的方法是________________________________________________________________________。
(5)計算公式為________________________________________________________________________。
解析：
(1)實(shí)驗(yàn)示意圖如圖所示。
(2)要注意彈射器應(yīng)固定且發(fā)射方向應(yīng)保持水平。
(3)實(shí)驗(yàn)中需測量彈丸射出的水平距離x和彈射器與水平地面的高度差h。
(4)在彈射器高度不變的情況下多次實(shí)驗(yàn)，取x1、x2、…、xn的平均值 eq \x\t(x)作為實(shí)數(shù)據(jù)。
(5)由eq \x\t(x)＝v彈丸t，h＝eq \f(1,2)gt2，得v彈丸＝eq \f(\x\t(x),\r(\f(2h,g)))＝eq \x\t(x) eq \r(\f(g,2h))。
答案：見解析
2．頻閃攝影是研究變速運(yùn)動常用的實(shí)驗(yàn)手段。在暗室中，照相機(jī)的快門處于常開狀態(tài)，頻閃儀每隔一定時間發(fā)出一次短暫的強(qiáng)烈閃光，照亮運(yùn)動的物體，于是膠片上記錄了物體在幾個閃光時刻的位置。某物理小組利用如圖甲所示的裝置探究平拋運(yùn)動規(guī)律。他們分別在該裝置正上方A處和右側(cè)正前方B處安裝了頻閃儀器并進(jìn)行了拍攝，得到的頻閃照片如圖乙所示，O為拋出點(diǎn)，P為運(yùn)動軌跡上某點(diǎn)。則根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律分析下列問題(g取10 m/s2)：
(1)乙圖中，A處攝像頭所拍攝的頻閃照片為______(填“a”或“b”)。
(2)測得圖乙a中OP距離為30 cm，b中OP距離為45 cm，則平拋小球的初速度大小應(yīng)為________ m/s，小球在P點(diǎn)速度大小應(yīng)為________ m/s。
解析：(1)小球做平拋運(yùn)動時，水平方向是勻速直線運(yùn)動，豎直方向是自由落體運(yùn)動，故A處攝像頭所拍攝的頻閃照片為a。
(2)豎直方向上有y＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2y,g))＝ eq \r(\f(2×0.45,10)) s＝0.3 s，則平拋小球的初速度v0＝eq \f(x,t)＝eq \f(0.3,0.3) m/s＝1 m/s，小球在P點(diǎn)豎直方向的速度vy＝gt＝10×0.3 m/s＝3 m/s，則vP＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \r(10) m/s。
答案：(1)a (2)1 eq \r(10)
創(chuàng)新角度(二) 實(shí)驗(yàn)原理的創(chuàng)新
3．某同學(xué)設(shè)計了一個“探究平拋運(yùn)動的特點(diǎn)”的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖甲所示，A是一塊平面木板，在其上等間隔地開鑿出一組平行的插槽(如圖甲中P0P0′、P1P1′、…)，槽間距離均為d。把覆蓋復(fù)寫紙的白紙鋪貼在硬板B上。實(shí)驗(yàn)時依次將B板插入A板的各插槽中，每次讓小球從斜軌道的同一位置由靜止釋放。每打完一點(diǎn)后，把B板插入后一槽中并同時向紙面內(nèi)側(cè)平移距離d。實(shí)驗(yàn)得到的小球在白紙上打下的若干痕跡點(diǎn)如圖乙所示。
(1)實(shí)驗(yàn)前應(yīng)對實(shí)驗(yàn)裝置反復(fù)調(diào)節(jié)，直到________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
每次讓小球從同一位置由靜止釋放，是為了________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(2)每次將B板向內(nèi)側(cè)平移距離d，是為了________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(3)在圖乙中繪出小球做平拋運(yùn)動的軌跡。
解析：(1)對實(shí)驗(yàn)裝置反復(fù)調(diào)節(jié)的目的：①使斜軌道末端切線水平，以保證小球離開軌道時做平拋運(yùn)動；②使A板水平，保證B板總處于同一高度；③使插槽P0P0′垂直斜軌道并在斜軌道末端正下方，以保證B板在P0P0′時小球的痕跡為拋出點(diǎn)。每次讓小球從同一位置由靜止釋放，是為了保證小球每次以相同初速度做平拋運(yùn)動。
(2)每次將B板向內(nèi)側(cè)平移距離d，是為了使記錄紙上每兩點(diǎn)間的水平距離相等。
(3)如圖所示。
答案：(1)斜軌道末端切線水平、A板水平、插槽P0P0′垂直斜軌道并在斜軌道末端正下方 使小球每次做平拋運(yùn)動的初速度都相同 (2)使記錄紙上每兩點(diǎn)之間的水平距離相等 (3)見解析圖
創(chuàng)新角度(三) 數(shù)據(jù)處理的創(chuàng)新
4．如圖甲所示，
AB是一可升降的豎直支架，支架頂端A處固定一弧形軌道，軌道末端水平。一條形木板的上端鉸接于過A的水平轉(zhuǎn)軸上，下端擱在水平地面上。將一小球從弧型軌道某一位置由靜止釋放，小球落在木板上的某處，測出小球平拋運(yùn)動的水平射程x和此時木板與水平面的夾角θ，并算出tan θ。改變支架AB的高度，將小球從同一位置釋放，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到多組x和tan θ，記錄的數(shù)據(jù)如下表：
(1)在圖乙的坐標(biāo)中描點(diǎn)連線，做出x-tan θ的關(guān)系圖像。
(2)根據(jù)x-tan θ圖像可知小球做平拋運(yùn)動的初速度v0＝________ m/s；實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)θ超過60°后，小球?qū)⒉粫袈湓谛泵嫔希瑒t斜面的長度為________ m。(重力加速度g取10 m/s2，計算結(jié)果保留兩位小數(shù))。
(3)實(shí)驗(yàn)中有一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)明顯錯誤，可能的原因是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)x-tan θ的關(guān)系圖像如圖所示：
(2)根據(jù)tan θ＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，
則水平射程為：x＝v0t＝eq \f(2v02tan θ,g)。
可知圖線的斜率k＝eq \f(2v02,g)，由圖可知k＝eq \f(0.290,1.43)≈0.2，
解得v0＝ eq \r(\f(kg,2))＝ eq \r(\f(0.2×10,2)) m/s＝1.0 m/s。
當(dāng)θ＝60°時，有t＝eq \f(2v0tan θ,g)＝eq \f(\r(3),5) s，
則斜面的長度為：s＝eq \f(v0t,cs 60°)＝eq \f(2\r(3),5) m≈0.69 m。
(3)實(shí)驗(yàn)中有一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)明顯錯誤，由圖可知，第4組數(shù)據(jù)水平射程偏小，由x＝v0t＝eq \f(2v02tan θ,g)知，初速度偏小，即小球釋放位置低于其他次實(shí)驗(yàn)。
答案：(1)見解析圖 (2)1.00(0.96～1.04均可) 0.69(0.65～0.73均可) (3)第4次小球釋放位置與其他次實(shí)驗(yàn)不同(低于其他次實(shí)驗(yàn))
第6講 實(shí)驗(yàn)：探究影響向心力大小的因素

把握經(jīng)典實(shí)驗(yàn)方案
一、基本原理與操作
二、核心關(guān)鍵
1．?dāng)?shù)據(jù)處理
(1)m、r一定。
(2)m、ω一定。
(3)r、ω一定。
(4)分別作出F向-ω2、F向-r、F向-m的圖像。
2．實(shí)驗(yàn)結(jié)論
(1)在小球質(zhì)量和做圓周運(yùn)動的半徑一定的情況下，向心力的大小與角速度的平方成正比。
(2)在小球質(zhì)量和角速度一定的情況下，向心力的大小與做圓周運(yùn)動的半徑成正比。
(3)在小球做圓周運(yùn)動的半徑和角速度一定的情況下，向心力的大小與質(zhì)量成正比。
3．注意事項
(1)定性感知實(shí)驗(yàn)中，輕小球受到的重力與拉力相比可忽略。
(2)使用向心力演示器時應(yīng)注意：
①將橫臂緊固螺釘旋緊，以防小球和其他部件飛出而造成事故。
②搖動手柄時應(yīng)力求緩慢加速，注意觀察其中一個測力套筒上標(biāo)尺的格數(shù)。達(dá)到預(yù)定格數(shù)時，保持轉(zhuǎn)速均勻恒定。
一、基礎(chǔ)考法保住分

考查點(diǎn)(一) 影響向心力大小因素的定性分析
1．如圖所示，同學(xué)們分小組探究影響向心力大小的因素。同學(xué)們用細(xì)繩系一紙杯(杯中有30 mL的水)在空中甩動，使紙杯在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，來感受向心力。
(1)下列說法中正確的是________。
A．保持質(zhì)量、繩長不變，增大轉(zhuǎn)速，繩對手的拉力將不變
B．保持質(zhì)量、繩長不變，增大轉(zhuǎn)速，繩對手的拉力將增大
C．保持質(zhì)量、角速度不變，增大繩長，繩對手的拉力將不變
D．保持質(zhì)量、角速度不變，增大繩長，繩對手的拉力將增大
(2)如圖甲所示，繩離杯心40 cm處打一結(jié)點(diǎn)A，80 cm處打一結(jié)點(diǎn)B，學(xué)習(xí)小組中一位同學(xué)手表計時，另一位同學(xué)操作，其余同學(xué)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：
操作一：手握繩結(jié)點(diǎn)A，使杯在水平方向每秒運(yùn)動一周，體會向心力的大小。
操作二：手握繩結(jié)點(diǎn)B，使杯在水平方向每秒運(yùn)動一周，體會向心力的大小。
操作三：手握繩結(jié)點(diǎn)A，使杯在水平方向每秒運(yùn)動二周，體會向心力的大小。
操作四：手握繩結(jié)點(diǎn)A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒運(yùn)動一周，體會向心力的大小。
則：①操作二與一相比較：質(zhì)量、角速度相同，向心力的大小與轉(zhuǎn)動半徑大小有關(guān)；
操作三與一相比較：質(zhì)量、轉(zhuǎn)動半徑相同，向心力的大小與角速度的大小有關(guān)；
操作四與一相比較：____________________相同，向心力大小與________有關(guān)；
②物理學(xué)中此種實(shí)驗(yàn)方法叫________法。
③小組總結(jié)階段，在空中甩動，使杯在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的同學(xué)談感受時說：“感覺手腕發(fā)酸，感覺力的方向不是指向圓心的向心力而是背離圓心的離心力，跟書上說的不一樣?！蹦阏J(rèn)為該同學(xué)的說法是否正確，為什么？
解析：(1)由題意，根據(jù)向心力公式F向＝mω2r，由牛頓第二定律有T拉＝mω2r；保持質(zhì)量、繩長不變，增大轉(zhuǎn)速，根據(jù)公式可知，繩對手的拉力將增大，故A錯誤，B正確；保持質(zhì)量、角速度不變，增大繩長，據(jù)公式可知，繩對手的拉力將增大，故C錯誤，D正確。
(2)根據(jù)向心力公式F向＝mω2r，由牛頓第二定律，則有T拉＝mω2r；操作二與一相比較：質(zhì)量、角速度相同，向心力的大小與轉(zhuǎn)動半徑大小有關(guān)；操作三與一相比較：質(zhì)量、轉(zhuǎn)動半徑相同，向心力的大小與角速度的大小有關(guān)；操作四與一相比較：角速度、轉(zhuǎn)動半徑相同，向心力大小與質(zhì)量有關(guān)；物理學(xué)中此種實(shí)驗(yàn)方法叫控制變量法。
說法不對。該同學(xué)受力分析的對象是自己的手，我們實(shí)驗(yàn)時受力分析的對象是水杯，細(xì)繩的拉力提供水杯
做圓周運(yùn)動的向心力指向圓心。細(xì)繩對手的拉力與“向心力”大小相等，方向相反，背離圓心。
答案：(1)BD (2)①角速度(線速度)、轉(zhuǎn)動半徑 質(zhì)量 ②控制變量 ③見解析
考查點(diǎn)(二) 影響向心力大小因素的定量分析
2．(2023·浙江1月選考，節(jié)選)“探究向心力大小的表達(dá)式”實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示。
(1)采用的實(shí)驗(yàn)方法是________。
A．控制變量法B．等效法 C．模擬法
(2)在小球質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑相同的情況下，逐漸加速轉(zhuǎn)動手柄到一定速度后保持勻速轉(zhuǎn)動。此時左右標(biāo)尺露出的紅白相間等分標(biāo)記的比值等于兩小球的________之比(選填“線速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)；在加速轉(zhuǎn)動手柄過程中，左右標(biāo)尺露出紅白相間等分標(biāo)記的比值________(選填“不變”“變大”或“變小”)。
解析：(1)該實(shí)驗(yàn)探究多個物理量之間的關(guān)系，應(yīng)用控制變量法。
(2)根據(jù)向心力表達(dá)式F＝mrω2，在小球質(zhì)量、轉(zhuǎn)動半徑相同的情況下，F(xiàn)∝ω2，左右標(biāo)尺標(biāo)記的比值為F之比等于角速度的平方比；由于兩球角速度比為定值，則標(biāo)記的比值不變。
答案：(1)A (2)角速度平方 不變
(1)當(dāng)某物理量與多個因素可能有關(guān)時應(yīng)采用控制變量法進(jìn)行定量研究。
(2)在研究某兩個物理量之間的關(guān)系時，其他因素所對應(yīng)的物理量應(yīng)當(dāng)保持不變。[關(guān)鍵點(diǎn)撥]
二、創(chuàng)新考法不失分

創(chuàng)新角度(一) 實(shí)驗(yàn)器材的創(chuàng)新
1.
某興趣小組用如圖甲所示的裝置與傳感器結(jié)合，探究向心力大小的影響因素。實(shí)驗(yàn)時用手撥動旋臂使砝碼做圓周運(yùn)動，力傳感器和光電門固定在實(shí)驗(yàn)器材上，測量角速度和向心力。
(1)電腦通過光電門測量擋光桿通過光電門的時間，并由擋光桿的寬度d、擋光桿通過光電門的時間Δt、擋光桿做圓周運(yùn)動的半徑r，自動計算出砝碼做圓周運(yùn)動的角速度，則其計算角速度的表達(dá)式為________________________________________________________________________。
(2)在圖乙中?、佗趦蓷l曲線為相同轉(zhuǎn)動半徑、不同質(zhì)量下向心力與角速度的關(guān)系圖線，由圖乙可知。曲線①對應(yīng)的砝碼質(zhì)量________(填“大于”或“小于”)曲線②對應(yīng)的砝碼質(zhì)量。
解析：(1)擋光桿轉(zhuǎn)動的線速度v＝eq \f(d,Δt)，由ω＝eq \f(v,r)，計算得出：ω＝eq \f(d,rΔt)。砝碼與擋光桿轉(zhuǎn)動的角速度相同，則砝碼角速度的表達(dá)式為ω＝eq \f(d,rΔt)。
(2)若保持角速度和半徑都不變，則砝碼做圓周運(yùn)動的向心加速度不變，由牛頓第二定律F＝ma可以知道，質(zhì)量大的砝碼需要的向心力大，所以曲線①對應(yīng)的砝碼質(zhì)量小于曲線②對應(yīng)的砝碼質(zhì)量。
答案：(1)ω＝eq \f(d,rΔt) (2)小于
2．如圖甲所示是某同學(xué)探究做圓周運(yùn)動的物體質(zhì)量、向心力、軌道半徑及線速度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)裝置，做勻速圓周運(yùn)動的圓柱體放置在水平光滑圓盤上，力傳感器測量向心力F，速度傳感器測量圓柱體的線速度v，該同學(xué)通過保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動半徑不變，來探究向心力F與線速度v的關(guān)系：
(1)該同學(xué)采用的實(shí)驗(yàn)方法為________。
A．等效替代法 B．控制變量法
C．理想化模型法 D．比值法
(2)改變線速度v，多次測量，該同學(xué)測出了五組F、v數(shù)據(jù)，如表所示：
該同學(xué)對數(shù)據(jù)分析后，在圖乙坐標(biāo)紙上描出了五個點(diǎn)。
①作出F-v2圖線；
②若圓柱體運(yùn)動半徑r＝0.2 m，由作出的F-v2圖線可得圓柱體的質(zhì)量m＝____kg(保留兩位有效數(shù)字)。
解析：(1)實(shí)驗(yàn)中探究向心力和速度的關(guān)系，保持圓柱體質(zhì)量和運(yùn)動半徑不變，采用的實(shí)驗(yàn)方法是控制變量法，B正確。
(2)①作出F-v2圖線，如圖所示。
②根據(jù)F＝eq \f(mv2,r)知，圖線的斜率k＝eq \f(m,r)，則有eq \f(m,r)＝eq \f(7.90,9)，代入數(shù)據(jù)計算得出m≈0.18 kg。
答案：(1)B (2)①見解析圖 ②0.18
創(chuàng)新角度(二) 實(shí)驗(yàn)原理的創(chuàng)新
3.
改裝的探究圓周運(yùn)動的向心力大小的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示。有機(jī)玻璃支架上固定一個直流電動機(jī)，電動機(jī)轉(zhuǎn)軸上固定一個半徑為r的塑料圓盤，圓盤中心正下方用細(xì)線接一個重錘，圓盤邊緣連接細(xì)繩，細(xì)繩另一端連接一個小球。實(shí)驗(yàn)操作如下：
①利用天平測量小球的質(zhì)量m，記錄當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的大??；
②閉合電源開關(guān)，讓小球做如圖所示的勻速圓周運(yùn)動，調(diào)節(jié)激光筆2的高度和激光筆1的位置，讓激光恰好照射到小球的中心，用刻度尺測量小球做圓周運(yùn)動的半徑R和球心到塑料圓盤的高度h；
③當(dāng)小球第一次到達(dá)A點(diǎn)時開始計時，并記錄為1次，記錄小球n次到達(dá)A點(diǎn)的時間t；
④切斷電源，整理器材。
請回答下列問題：
(1)下列說法正確的是________。
A．小球運(yùn)動的周期為eq \f(t,n)
B．小球運(yùn)動的線速度大小為eq \f(2π?n－1?R,t)
C．小球運(yùn)動的向心力大小為eq \f(mgR,h)
D．若電動機(jī)轉(zhuǎn)速增加，激光筆1、2應(yīng)分別左移、上移
(2)若已測出R＝40.00 cm，r＝4.00 cm，h＝90.00 cm，t＝100.00 s，n＝51，π取3.14，則小球做圓周運(yùn)動的周期T＝________s，記錄的當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮?yīng)為g＝________m/s2。(計算結(jié)果均保留3位有效數(shù)字)
解析：(1)從球第1次到第n次通過A位置，轉(zhuǎn)動圈數(shù)為n－1，時間為t，周期T＝eq \f(t,n－1)，A錯誤；小球的線速度大小為v＝eq \f(2πR,T)＝eq \f(2π?n－1?R,t)，B正確；小球受重力和拉力，合力提供向心力，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為α，有FTcs α＝mg，F(xiàn)Tsin α＝Fn，則Fn＝mgtan α＝mgeq \f(R－r,h)，C錯誤；若電動機(jī)的轉(zhuǎn)速增加，則轉(zhuǎn)動半徑增加，激光筆1、2應(yīng)分別左移、上移，D正確。
(2)小球做圓周運(yùn)動的周期T＝eq \f(t,n－1)＝2.00 s，向心力Fn＝mgeq \f(R－r,h)＝mReq \f(4π2,T2)，解得g＝eq \f(4π2Rh,?R－r?T2)≈9.86 m/s2。
答案：(1)BD (2)2.00 9.86
等時性
合運(yùn)動和分運(yùn)動經(jīng)歷的時間相等，即同時開始、同時進(jìn)行、同時停止
等效性
各分運(yùn)動的規(guī)律疊加起來與合運(yùn)動的規(guī)律有完全相同的效果
獨(dú)立性
一個物體同時參與幾個分運(yùn)動，各分運(yùn)動獨(dú)立進(jìn)行，不受其他運(yùn)動的影響
渡河時間最短
當(dāng)船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
如果v船>v水，當(dāng)船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cs θ＝－v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河寬d
如果v船r1＝r3
角速度
由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故ω1>ω2
同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3
線速度
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝ eq \r(\f(GM,r))，故v1>v2
由v＝rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心加速度
由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，故a1>a2
由a＝ω2r得a2>a3
a1>a2>a3
情景導(dǎo)圖
運(yùn)動特點(diǎn)
轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度相同，運(yùn)動半徑一般不等
受力特點(diǎn)
兩星間的萬有引力提供兩星做圓周運(yùn)動的向心力
解題規(guī)律
eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2
解題關(guān)鍵
m1r1＝m2r2，r1＋r2＝L
情景導(dǎo)圖
運(yùn)動特點(diǎn)
轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運(yùn)動半徑相等
受力特點(diǎn)
各星所受萬有引力的合力提供圓周運(yùn)動的向心力
解題規(guī)律
eq \f(Gm2,r2)＋eq \f(Gm2,?2r?2)＝ma向
eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
解題關(guān)鍵
兩邊星體繞中間星體做半徑相同的圓周運(yùn)動
r＝eq \f(L,2cs 30°)
原理裝置圖
操作要領(lǐng)
(1)調(diào)節(jié)：①斜槽末端水平 ②固定白紙的平板豎直
(2)確定平拋起點(diǎn)：
將小球飛離斜槽末端時球心的位置描在白紙上
(3)操作：①每次都從同一位置釋放小球
②上下調(diào)節(jié)擋板，通過多次實(shí)驗(yàn)，在白紙上記錄小球所經(jīng)過的多個位置
(4)軌跡獲取：用平滑曲線把白紙上各印跡連接起來
實(shí)驗(yàn)次數(shù)
1
2
3
4
5
6
tan θ
0.18
0.32
0.69
1.00
1.19
1.43
x/m
0.035
0.065
0.140
0.160
0.240
0.290
原理裝置圖
(1)利用變速塔輪可改變小球的轉(zhuǎn)動角速度
(2)利用長槽和短槽可改變小球的轉(zhuǎn)動半徑
(3)利用測力套筒可顯示向心力的大小
操作要領(lǐng)
向心力演示器如上圖所示。轉(zhuǎn)動手柄1，可使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動，皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上，可使兩個槽內(nèi)的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運(yùn)動。小球做圓周運(yùn)動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供，球?qū)醢宓姆醋饔昧νㄟ^橫臂的杠桿使彈簧測力套筒7下降，從而露出標(biāo)尺8，標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分格子的多少可以顯示出兩個球所受向心力的大小
(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動半徑和轉(zhuǎn)動角速度相同時，可以探究向心力與小球質(zhì)量的關(guān)系。(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動角速度和質(zhì)量相同時，可以探究向心力與轉(zhuǎn)動半徑的關(guān)系。(3)皮帶套在塔輪2、3的不同半徑的圓盤上，小球質(zhì)量相同、轉(zhuǎn)動半徑相同時，可以探究向心力與角速度的關(guān)系
序號
1
2
3
4
5
6
F向
ω
ω2
序號
1
2
3
4
5
6
F向
r
序號
1
2
3
4
5
6
F向
m
v/(m·s－1)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
F/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90

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