專題04 隨機(jī)變量及其分布 考點(diǎn)串講 考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量及其分布 （1）隨機(jī)變量的基本概念 隨機(jī)變量的概念： 如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.常用希臘字母、等 表示． 離散型隨機(jī)變量的概念： 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量． 連續(xù)型隨機(jī)變量的概念： 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量． （2）離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征 離散型隨機(jī)變量的分布列： 設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為 x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱ξ的分布列． 注：分布列的兩個(gè)性質(zhì)： 任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足：，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1． 由此可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)： ，； ，． 考點(diǎn)二、離散型隨機(jī)變量的期望和方差 一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列，如下表所示 則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望。 稱為隨機(jī)變量的方差，稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差． 考點(diǎn)三、二項(xiàng)分布 （1）重伯努利試驗(yàn)(次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))： 我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn). 將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn). （2）二項(xiàng)分布： 一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件 發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作． （3）二項(xiàng)分布的均值與方差： 若隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布，即,則, . 考點(diǎn)四、正態(tài)分布 （1）正態(tài)曲線 正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱軸的位置，曲線的形狀沒(méi)有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對(duì)于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線． 當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，如圖②. 若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． （2）正態(tài)曲線的特點(diǎn)： 曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱； 曲線在處達(dá)到峰值； 當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近軸． （3）正態(tài)分布的期望與方差 若，則，． （4）正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率： ； ； ． 在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng) 計(jì)學(xué)中稱為原則． （5）利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法 對(duì)稱法： 由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)間概率相 等．如： ； ． “”法： 利用落在區(qū)間內(nèi)的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解． 熱考題型 類型一、離散型隨機(jī)變量及其分布 【例1】下面給出四個(gè)隨機(jī)變量： ①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)ξ； ②一個(gè)沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在x軸上的位置η； ③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)X； ④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離Y． 其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（???） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量； 對(duì)于②，沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量； 對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量； 對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③． 故選：B． 【例2】若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫(xiě)出ξ的分布列. 【答案】答案見(jiàn)解析 【解析】解：由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列為： 【變式1】下列隨機(jī)變量X不是離散型隨機(jī)變量的是 (　　) A．某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量為X B．某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X C．某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為X D．某立交橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)為X 【答案】C 【解析】A、B、D中的隨機(jī)變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨 機(jī)變量； C中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法按一定次序一一列出，故其不是離散型隨機(jī)變量. 故選：C. 【變式2】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的分布列． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】解：設(shè)此運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分為ξ，則ξ的分布列為 類型二、離散型隨機(jī)變量的期望和方差 【例1】一袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，用X表示取出球的最大編號(hào)，則EX=（???） A．2 B．3 C．103 D．113 【答案】C 【解析】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4. 且P(X=2)=1C42=16；P(X=3)=C21C42=13；P(X=4)=C31C42=12. 因此X的分布列為： 則EX=2×16+3×13+4×12=103. 故選：C. 【例2】若隨機(jī)變量X的概率分布表如下： 則（ ????） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【答案】C 【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可得， 所以， 所以. 故選：C. 【變式1】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則X的數(shù)學(xué)期望EX=（???） 32 B．2 C．52 D．3 【答案】A 【解析】由題意得35+a+110=1，解得a=310， 故EX=35+2×310+3×110=32. 故選：A. 【變式2】投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示． 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 (1)投資哪種股票的期望收益大？ (2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？ 【答案】(1)股票A的期望收益大；(2)投資股票A的風(fēng)險(xiǎn)較高. 【解析】解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為： E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1， E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1． 因?yàn)镋(X)>E(Y)，所以投資股票A的期望收益較大． （2）股票A和股票B投資收益的方差分別為 D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29， D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6． 因?yàn)镋(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高． 類型三、二項(xiàng)分布 【例1】某批數(shù)量很大的產(chǎn)品的次品率為p，從中任意取出4件，則其中恰好含有3件次品的概率是（???） A．p3 B．p31-p C．C43p31-p D．C43p3 【答案】C 【解析】因?yàn)榇纹仿蕿閜，從中任意取出4件，所以恰好含有3件次品的概率為C43p31-p. 故選：C. 【例2】設(shè)隨機(jī)變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于（???） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【解析】按照二項(xiàng)分布的期望公式，有40?p=16，p=0.4. 故選：D. 【例3】一批產(chǎn)品的一等品率為0.9，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件數(shù)，則D(X)= . 【答案】9 【解析】由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是二項(xiàng)分布模型，其中，p=0.9，n=100， 則D(X)=np(1-p)=100×0.9×0.1=9． 故答案為：9． 【變式1】若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是多大. 【答案】0.2916 【解析】設(shè)恰好有一次未擊中目標(biāo)為事件A，pA=C41×0.93×1-0.9=0.2916. 【變式2】同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣恰有一枚正面向上的次數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（???） A．12 B．1 C．32 D．2 【答案】D 【解析】2枚硬幣拋擲一次，恰好有一枚正面向上的概率為C21(12)2=12， 則X服從二項(xiàng)分布X～B(4,12)，所以E(X)=np=4×12=2. 故選：D. 【變式3】設(shè)X為隨機(jī)變量，X～B(n,13)，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2，則P(X=2)等于（???） A．80243 B．13243 C．4243 D．1316 【答案】A 【解析】因?yàn)镋(X)=13n=2，得n=6，即X～B(6,13). 所以P(X=2)=C62×(13)2×(1-13)4=80243. 故選：A. 類型四、正態(tài)分布 【例1】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4)且P(X>1)=0.5,則實(shí)數(shù)a=（???） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由題意可得正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為X=a，又因?yàn)镻(X>1)=0.5，所以a=1. 故選：A. 【例2】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,σ2, 且PX≤4=0.84, 則P2

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