一、等式與不等式的性質(zhì)
1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）?a0）.))
2.等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：若a＝b，則b＝a.
(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.
(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.
3.不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開(kāi)方：a＞b＞0?eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其應(yīng)用
1.均值不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)均值不等式成立的條件：a≥0，b≥0.
(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).
(3)其中eq \f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).
2.兩個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，則
(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq \r(p)(簡(jiǎn)記：積定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq \f(s2,4)(簡(jiǎn)記：和定積最大).
三、從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)0(0(0，b>0)等，同時(shí)還要注意不等式成立的條件和等號(hào)成立的條件.
5.“三個(gè)二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把a(bǔ)＜0的情況轉(zhuǎn)化為a＞0時(shí)的情形.
6.在解決不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)對(duì)于一切x∈R恒成立問(wèn)題時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行討論，并研究當(dāng)a＝0時(shí)是否滿足題意.
7.含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問(wèn)題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來(lái)處理，一般后者比較簡(jiǎn)單.
不等式的性質(zhì)
1.（2021新疆烏魯木齊市第四中學(xué)檢測(cè)）下列命題正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
不等式的解法
2.（2021陜西省西安中學(xué)檢測(cè)）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集為 SKIPIF 1 < 0 ，則不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
基本不等式以及應(yīng)用
3.（2021遼寧省葫蘆島市模擬）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．12 B． SKIPIF 1 < 0 C．15 D． SKIPIF 1 < 0
4.（2021吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè)）若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取最小值，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 4
1.（2020?新全國(guó)1山東）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.（2019（新課標(biāo)Ⅱ））若a>b，則
A. ln(a?b)>0B. 3a0D. │a│>│b│
3.（2020?江蘇卷）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_______．
一、單選題
1.（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A. 13B. 19C. 21D. 27
2.（2022·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 8C. SKIPIF 1 < 0 D. 10
3.（2022·重慶·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
二、多選題
4.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A. xy的最大值為 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值為1D. SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
5.（2022·廣東汕頭·一模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則以下不等式正確的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
6.（2022·江蘇泰州·一模）下列函數(shù)中最小值為6的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
三、填空題
7.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知正數(shù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___________.
8.（2022·江西九江·一模（理））若a，b為正實(shí)數(shù)，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，則ab的最大值為_(kāi)_____．
判別式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)
有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
沒(méi)有實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)

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