注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列舉法表示出集合后，結(jié)合交集定義即可得解.
【詳解】依題意，，，所以.
故選：D.
2. “”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出“點(diǎn)在圓內(nèi)”的充要條件，對比即可得解.
【詳解】點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以“”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的充分不必要條件.
故選：A.
3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由排除D，由奇偶性排除B，由在時的單調(diào)性即可排除C，最后驗(yàn)證A符合題意即可.
【詳解】對于D，函數(shù)中，，所以排除D；
對于B，顯然，都為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
且也是奇函數(shù)，理由如下：
的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且，所以是奇函數(shù)
所以，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以排除B；
對于C，當(dāng)時，（由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷），同時單調(diào)遞增，且同時非負(fù)，
所以在時也單調(diào)遞增，所以排除C；
經(jīng)檢驗(yàn)A選項(xiàng)符合題意.
故選：A.
4. x?1x25x52+2展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. B. 0C. 5D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】直接由二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】展開式中的通項(xiàng)為，
所以x?1x25x52+2展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：B.
5. 若，，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 16D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】直接運(yùn)用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為16.
故選：C.
6. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若直線與圖象兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】有圖象可得函數(shù)周期，即可得，由的值結(jié)合圖象及的范圍可得，即可得解.
【詳解】由圖象可得的周期為，所以，
因?yàn)?，且，所以或?br>因?yàn)樵趩握{(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，所以.
故選：C.
7. 若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A. 76B. 38C. 19D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可知函數(shù)關(guān)于對稱，然后再通過，求解數(shù)列an的通項(xiàng)，進(jìn)而求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
又，，
所以，，
所以，所以，
所以，，
所以.
故選:A.
8. 若為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，要使AB取得最小值，從而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，觀察得到，求出此時點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出AB的最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增，且f′x也單調(diào)遞增，
若，則，顯然不符合題意；
設(shè)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以AB取得最小值，
令，
則，
令，則且，
令，則，
顯然在0,+∞上單調(diào)遞增，又，，
所以存在使得，即，
所以當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值即最小值，
又
，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，當(dāng)時，
所以，所以恒成立，
即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，
此時，所以AB取得最小值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)處的切線與垂直，求出，其中說明函數(shù)的單調(diào)性是一個難點(diǎn).
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 實(shí)部為2B. 的虛部是
C. D. 在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
【答案】AC
【解析】
【分析】首先由共軛復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等求得即可判斷AB，結(jié)合模的計算公式以及復(fù)數(shù)的幾何意義可依次判斷CD.
【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以，，所以z=2+i，，
對于A，所以的實(shí)部為2，所以A正確；
對于B，的虛部是，所以B錯誤；
對于C，，所以C正確；
對于D，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以D錯誤.
故選：AC.
10. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸的左、右端點(diǎn)分別為，，虛軸的上、下端點(diǎn)分別為，，斜率為的直線經(jīng)過且與的左支交于兩個不同的點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（ ）
A. B. 四邊形的周長小于24
C. D. 面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，求出實(shí)軸長度即可判斷；對于B，由勾股定理即可判斷；對于C，畫出圖形即可判斷；對于D，結(jié)合雙曲線定義、余弦定理得，進(jìn)一步結(jié)合三角形面積公式即可求解.
【詳解】對于A，的實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距，漸近線方程為，所以，所以A正確；
對于B，四邊形的周長為，所以B正確；
對于C，作出與其漸近線，直接由圖形得，，所以C錯誤；

對于D，不妨設(shè)位于的左支，則，
所以①，
因?yàn)?，所以?br>所以②，
所以得，，
所以三角形的面積為，所以D正確.
故選：ABD.
11. 已知正三棱臺上、下底面的邊長及高分別為，，2，則正三棱臺的（ ）
A. 斜高為B. 體積為
C. 側(cè)棱與底面所成角為D. 外接球的表面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，通過分析得出，，，結(jié)合勾股定理驗(yàn)算即可；對于B，直接由棱臺體積公式驗(yàn)算即可；對于C，顯然側(cè)棱與底面所成的角為，結(jié)合解三角形知識驗(yàn)算即可；對于D，顯然外接球的球心在直線上，設(shè)，列方程可求出以及外接球半徑，進(jìn)一步即可驗(yàn)算.
【詳解】對于A，如圖，
在正三棱臺中，設(shè)，分別為上下底面的中心，D1，分別為，的中點(diǎn)，
因?yàn)樯系酌娴倪呴L，下底面的邊長分別為，，
所以，，，，
又，所以，所以A正確；
對于B，體積為，所以B錯誤；
對于C，側(cè)棱與底面所成的角為，在直角梯形中，由，，，
計算得，而，從而，所以C正確；
對于D，由已知得，外接球的球心在直線上，設(shè)，
由題得，，解得，
所以外接球的表面積為，所以D錯誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于求得外接圓半徑，由此即可順利得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知質(zhì)點(diǎn)，從點(diǎn)處分別以，的速度同時在圓上作逆時針運(yùn)動，若經(jīng)過，，第一次相遇，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意比多走一圈，可列關(guān)于的方程，由此即可得解.
【詳解】由已知得，經(jīng)過，，第一次相遇，此時比多走一圈，所以，所以.
故答案為：.
13. 已知，，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】借助向量垂直可得其數(shù)量積為，利用向量數(shù)量積公式與模長公式計算后結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系即可得解.
【詳解】由，則有，即，
又，
則，
故.
故答案為：
14. 已知直線與拋物線C:y2=4x交于，兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為1，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)中點(diǎn)縱坐標(biāo)，得到方程，求出，由焦半徑公式得到，由根據(jù)的判別式得到，從而得到的取值范圍.
【詳解】不妨設(shè)，，直線的方程為，
與聯(lián)立消去得，y2?4ky?4m=0，
此時必須，所以，
因?yàn)橹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以，所以，所以，
所以，又為拋物線的焦點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，所以，所?
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可求解；
（2）由題意得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為，
，，
，，
，.
【小問2詳解】
，，
（或）
，
.
16. 在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺）”與“當(dāng)年的月份”線性相關(guān)．根據(jù)統(tǒng)計得下表：
（1）根據(jù)往年的統(tǒng)計得，當(dāng)年的月份與銷量滿足回歸方程．請預(yù)測當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺？
（2）該銷售商從當(dāng)年的前6個月中隨機(jī)選取3個月，記為銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）72臺 （2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）計算出與y后，借助回歸直線過樣本中心點(diǎn)即可得回歸直線方程，再借助回歸直線方程代入計算即可得解；
（2）得出的所有可能取值后，計算每種取值對應(yīng)概率即可得其分布列，借助分布列計算即可得其期望.
【小問1詳解】
，
，
又回歸直線過樣本中心點(diǎn)，
所以，得，
所以，
當(dāng)時，，
所以預(yù)測當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售72臺.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)為4，5，6，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列為：
.
17. 如圖，在三棱柱中，為底面重心，點(diǎn)分別在棱上，且

（1）求證：平面；
（2）若底面，且三棱柱的各棱長均相等，求平面與平面DOG的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，利用平行線比例關(guān)系，構(gòu)造輔助線，即可證明；
（2）根據(jù)底面特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，根據(jù)向量公式求二面角的余弦值.
【小問1詳解】
如圖，連接并延長，交于，延長線段，交于，連接．
因?yàn)闉榈酌嬷匦?，所以?br>又，
所以，所以，
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以．
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)為，連接．
因?yàn)榈酌?，且三棱柱的各棱長均相等，
所以直線兩兩互相垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)三棱柱的棱長為6，則，
所以．
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，即，可取
易知平面的一個法向量為．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為．
18. 已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時，求在上的值域；
（2）當(dāng)時，，，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，分析得出在上單調(diào)遞增，由此即可得解；
（2）連續(xù)求導(dǎo)，分是否大于2進(jìn)行討論即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，
且注意到的圖象是一條連續(xù)的曲線，
所以在上的值域?yàn)?
【小問2詳解】
當(dāng)時，，，
即在區(qū)間上成立.
則，
令，，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
所以在時單調(diào)遞增.可知.
當(dāng)a≤2時，，即，
所以在上單調(diào)遞增.
所以成立.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以使得，
當(dāng)時，，
即，即在上單調(diào)遞減，
所以，即，不成立，舍去，
綜上，a≤2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于連續(xù)求導(dǎo)后得出，故需對進(jìn)行分類討論，由此即可順利得解.
19. 我們把各邊與橢圓的對稱軸垂直或平行的的內(nèi)接四邊形叫做的內(nèi)接矩形．如圖，已知四邊形是的一個邊長為1的內(nèi)接正方形，，分別與軸交于，，且，為的兩個焦點(diǎn)．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是四邊形內(nèi)部的100個不同的點(diǎn)，線段，與軸分別交于，，記，其中，證明：，中至少有一個小于．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）依題意可得，再求出，即可求出，從而求出；
（2）連接并延長與交于點(diǎn)，連接，根據(jù)橢圓的定義得到，從而得到，再由對稱性得到，即可得證.
【小問1詳解】
依題意，焦距，所以，
連接，則，所以，
所以，所以，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即.
【小問2詳解】
連接并延長與交于點(diǎn)，連接（為了便于理解，解析圖中只做了兩條，其它類似），
則，
所以，
所以根據(jù)對稱性，
若，均不小于，則，與矛盾，
所以，中至少有一個小于.
月份
1
2
3
4
5
6
銷量
12
21
33
41
52
63
0
1
2
3

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