一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0 B．拋一枚硬幣，正面朝上
C．明天會(huì)下雨 D．打開(kāi)電視，正在播放新聞
3．已知一個(gè)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，6），則下列點(diǎn)中不在該函數(shù)的圖象上的是（ ）
A．（2，6） B．（1，1.5） C．（﹣1，1.5） D．（2，8）
4．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．半圓是弧，弧也是半圓 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．平分弦的直徑垂直于弦 D．直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦
5．設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線(xiàn)y=﹣（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點(diǎn)C，若AB=8，CD=3，則⊙O的半徑為（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．在一個(gè)不透明的盒子中裝有n個(gè)小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有4個(gè)白球，每次試驗(yàn)前，將盒子中的小球搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒中．大量重復(fù)上述試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4，那么可以推算出n大約是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
8．如圖所示的暗礁區(qū)，兩燈塔A，B之間的距離恰好等于圓的半徑，為了使航船（S）不進(jìn)入暗礁區(qū)，那么S對(duì)兩燈塔A，B的視角∠ASB必須（ ）
A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
9．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠PAB=∠PBC，則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
10．如圖，直線(xiàn)y=kx+c與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的D點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，且OA=OD．直線(xiàn)y=kx+c與x軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)）．則下列命題中正確命題的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤
二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．從長(zhǎng)度為2，3，5，7的四條線(xiàn)段中任意選取三條，這三條線(xiàn)段能構(gòu)成三角形的概率等于 ．
12．拋物線(xiàn)y=﹣（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
13．已知△ABC的邊BC=2 SHAPE \* MERGEFORMAT cm，且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O，則∠A= 度．
14．如圖，△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)C恰好落在AB上，且∠AOD的度數(shù)為90°，則∠B的度數(shù)是 ．
15．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，弦PQ∥AB交弦CD于點(diǎn)M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長(zhǎng)為 ．
16．在第一象限內(nèi)作射線(xiàn)OC，與x軸的夾角為60°，在射線(xiàn)OC上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，在拋物線(xiàn)y=x2（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得以P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ．
三、解答題（6+8+8+10+10+12+12=66分）
17．如圖，
（1）作△ABC的外接⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半徑．
18．甲、乙兩人同在如圖所示的地下車(chē)庫(kù)等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯，
（1）請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；
（2）小亮和小芳打賭說(shuō)：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說(shuō)明理由．
19．如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求證：AD=CE．
20．某商店購(gòu)進(jìn)一種商品，每件商品進(jìn)價(jià)30元．試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與每件銷(xiāo)售價(jià)x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：
（1）已知y與x滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；
（2）如果商店銷(xiāo)售這種商品，每天要獲得150元利潤(rùn)，那么每件商品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）設(shè)該商店每天銷(xiāo)售這種商品所獲利潤(rùn)為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大？
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．
（1）求△ABC的外接圓的圓心點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長(zhǎng)．
22．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米．
（1）如圖1，若把橋看做是拋物線(xiàn)的一部分，建立如圖坐標(biāo)系．
①求拋物線(xiàn)的解析式； ②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？
（2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分．
①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在拋物線(xiàn)y=ax2+ax﹣2上．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）拋物線(xiàn)的解析式為 ；
（3）設(shè)（2）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；
（4）在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（ ）
A．y=3x﹣1B．y=ax2+bx+cC．s=2t2﹣2t+1D．y=x2+
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得答案．
【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
C、s=2t2﹣2t+1是二次函數(shù)，故C正確；
D、y=x2+不是二次函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：C．

2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0B．拋一枚硬幣，正面朝上
C．明天會(huì)下雨D．打開(kāi)電視，正在播放新聞
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．
【分析】根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，可得答案．
【解答】解：A、若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0是必然事件，故A正確；
B、是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；
C、是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；
D、是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤；
故選：A．

3．已知一個(gè)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，6），則下列點(diǎn)中不在該函數(shù)的圖象上的是（ ）
A．（2，6）B．（1，1.5）C．（﹣1，1.5）D．（2，8）
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【分析】先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，再依次將各選項(xiàng)的點(diǎn)代入解析式即可作出判斷．
【解答】解：把（﹣2，6）代入y=ax2（a≠0）中得：4a=6，
a=，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=，
A、當(dāng)x=2時(shí)，y=×22=6，所以點(diǎn)（2，6）在該函數(shù)的圖象上；
B、當(dāng)x=1時(shí)，y=×12=1.5，所以點(diǎn)（1，1.5）在該函數(shù)的圖象上；
C、當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=×（﹣1）2=1.5，所以點(diǎn)（﹣1，1.5）在該函數(shù)的圖象上；
D、當(dāng)x=2時(shí)，y=×22=6，所以點(diǎn)（2，8）不在該函數(shù)的圖象上；
故選D．

4．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．半圓是弧，弧也是半圓B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．平分弦的直徑垂直于弦D．直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦
【考點(diǎn)】確定圓的條件；垂徑定理．
【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、當(dāng)被平分的弦為直徑時(shí)，兩直徑不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦，故本選項(xiàng)正確，
故選D．

5．設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線(xiàn)y=﹣（x+1）2+3上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可利用對(duì)稱(chēng)性，找出點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大?。?br>【解答】解：∵函數(shù)的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右圖，
∴對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣1，
∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的點(diǎn)A′是（0，y1），
那么點(diǎn)A′、B、C都在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，而對(duì)稱(chēng)軸右邊y隨x的增大而減小，
于是y1＞y2＞y3．
故選A．

6．如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點(diǎn)C，若AB=8，CD=3，則⊙O的半徑為（ ）
A．4B．5C．D．
【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．
【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣3，再根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，由勾股定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣3，
∵半徑OD與弦AB互相垂直，AB=8，
∴AC=AB=4．
在Rt△AOC中，OA2=OC2+AC2，即r2=（r﹣3）2+42，解得r=．
故選C．

7．在一個(gè)不透明的盒子中裝有n個(gè)小球，它們除了顏色不同外，其余都相同，其中有4個(gè)白球，每次試驗(yàn)前，將盒子中的小球搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒中．大量重復(fù)上述試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4，那么可以推算出n大約是（ ）
A．10B．14C．16D．40
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率．
【分析】利用大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
【解答】解：∵通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4，
∴=0.4，
解得：n=10．
故選A．

8．如圖所示的暗礁區(qū)，兩燈塔A，B之間的距離恰好等于圓的半徑，為了使航船（S）不進(jìn)入暗礁區(qū)，那么S對(duì)兩燈塔A，B的視角∠ASB必須（ ）
A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°
【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外角性質(zhì)．
【分析】連接OA，OB，AB及BC，由AB等于圓的半徑，得到三角形AOB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，由同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，求出∠ACB的度數(shù)，再由∠ACB為△SCB的外角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角，可得∠ASB小于∠ACB，即可得到正確的選項(xiàng)．
【解答】解：連接OA，OB，AB，BC，如圖所示：
∵AB=OA=OB，即△AOB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠ACB與∠AOB所對(duì)的弧都為，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
又∠ACB為△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．
故選D

9．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠PAB=∠PBC，則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；圓周角定理．
【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問(wèn)題．
【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．
∴PC最小值為2．
故選B．

10．如圖，直線(xiàn)y=kx+c與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的D點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，且OA=OD．直線(xiàn)y=kx+c與x軸交于點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)）．則下列命題中正確命題的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤
【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【分析】由拋物線(xiàn)的開(kāi)口判斷a的符號(hào)；由對(duì)稱(chēng)軸判斷b及b與2a的關(guān)系；由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)；由拋物線(xiàn)和直線(xiàn)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)判斷有關(guān)代數(shù)式的符號(hào)．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，
∴a＞0．
∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是x=1，
∴b＜0且b=﹣2a．
∵拋物線(xiàn)與y軸交于正半軸，
∴c＞0．
∴①abc＞0錯(cuò)誤；
∵b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正確；
∵b=﹣2a，
∴4a+2b+c=4a﹣4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0錯(cuò)誤；
∵直線(xiàn)y=kx+c經(jīng)過(guò)一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（c，0）．
直線(xiàn)y=kx+c當(dāng)x=c時(shí)，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞﹣1．
∴③﹣1＜k＜0正確；
∵直線(xiàn)y=kx+c與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2=．
由圖象知x2＞1，
∴＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正確，
即正確命題的是②③⑤．
故選B．

二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．從長(zhǎng)度為2，3，5，7的四條線(xiàn)段中任意選取三條，這三條線(xiàn)段能構(gòu)成三角形的概率等于 ．
【考點(diǎn)】概率公式；三角形三邊關(guān)系．
【分析】三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，本題只要把三邊代入，看是否滿(mǎn)足即可．把滿(mǎn)足的個(gè)數(shù)除以4即可得出概率．
【解答】解：長(zhǎng)度為2，3，5，7的四條線(xiàn)段中任意選取三條共有：
2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，
能構(gòu)成三角形的為：3、5、7，只有1組，因此概率為．

12．拋物線(xiàn)y=﹣（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （2，1） ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式，即可找出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)解析式為y=﹣（x﹣2）2+1，
∴該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
故答案為：（2，1）．

13．已知△ABC的邊BC=2 SHAPE \* MERGEFORMAT cm，且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O，則∠A= 60或120 度．
【考點(diǎn)】圓周角定理．
【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB=90°，由垂徑定理得出BD=CD=BC=cm，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BOD=∠COD=∠BOC，由三角函數(shù)求出∠BOD=60°，得出∠BOC=120°，由圓周角定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：分兩種情況：
①當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)；連接OB、OC，作OD⊥BC于D，如圖1所示：
則∠ODB=90°，BD=CD=BC=cm，∠BOD=∠COD=∠BOC，
∵sin∠BOD=，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠A=∠BOC=60°
②當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：
∠A=180°﹣60°=120°；
綜上所述：∠A的度數(shù)為60°或120°，
故答案為：60或120．

14．如圖，△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)C恰好落在AB上，且∠AOD的度數(shù)為90°，則∠B的度數(shù)是 60° ．
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，
∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，
∵∠AOD=90°，
∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，
∠ACO=∠A===70°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．
故答案為：60°．

15．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，弦PQ∥AB交弦CD于點(diǎn)M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長(zhǎng)為 5 ．
【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．
【分析】作OF⊥PQ于F，連接OP，根據(jù)已知和圖形證明四邊形MEOF為正方形，設(shè)半徑為x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．
【解答】解：作OF⊥PQ于F，連接OP，
∴PF=PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四邊形MEOF為矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四邊形MEOF為正方形，
設(shè)半徑為x，則OF=OE=18﹣x，
在直角△OPF中，
x2=122+（18﹣x）2，
解得x=13，
則MF=OF=OE=5，
∴OM=5．
故答案為：5．

16．在第一象限內(nèi)作射線(xiàn)OC，與x軸的夾角為60°，在射線(xiàn)OC上取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，在拋物線(xiàn)y=x2（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得以P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是 （，3）或（，）或（，）或（2，2） ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【分析】由于兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分四種情況進(jìn)行討論：
①∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)A、P重合，可聯(lián)立直線(xiàn)OA和拋物線(xiàn)的解析式，即可得A點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
②∠POQ=∠AOH=60°，此時(shí)∠POH=30°，即直線(xiàn)OP：y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OQ、PQ的長(zhǎng)，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)△OQP≌△AOH，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：①如圖1，當(dāng)∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=60°，
∴直線(xiàn)OA：y=x，
聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式得：，
解得：或，
故A（，3）；
②當(dāng)∠POQ=∠AOH=60°，此時(shí)△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，則直線(xiàn)y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，
得：，
解得：或，
故P（，），那么A（，）；
③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線(xiàn)y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，
得：，
解得：或，
故P（，），
∴OP==，QP=，
∴OH=OP=，AH=QP=，
故A（，）；
④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)△OQP≌△AOH；
此時(shí)直線(xiàn)y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，
得：，
解得：或，
∴P（，3），
∴QP=2，OP=2，
∴OH=QP=2，AH=OP=2，
故A（2，2）．
綜上可知：符合條件的點(diǎn)A有四個(gè)，分別為：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．
故答案為：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．

三、解答題（6+8+8+10+10+12+12=66分）
17．如圖，
（1）作△ABC的外接⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半徑．
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖．
【分析】（1）作線(xiàn)段AB于BC的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為圓心，OA為半徑，作△ABC的外接圓即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，設(shè)OC=OA=r，則OD=CD﹣r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：（1）如圖，⊙O即為所求；
（2）∵AB=6cm，AC=BC=5cm，
∴AD=AB=3cm，
∴CD===4cm．
設(shè)OC=OA=r，則OD=4﹣r，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2=OA2，即32+（4﹣r）2=r2，解得r=．

18．甲、乙兩人同在如圖所示的地下車(chē)庫(kù)等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯，
（1）請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；
（2）小亮和小芳打賭說(shuō)：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】游戲公平性；列表法與樹(shù)狀圖法．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲乙在同一個(gè)樓層的情況數(shù)，即可求出所求的概率；
（2）分別求出兩人獲勝的概率比較得到公平與否．
【解答】解：（1）列表如下：
一共出現(xiàn)16種等可能結(jié)果，其中出現(xiàn)在同一層樓梯的有四種結(jié)果，
∴P（甲、乙在同一層樓梯）==；
（2）不公平，理由為：
由（1）列知：甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結(jié)果
故P（小亮勝）=P（同層或相鄰樓層）==，P（小芳勝）=1﹣=，
∵＞，
∴游戲不公平．

19．如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求證：AD=CE．
【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．
【分析】欲證明AD=CE，只需證明=即可．如圖，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義易證得∠C=∠CAD，所以=，則+=+，故=．
【解答】證明：如圖，∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴=，
∴+=+，
∴=，
∴AD=CE．

20．某商店購(gòu)進(jìn)一種商品，每件商品進(jìn)價(jià)30元．試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與每件銷(xiāo)售價(jià)x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：
（1）已知y與x滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；
（2）如果商店銷(xiāo)售這種商品，每天要獲得150元利潤(rùn)，那么每件商品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）設(shè)該商店每天銷(xiāo)售這種商品所獲利潤(rùn)為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解出解析式即可；
（2）根據(jù)題意列出方程解答即可；
（3）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式的最值解答即可．
【解答】解：（1）設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，根據(jù)題意，得
，
解得：．
故該函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣2x+100；
（2）根據(jù)題意得，
（﹣2x+100）（x﹣30）=150，
解這個(gè)方程得，x1=35，x2=45，
故每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為35元或45元時(shí)日利潤(rùn)為150元；
（3）根據(jù)題意，得
w=（﹣2x+100）（x﹣30）
=﹣2x2+160x﹣3000
=﹣2（x﹣40）2+200，
∵a=﹣2＜0 則拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，
即當(dāng)x=40時(shí)，w的值最大，
∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為40元時(shí)獲得利潤(rùn)最大．

21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．
（1）求△ABC的外接圓的圓心點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)解答；
（2）連接OM，作MN⊥DE于N，根據(jù)勾股定理求出DN，根據(jù)垂徑定理求出DE．
【解答】解：（1）∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），
∴線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)是x=﹣2，
∵A（2，2），C（2，﹣4），
∴線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)是y=﹣1，
∴△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1）；
（2）連接OM，作MN⊥DE于N，
由題意得，AC=6，BC=8，
由勾股定理得，AB=10，
則DN==2，
由垂徑定理得，DE=2DN=4．

22．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米．
（1）如圖1，若把橋看做是拋物線(xiàn)的一部分，建立如圖坐標(biāo)系．
①求拋物線(xiàn)的解析式； ②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？
（2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分．
①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過(guò)，則其寬度須不超過(guò)多少米？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；垂徑定理的應(yīng)用．
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②根據(jù)題意得出y=3時(shí)，求出x的值即可；
（2）①構(gòu)造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；
②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．
【解答】解：（1）①設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：y=ax2+c，
∵橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），
∴，
解得：
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=，
②∵要使高為3米的船通過(guò)，
∴y=3，則3=，
解得：x=±5，
∴EF=10米；
（2）①設(shè)圓半徑r米，圓心為W，
∵BW2=BC2+CW2，
∴r2=（r﹣4）2+102，
解得：r=14.5；
②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，
根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，
即GF2=14.52﹣13.52=28，
所以GF=2，
此時(shí)寬度EF=4米．

23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在拋物線(xiàn)y=ax2+ax﹣2上．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （0，2） ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （﹣3，1） ；
（2）拋物線(xiàn)的解析式為 y=x2+x﹣2 ；
（3）設(shè)（2）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；
（4）在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出OE、BE的長(zhǎng)即可求出B的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，求出a的值，即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD的解析式，然后求出CF的長(zhǎng)，再根據(jù)S△DBC=S△CEB+S△CED進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出點(diǎn)P1點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)；點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)P不在拋物線(xiàn)上．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，0），AC=，
∴OA===2，
∴A（0，2）；
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC與△CFB中，
∵，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐標(biāo)為（﹣3，1），
故答案為：（0，2），（﹣3，1）；
（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：
1=9a﹣3a﹣2，
解得a=，
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=x2+x﹣2．
故答案為：y=x2+x﹣2；
（3）由（2）中拋物線(xiàn)的解析式可知，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D（﹣，﹣），
設(shè)直線(xiàn)BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：
，
解得．
∴BD的關(guān)系式為y=﹣x﹣．
設(shè)直線(xiàn)BD和x 軸交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（﹣，0），CE=．
∴S△DBC=××（1+）=；
（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；
則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P1（1，﹣1）；
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；
i）則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（2，1），
ii）若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．
過(guò)P3作P3G⊥y軸于G，
同理，△AGP3≌△CAO，
∴GP3=OA=2，AG=OC=1，
∴P3為（﹣2，3）．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，﹣1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線(xiàn)y=x2+x﹣2上，點(diǎn)P3（﹣2，3）不在拋物線(xiàn)上．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，﹣1）與P2（2，1）．

2017年1月18日x
30
32
34
36
y
40
36
32
28
甲
乙
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28

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