新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題1.2 不等式及其應(yīng)用【八大題型】（舉一反三）（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc26726" 【題型1 不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26726 \h 3
\l "_Tc18214" 【題型2 利用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc18214 \h 4
\l "_Tc20316" 【題型3 基本不等式中的恒成立、存在性問題】 PAGEREF _Tc20316 \h 6
\l "_Tc22597" 【題型4 一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc22597 \h 8
\l "_Tc27673" 【題型5 其他不等式的解法】 PAGEREF _Tc27673 \h 10
\l "_Tc11107" 【題型6 由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 PAGEREF _Tc11107 \h 12
\l "_Tc10730" 【題型7 一元二次不等式恒成立問題】 PAGEREF _Tc10730 \h 14
\l "_Tc13074" 【題型8 一元二次不等式有解問題】 PAGEREF _Tc13074 \h 17
1、不等式
不等式與基本不等式的性質(zhì)、求解、證明以及應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值問題。但不等式的相關(guān)知識往往可以滲透到高考的各個知識領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難度中檔，其中在解析幾何中利用基本不等式求解范圍或解決導(dǎo)數(shù)問題時利用不等式進(jìn)行求解，難度偏高。
【知識點(diǎn)1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】
1．等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1 如果a＝b，那么b＝a；
性質(zhì)2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質(zhì)3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性質(zhì)
(1)如果a>b，那么bb?bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【知識點(diǎn)2 基本不等式】
1. 兩個不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
2．基本不等式與最值
已知x，y都是正數(shù)，
(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．
【知識點(diǎn)3 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：
①通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；
②計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；
③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；
④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．
(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：
①若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；
②若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；
③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．
2．分式、高次、絕對值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步驟：
①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
②對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步驟：
高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標(biāo)準(zhǔn)化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.
(3)解絕對值不等式的一般步驟：
對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性問題
不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac0，,Δ＝b2－4ac≤0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解.
【解答過程】對于A， ，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；
對于B，，所以，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；
對于D，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
故選：ABD.
4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4B．8C．16D．32
【解題思路】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.
【解答過程】
雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)
不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限
聯(lián)立，解得
故
聯(lián)立，解得
故

面積為：
雙曲線
其焦距為
當(dāng)且僅當(dāng)取等號
的焦距的最小值：
故選：B.
5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為 ．
【解題思路】兩次利用基本不等式即可求出.
【解答過程】 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為 4 ．
【解題思路】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.
【解答過程】，,
，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，
結(jié)合,解得，或時，等號成立.
故答案為：.
7．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是 ．
【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【解答過程】∵
∴且
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
∴的最小值為.
故答案為：.
8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）證明：ab+bc+ca0,b>0)
當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”