2021-2022學(xué)年甘肅省定西市臨洮縣八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

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要使式子有意義，則的取值范圍是
A. B. C. D.
下列計算正確的是
A. B. C. D.
下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是
A. B. C. D.
一個直角三角形的兩邊長分別為、，則第三條邊長為
A. B. C. D. 或
在下列長度的各組線段中，能組成直角三角形的是
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
已知平行四邊形的周長為，，則的長為
A. B. C. D.
順次連接矩形四邊中點得到的四邊形一定是
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四邊形
菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是
A. 對角線互相平分B. 四條邊都相等
C. 對角相等D. 鄰角互補
如圖，在?中，已知，，平分交邊于點，則等于
A. B. C. D.
如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是
A. 當(dāng)時，它是菱形
B. 當(dāng)時，它是菱形
C. 當(dāng)時，它是矩形
D. 當(dāng)時，它是正方形
二．填空題（本題共8小題，共24分）
已知直角三角形的兩條直角邊長分別是和，則斜邊上的高線長是______．
函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．
如果，則的值為______．
如圖，已知中，，，，那么邊上的中線的長為______．
若矩形的對角線長為，兩條對角線的一個交角為，則該矩形的面積為______．
平行四邊形的周長是，，相交于點，的周長比的周長大，則______．
已知菱形中，對角線與交于點，，，則該菱形的面積是______．
如圖，，分別是正方形的邊、上的點．且，、相交于點，下列結(jié)論：，，，中，錯誤的有______ 只填序號
三．解答題（本題共10小題，共66分）
；
．
如圖，有兩棵樹，一棵高米，另一棵高米，兩樹相距米．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多少米？
已知：如圖，點是正方形的邊上一點，點是的延長線上一點，且求證：．
先化簡再求值：，其中，．
如圖，四邊形是菱形，，，于點，求的長．
如圖，四邊形是平行四邊形，，，，求、以及平行四邊形的面積．
如圖，在四邊形中，、、、分別是、、、的中點．求證：四邊形是平行四邊形．
如圖，在矩形中，，，將矩形沿對角線折疊，點落在處，求重疊部分的面積．
如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
問題解決：如圖，在矩形中，點，分別在，邊上，，于點．
求證：四邊形是正方形；
延長到點，使得，判斷的形狀，并說明理由．
類比遷移：如圖，在菱形中，點，分別在，邊上，與相交于點，，，，，求的長．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根據(jù)題意得，，
解得．
故選：．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于列式計算即可得解．
本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
2.【答案】
【解析】解：、，故本選項正確．
B、，故本選項錯誤；
C、，故本選項錯誤；
D、，故本選項錯誤．
故選：．
根據(jù)二次根式的加法及乘法法則進行計算，然后判斷各選項即可得出答案．
本題考查了二次根式的混合運算，難度不大，解答本題一定要掌握二次根式的混合運算的法則．
3.【答案】
【解析】解：，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；
，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；
，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式；
是最簡二次根式，
故選：．
根據(jù)最簡二次根式的條件進行判斷即可．
本題考查的是最簡二次根式的概念，最簡二次根式的條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．
4.【答案】
【解析】解：當(dāng)兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為；
當(dāng)為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為；
故直角三角形的第三邊應(yīng)該為或．
故選：．
題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應(yīng)該分情況進行分析．
此題主要考查學(xué)生對勾股定理的運用，注意分情況進行分析．
5.【答案】
【解析】解：、因為，所以不能組成直角三角形；
B、因為，所以不能組成直角三角形；
C、因為，所以能組成直角三角形；
D、因為，所以不能組成直角三角形．
故選：．
欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，能利用平行四邊形的性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)，即可求出答案．
【解答】
解：四邊形是平行四邊形，
，，
平行四邊形的周長是，，
，
．
故選B．
7.【答案】
【解析】解：如圖，連接、．
在中，
，，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四邊形為菱形．
故選：．
三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．需注意新四邊形的形狀只與對角線有關(guān)，不用考慮原四邊形的形狀．
本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：定義，四邊相等，對角線互相垂直平分．
8.【答案】
【解析】解：、對角線互相平分是平行四邊形的基本性質(zhì)，兩者都具有，故A不選；
B、菱形四條邊相等而矩形四條邊不一定相等，只有矩形為正方形時才相等，故B符合題意；
C、平行四邊形對角都相等，故C不選；
D、平行四邊形鄰角互補，故D不選．
故選：．
與平行四邊形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相等．
考查菱形和矩形的基本性質(zhì)．
9.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以推導(dǎo)出等角，進而得到等腰三角形，推得，根據(jù)、的值，求出的長．
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定；在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此題主要考查學(xué)生對正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，學(xué)生答題時容易出錯．
根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．
【解答】
解：、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形是平行四邊形，當(dāng)時，它是菱形，故A選項正確；
B、四邊形是平行四邊形，設(shè)和交于點，，，，，
，四邊形是菱形，故B選項正確；
C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；
D、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)時，它是矩形，不是正方形，故D選項錯誤；
綜上所述，符合題意是選項；
故選：．
11.【答案】
【解析】解：根據(jù)勾股定理，斜邊長為，
根據(jù)面積相等，設(shè)斜邊上的高為，
列方程得：，
解得．
故答案為：．
根據(jù)勾股定理先求出斜邊，再根據(jù)面積相等，即可求出斜邊上的高．
本題考查勾股定理的知識，注意利用面積相等來解題，是解決直角三角形問題的常用的方法，可有效簡化計算．
12.【答案】且
【解析】解：根據(jù)題意得：，
解得：且．
故答案是：且．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于，分母不等于，就可以求解．
本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．
首先利用偶次方的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)進而得出，的值，進而求出答案．
【解答】
解：，
，，
則．
故答案為：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半解決此題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明確了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半之后此題就不難了．
由勾股定理的逆定理，判斷三角形為直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)直接求解．
【解答】
解：，，，
又，
是直角三角形，
，
故答案為．

15.【答案】
【解析】解：為矩形
一個角是
根據(jù)勾股定理
面積．
故答案為．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，畫出圖形求解．
本題考查的知識點有：矩形的性質(zhì)、勾股定理．
16.【答案】
【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，，；
又的周長比的周長大，
，
又?的周長是，
，
．
故答案為．
如圖：由四邊形是平行四邊形，可得，，，；又由的周長比的周長大，可得，又因為?的周長是，所以；解方程組即可求得．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分．解題時要注意利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．
17.【答案】
【解析】解：四邊形是菱形，
，，，
，，
，
，，
，
該菱形的面積是：．
故答案為：．
首先由四邊形是菱形，求得，，，然后在直角三角形中，利用角所對的直角邊等于斜邊的一半與勾股定理即可求得的長，然后由菱形的面積等于其對角線積的一半，即可求得該菱形的面積．
此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用，注意菱形的面積等于其對角線積的一半．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題但難度不大．
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，然后求出，再證明和全等，可得，從而判定出正確；再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后證明，再得到，從而得出，判斷正確；假設(shè)，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊從而判斷錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得，然后都減去的面積，即可得解，從而判斷正確．
【解答】
解：在正方形中，，，
，
，
即，
在和中，，
≌，
，故正確；
，
，
，
在中，，
，故正確；
假設(shè)，
已證，
線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，
在中，，
，這與正方形的邊長相矛盾，
所以，假設(shè)不成立，，故錯誤；
≌，
，
，
即，故正確；
綜上所述，錯誤的有．
故答案為．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先把各二次根式化為最簡二次根式，然后把括號內(nèi)合并后進行二次根式的除法運算；
利用平方差公式和完全平方公式計算．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：如圖，設(shè)大樹高為，
小樹高為，
過點作于，則是矩形，
連接，
，，，
在中，，
故小鳥至少飛行．
【解析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．
本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．
21.【答案】證明：，，
，
，，
在與中，
≌，
．
【解析】由同角的余角相等知，，由正方形的性質(zhì)知，，，則證得≌．
此題即考查了實數(shù)的運算又考查了正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由同角的余角相等知，．
22.【答案】解：原式
，
當(dāng)，時，
原式
．
【解析】先通分算括號內(nèi)的，再將除化為乘，分解因式約分，化簡后將、的值代入．
本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，把分式化簡．
23.【答案】解：菱形面積是，
，，
，，
，
則，
解得．
【解析】利用已知的對角線求出菱形的面積以及菱形的邊長，再根據(jù)菱形面積底高求出長．
本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的兩個面積公式．
24.【答案】解：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
．
【解析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理．注意平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分．
由四邊形是平行四邊形，可求得，又由，利用勾股定理即可求得的長，然后由平行四邊形的對角線互相平分，求得的長，繼而求得平行四邊形的面積．
25.【答案】證明：連接，如圖所示．
點是的中點，點是的中點，
，．
同理，可得出：，，
，，
四邊形是平行四邊形．
【解析】連接，由點是的中點、點是的中點，可得出為的中線，進而可得出、，同理，可得出、，即、，再利用平行四邊形的判定定理即可證出四邊形是平行四邊形．
本題考查了中點四邊形、中線以及平行四邊形的判定，根據(jù)三角形中線定義找出、是解題的關(guān)鍵．
26.【答案】解：設(shè)，依題意可知，矩形沿對角線對折后有：
，，
≌
在中有
即
解得．
．
【解析】矩形翻折后易知，利用直角三角形，用勾股定理求出長，也就是長，．
翻折中較復(fù)雜的計算，需找到翻折后相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理求解所需線段．
27.【答案】解：連接
，，，
，
在中，
，
是直角三角形，
，
，
．
答：四邊形的面積是．
【解析】先根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再利用三角形的面積公式求解即可．
本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀是解答此題的關(guān)鍵．
28.【答案】證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
四邊形是矩形，
四邊形是正方形；
解：是等腰三角形，
理由：由知四邊形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
是等腰三角形；
解：延長到點，使，連接，
四邊形是菱形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
．
【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由等角的余角相等可得，利用可得≌，由全等三角形的性質(zhì)得，即可得四邊形是正方形；
根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，利用可得≌，由全等三角形的性質(zhì)得，由已知可得，即可得是等腰三角形；
延長到點，使，連接，利用可得≌，由全等三角形的性質(zhì)得，，由已知可得，可得是等邊三角形，則，等量代換可得．
本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．