新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第49練 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（2份打包，原卷版+含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第49練 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第49練成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第49練成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析含解析doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共137頁， 歡迎下載使用。

一、單選題
1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（ ）

A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
【答案】C
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)可分析出相關(guān)性的問題，從而判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤
散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；
由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：C
二、解答題
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：
對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br>15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?br>7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；
(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表
（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
【答案】(1)
(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【詳解】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：
（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，
故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：
(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？
附：，
【答案】(1)A，B兩家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，
(2)有
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，
設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，
則；
B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，
設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，
則.
A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；
B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.
（2）列聯(lián)表
=，
根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得．
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；
（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
（2）
，則
（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為
5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：
（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?
（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?
附：
【答案】（1）75%；60%；
能.
【分析】根據(jù)給出公式計(jì)算即可
【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,
乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.
（2）,
故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
【A組 在基礎(chǔ)中考查功底】
一、單選題
1．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：
則y與x的線性回歸方程必過點(diǎn)（ ）
A．(0.5，3)B．(1.5，0)C．(1，2)D．(1.5，4)
【答案】D
【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，
所以該線性回歸方程必過點(diǎn)，
故選：D
2．中國茶文化博大精深、茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組建立了茶水冷卻時(shí)間x和茶水溫度y的一組數(shù)據(jù)，經(jīng)過分析，提出了四種回歸模型，①②③④四種模型的殘差平方和的值分別是1.23、0.80、0.12、1.36．則擬合效果最好的模型是（ ）
A．模型①B．模型②C．模型③D．模型④
【答案】C
【分析】根據(jù)殘差平方和與擬合效果的關(guān)系判定即可.
【詳解】殘差平方和越小則擬合效果越好,而模型③的值最小，所以C正確.
故選：C
3．某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表：
文化程度與月收入列聯(lián)表（單位：人）
由上表中數(shù)據(jù)計(jì)算得.如果認(rèn)為文化程度與月收入有關(guān)系，那么犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過（ ）
附表：
A．0.01B．0.025C．0.03D．0.05
【答案】D
【分析】根據(jù)卡方的計(jì)算，由表中數(shù)據(jù)即可得到求解.
【詳解】因?yàn)?，所以認(rèn)為文化程度與月收入有關(guān)系，那么犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過0.05.
故選:D.
4．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好
B．若變量x和y之間的樣本相關(guān)系數(shù)為，則變量x和y之間的負(fù)相關(guān)程度很強(qiáng)
C．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
D．在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量y平均增加3個(gè)單位
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的定義，以及線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】用決定系數(shù)來刻畫回歸效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故A正確；
若變量x和y之間的樣本相關(guān)系數(shù)為，r接近-1，則變量x和y之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)，故B正確；
比較兩個(gè)模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故C正確；
在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量y平均減小3個(gè)單位，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
5．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是( )
A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35
B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50
C．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為50
D．由列聯(lián)表可看出成績與班級(jí)有關(guān)系
【答案】D
【分析】根據(jù)成績優(yōu)秀的概率求得，進(jìn)而求得，結(jié)合比例判斷出正確答案.
【詳解】依題意，解得，由解得.
補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
甲班的優(yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，
，所以成績與班級(jí)有關(guān).所以D選項(xiàng)正確，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D
6．相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為．則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義：其絕對(duì)值越接近1，說明兩個(gè)變量越具有線性相關(guān)，以及負(fù)相關(guān)的意義作判斷即可．
【詳解】由散點(diǎn)圖可知這兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān)，所以．
因?yàn)樘蕹c(diǎn)后，剩下點(diǎn)的數(shù)據(jù)更具有線性相關(guān)性，更接近1，
所以 ．
故選：D．
7．為了研究高中學(xué)生中性別與對(duì)鄉(xiāng)村音樂態(tài)度（喜歡和不喜歡兩種態(tài)度）的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝8.01，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是認(rèn)為“性別與喜歡鄉(xiāng)村音樂有關(guān)系”的把握約為（ ）
附：
A．0.1%B．0.5%
C．99.5%D．99.9%
【答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合臨界值表判斷即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以認(rèn)為性別與喜歡鄉(xiāng)村音樂有關(guān)系的把握有99.5%.
故選：C
8．如圖給出了某種豆類生長枝數(shù)y（枝）與時(shí)間t（月）的散點(diǎn)圖，那么此種豆類生長枝數(shù)與時(shí)間的關(guān)系用下列函數(shù)模型近似刻畫最好的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖確定正確答案.
【詳解】從所給的散點(diǎn)圖可以看出圖象大約過和，
把這兩個(gè)點(diǎn)代入所給的四個(gè)解析式發(fā)現(xiàn)只有最合適，
另外，根據(jù)圖象可知，圖象呈指數(shù)增長的形式，也可在最合適.
故選：D.
9．已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)中關(guān)于的一元非線性回歸方程，已知，，，則（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】B
【分析】求出、的均值，根據(jù)樣本中心在回歸直線上求參數(shù)即可.
【詳解】由，，則，可得.
故選：B
10．如圖，5個(gè)數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法正確的是（ ）

A．樣本相關(guān)系數(shù)r變小
B．殘差平方和變大
C．決定系數(shù)變大
D．解釋變量x與響應(yīng)變量 y的相關(guān)性變?nèi)?br>【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)，殘差平方和以及決定系數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.
【詳解】由散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)后，與的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以變大，變大，殘差平方和變小.
故選：C
11．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)列于表中.已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，現(xiàn)有一對(duì)測量數(shù)據(jù)為，若該數(shù)據(jù)的殘差為0.6，則（ ）
A．23.4B．23.6C．23.8D．24.0
【答案】A
【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，從而得到，再將代入并加上殘差0.6即可得出答案.
【詳解】由題意可知，，，
將代入，即，解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
則.
故選：A.
12．某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，據(jù)統(tǒng)計(jì)得出了晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)（顆）之間的線性回歸方程：，且對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表：
如果晝夜溫差為時(shí)，那么種子的發(fā)芽數(shù)大約是（ ）
A．21顆B．23顆C．25顆D．27顆
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，求出樣本的中心點(diǎn)，進(jìn)而求出值，再代入計(jì)算作答.
【詳解】，
則樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為，代入，得.
可得，取，得，
如果晝夜溫差為時(shí)，那么種子的發(fā)芽數(shù)大約是23顆，
故選：B.
13．某中學(xué)課外活動(dòng)小組為了研究經(jīng)濟(jì)走勢，根據(jù)該市1999-2021年的GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）數(shù)據(jù)繪制出下面的散點(diǎn)圖：

該小組選擇了如下2個(gè)模型來擬合GDP值y隨年份x的變化情況，模型一：；模型二：，下列說法正確的是（ ）
A．變量y與x負(fù)相關(guān)
B．根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，模型一能更好地?cái)M合GDP值隨年份的變化情況
C．若選擇模型二，的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，通過模型計(jì)算得GDP值為70，實(shí)際GDP的值為71，則殘差為1
【答案】D
【分析】對(duì)于AB，由散點(diǎn)圖的變化趨勢分析判斷，對(duì)于C，由線性回歸方程的性判斷，對(duì)于D，結(jié)合殘差的定義判斷.
【詳解】對(duì)于A，由散點(diǎn)圖可知y隨年份x的增大而增大，所以變量y與x正相關(guān)，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由散點(diǎn)圖可知變量y與x的變化趨向于一條曲線，所以模型二能更好地?cái)M合GDP值隨年份的變化情況，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若選擇模型二：，令，則的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，通過模型計(jì)算得GDP值為70，實(shí)際GDP的值為71，則殘差為，所以D正確，
故選：D
14．新型冠狀病毒引起的肺炎疫情暴發(fā)以來，各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種針對(duì)性的治療方法，取得了不錯(cuò)的成效，某地開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示：
由表格可得Y關(guān)于x的非線性回歸方程為，則此回歸模型第5周的殘差為（ ）
A．0B．2C．3D．―2
【答案】D
【分析】利用樣本中心點(diǎn)求出，得到回歸方程，可計(jì)算第5周的預(yù)測值和回歸模型第5周的殘差.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以，取，得，所以第5周的預(yù)測值為144，
則此回歸方程第5周的殘差為．
故選：D
15．某學(xué)習(xí)小組用計(jì)算機(jī)軟件對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，樣本點(diǎn)的中心為．乙同學(xué)對(duì)甲的計(jì)算過程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)樣本點(diǎn)的中心為，求得m=9，然后利用樣本點(diǎn)的中心，由甲求得，，再由乙求得樣本點(diǎn)的中心，代入回歸直線方程求解.
【詳解】解：由題可知，假設(shè)甲輸入的為，為，
所以，，
所以，，
所以改為正確數(shù)據(jù)時(shí)得，，
所以樣本點(diǎn)的中心為，
將其代入回歸直線方程，得．
故選：D
16．已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，求得的回歸直線方程為，且．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和誤差較大，去除這兩點(diǎn)后重新求得的回歸直線方程的斜率為，則正確的是（ ）
A．變量與具有負(fù)相關(guān)關(guān)系
B．去除后的估計(jì)值增加速度變快
C．去除后回歸方程為
D．去除后相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2，3.75）的殘差為
【答案】D
【分析】運(yùn)用回歸直線方程的性質(zhì)、殘差的基本概念等進(jìn)行解題.
【詳解】解：選項(xiàng)A：因?yàn)槿コ盎貧w直線的斜率為，重新求得的回歸直線的斜率為，兩者均大于0，所以變量與具有正相關(guān)關(guān)系，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：去除前回歸直線的斜率為，去除后回歸直線的斜率為，去除前的斜率大于去除后的斜率，所以去除后的估計(jì)值增加速度變慢，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：去除前，則可得，設(shè)，，，，則去除后樣本中心設(shè)為，所以，，
又因?yàn)榛貧w直線方程的斜率為，所以去除后的回歸直線方程為，
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由C選項(xiàng)可知，去除后的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，則殘差為，所以選項(xiàng)D正確；
故選：D.
二、多選題
17．下面的各圖中，散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)r符合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，結(jié)合選項(xiàng)中的散點(diǎn)圖，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，且時(shí)正相關(guān)，時(shí)負(fù)相關(guān)，
A中，變量的散點(diǎn)圖是一條斜率小于0的直線上，所以相關(guān)系數(shù)，所以A正確；
B中，變量的散點(diǎn)圖是一條斜率大于0的直線上，所以相關(guān)系數(shù)，所以B不正確；
C中，變量的散點(diǎn)圖從左到右是向下的帶狀分布，所以相關(guān)系數(shù)，所以C正確；
D中，變量的散點(diǎn)圖中，之間的樣本相關(guān)關(guān)系非常不明顯，所以相關(guān)系數(shù)接近于0，所以D正確.
故選：ACD.
18．某制藥公司為了研究某種治療高血壓的藥物在飯前和飯后服用的藥效差異，隨機(jī)抽取了200名高血壓患者開展試驗(yàn)，其中100名患者飯前服藥，另外100名患者飯后服藥，隨后觀察藥效，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的等高條形圖，已知，且，則下列說法正確的是（ ）

A．飯前服藥的患者中，藥效強(qiáng)的頻率為
B．藥效弱的患者中，飯后服藥的頻率為
C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下，可以認(rèn)為這種藥物飯前和飯后服用的藥效有差異
D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下，不能認(rèn)為這種藥物飯前和飯后服用的藥效有差異
【答案】AC
【分析】根據(jù)等高條形圖即可得飯前飯后藥效強(qiáng)和弱的人數(shù)，即可判斷AB，計(jì)算卡方與臨界值比較即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，飯前服藥的100名患者中，藥效強(qiáng)的有80人，所以頻率為，故A正確；
對(duì)于B，飯前服藥的有20人藥效弱，飯后服藥的有70人藥效弱，所以藥效弱的有90名患者，飯后服藥的頻率為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，D，因?yàn)椋?br>故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下，可以認(rèn)為這種藥物飯前和飯后服用的藥效有差異，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：AC
19．以下四個(gè)命題，其中不正確的是（ ）
A．在對(duì)吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，(參考數(shù)據(jù)：) 若的觀測值滿足，那么在100個(gè)吸煙的人中約有99人患有肺病
B．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)就越接近于1
C．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，的觀測值越大，判定“兩變量有關(guān)系”的把握越大
D．回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)
【答案】ABD
【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)以及回歸直線相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A、B：的觀測值越大，判定“兩變量有關(guān)系”的可能性越大，故C正確
若的觀測值滿足，則有的可能性認(rèn)為兩者有關(guān)，故A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1，故B不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在回歸方程的兩側(cè)，不一定在回歸方程上，故D不正確；
故選：ABD.
20．“一粥一飯，當(dāng)思來之不易”，道理雖簡單，但每年我國還是有多億元的餐桌浪費(fèi)，被倒掉的食物相當(dāng)于億多人一年的口糧．為營造“節(jié)約光榮，浪費(fèi)可恥”的氛圍，某市發(fā)起了“光盤行動(dòng)”某機(jī)構(gòu)為調(diào)研民眾對(duì)“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況，在某大型餐廳中隨機(jī)調(diào)查了位來店就餐的客人，制成如下表所示的列聯(lián)表，通過計(jì)算得到的觀測值為已知，，則下列判斷正確的是（ ）
.
A．在該餐廳用餐的客人中大約有的客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”
B．在該餐廳用餐的客人中大約有的客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”
C．有的把握認(rèn)為“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)
D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)
【答案】AC
【分析】根據(jù)列聯(lián)表求出客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”的頻率，可判斷AB；再根據(jù)的觀測值的范圍并結(jié)合臨界值，可判斷CD．
【詳解】由列聯(lián)表得到在該餐廳用餐的客人中，客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”的頻率約為，
由頻率估計(jì)概率得，在該餐廳用餐的客人中大約有的客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)榈挠^測值為，且，
故有的把握認(rèn)為“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)，
或者說在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
21．如圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與對(duì)應(yīng)年份編號(hào)的散點(diǎn)圖（為便于計(jì)算，將2013年編號(hào)為1，2014年編號(hào)為2，…，2018年編號(hào)為6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)作為預(yù)報(bào)變量，把年份編號(hào)作為解釋變量進(jìn)行回歸分析），得到回歸直線方程為，其相關(guān)系數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份編號(hào)的正相關(guān)性較強(qiáng)
B．在2014—2018年間，2016年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)增加量最多
C．公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年約增加14
D．可預(yù)測2022年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)為3232
【答案】AC
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖和回歸方程逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，因?yàn)榻咏?，所以公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份編號(hào)的相關(guān)性較強(qiáng)，故A正確；
由圖可知，在2014—2018年間，2015年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)增加量最多，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)榛貧w直線的斜率為13.743，所以公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年約增加14，故C正確；
將代入回歸直線方程，解得，所以可預(yù)測2022年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)為，故D錯(cuò)誤．
故選：AC
22．若冬季晝夜溫差x（單位：）與某新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)量y（單位：顆）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法近似得到線性回歸方程為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．y與x具有正相關(guān)關(guān)系
B．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為
C．若冬季晝夜溫差的大小為，則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)一定是35顆
D．若冬季晝夜溫差增加1 ℃，則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加3.8顆
【答案】ABD
【分析】根據(jù)線性回歸方程的相關(guān)計(jì)算，結(jié)合題意，進(jìn)行逐一分析即可.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)榛貧w直線的斜率為3.8，所以與具有正相關(guān)關(guān)系，A正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則殘差為，B正確；
對(duì)C，回歸直線方程只可預(yù)測，不是確定的值，故C錯(cuò)誤.
對(duì)D，冬季晝夜溫差增加，則發(fā)芽數(shù)量的增加量即為回歸直線方程的斜率，
則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加3.8顆，D正確；
故選：ABD.
23．在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表：
已知，，根據(jù)上面的列聯(lián)表，若依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為這兩個(gè)分類變量A和B沒有關(guān)系，則下列選項(xiàng)中m可能取到的為（ ）
A．200B．720C．100D．800
【答案】BD
【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中m的值，計(jì)算的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，即可判斷答案.
【詳解】由題意得，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
故只有B，D符合題意，可以認(rèn)為這兩個(gè)分類變量A和B沒有關(guān)系，
故選：BD
24．某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為．經(jīng)過分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，以下結(jié)論中，正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】去掉“離群點(diǎn)”F后，兩變量的線性相關(guān)性更強(qiáng)，由此可判斷A，B的正誤；回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，可求，判斷C的正誤；回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，可求，判斷D的正誤.
【詳解】由題圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故，，故A正確；
去掉“離群點(diǎn)”F后，兩變量的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故，故B錯(cuò)誤；
設(shè)去掉“離群點(diǎn)”F前的樣本中心點(diǎn)為，
由散點(diǎn)圖可得：，，
可知回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，
所以，故C正確；
設(shè)去掉“離群點(diǎn)”F后的樣本中心點(diǎn)為，
由散點(diǎn)圖可得：，，
回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，
所以，得，即，故D正確，
故選：ACD.
三、填空題
25．下列命題：
①線性回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)；
②如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)r就越接近于1；
③當(dāng)相關(guān)性系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；
④殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高；
⑤甲、乙兩個(gè)模型的分別約為0.88和0.80，則模型乙的擬合效果更好．
其中正確的命題有 ．（填序號(hào)）
【答案】①③
【分析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)與相關(guān)系數(shù)的概念及相關(guān)指數(shù)的概念判斷即可；
【詳解】解：①線性回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，正確；
②如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)就越接近于1，不正確，
應(yīng)為相關(guān)性系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1；
③當(dāng)相關(guān)性系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，正確；
④殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，不正確；
⑤甲、乙兩個(gè)模型的分別約為0.88和0.80，則模型乙的擬合效果更好，不正確，
應(yīng)為模型甲的擬合效果更好．
故答案為：①③
26．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠震生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如表所示：若線性相關(guān)，線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，的預(yù)測值為 萬盒．
【答案】
【分析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)求得，進(jìn)而求得預(yù)測值.
【詳解】，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，萬盒.
故答案為：
27．已知的取值如下表：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸直線方程為，則表中第2個(gè)記錄數(shù)據(jù)的殘差 .
【答案】
【分析】利用回歸方程求出時(shí)的預(yù)測值，再求出殘差作答.
【詳解】關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，
所以表中第2個(gè)記錄數(shù)據(jù)的殘差.
故答案為：
28．某食品研究部門為了解一種酒品的儲(chǔ)藏年份與芳香度之間的相關(guān)關(guān)系，在市場上收集到了一部分不同年份的該酒品，并測定了其芳香度（如下表）.
由最小二乘法得到線性回歸方程，但不小心在檢測后滴到表格上一滴檢測液，污損了一個(gè)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你推斷該數(shù)據(jù)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)回歸方程過樣本中心點(diǎn)，結(jié)合表格數(shù)據(jù)可構(gòu)造方程求得污損數(shù)據(jù).
【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，
設(shè)污損的數(shù)據(jù)為，則，
，解得：，即污損的數(shù)據(jù)為.
故答案為：.
29．某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：
為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝≈4.844，因?yàn)棣?>3.841，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性最大為 ．
附：
【答案】5%
【分析】根據(jù)臨界值表結(jié)合已知數(shù)據(jù)分析判斷
【詳解】因?yàn)椋?br>所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)，出錯(cuò)的可能性最大為5%.
故答案為：5%.
30．某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x（單位：）與水生植物的株數(shù)y（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合x與y的關(guān)系，設(shè)，x與z的數(shù)據(jù)如表格所示：
得到x與z的線性回歸方程，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，求得，進(jìn)而代入回歸方程可求得，從而得出，聯(lián)立，即可求得本題答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，則.
故答案為：
四、解答題
31．新疆農(nóng)科所在土壤環(huán)境不同的A、B兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花，為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從A、B兩地的棉花中各隨機(jī)抽取40根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：（記纖維長度不低于300mm的為長纖維，其余為短纖維）．
由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析纖維長度與土壤環(huán)境是否有關(guān)．
單位：根
附：．
【答案】列聯(lián)表見解析，纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)
【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，再與臨界值比較即可得出結(jié)論．
【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表如下：
所以，
因?yàn)椋?br>所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)．
32．年北京冬奧會(huì)的成功申辦與“億人上冰雪”莊嚴(yán)承諾的提出，推動(dòng)了冰雪運(yùn)動(dòng)的普及與發(fā)展．北京某大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了人進(jìn)行調(diào)查，其中女生人，且女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占，而男生中有人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒有興趣．
(1)完成列聯(lián)表
(2)能否有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？
附表：
【答案】(1)列聯(lián)表見解析
(2)有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”
【分析】（1）計(jì)算出女生中對(duì)冰球有興趣的人數(shù)后，即可補(bǔ)全列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表可計(jì)算求得，對(duì)比臨界值表可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知：女生中對(duì)冰球有興趣的有人，則沒興趣的有人，
則列聯(lián)表如下：
（2）由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得：，
有的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”．
33．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理．某省為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計(jì)算得：，，，，．
(1)求這20個(gè)縣年垃圾產(chǎn)生總量的平均值；
(2)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合．（當(dāng)時(shí)，與的相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，否則相關(guān)關(guān)系較弱．）
參考公式：相關(guān)系數(shù)．
【答案】(1)
(2)理由見解析
【分析】（1）根據(jù)直接計(jì)算可得；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，即可說明.
【詳解】（1）依題意這個(gè)縣年垃圾產(chǎn)生總量的平均值為（噸）.
（2）依題意，
因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合．
34．某學(xué)校共有名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競賽中的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示．將分?jǐn)?shù)不低于分的學(xué)生稱為“高分選手”．
(1)求的值；
(2)若樣本中屬于“高分選手”的女生有人，試完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)聯(lián)？
（參考公式：，其中）
【答案】(1)
(2)表格見解析，認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)聯(lián)．
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；
（2））完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.
【詳解】（1）由題意知，解得；
（2）由題可知，樣本中男生人，女生人，
屬于“高分選手”的有人，其中女生人，
得出以下列聯(lián)表：
零假設(shè)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別無關(guān)聯(lián)，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，
∴根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)聯(lián)．
35．“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心，這將推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計(jì)表：
某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
(1)求新能源乘用車的銷量y關(guān)于年份x的相關(guān)系數(shù)r，并判斷y與x是否線性相關(guān)；
(2)請(qǐng)將上述2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)χ2的值判斷，購車車主購置新能源乘用車與性別是否有關(guān)．
附：.
【答案】(1)0.94，y與x線性相關(guān)
(2)表格見解析，有90%的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān)
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算判斷即可；
（2）根據(jù)已知完成列聯(lián)表，結(jié)合χ2公式進(jìn)行運(yùn)算判斷即可.
【詳解】（1）依題意，
，
，
，
，
則，
|r|≈0.94接近于1，故y與x線性相關(guān)；
（2）依題意，完善表格如下：
則χ2＝，
故有90%的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān)．
36．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：h）．

(1)應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？
(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率．
(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)．請(qǐng)制作每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．
【答案】(1)
(2)
(3)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣比公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合題意直、對(duì)立事件的概率公式接進(jìn)行求解即可；
（3）結(jié)合（1）的數(shù)據(jù)制作列聯(lián)表，根據(jù)卡方運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算判斷即可.
【詳解】（1）因?yàn)檫\(yùn)用分層抽樣的方法，
所以女生樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為；
（2）學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)的概率為：，
所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率；
（3）由（1）可知男生人數(shù)為，
由（2）可知該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)的概率，
所以有人，
因此學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)的人數(shù)為，
因此列聯(lián)表如下：
因?yàn)椋?br>所以有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”.
37．某高中生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)某公司1月份至5月份銷售的某種配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷售單價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）
(2)求出關(guān)于的線性回歸方程；
(3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷售量與銷售單價(jià)仍然服從（2）中的關(guān)系，如果該種配件的成本是2.5元/件，那么該種配件的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤銷售收入成本）
參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)7.5元
【分析】（1）根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)，即可判斷；
（2）根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出、，即可得到回歸方程；
（3）設(shè)銷售利潤為，則，，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）解： ，，，
由于與的相關(guān)系數(shù)近似為，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，
從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2）解：，，
又，，
關(guān)于的線性回歸方程為.
（3）解：設(shè)銷售利潤為，則，
整理得，
所以當(dāng)時(shí)，故該配件的銷售單價(jià)應(yīng)定為元才能獲得最大利潤.
38．隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人民的生活質(zhì)量日益提高，對(duì)商品的需求也日益增多.商家銷售商品，既滿足顧客需要，又為商家創(chuàng)造效益，是一種相互依存的合作關(guān)系.為較好地達(dá)到這個(gè)目的，商家需要運(yùn)用數(shù)學(xué)模型分析商品銷售的規(guī)律并確定最優(yōu)的銷售價(jià)格.某商店以每件2元的價(jià)格購進(jìn)一種小商品，經(jīng)過一段時(shí)間的試銷后，得到下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用線性回歸模型擬合y與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）
(2)求關(guān)于的線性回歸方程；
(3)試問商家將每件售價(jià)定為多少元時(shí)，可使其獲得最大日利潤?（結(jié)果保留整數(shù)）
附；相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)6元
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式和性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可；
（2）根據(jù)題中所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）相關(guān)系數(shù)，
由于接近于1，
故與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，
從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；
（2）由表知，，，
又，
∴，
∴關(guān)于的線性回歸方程為；
（3）設(shè)商家的日利潤為元，
則，
該二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，
∴當(dāng)售價(jià)定為每件6元時(shí)，商家可獲得最大日利潤.
39．某公司是一家集無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品主要應(yīng)用于森林消防、物流運(yùn)輸、航空測繪、軍事偵察等領(lǐng)域，獲得市場和廣大觀眾的一致好評(píng)，該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．該公司分別收集了甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測試的某項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，，數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）
(2)從這5個(gè)地點(diǎn)中任抽2個(gè)地點(diǎn)，求抽到的這2個(gè)地點(diǎn)，甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)的概率．
附：相關(guān)公式及數(shù)據(jù)：，．
【答案】(1)0.95，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系
(2)．
【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式計(jì)算求解，判斷即可．
（2）由列舉法并利用古典概型求概率
【詳解】（1），，
所以，
由于，
相關(guān)系數(shù)，
因?yàn)椋詙與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．
（2）將地點(diǎn)1，2，3，4，5分別記為A，B，C，D，E，任抽2個(gè)地點(diǎn)的可能情況有，，，，，，，，，，共10種情況，
其中在地點(diǎn)3，4，5，甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)，即，，3種情況，
故所求概率為．
40．為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：
(1)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷（a，b為常數(shù)）與（，為常數(shù)，且，）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對(duì)于非線性回歸方程（，為常數(shù)，且，），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
①證明：“對(duì)于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系（即，β，α為常數(shù)）”；
②根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．
【答案】(1)作圖見解析，選擇為回歸方程較適宜
(2)① 證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)圖象的特征進(jìn)行判斷即可；
（2）①根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化公式進(jìn)行求解即可；
②利用題中所給的數(shù)據(jù)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示．
由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線的周圍，
故選擇為回歸方程較適宜；
（2）①由已知，，則，
則，，即．所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系．
②由①知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x可以用線性回歸方程來擬合．
由表中數(shù)據(jù)可得，
，
則z關(guān)于x的線性回歸方程為．
又，
因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的非線性回歸方程為．
41．近幾年，電商的蓬勃發(fā)展帶動(dòng)了快遞行業(yè)的迅速增長.為了獲得更大的利潤，某快遞公司在城市的網(wǎng)點(diǎn)對(duì)“一天中收發(fā)一件塊遞的平均成本（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)（單位：千件）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：方程甲：，方程乙：．
(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下問題：
①根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應(yīng)回歸方程，將以下表格填寫完整（結(jié)果保留一位小數(shù)）：
（各注：稱為相應(yīng)于點(diǎn)的隨機(jī)誤差）
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的隨機(jī)誤差平方和，并依此判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好．
(2)已知該快遞網(wǎng)點(diǎn)每天能攬收的快遞件數(shù)（單位：千件）與攬收一件快遞的平均價(jià)格（單位：元）之間的關(guān)系是，根據(jù)（1）中擬合效果較好的模型建立的回歸方程解決以下問題：
①若一天攬收快遞6千件，則當(dāng)天總利潤的預(yù)報(bào)值是多少？
②為使每天獲得的總利潤最高，該快遞網(wǎng)點(diǎn)應(yīng)該將攬收一件快遞的平均價(jià)格定為多少？（備注：利潤＝價(jià)格－成本）
【答案】(1)①表格見解析；②，，模型乙的擬合效果較好
(2)①元；②6.75元
【分析】（1）根據(jù)題意，利用其給出的公式，完成表格以及誤差平方和，通過比較，可得答案；
（2）根據(jù)題意，建立總利潤的函數(shù)解析式，根據(jù)其求得函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得最值.
【詳解】（1）（1）①表中數(shù)據(jù)填寫如下：
②計(jì)算可得：
，
．
因?yàn)椋阅Ｐ鸵业臄M合效果較好．
（2）解法一：
①設(shè)每天獲得的總利潤為，則
當(dāng)時(shí)，由回歸方程得．
由得，
所以總利潤的預(yù)報(bào)值（元）.
②由，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，
所以當(dāng)攬收平均價(jià)格定為6.75元時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天的總利潤最大．
解法二：
①每天獲得的總利潤為，則
當(dāng)時(shí)，由回歸方程得．
由得，
所以總利潤的預(yù)報(bào)值（千元）
②設(shè)攬收一件快遞的平均價(jià)格為元，
由，得攬收快遞件數(shù)，
所以，平均成本，
所以每天獲得的總利潤為
．
當(dāng)時(shí)，該快遞網(wǎng)點(diǎn)每天獲得的總利潤最大，
所以當(dāng)攬收平均價(jià)格定為元時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天的總利潤最大．
42．如圖是某采礦廠的污水排放量（單位：噸）與礦產(chǎn)品年產(chǎn)量（單位：噸）的折線圖：
(1)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）
(2)若可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測年產(chǎn)量為10噸時(shí)的污水排放量.
相關(guān)公式，
參考數(shù)據(jù)：.回歸方程中，.
【答案】(1)0.95，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系
(2)，5.5噸
【分析】（1）利用公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，從而作出判斷；
（2）利用公式計(jì)算出，得到線性回歸方程，并代入，求出答案.
【詳解】（1）由折線圖得如下數(shù)據(jù)計(jì)算，得，
，
，
所以相關(guān)系數(shù)，
因?yàn)椋钥捎镁€性回歸模型擬合與的關(guān)系；
（2），
所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，
所以預(yù)測年產(chǎn)量為10噸時(shí)的污水排放量為5.5噸.
43．耐鹽堿水稻俗稱“海水稻”，是一種可以長在灘涂和鹽堿地的水稻．還水稻的灌溉是將海水稀釋后進(jìn)行灌溉．某實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)為了研究海水濃度（）對(duì)畝產(chǎn)量（噸）的影響，通過在試驗(yàn)田的種植實(shí)驗(yàn)，測得了某種還水稻的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如下表：
繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量與海水濃度之間的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算得與之間的線性回歸方程為.
(1)求出的值，并估算當(dāng)澆灌海水濃度為8%時(shí)該品種的畝產(chǎn)量．
(2)①完成下列殘差表：
②統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越大，模型擬合效果越好，如假設(shè)，就說明預(yù)報(bào)變量的差異有是由解釋變量引起的.請(qǐng)計(jì)算相關(guān)指數(shù)（精確到0.01），并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的.
（附：殘差公式，相關(guān)指數(shù)，參考數(shù)據(jù)）
【答案】(1) 畝產(chǎn)量為噸．(2) ①見解析； ②畝產(chǎn)量的變化有98%是由海水濃度引起的
【分析】（1）計(jì)算、，代入線性回歸方程求得的值，寫出回歸方程，再利用回歸方程預(yù)測時(shí)的值；
（2）①根據(jù)公式計(jì)算并填寫殘差表；②由公式計(jì)算相關(guān)指數(shù)，結(jié)合題意得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．
【詳解】解：（1）經(jīng)計(jì)算
由可得
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)海水濃度為時(shí)，該品種的畝產(chǎn)量為噸．
（2）①由（1）知，從而有殘差表如下
②
所以畝產(chǎn)量的變化有98%是由海水濃度引起的
【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線方程與相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．
【B組 在綜合中考查能力】
一、單選題
1．已知某公司產(chǎn)品的廣告投入（萬元）與利潤（萬元）的一組數(shù)據(jù)如表所示
利潤與廣告投入之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計(jì)廣告投入為9萬元時(shí)，利潤約為（ ）
A．112萬元B．114.5萬元C．115萬元D．115.5萬元
【答案】B
【分析】先求出x，y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求出線性回歸方程，再將代入該方程，即可求解．
【詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，
線性回歸直線方程是，
，，
當(dāng)時(shí)，，
故廣告投入為9萬元時(shí)，利潤約為114.5萬元．
故選：B．
2．疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會(huì)進(jìn)行動(dòng)物保護(hù)測試，為了考查某種疫苗預(yù)防效果，在進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)時(shí)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
現(xiàn)從試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
公式:
.A．注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10
B．從該試驗(yàn)未注射疫苗的動(dòng)物中任取一只，發(fā)病的概率為
C．有99%的把握判斷注射疫苗與是否發(fā)病有關(guān)聯(lián)
D．有95%的把握判斷注射疫苗與是否發(fā)病有關(guān)聯(lián)
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合列聯(lián)表以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】因?yàn)閺脑囼?yàn)動(dòng)物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為，
所以“注射疫苗”的試驗(yàn)動(dòng)物有只，
根據(jù)題意可得列聯(lián)表為：
對(duì)于選項(xiàng)A：注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：從該試驗(yàn)未注射疫苗的動(dòng)物中任取一只，發(fā)病的概率為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)椋?br>所以有99%的把握判斷注射疫苗與是否發(fā)病有關(guān)聯(lián)，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：D.
3．下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．則甲乙的中位數(shù)分別為45和44．
②相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性較弱．
③若由一個(gè)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測值，那么有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)．
④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)，的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)，的殘差是指．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】求出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)判斷①；利用相關(guān)系數(shù)的意義判斷②；利用的觀測值與要求的臨界值對(duì)判斷③；利用殘差的意義判斷④作答.
【詳解】對(duì)于①，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為45，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，相關(guān)系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量有很強(qiáng)的相關(guān)性，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，的觀測值約為，那么有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，③正確；
對(duì)于④，殘差分析中，相應(yīng)數(shù)據(jù)的殘差，④正確，
所以命題正確的序號(hào)是③④.
故選：B.
4．在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中，得出2×2列聯(lián)表如下：
且最后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)分類變量A和B沒有任何關(guān)系，則a的可能值是（ ）
A．200B．720C．100D．180
【答案】B
【分析】把列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)代入求的公式，建立不等式，代入驗(yàn)證可知a的可能值.
【詳解】兩個(gè)分類變量A和B沒有任何關(guān)系，
，
代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知滿足條件.
故選：B
5．相關(guān)變量的樣本數(shù)據(jù)如下表，
經(jīng)回歸分析可得y與x線性相關(guān)，并由最小二乘法求得回歸直線方程為，下列說法正確的是（ ）
A．x增加1時(shí)，y一定增加2.3B．變量x與y負(fù)相關(guān)
C．當(dāng)y為6.3時(shí)，x一定是8D．a(chǎn)=5.2
【答案】D
【分析】根據(jù)回歸直線方程的幾何意義判斷A、B錯(cuò)誤；令求解判斷C，計(jì)算并代入回歸直線方程中，求得a的值，判斷D正確.
【詳解】根據(jù)回歸直線方程知，x增加1時(shí)，估計(jì)y增加，故A錯(cuò)誤；
由知，，故變量x與y正相關(guān)，故B錯(cuò)誤；
時(shí)，，解得，估計(jì)的值應(yīng)為8，故C錯(cuò)誤;
又，，
代入回歸直線方程中，則，解得，故D正確.
故選：D
6．已知x，y的取值如下表所示，從散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，如果線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（ ）
A．m的值為6.2
B．回歸直線必過點(diǎn)（2，4.4）
C．樣本點(diǎn)（4，m）處的殘差為0.1
D．將此圖表中的點(diǎn)（2，4.4）去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r不變
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義及樣本中心在經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程上，利用殘差的定義及樣本相關(guān)系數(shù)的公式即可求解.
【詳解】由題意可知，
所以樣本中心為，
將點(diǎn)代入，可得，解得，故A正確；
由，得樣本中心為，所以回歸直線必過點(diǎn)（2，4.4），故B正確；
當(dāng)時(shí)，，
由，得樣本點(diǎn)處的殘差為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)闃颖局行臑椋?br>所以
由相關(guān)系數(shù)公式知， ，將此圖表中的點(diǎn)（2，4.4）去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r不變，故D正確；
故選：C.
7．針對(duì)時(shí)下的“航天熱”，某校團(tuán)委對(duì)“是否喜歡航天與學(xué)生性別的關(guān)系”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡航天的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡航天的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否喜歡航天與學(xué)生性別有關(guān)，則被調(diào)查的學(xué)生中男生的人數(shù)不可能為（ ）
A．25B．45C．60D．75
【答案】A
【分析】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)卡方的計(jì)算公式求得，從而得到關(guān)于的不等式，由此得解.
【詳解】依題意，設(shè)男生的人數(shù)為，根據(jù)題意列出列聯(lián)表如下所示：
則，
∵依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否喜歡航天與學(xué)生性別有關(guān)，
∴，即，得，
∴，又，∴結(jié)合選項(xiàng)知B、C、D都可以.
故選：A.
8．雜交水稻之父袁隆平，推進(jìn)糧食安全，消除貧困，造福民生做出杰出貢獻(xiàn)，他在雜交水稻育種的某試驗(yàn)中，第1個(gè)周期到第5個(gè)周期育種頻數(shù)如下
由表格可得關(guān)于的二次回歸方程為，則此回歸模型第2周期的殘差（實(shí)際值與預(yù)報(bào)值之差）為（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【分析】令則回歸方程為，符合線性回歸，計(jì)算中心點(diǎn)代入方程求得，繼而得到回歸方程，算出預(yù)估值，即可求出殘差.
【詳解】令則回歸方程為，符合線性回歸，
周期數(shù)的平均數(shù)，
頻數(shù)的平均數(shù)，
則中心點(diǎn)為，代入，
可得，則，
所以，
當(dāng)時(shí)的預(yù)估值為，
則第2周期的殘差為，
故選：B.
二、多選題
9．某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算，則可以推斷出（ ）
A．該學(xué)校男生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為
B．調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對(duì)食堂服務(wù)更滿意
C．認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
D．認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01
【答案】AC
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率可得該學(xué)校男、女生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值；題目的條件中已經(jīng)給出這組數(shù)據(jù)的觀測值，我們只要把所給的觀測值同節(jié)選的觀測值表進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它大于，有的把握認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.
【詳解】對(duì)于A，該學(xué)校男生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為，故A正確；
對(duì)于B，該學(xué)校女生對(duì)食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為＞，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)檎J(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC．
10．某學(xué)習(xí)小組收集了7組樣本數(shù)據(jù)（如下表所示）：
他們繪制了散點(diǎn)圖并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)與有比較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（ ）
A．與呈正相關(guān)關(guān)系
B．
C．當(dāng)時(shí)，的預(yù)測值為3.3
D．去掉樣本點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)不變
【答案】ABD
【分析】首先求，根據(jù)樣本中心求回歸直線方程，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由數(shù)據(jù)可知，，，樣本點(diǎn)中心必在回歸直線上，
所以，得，故AB正確；
，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槭菢颖军c(diǎn)中心，，所以去掉這一項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)不變，故D正確.
故選：ABD
11．總和生育率有時(shí)也簡稱生育率，是指一個(gè)人口群體的各年齡別婦女生育率的總和．它反映的是一名婦女在每年都按照該年齡別現(xiàn)有生育率生育的假設(shè)下，在育齡期間生育的子女總數(shù)．為了了解中國人均GDPx（單位：萬元）和總和生育率y以及女性平均受教育年限z（單位：年）的關(guān)系，采用2012~2022近十年來的數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖，并得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，，對(duì)應(yīng)的決定系數(shù)分別為，，則（ ）

A．人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)．
B．女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)
C．
D．未來三年總和生育率一定繼續(xù)降低
【答案】AB
【分析】根據(jù)回歸方程判斷A，寫出女性平均受教育年限和總和生育率的關(guān)系式，從而判斷B，根據(jù)散點(diǎn)圖的擬合效果判斷C，由回歸方程可預(yù)測未來趨勢，但實(shí)際值不一定會(huì)持續(xù)降低，從而判斷D.
【詳解】由回歸方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)，故A正確；
因?yàn)椋?br>可得女性平均受教育年限z和總和生育率y的關(guān)系式為，
所以女性平均受教育年限z和總和生育率y負(fù)相關(guān)，故B正確；
由散點(diǎn)圖可知，回歸方程相對(duì)擬合效果更好，
所以，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)回歸方程預(yù)測，未來總和生育率預(yù)測值有可能降低，
但實(shí)際值不一定會(huì)降低，故D錯(cuò)誤．
故選：AB
12．下列命題正確的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8
B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和4
C．若某校高三（1）班8位同學(xué)身高（單位）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為174
D．根據(jù)變量與的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
【答案】AB
【分析】根據(jù)可判斷A；對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得可判斷B；從小到大排列這組數(shù)據(jù)，由第75百分位數(shù)計(jì)算可判斷C；可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)可得數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；
對(duì)于B，對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，因?yàn)椋?br>，所以的值分別是和4，故B正確；
對(duì)于C，從小到大可得這組數(shù)據(jù)為，，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下，可判斷與無關(guān)，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題
13．在研究硝酸鈉的可溶性程度時(shí)，觀測它在不同溫度（單位：）的水中的溶解度（單位：），得到如下觀測結(jié)果：
由此得到回歸直線的斜率是 ．
【答案】
【分析】求出、的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，可求得回歸直線的斜率.
【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，
，
，
，
所以，回歸直線的斜率為.
故答案為：.
14．某單位為了調(diào)查性別與對(duì)工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機(jī)抽取了若干名員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，其中，且，若有90%的把握可以認(rèn)為性別與對(duì)工作的滿意程度具有相關(guān)性，則的值是 ．
附：，其中．
【答案】或
【分析】由列不等式，由此求得的取值范圍，進(jìn)而確定正確答案.
【詳解】補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
依題意，，
解得，而，所以的值為或.
故答案為：或
15．對(duì)于數(shù)據(jù)組，如果由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的對(duì)應(yīng)自變量的估計(jì)值是，那么將稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的殘差．某商場為了給一種新商品進(jìn)行合理定價(jià)，將該商品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下所示數(shù)據(jù)：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到銷量（單位：件）與單價(jià)（單位：元）之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)計(jì)算，樣本點(diǎn)處的殘差為，則 ．
【答案】75
【分析】先根據(jù)樣本點(diǎn)處的殘差為，求出，再根據(jù)在經(jīng)驗(yàn)回歸方程上可得.
【詳解】根據(jù)樣本點(diǎn)處的殘差為，得，得，
所以，
，，
由，得
故答案為：75
16．已知某品牌的新能源汽車的使用年限（單位：年）與維護(hù)費(fèi)用（單位：千元）之間可以用模型去擬合，收集了4組數(shù)據(jù)，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：
利用最小二乘法得到與的線性回歸方程，則 .
【答案】
【分析】求出、代入可得，由得，與比較可得答案.
【詳解】，，
代入可得，
由得，即，
而，所以，，得，
則.
故答案為：.
四、解答題
17．為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，某課題組在某市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖．若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”．已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生占．
(1)求圖1中的值以及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)；
(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全上方列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題是否有關(guān)？
附：
【答案】(1)，分
(2)列聯(lián)表見詳解，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)
【分析】（1）根據(jù)頻率和為1運(yùn)算求的值，再結(jié)合上四分位數(shù)的概念運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，結(jié)合題中數(shù)據(jù)和公式求，并與臨界值對(duì)比分析.
【詳解】（1）由題意可得：每組的頻率依次為，
則，則，解得，
因?yàn)椋?br>則學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)位于，設(shè)為，
可得，解得，
所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)為分.
（2）由題意可得：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀的人數(shù)為，
經(jīng)常整理錯(cuò)題的人數(shù)為，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的人數(shù)為，
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生的人數(shù)為，
可得列聯(lián)表為
零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān)，
因?yàn)椋?br>則零假設(shè)不成立，且犯錯(cuò)的可能性不大于，
所以數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān).
18．安順市教育局為深入貫徹黨的教育方針，全面落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，從2022年起，安順市中小學(xué)積極推進(jìn)勞動(dòng)教育課程改革，某高中積極響應(yīng)教育局安排，先后開發(fā)開設(shè)了具有安順特色的烹飪、手工、園藝、職業(yè)體驗(yàn)、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動(dòng)實(shí)踐類校本課程，為調(diào)研學(xué)生對(duì)新開設(shè)勞動(dòng)課程的滿意度并不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，該校從2022年1月到10月每兩個(gè)月從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
(1)由表中看出，滿意人數(shù)與月份之間存在很強(qiáng)的線性正相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明（一般認(rèn)為時(shí)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）；并求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，請(qǐng)用該方程預(yù)測12月份該校全體學(xué)生中對(duì)勞動(dòng)課程的滿意人數(shù)；
(2)10月份時(shí)，該校為進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，了解不同性別的學(xué)生對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意，經(jīng)調(diào)研得如下統(tǒng)計(jì)表：
請(qǐng)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)聯(lián)?
參考公式：，；
，其中，，．
【答案】(1)證明見解析；；人
(2)有的把握性認(rèn)為該校學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān).
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合公式，求得可得，得到變量關(guān)于的相關(guān)系很強(qiáng)，且關(guān)于正相關(guān)，進(jìn)而求得，，得出回歸直線方程，令，求得的值，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得，進(jìn)而得到結(jié)論.
【詳解】（1）解：由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的表格，可得，
則，，
，
可得，
所以變量關(guān)于的相關(guān)系很強(qiáng)，且關(guān)于正相關(guān)，
又由，，
所以關(guān)于的回歸直線方程為，
令，可得，
據(jù)此預(yù)測12月份該校全體學(xué)生對(duì)勞動(dòng)課程的滿意人數(shù)為人.
（2）解：提出假設(shè)：該校的學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意無關(guān)，
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，
因?yàn)椋杂械陌盐招哉J(rèn)為該校學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān).
19．為了實(shí)現(xiàn)五育并舉，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)好文化知識(shí)的同時(shí)也要鍛煉好身體，某學(xué)校隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天參加體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，并把他們之中每天參加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于或等于60分鐘的記為“達(dá)標(biāo)”，運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于60分鐘的記為“不達(dá)標(biāo)”，統(tǒng)計(jì)情況如下圖：

參考公式：；
參考數(shù)據(jù)：
(1)完成列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”與“性別”有關(guān).
(2)現(xiàn)從“不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任選2人進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)指導(dǎo)，求選中的2人都是女生的概率.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下可以認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”與“性別”有關(guān)；
(2)
【分析】（1）由題目數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，后由獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)知識(shí)可得答案；（2）由（1）結(jié)合題意可知女生4人，男生2人，后由古典概型相關(guān)知識(shí)可得答案.
【詳解】（1）由題可得運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)的男，女生分別為38，26人；運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)的男，女生為12，24人，據(jù)此可得列聯(lián)表如下：
由參考公式可得：
，因，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下可以認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)”與“性別”有關(guān)；
（2）由（1）可知6人中，男生有人，女生有人.
則6人抽取兩人的總情況數(shù)：.全是女生的情況數(shù)為：.
則相應(yīng)概率為：.
20．某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求，推出了不同定價(jià)的流量包，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，獲取了容量為萬人的樣本．同時(shí)為了進(jìn)一步了解年齡因素是否對(duì)流量包價(jià)格有影響，統(tǒng)計(jì)了小于歲和大于等于歲兩個(gè)年齡段人群的購買人數(shù)，收集數(shù)據(jù)整理如表所示．
表1
表2
(1)試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立購買總?cè)藬?shù)關(guān)于定價(jià)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)定價(jià)為元/月的流量包的購買人數(shù)；
(2)若把元/月以下（不包括元）的流量包稱為低價(jià)流量包，元/月以上（包括元）的流量包稱為高價(jià)流量包，根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷年齡段和流量包價(jià)格是否有關(guān)聯(lián)．附：
，，.
【答案】(1)；約為萬人
(2)沒有關(guān)聯(lián)，理由見解析
【分析】（1）計(jì)算出、的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回歸直線方程，將代入回歸方程，可得所求結(jié)果；
（2）完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，，
，，
所以，關(guān)于的回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，（萬人），
因此，估計(jì)定價(jià)為元/月的流量包的購買人數(shù)約為萬人.
（2）解：零假設(shè)年齡段和流量包價(jià)格沒有關(guān)聯(lián)，
由題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下表所示：
，
所以，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立，
即認(rèn)為年齡段和流量包價(jià)格沒有關(guān)聯(lián).
21．已知一系列樣本點(diǎn)，，，，其中，．響應(yīng)變量關(guān)于的線性回歸方程為．對(duì)于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過線性回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值，稱為殘差，即，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差．
參考公式：，，．
(1)證明：；
(2)證明：，并說明與線性回歸模型擬合效果的關(guān)系．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析，越大時(shí)，線性回歸模型擬合效果越好
【分析】（1）根據(jù)殘差的定義結(jié)合回歸方程證明即可，
（2）根據(jù)給出的相關(guān)系數(shù)公式，以及回歸直線斜率和截距的最小二乘法，結(jié)合殘差的定義證明.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，且，，
所以，，
所以；
（2）根據(jù)給出的相關(guān)系數(shù)公式，以及回歸直線斜率和截距的最小二乘估計(jì)，
可知，記，
所以，
且，
又，
所以，又，
所以，
且當(dāng)越小時(shí)，相關(guān)性越強(qiáng)，線性回歸模型擬合效果越好，
即越大時(shí)，線性回歸模型擬合效果越好．
22．《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀(jì)以來第個(gè)指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號(hào)文件.文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興，要大力推進(jìn)數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè)，推進(jìn)智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺(tái)進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中，在眾多網(wǎng)紅直播中，統(tǒng)計(jì)了名網(wǎng)紅直播的觀看人次和農(nóng)產(chǎn)品銷售量的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖.
(1)利用散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)更適合作為觀看人次和銷售量的回歸方程類型；（只要給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表：
其中令，.
根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求（單位：千件）關(guān)于（單位：十萬次）的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)觀看人次為萬人時(shí)的銷售量；
參考數(shù)據(jù)和公式：，
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.
【答案】(1)更適合；
(2)，預(yù)測當(dāng)觀看人次為萬人時(shí)的銷售量約為件.
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的分布情況可選擇合適的回歸模型；
（2）令，則，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，可求得、的值，進(jìn)而可得出關(guān)于的回歸方程，將代入回歸方程可得出銷售量.
【詳解】（1）解：由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)分布在一條對(duì)數(shù)型曲線附近，所以選擇回歸方程更適合.
（2）解：令，則，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，，所以?br>所以與的線性回歸方程為，
故關(guān)于的回歸方程為.
令，代入回歸方程可得（千件）
所以預(yù)測觀看人次為萬人時(shí)的銷售量約為件.
23．某公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：
(1)求變量和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到），并推斷變量和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱.）
(2)求年銷售量關(guān)于年投資額的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.并預(yù)測投資額為700萬無時(shí)的銷售量.（參考：）
參考：，，.
【答案】(1)，變量和的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；
(2)，投資額為700萬時(shí)的銷售量為千件.
【分析】（1）計(jì)算出相關(guān)系數(shù)所需的數(shù)據(jù)，根據(jù)公式即可求出；
（2）根據(jù)公式即可求出與的值，即可得出回歸方程．
【詳解】（1）由題意，，，
，
，
，
，
，變量和的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；
（2），，
年銷售量關(guān)于年投資額的線性回歸方程為．
當(dāng)時(shí)，，
所以研發(fā)的年投資額為700萬元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量約為千件．
24．隨機(jī)抽取10家航空公司，對(duì)其最近一年的航班正點(diǎn)率和顧客投訴次數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下：
(1)繪制散點(diǎn)圖，說明二者之間的關(guān)系形態(tài)；
(2)若顧客投訴次數(shù)與航班正點(diǎn)率之間具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；
(3)如果航班正點(diǎn)率為80%，試估計(jì)顧客投訴次數(shù)．
【答案】(1)繪圖見解析；
(2)；
(3)約次.
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖即可；
（2）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線方程；
（3）由（2）所得回歸方程，將代入估計(jì)顧客投訴次數(shù).
【詳解】（1）設(shè)軸為航班正點(diǎn)率，y軸為顧客投訴次數(shù)，散點(diǎn)圖如下所示，

由圖各點(diǎn)分布，兩者呈某種負(fù)相關(guān)的線性關(guān)系.
（2）設(shè)回歸直線方程為，又，
由，
，
，
，
所以，
故，即.
（3）由（2），當(dāng)時(shí)，，
所以航班正點(diǎn)率為80%，估計(jì)顧客投訴約次.
25．流行性感冒（簡稱流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播，在我國北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.兒童相對(duì)免疫力低，在幼兒園、學(xué)校等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春季該園患流感的小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)（計(jì)算結(jié)果精確到0.01），并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng)?
附：回歸方程中，，相關(guān)系數(shù).
【答案】(1)
(2)，該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng)
【分析】（1）計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式求解；
（2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性強(qiáng)弱.
【詳解】（1），
，
，
，
，
，
所以與之間線性回歸方程為.
（2），
則，
因?yàn)榍曳浅＝咏?，所以該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng).
26．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下”工人的概率；
(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件列出列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與“工人所在的年齡組有關(guān)”？
【答案】(1)
(2)列聯(lián)表答案見解析，有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與“工人所在的年齡組有關(guān)”
【分析】（1）由題中數(shù)據(jù)得出相應(yīng)人數(shù)，再由古典概型求解；
（2）由題中數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，計(jì)算卡方后判斷.
【詳解】（1）由已知得，樣本中有25周歲以上（含25周歲）工人60名，25周歲以下工人40名.
所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中，25周歲以上（含25周歲）工人有（名），記為，，；
25周歲以下工人有（名），記為，.
從中隨機(jī)抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是，，，，，，，，，；
其中，至少有一名25周歲以下工人的可能結(jié)果共有7種，它們是，，，，，，；
故所求概率.
（2）由題中頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，25周歲以上（含25周歲）的生產(chǎn)能手有（名），25周歲以下的生產(chǎn)能手有（名），據(jù)此可得列聯(lián)表如下：
單位：名
且
零假設(shè)為：生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組無關(guān)，
計(jì)算可得，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此認(rèn)為成立，
所以有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與“工人所在的年齡組有關(guān)”.
27．一個(gè)車間為了估計(jì)加工某種新型零件所花費(fèi)的時(shí)間，進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下：
(1)y與x之間是否具有相關(guān)關(guān)系?
(2)如果y與x之間具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程．
(3)據(jù)此估計(jì)加工110個(gè)零件所用的時(shí)間．
【答案】(1)y與x之間具有顯著的正相關(guān)關(guān)系
(2)
(3)128.44min
【分析】（1）畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與之間的相關(guān)性；
（2）根據(jù)求回歸直線方程的步驟求解；
（3）將代入回歸直線方程，求出.
【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)繪制下散點(diǎn)圖：

顯然，與是正線性相關(guān)的；
另：，
，
，，，
于是
，
因此y與x之間具有顯著的正相關(guān)關(guān)系．
（2）設(shè)所求的回歸直線方程為，則
，
，
即所求的回歸直線方程為；
（3）當(dāng)時(shí)，y的估計(jì)值．
因此，估計(jì)加工110個(gè)零件所用的時(shí)間為128.44min；
綜上，與有正相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，價(jià)格110個(gè)零件大約需要分鐘.
28．某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的特斯拉汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.
參考公式：，
(1)估計(jì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）；
(2)統(tǒng)計(jì)今年以來元月~5月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如上，預(yù)測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為多少萬輛？
【答案】(1)平均數(shù)的估計(jì)值為3.5萬元，中位數(shù)的估計(jì)值為3.33萬元.
(2)2萬輛
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)的公式，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，即可求解線性回歸方程，再將代入上式的線性回歸方程中，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)橹狈綀D的組距為1，則各組頻率即為相應(yīng)小矩形的高，
所以平均數(shù)的估計(jì)值為：萬元.
因?yàn)椋?br>所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，
則有，解得，所以中位數(shù)的估計(jì)值為3.33萬元.
（2）記，，
由散點(diǎn)圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，
因?yàn)椋?br>則有：，
，
所以，，
所以回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，，
所以預(yù)測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為2萬輛.
29．為研究質(zhì)量(單位：克)對(duì)彈簧長度(單位：厘米)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如表所示：
（1）作出散點(diǎn)圖并求線性回歸方程；
（2）求出；
（3）進(jìn)行殘差分析．
【答案】(1) 散點(diǎn)圖見解析，回歸方程為；(2)；(3)見解析.
【分析】（1）以表中的數(shù)據(jù)分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)畫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可得到散點(diǎn)圖．然后根據(jù)表中的數(shù)據(jù)并結(jié)合所給公式求出線性回歸方程．（2）根據(jù)題中的數(shù)據(jù)及（1）中的回歸方程得到和的值，并列出表格，進(jìn)一步得到和，最后根據(jù)公式可得．（3）從每個(gè)測量值的殘差和所有測量值的殘差分布兩個(gè)方面作出分析即可．
【詳解】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖如圖所示：
由表中的數(shù)據(jù)可得，
，
，
，
∴，
∴，
故所求回歸直線方程為.
（2）由題意及（1）中的回歸方程可得下表：
∴，，
∴.
（3）①由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；
②由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高．
由以上分析可知，彈簧長度與質(zhì)量具有線性關(guān)系．
【點(diǎn)睛】（1）本題中涉及的計(jì)算較多，所以在解題中要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，合理利用題中的數(shù)據(jù)求解．
（2）進(jìn)行殘差分析時(shí)，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，且這樣的帶狀區(qū)域越窄這說明模型的擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高．另外利用也可刻畫回歸效果，當(dāng)越大時(shí)說明擬合精度越高．
30．為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：
(1)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷（a，b為常數(shù)）與（，為常數(shù)，且，）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對(duì)于非線性回歸方程（，為常數(shù)，且，），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
①證明：“對(duì)于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系（即，β，α為常數(shù)）”；
②根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．
【答案】(1)作圖見解析，選擇為回歸方程較適宜
(2)① 證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)圖象的特征進(jìn)行判斷即可；
（2）①根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化公式進(jìn)行求解即可；
②利用題中所給的數(shù)據(jù)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示．
由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線的周圍，
故選擇為回歸方程較適宜；
（2）①由已知，，則，
則，，即．所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系．
②由①知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x可以用線性回歸方程來擬合．
由表中數(shù)據(jù)可得，
，
則z關(guān)于x的線性回歸方程為．
又，
因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的非線性回歸方程為．
31．某研發(fā)小組為了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響，結(jié)合近10年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)（），建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)，，經(jīng)過計(jì)算得如下數(shù)據(jù).
(1)設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型.
(2)根據(jù)（1）中選擇的模型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），根據(jù)線性回歸方程，若當(dāng)年的銷售額大致為億元，則估計(jì)當(dāng)年的研發(fā)資金投入量為多少億元.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
線性回歸直線中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)參數(shù)分別為，.
【答案】(1)模型的擬合程度更好
(2)，8億元
【分析】（1）根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)為、即可判斷；
（2）由（1）可得兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，再由所給數(shù)據(jù)求出、，即可得到回歸方程，再代入求出即可.
【詳解】（1）由題意可知，
因?yàn)?，所以從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.
（2）因?yàn)椋?，?
由題中數(shù)據(jù)可得，
則，從而關(guān)于的線性回歸方程為，
故，即.
將年銷售額億元，代入，得，解得，
故估計(jì)當(dāng)年的研發(fā)資金投入量為億元.
32．2019年上半年我國多個(gè)省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時(shí)間豬肉價(jià)格暴漲，其他肉類價(jià)格也跟著大幅上揚(yáng)，嚴(yán)重影響了居民的生活.為了解決這個(gè)問題，我國政府一方面鼓勵(lì)有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴(kuò)大生產(chǎn)；另一方面積極向多個(gè)國家開放豬肉進(jìn)口，擴(kuò)大肉源，確保市場供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當(dāng)前市場形勢，決定響應(yīng)政府號(hào)召，擴(kuò)大生產(chǎn)，決策層調(diào)閱了該企業(yè)過去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行研究.現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：
（1）研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認(rèn)為與具有線性回歸關(guān)系，請(qǐng)幫他求出關(guān)于的線性回歸方程（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）
（2）研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出與的回歸模型：.為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合結(jié)果，請(qǐng)完成以下任務(wù)：
①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.01元）（備注：稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差）；
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較與的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好；
（3）根據(jù)市場調(diào)查，生豬存欄數(shù)量達(dá)到1萬頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數(shù)量達(dá)到1.2萬頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元.若按（2）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一頭豬的平均成本，問該生豬存欄數(shù)量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤?請(qǐng)說明理由.（利潤=收入-成本）
參考公式：，
參考數(shù)據(jù)： .
【答案】（1）；（2）①見解析；②
因?yàn)?，故模型的擬合效果更好；（2）1.2萬頭，理由見解析.
【解析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算，再計(jì)算出方程中的系數(shù)，得方程；
（2）①模型甲根據(jù)所求線性回歸方程計(jì)算估計(jì)值，得殘差，模型乙直接根據(jù)估計(jì)值得殘差，②計(jì)算出，可得；
（3）利用模型乙計(jì)算出成本，再計(jì)算出利潤，然后比較可得．
【詳解】（1）由題知：，
，故.
（2）①經(jīng)計(jì)算，可得下表：

因?yàn)椋誓Ｐ偷臄M合效果更好.
（3）若生豬存欄數(shù)量達(dá)到1萬頭，由（2）模型乙可知，每頭豬的成本為元，
這樣一天獲得的總利潤為元.
若生豬存欄數(shù)量達(dá)到1.2萬頭，
由（2）模型乙可知，每頭豬的成本為元，
一天獲得的總利潤為元，
因?yàn)椋赃x擇擇生豬存欄數(shù)量1.2萬頭能獲得更多利潤.
【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，考查回歸模型的應(yīng)用，考查殘差的概念，解題方法就是根據(jù)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，本題考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力．
【C組 在創(chuàng)新中考查思維】
一、單選題
1．設(shè)兩個(gè)相關(guān)變量和分別滿足，，，2，…，6，若相關(guān)變量和可擬合為非線性回歸方程，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（ ）
A．32B．63C．64D．128
【答案】C
【分析】先通過換元把非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸直線方程，從而可以利用公式求系數(shù)的值，然后把的值代入即可得到答案.
【詳解】令，則 ，
，，
所以 ，，
所以，即，
所以當(dāng)時(shí)， .
故選：C.
二、多選題
2．小明在家獨(dú)自用下表分析高三前5次月考中數(shù)學(xué)的班級(jí)排名y與考試次數(shù)x的相關(guān)性時(shí)，忘記了第二次和第四次月考排名，但小明記得平均排名，于是分別用m＝6和m＝8得到了兩條回歸直線方程：，，對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為、，排名y對(duì)應(yīng)的方差分別為、，則下列結(jié)論正確的是（ ）
（附：，）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和最小二乘法、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式分別計(jì)算當(dāng)、時(shí)的、相關(guān)系數(shù)(r)和方差()，進(jìn)而比較大小即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，
則，
，，
，
，
所以，
得，
，
；
同理，當(dāng)時(shí)，，，
所以，
故選：BD．
三、填空題
3．有兩個(gè)分類變量和，其中一組觀測值為如下的2×2列聯(lián)表：
其中，均為大于5的整數(shù)，則 時(shí)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下為“和之間有關(guān)系”.附：
【答案】9
【分析】由題意，計(jì)算，列出不等式求出的取值范圍，再根據(jù)題意求得的值.
【詳解】解：由題意知：,
則，
解得：或，
因?yàn)椋呵?，?br>綜上得：，，
所以：.
故答案為：9.
【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題.
四、解答題
4．某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識(shí)競賽成績?nèi)缦卤恚?br>計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是，知識(shí)競賽成績的平均值是，并且，，.
(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識(shí)競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù).
（i）記，.證明：；
（ii）用（i）的公式求得這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識(shí)競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢.
注：參考公式與參考數(shù)據(jù).
；；.
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）（i）根據(jù)題意即相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計(jì)算即可證明；（ii）只要能說出斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)與一般的樣本相關(guān)系數(shù)相比的優(yōu)勢即可.
【詳解】（1）由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績和知識(shí)競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)為
；
（2）（i）證明：因?yàn)楹投际?，2，，的一個(gè)排列，所以
，
，
從而和的平均數(shù)都是．
因此，，
同理可得，
由于
，
所以.
（ii）這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識(shí)競賽成績的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是0.91，
答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；
答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.
5．移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域．截至2022年底，我國移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家．右圖是2018-2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼t的散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對(duì)應(yīng)的t分別為1~5．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)．計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關(guān)程度；
(2)(i)假設(shè)變量x與變量Y的n對(duì)觀測數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型 （隨機(jī)誤差）．請(qǐng)推導(dǎo)：當(dāng)隨機(jī)誤差平方和Q＝取得最小值時(shí)，參數(shù)b的最小二乘估計(jì)．
(ii)令變量，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型利用(i)中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．
附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，
【答案】(1),這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).
(2)（i）；（ii）經(jīng)驗(yàn)回歸方程;預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算，若兩個(gè)變量正相關(guān)，若兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，越接近于1說明線性相關(guān)越強(qiáng).
（2）(i)整理得，根據(jù)二次函數(shù)求最小值時(shí)的取值；
(ii) 根據(jù)計(jì)算公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程， 并代入可預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).
【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷兩個(gè)變量線性相關(guān).
因?yàn)?
所以 ,
所以 ,
所以這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).
（2）(i)
，
要使取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng).
(ii) 由(i)知 ，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，又，
所以當(dāng) 時(shí)，則，
所以預(yù)測2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)23.04億戶.
6．指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)字，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于高中男體育特長生而言，當(dāng)數(shù)值大于或等于20.5時(shí)，我們說體重較重，當(dāng)數(shù)值小于20.5時(shí)，我們說體重較輕，身高大于或等于我們說身高較高，身高小于170cm我們說身高較矮.
（1）已知某高中共有32名男體育特長生，其身高與指數(shù)的數(shù)據(jù)如散點(diǎn)圖，請(qǐng)根據(jù)所得信息，完成下述列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為男生的身高對(duì)指數(shù)有影響.
（2）①從上述32名男體育特長生中隨機(jī)選取8名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程為.利用已經(jīng)求得的線性回歸方程，請(qǐng)完善下列殘差表，并求解釋變量（身高）對(duì)于預(yù)報(bào)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)值（保留兩位有效數(shù)字）；
②通過殘差分析，對(duì)于殘差的最大（絕對(duì)值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認(rèn)在樣本點(diǎn)的采集中是否有人為的錯(cuò)誤，已知通過重新采集發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)的體重應(yīng)該為.請(qǐng)重新根據(jù)最最小二乘法的思想與公式，求出男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程.
【參考公式】
，，，，.
【參考數(shù)據(jù)】
，，，，.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有；（2）①殘差表見解析，0.91；②
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖對(duì)出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)即可；
（2）將編號(hào)為6,7,8的數(shù)據(jù)代入殘差公式計(jì)算即可；先計(jì)算出，再代入計(jì)算；重新計(jì)算線性回歸方程就是糾正數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤，受影響的有，，糾正完后，再繼續(xù)結(jié)合最小二乘法公式計(jì)算即可
【詳解】（1）
由于，
因此沒有的把握認(rèn)為男生的身高對(duì)指數(shù)有影響.
（2）①，對(duì)編號(hào)為6的數(shù)據(jù)：，對(duì)編號(hào)為7的數(shù)據(jù)：，對(duì)編號(hào)為8的數(shù)據(jù)，完成殘差表如下所示：
.
所以解釋變量（身高）對(duì)于預(yù)報(bào)變量（體重）變化的貢獻(xiàn)值約為0.91.
②由①可知，第八組數(shù)據(jù)的體重應(yīng)為58.
此時(shí)，又，，，
，
，
所以重新采集數(shù)據(jù)后，男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程為.
【點(diǎn)睛】本題考查最小二乘法公式的相關(guān)應(yīng)用，殘差分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，綜合性強(qiáng)，數(shù)據(jù)量大，對(duì)處理信息和數(shù)據(jù)要求高，屬于中檔題
對(duì)照組
試驗(yàn)組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合計(jì)
對(duì)照組
6
14
20
試驗(yàn)組
14
6
20
合計(jì)
20
20
40
準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
合計(jì)
A
240
20
260
B
210
30
240
合計(jì)
450
50
500
樣本號(hào)ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
一級(jí)品
二級(jí)品
合計(jì)
甲機(jī)床
150
50
200
乙機(jī)床
120
80
200
合計(jì)
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
收入
文化程度
月收入2000元以下
月收入2000元及以上
合計(jì)
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
合計(jì)
30
75
105
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計(jì)
甲班
乙班
總計(jì)
105
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計(jì)
甲班
乙班
總計(jì)
105
色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20
溫差
1
2
3
4
5
發(fā)芽數(shù)顆
3
7
8
10
12
周數(shù)（x）
1
2
3
4
5
治愈人數(shù)（Y）
2
17
36
103
142
認(rèn)可
不認(rèn)可
歲以下
歲以上含歲
總計(jì)
200
800
1000
180
m
總計(jì)
380
（月份）
1
2
3
4
5
（萬盒）
5
6
5
6
8
1
2
3
4
32
48
72
88
年份
芳香度
性別
專業(yè)
合計(jì)
非統(tǒng)計(jì)專業(yè)
統(tǒng)計(jì)專業(yè)
男
13
10
23
女
7
20
27
合計(jì)
20
30
50
x
3
4
6
7
z
2
2.5
4.5
7
纖維長度
（0，100）
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500]
A地（根數(shù)）
4
9
2
17
8
B地（根數(shù)）
2
1
2
20
15
A地
B地
總計(jì)
長纖維
短纖維
總計(jì)
A地
B地
總計(jì)
長纖維
25
35
60
短纖維
15
5
20
總計(jì)
40
40
80
有興趣
沒興趣
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
有興趣
沒興趣
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
屬于“高分選手”
不屬于“高分選手”
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
屬于“高分選手”
不屬于“高分選手”
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
年份
2015
2016
2017
2018
2019
銷量（萬臺(tái)）
8
10
13
25
24
車主
購車種類
合計(jì)
傳統(tǒng)燃油車
新能源車
男性
6
24
女性
2
合計(jì)
30
車主
購車種類
合計(jì)
傳統(tǒng)燃油車
新能源車
男性
18
6
24
女性
2
4
6
合計(jì)
20
10
30
男生
女生
合計(jì)
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)
45
30
75
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)
165
60
225
合計(jì)
210
90
300
月份
1
2
3
4
5
銷售單價(jià)元
9
9.5
10
10.5
11
銷售量件
11
10
8
6
5
售價(jià)（元/件）
3
4
5
6
7
日銷量（件）
69
57
54
40
30
地點(diǎn)1
地點(diǎn)2
地點(diǎn)3
地點(diǎn)4
地點(diǎn)5
甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)x
2
4
5
6
8
乙型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)y
3
4
4
4
5
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
繁殖個(gè)數(shù)y
6
12
25
49
95
190
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
每天攬收快遞件數(shù)（千件）
2
3
4
5
8
每件快遞的平均成本（元）
5.6
4.8
4.4
4.3
4.1
每天攬收快遞件數(shù)xi/千件
2
3
4
5
8
每件快遞的平均成本yi/元
5.6
4.8
4.4
4.3
4.1
模型甲
預(yù)報(bào)值
5.2
5
4.8
隨機(jī)誤差
－0.4
0.2
0.4
模型乙
預(yù)報(bào)值
5.5
4.8
4.5
隨機(jī)誤差
－0.1
0
0.1
每天攬收快遞件數(shù)千件
2
3
4
5
8
每件快遞的平均成本元
5.6
4.8
4.4
4.3
4.1
模型甲
預(yù)報(bào)值
5.2
5.0
4.8
4.6
4.0
隨機(jī)誤差
－0.4
0.2
0.4
0.3
－0.1
模型乙
預(yù)報(bào)值
5.5
4.8
4.5
4.3
4.0
隨機(jī)誤差
－0.1
0
0.1
0
－0.1
海水濃度
畝產(chǎn)量（噸）
海水濃度
畝產(chǎn)量（噸）
殘差
海水濃度
畝產(chǎn)量（噸）
殘差
2
3
4
5
6
15
21
39
50
75
是否發(fā)病
未發(fā)病
發(fā)病
總計(jì)
未注射疫苗
20
注射疫苗
30
總計(jì)
50
50
100
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
是否發(fā)病
未發(fā)病
發(fā)病
總計(jì)
未注射疫苗
20
40
60
注射疫苗
30
10
40
總計(jì)
50
50
100

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A
合計(jì)
B
200
800
1000
180
a
180+a
合計(jì)
380
800+a
1180+a
x
1
2
3
4
5
6
7
y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
a
5.9
是否喜歡航天
性別
合計(jì)
男生
女生
喜歡航天
不喜歡航天
合計(jì)
周期數(shù)（x）
1
2
3
4
5
頻數(shù)（y）
2
17
36
93
142
滿意
不滿意
男
30
20
女
40
10
1
2
3
4
5
6
7
0.5
1.2
0.8
1.5
1.7
2.3
2.5
溫度
溶解度
對(duì)工作滿意
對(duì)工作不滿意
男
女
對(duì)工作滿意
對(duì)工作不滿意
合計(jì)
男
女
合計(jì)
單價(jià)元
8.2
8.4
8.6
8.8
銷量件
84
83
78
m
4
6
8
10
2
3
5
6
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀
合計(jì)
經(jīng)常整理
不經(jīng)常整理
合計(jì)
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀
合計(jì)
經(jīng)常整理
35
25
60
不經(jīng)常整理
15
25
40
合計(jì)
50
50
100
月份
2
4
6
8
10
滿意人數(shù)
80
95
100
105
120
滿意
不滿意
合計(jì)
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合計(jì)
120
30
150
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)
運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
運(yùn)動(dòng)達(dá)標(biāo)
運(yùn)動(dòng)不達(dá)標(biāo)
總計(jì)
男生
38
12
50
女生
26
24
50
總計(jì)
64
36
100
定價(jià)（元/月）
20
30
50
60
歲（萬人）
10
15
7
8
歲（萬人）
20
12
6
2
購買總?cè)藬?shù)（萬人）
30
27
13
10
年齡段
流量包
合計(jì)
元
元
歲
歲
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年齡段
流量包
合計(jì)
元
元
歲
歲
合計(jì)
航空公司編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
航班正點(diǎn)率/%
81.8
76.6
76.6
75.7
73.8
72.2
71.2
70.8
91.4
68.5
顧客投訴次數(shù)
21
58
85
68
74
93
72
122
18
125
年齡
2
3
4
5
6
患病人數(shù)
21
20
15
14
10
生產(chǎn)能手
非生產(chǎn)能手
合計(jì)
25周歲以上（含25周歲）
15
45
60
25周歲以下
15
25
40
合計(jì)
30
70
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
零件個(gè)數(shù)x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工時(shí)間y/min
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
月份
元月
2月
3月
4月
5月
銷售量（萬輛）
0.5
0.6
1.0
1.4
1.7

5
10
15
20
25
30
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
0.05
0.005
－0.08
－0.045
0.04
0.025
－2.24
－1.37
－0.54
0.41
1.41
2.31
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
繁殖個(gè)數(shù)y
6
12
25
49
95
190
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500
生豬存欄數(shù)量（千頭）
2
3
4
5
8
頭豬每天平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.5
生豬存欄數(shù)量（千頭）
2
3
4
5
8
頭豬每天平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.5
模型甲
估計(jì)值
殘差
模型乙
估計(jì)值
3.2
2.4
2
1.76
1.4
殘差
0
0
0
0.14
0.1
生豬存欄數(shù)量（千頭）
2
3
4
5
8
頭豬每天平均成本（元）
3.2
2.4
2
1.9
1.5
模型甲
估計(jì)值
2.80
2.55
2.30
2.05
1.30
殘差
0.40
-0.15
-0.30
-0.15
0.20
模型乙
估計(jì)值
3.2
2.4
2
1.76
1.4
殘差
0
0
0
0.14
0.1
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
總計(jì)
15
50
總計(jì)
20
45
65
學(xué)生編號(hào)i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
數(shù)學(xué)成績
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知識(shí)競賽成績
290
160
220
200
65
70
90
100
60
270
學(xué)生編號(hào)i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數(shù)學(xué)成績
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知識(shí)競賽成績
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5
身高較矮
身高較高
合計(jì)
體重較輕
體重較重
合計(jì)
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169
158
173
體重
57
58
53
61
66
57
50
66
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
體重
57
58
53
61
66
57
50
66
殘差
0.1
0.3
0.9
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.811
6.635
7.879
身高較矮
身高較高
合計(jì)
體重較輕
6
15
21
體重較重
6
5
11
合計(jì)
12
20
32
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
體重
57
58
53
61
66
57
50
66
殘差
0.1
0.3
0.9
3.5