新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第31練 基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（2份打包，原卷版+含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第31練 基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第31練基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層提升練習(xí)第31練基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積含解析doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共107頁， 歡迎下載使用。

一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，則該棱錐的體積為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】A
【分析】證明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.
【詳解】取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，

SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 ，則該圓錐的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.
【詳解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓錐的體積 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，線段 SKIPIF 1 < 0 上的點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 上的點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 和三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積之比為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分別過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 .過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ,過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足為 SKIPIF 1 < 0 .先證 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再證 SKIPIF 1 < 0 .由三角形相似得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求出體積比.
【詳解】如圖，分別過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 .過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ,過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足為 SKIPIF 1 < 0 .

因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
又因為平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為 SKIPIF 1 < 0 ，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A．23B．24C．26D．27
【答案】D
【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.
【詳解】該幾何體由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 及直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 組成，作 SKIPIF 1 < 0 于M，如圖，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為重疊后的底面為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BHC，則 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)重疊后的EG與 SKIPIF 1 < 0 交點為 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
則該幾何體的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面積分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，體積分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】設(shè)母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，甲圓錐底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，乙圓錐底面圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合圓心角之和可將 SKIPIF 1 < 0 分別用 SKIPIF 1 < 0 表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設(shè)母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，甲圓錐底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，乙圓錐底面圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以甲圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，
乙圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
6．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的六條棱長均為6，S是 SKIPIF 1 < 0 及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合 SKIPIF 1 < 0 ，則T表示的區(qū)域的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出以 SKIPIF 1 < 0 為球心，5為半徑的球與底面 SKIPIF 1 < 0 的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.
【詳解】
設(shè)頂點 SKIPIF 1 < 0 在底面上的投影為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為三角形 SKIPIF 1 < 0 的中心，
且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為以 SKIPIF 1 < 0 為圓心，1為半徑的圓，
而三角形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切圓的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的軌跡圓在三角形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，故其面積為 SKIPIF 1 < 0
故選：B
7．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，兩個圓錐的高之比為 SKIPIF 1 < 0 ，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圓錐 SKIPIF 1 < 0 和圓錐 SKIPIF 1 < 0 的高之比為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
又因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，這兩個圓錐的體積之和為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺的高 SKIPIF 1 < 0 ，
下底面面積 SKIPIF 1 < 0 ，上底面面積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該棱臺的體積 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
9．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為 SKIPIF 1 < 0 （軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為 SKIPIF 1 < 0 的球，其上點A的緯度是指 SKIPIF 1 < 0 與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ），則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
【答案】C
【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.
【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：
SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
10．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位： SKIPIF 1 < 0 ）．24h降雨量的等級劃分如下：

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【答案】B
【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.
【詳解】由題意，一個半徑為 SKIPIF 1 < 0 的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 的圓錐，
所以積水厚度 SKIPIF 1 < 0 ，屬于中雨.
故選：B.
11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即為所求.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
二、多選題
12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，記三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的體積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【分析】直接由體積公式計算 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 計算出 SKIPIF 1 < 0 ，依次判斷選項即可.
【詳解】
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，易得四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
三、填空題
13．（2021·全國·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為 SKIPIF 1 < 0 則該圓錐的側(cè)面積為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在正四棱臺 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則該棱臺的體積為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】結(jié)合圖像，依次求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而利用棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 為四棱臺 SKIPIF 1 < 0 的高，

因為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.
【詳解】方法一：由于 SKIPIF 1 < 0 ，而截去的正四棱錐的高為 SKIPIF 1 < 0 ，所以原正四棱錐的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四棱錐的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
截去的正四棱錐的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以棱臺的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：棱臺的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .

【A組 在基礎(chǔ)中考查功底】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓錐的高為 SKIPIF 1 < 0 ，體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長，由圓錐的側(cè)面積公式計算結(jié)果.
【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，從而該圓錐的側(cè)面積 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B
2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃粽值母?lián)Q代比較快，而且燈具大部分都是設(shè)計師精心設(shè)計，對于燈來說，不用將燈整個都換掉，只需要把燈具的外部燈罩進行替換就可以改變燈的風(fēng)格.杰斯決定更換臥室內(nèi)的兩個燈罩來換換氛圍，已知該燈罩呈圓臺結(jié)構(gòu)，上下底皆挖空，上底半徑為10 SKIPIF 1 < 0 ，下底半徑為18 SKIPIF 1 < 0 ，母線長為17 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)面計劃選用絲綢材質(zhì)布料制作，若不計做工布料的浪費，則更換兩個燈罩需要的絲綢材質(zhì)布料面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】運用圓臺的側(cè)面積公式計算即可.
【詳解】由題意可得更換兩個燈罩需要的絲綢材質(zhì)布料面積 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將一個圓柱 SKIPIF 1 < 0 等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體， SKIPIF 1 < 0 越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，列出方程求解即可.
【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，
設(shè)圓柱的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓柱的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A.
4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（ ）
A．3：2B．5：4C．5：3D．4：3
【答案】B
【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.
【詳解】由題意知， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
故選：B.
5．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）轉(zhuǎn)子發(fā)動機采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運動來控制壓縮和排放．如圖，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓構(gòu)成的曲面三角形，正三角形的頂點稱為曲面三角形的頂點，側(cè)棱長為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h，已知曲面棱柱的體積 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則曲面棱柱的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)題意和圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成的，其面積等于三塊扇形的面積相加，再減去兩個等邊三角形的面積，進而求解.
【詳解】扇形ACB的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
則底面積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲面棱柱的體積 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個鱉臑的體積是1，則原長方體的體積是（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)柱體和錐體體積公式求得正確答案.
【詳解】如圖所示，原長方體 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)矩形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
鱉臑 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即原長方體的體積是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
7．（2023春·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知側(cè)棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正四棱錐各頂點都在同一球面上．若該球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該正四棱錐的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】作圖，分外接球的球心在錐內(nèi)和錐外2種情況，運用勾股定理分別計算.
【詳解】設(shè)四棱錐為 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 的中心為O，
設(shè)外接球的半徑為R，底面正方形的邊長為2a，四棱錐的高為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當外接球的球心在錐內(nèi)時為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 …① ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 …②，
聯(lián)立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）；
當外接球的球心在錐外時為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 …③，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 …④，
聯(lián)立③④解得 SKIPIF 1 < 0 ，四棱錐的體積 SKIPIF 1 < 0 ；
故選：D.
8．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為 SKIPIF 1 < 0 ，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】設(shè)出相關(guān)棱長，利用面積公式求出正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積，然后可得答案.
【詳解】設(shè)正六邊形的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，由題意正六棱柱的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為正六棱錐的高與底面邊長的比為 SKIPIF 1 < 0 ，所以正六棱錐的高為 SKIPIF 1 < 0 ，正六棱錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，
正六棱錐的側(cè)面積 SKIPIF 1 < 0 ；
正六棱柱的側(cè)面積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
9．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）擬柱體（所有頂點均在兩個平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森（Simpsn）公式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求體積，其中h是高， SKIPIF 1 < 0 是上底面面積， SKIPIF 1 < 0 是下底面面積， SKIPIF 1 < 0 是中截面（到上、下底面距離相等的截面）面積，如圖所示，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為4的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，且直線EF到底面ABCD的距離為3，則該五面體的體積為（ ）
A．18B．20C．24D．25
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用辛普森（Simpsn）公式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求解.
【詳解】解：如圖所示：
分別取邊AE，BF，CF，DE的中點G，H，J，K，
由題意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B
10．（2023·全國·校聯(lián)考三模）如圖為一個火箭的整流罩的簡單模型的軸截面，整流罩是空心的，無下底面，由兩個部分組成，上部分近似為圓錐，下部分為圓柱，則該整流罩的外表面的面積約為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分上部分為圓錐，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積；下部分為圓柱，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積，最后得到正面外表面面積.
【詳解】根據(jù)題意，上部分圓錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓錐的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
下部分圓柱的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該整流罩的外表面的面積約為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B.
11．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某幾何體的上半部分是長方體，下半部分是正四棱錐， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該幾何體的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高，再根據(jù)棱柱與棱錐的體積公式即可得解.
【詳解】在正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，連接 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 即為正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以該幾何體的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（ ）（附：圓臺的側(cè)面積 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩底面半徑， SKIPIF 1 < 0 為母線長，其中 SKIPIF 1 < 0 的值取3， SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，兩底面圓半徑分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故圓臺部分的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
圓柱部分的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
13．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該圓臺的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.
【詳解】因為圓臺外接球的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，所以球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圓臺的上?下底面圓心分別為 SKIPIF 1 < 0 ，在上?下底面圓周上分別取點 SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
因為圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓臺體積 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】B
【分析】設(shè)正方體的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，由條件結(jié)合錐體體積公式列方程求解即可.
【詳解】設(shè)正方體棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，可得正八面體是由兩個四棱錐構(gòu)成，
四棱錐的底面為邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形，高為 SKIPIF 1 < 0 ，
則正八面體體積為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖①，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓面叫做球缺的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是球的半徑， SKIPIF 1 < 0 是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機械插件中間部分的體積約為（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)球的截面的性質(zhì)由條件求出球的半徑，切除掉的“球缺”的高，結(jié)合球的體積公式和“球缺”的體積公式可得結(jié)論.
【詳解】過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如下：
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由求得截面性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 為以 SKIPIF 1 < 0 為斜邊的直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 為球心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的球的體積 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以“球缺”的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以一個“球缺”的體積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該機械插件中間部分的體積約為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
二、多選題
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為 SKIPIF 1 < 0 ，則關(guān)于上、下兩空間圖形的說法正確的是（ ）
A．側(cè)面積之比為 SKIPIF 1 < 0 B．側(cè)面積之比為 SKIPIF 1 < 0
C．體積之比為 SKIPIF 1 < 0 D．體積之比為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】計算出小棱錐與原棱錐的相似比，結(jié)合兩個棱錐側(cè)面積之積為相似比的平方、體積之比為相似比的立方可求得結(jié)果.
【詳解】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，
所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為 SKIPIF 1 < 0 ，高之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，體積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
即小棱錐與棱臺的側(cè)面積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，體積之比為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：BD.
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularslid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體，已知 SKIPIF 1 < 0 ，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（ ）
A．該半正多面體的體積為 SKIPIF 1 < 0
B．該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為 SKIPIF 1 < 0
C．該半正多面體外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0
D．該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E滿足關(guān)系式 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根據(jù)幾何體的構(gòu)成可判斷A，由截面為正六邊形可求面積判斷B，根據(jù)外接球為正四棱柱的外接球即可判斷C，根據(jù)頂點，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.
【詳解】如圖，
該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.
對于A，因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為： SKIPIF 1 < 0 ，故正確；
對于B，過A，B，C三點的截面為正六邊形ABCFED，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正確.
對于C，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，故錯誤；
對于D，幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，故正確.
故選：ABD
18．（2023·重慶·二模）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，吃粽子便是端午節(jié)食俗之一．全國各地的粽子包法各有不同．如圖，粽子可包成棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正四面體狀的三角粽，也可做成底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 （不含外殼）的圓柱狀竹筒粽．現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為 SKIPIF 1 < 0 的半球的體積，則（ ）（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）

A．這兩碗餡料最多可包三角粽35個
B．這兩碗餡料最多可包三角粽36個
C．這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個
D．這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個
【答案】AC
【分析】分別求出一個正四面體狀的三角粽的體積，一個圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得出答案.
【詳解】解：兩碗餡料得體積為： SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，在正四面體 SKIPIF 1 < 0 中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即為正四面體的高，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以正四面體的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
即一個正四面體狀的三角粽的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤；
一個圓柱狀竹筒粽得體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.
故選：AC.
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，其軸截面為直角三角形，則下列關(guān)于該圓錐的說法中正確的有（ ）
A．圓錐的體積為 SKIPIF 1 < 0
B．圓錐的表面積為 SKIPIF 1 < 0
C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為 SKIPIF 1 < 0 的扇形
D．圓錐的內(nèi)切球表面積為 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據(jù)球的表面積公式可判斷D.
【詳解】
由題意圓錐的底面半徑 SKIPIF 1 < 0 ，圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓錐的體積 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
圓錐的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯誤；
圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
，
作出圓錐內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
圓錐的內(nèi)切球表面積 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.故選：ACD
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（ ）
A．“羨除”有且僅有兩個面為三角形；B．“羨除”一定不是臺體；
C．不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”；D．“羨除”至多有兩個面為梯形.
【答案】ABC
【分析】畫出圖形，利用新定義判斷A；通過 SKIPIF 1 < 0 ，判斷“羨除”一定不是臺體，判斷B；利用反證法判斷C；通過 SKIPIF 1 < 0 兩兩不相等，則“羨除”有三個面為梯形，判斷D．
【詳解】由題意知： SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為梯形，如圖所示：
對于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個面為三角形，故A正確；
對于B：由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以：“羨除”一定不是臺體，故B正確；
對于C：假設(shè)四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形BCDF為平行四邊形，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，與已知的四邊形 SKIPIF 1 < 0 為梯形矛盾，故不存在，故C正確；
對于D：若 SKIPIF 1 < 0 ，則“羨除”三個面為梯形，故D錯誤．
故選：ABC．
三、填空題
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側(cè)面積是 .（結(jié)果用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進而根據(jù)圓錐側(cè)面積公式 SKIPIF 1 < 0 求得結(jié)果．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，
SKIPIF 1 < 0 圓錐的底面半徑 SKIPIF 1 < 0 ，母線 SKIPIF 1 < 0 ，
故圓錐的側(cè)面積 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
22．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則球的表面積為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ,根據(jù)圓柱的體積可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用球的表面積公式即可求得答案.
【詳解】設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ,則圓柱的底面直徑和高皆為 SKIPIF 1 < 0 ，
故圓柱的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若長方體的對角線的長為 SKIPIF 1 < 0 ，其長、寬、高的和是 SKIPIF 1 < 0 ，則長方體的全面積是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 可構(gòu)造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，即為所求的全面積.
【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即長方體的全面積為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，則堆放的米約有 斛（結(jié)果精確到個位）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】依題意有體積為 SKIPIF 1 < 0 ，故一共有 SKIPIF 1 < 0 （斛）米.
25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.
【詳解】設(shè)長方體長寬高分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以長方體體積 SKIPIF 1 < 0 ，
三棱錐體積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之比為：
SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【點睛】本題主要考查了長方體體積公式，三棱錐體積公式，屬于基礎(chǔ)題.
26．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形.若 SKIPIF 1 < 0 ，則該直三棱柱的體積為 .
【答案】24
【分析】根據(jù)直三棱柱的體積公式直接求解即可.
【詳解】因為在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為直角，
故可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：24
27．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）若甲、乙兩個圓柱形容器的容積相等，且甲、乙兩個圓柱形的容器內(nèi)部底面半徑的比值為2，則甲、乙兩個圓柱形容器內(nèi)部的高度的比值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)體積相等列方程，由此求得高度比.
【詳解】設(shè)甲的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則乙的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)甲的高為 SKIPIF 1 < 0 ，乙的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
28．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個正四棱臺的上下底面的邊長分別為2和4，側(cè)棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，則這個棱臺的體積為 ．
【答案】28
【分析】先根據(jù)側(cè)棱長和上下底面的對角線長算出棱臺的高，再根據(jù)棱臺的體積公式計算即可.
【詳解】因為上下底面的對角線長分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，求得正四棱臺的高為 SKIPIF 1 < 0 ，所以棱臺的體積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：28.
29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 .
【答案】10
【分析】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后分別求出 SKIPIF 1 < 0 的值，從而可求得答案.
【詳解】由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：10.
30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）周總理紀念館是由正方體和正四棱錐組合體建筑設(shè)計，如圖所示，若該組合體接于半徑R的球O（即所有頂點都在球上），記正四棱錐側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 與正方體底面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用正方體的性質(zhì)及球的性質(zhì)可得組合體的外接球的球心為正方體的中心，設(shè)正方體底面 SKIPIF 1 < 0 的中心為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得.
【詳解】由正方體的性質(zhì)可知該組合體的外接球的球心為正方體的中心，
設(shè)正方體底面 SKIPIF 1 < 0 的中心為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)正方體的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【B組 在綜合中考查能力】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）陀螺又稱陀羅，是中國民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為1，圓錐與圓柱的高均為1，若該陀螺由一個球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】依題意當該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，設(shè)此時球形材料的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理求出外接球的半徑，即可求出其體積.
【詳解】依題意當該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，
設(shè)此時球形材料的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球形材料的體積最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
2．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）將一個體積為 SKIPIF 1 < 0 的鐵球切割成正三棱錐的機床零件，則該零件體積的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由球體積求得球半徑 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)邊長、高、外接球半徑關(guān)系及棱錐體積公式得到零件體積關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積最大值.
【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
由球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正三棱錐的體積為： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，此時函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，此時函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
SKIPIF 1 < 0 當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）牟合方蓋是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)并采用的，一種用于計算球體體積的方法，類似于現(xiàn)在的微元法.由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋.本質(zhì)上來說，牟合方蓋是兩個半徑相等并且軸心互相垂直的圓柱體相交而成的三維圖形，如圖1所示.劉徽發(fā)現(xiàn)牟合方蓋后200多年，祖沖之及他的兒子祖暅，推導(dǎo)出牟合方蓋八分之一部分的體積計算公式為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為構(gòu)成牟合方蓋的圓柱底面半徑）.圖2為某牟合方蓋的 SKIPIF 1 < 0 部分，且圖2正方體的棱長為1，則該牟合方蓋的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)“牟盒方蓋”的定義和體積公式計算可得.
【詳解】由圖可知，牟合方蓋的圓柱底面半徑即為正方體的棱長，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，該牟合方蓋的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
4．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？既＃┮粋€球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積 SKIPIF 1 < 0 ，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個半徑為R的球體被平面所截獲得兩個球缺，其高之比為 SKIPIF 1 < 0 ，則表面積（包括底面）之比 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑，從而求出表面積，可解此題.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B
5．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍 SKIPIF 1 < 0 如圖 SKIPIF 1 < 0 ，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分 SKIPIF 1 < 0 除去兩個球冠 SKIPIF 1 < 0 如圖 SKIPIF 1 < 0 ，球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，球冠的高為 SKIPIF 1 < 0 ，則球冠的面積 SKIPIF 1 < 0 已知該燈籠的高為 SKIPIF 1 < 0 ，圓柱的高為 SKIPIF 1 < 0 ，圓柱的底面圓直徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則圍成該燈籠所需布料的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，分別求出兩個球冠的表面積、燈籠中間球面的表面積、上下兩個圓柱的側(cè)面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.
【詳解】由題意得圓柱的底面圓直徑為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，即球冠底面圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 .
已知該燈籠的高為 SKIPIF 1 < 0 ，圓柱的高為 SKIPIF 1 < 0 ，所以該燈籠去掉圓柱部分的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以兩個球冠的表面積之和為 SKIPIF 1 < 0 ，
燈籠中間球面的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
因為上下兩個圓柱的側(cè)面積之和為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圍成該燈籠所需布料的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
6．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則該圓臺的側(cè)面積為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】作出圖形，計算出圓臺的母線長，再利用圓臺的側(cè)面積公式可求得該圓臺的側(cè)面積.
【詳解】設(shè)球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
取圓臺的軸截面 SKIPIF 1 < 0 ，如下圖所示：

設(shè)圓臺的上、下底面圓心分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點，
連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂徑定理可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，圓臺的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
7．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，圓臺內(nèi)有一個球，該球與圓臺的側(cè)面和底面均相切．已知圓臺的下底面圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓臺的上底面圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），球的球心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，記圓臺的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的可能的取值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】作圖分析，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)推出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合圓臺的全面積公式可得 SKIPIF 1 < 0 的表達式，化簡并結(jié)合選項中的數(shù)值，判斷可得答案.
【詳解】如圖，作出圓臺的軸截面，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為F，
由題意知圓O與梯形 SKIPIF 1 < 0 相切，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ，故取不到等號），
由于 SKIPIF 1 < 0 都不大于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
8．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）某同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面 SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均為正三角形，且它們所在的平面都與平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，則該包裝盒的容積為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．20
【答案】A
【分析】補全圖形為長方體求解即可.
【詳解】
將幾何體補全為長方體，如圖所示，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
所以則該包裝盒的容積為：
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知半徑為 SKIPIF 1 < 0 、母線長為 SKIPIF 1 < 0 的圓錐 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面展開圖是半圓，在其內(nèi)部作一個半徑為 SKIPIF 1 < 0 、母線長為 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)接圓柱 SKIPIF 1 < 0 （圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面的圓在圓錐的側(cè)面上），若圓柱 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面積與圓錐 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，求得 SKIPIF 1 < 0 ，圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，進而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，進而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【詳解】由圓錐 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面展開圖是半圓，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，
因為圓柱 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面積與圓錐 SKIPIF 1 < 0 的側(cè)面積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.

10．（2023秋·山東濟南·高三濟南市歷城第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺．在綜合實踐活動中，某小組在超市中測量出一“方斗”的上底面內(nèi)側(cè)邊長為8dm，下底面內(nèi)側(cè)邊長為2dm，側(cè)棱長為6dm．將“方斗”內(nèi)的大米鋪平（即與下底面平行），測得鋪平后的大米所在的四邊形邊長為6dm．已知1kg大米的體積約為 SKIPIF 1 < 0 ，則方斗內(nèi)剩余的大米質(zhì)量約為（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)果保留整數(shù)）（ ）
A．30kgB．36kgC．45kgD．52kg
【答案】B
【分析】根據(jù)四棱臺的體積公式即可求解.
【詳解】如圖，平面 SKIPIF 1 < 0 為大米鋪平后所在的平面．連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．分別取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 （它們分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上），
連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的交點 SKIPIF 1 < 0 必在 SKIPIF 1 < 0 上且為 SKIPIF 1 < 0 的中心．
在正四棱臺的對角面 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的三等分點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因為1kg大米的體積約為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方斗內(nèi)剩余的大米質(zhì)量約為 SKIPIF 1 < 0 （kg）．
故選:B．
11．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，點D、E分別為棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點，則平面ADE截三棱柱 SKIPIF 1 < 0 所得兩部分的體積比為（ ）
A．2：3B．5：8C．13：23D．19：29
【答案】C
【分析】如圖，作出截面 SKIPIF 1 < 0 ，由面面平行得線面平行，設(shè)三棱柱底面面積為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，然后由棱錐、棱柱體積公式及棱錐的性質(zhì)得出兩部分體積，從而得出體積比．
【詳解】設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 分別交于點 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 連接 SKIPIF 1 < 0 ，由棱柱的上下底面平行得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的高為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 到底面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到底面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以多面體 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
從而多面體 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
12．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）古代最初的長度計量常常借助于人體的某一部分或某種動作來實現(xiàn)．《孔子家語》說：“布指知寸，布手知尺，舒肘知尋，斯不遠之則也．”“布手知尺”是指中等身材人的大拇指和食指伸開之間的距離，相當于1尺，折合現(xiàn)代的長度約16厘米．古代一位中等身材的農(nóng)民買到一個正四棱臺形狀的容器盛糧食，由于沒有合適的測量工具，于是用自己的手按上述方式去測量，得到正四棱臺的兩底面邊長分別為3尺和1尺，斜高（側(cè)面梯形的高）為2尺，則按現(xiàn)代的方式計算，該容器的容積約為（ ）（1升＝1000立方厘米， SKIPIF 1 < 0 ）
A．27升B．31升C．33升D．35升
【答案】B
【分析】根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)以及棱臺的體積求法即可求解.
【詳解】
棱臺 SKIPIF 1 < 0 為正四棱臺,
四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形,
點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0
作 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ,且點 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi),
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 (尺), SKIPIF 1 < 0 (尺), SKIPIF 1 < 0 (尺),
作正方形 SKIPIF 1 < 0 在底面的俯視投影 SKIPIF 1 < 0 如圖:
因為棱臺 SKIPIF 1 < 0 為正四棱臺,
所以正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心重合,
所以 SKIPIF 1 < 0 (尺)，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ，
故棱臺 SKIPIF 1 < 0 的高為 SKIPIF 1 < 0 尺,
體積為: SKIPIF 1 < 0 (立方尺)，
一個立方尺等于 SKIPIF 1 < 0 立方厘米，
故該容器的容積為: SKIPIF 1 < 0 .
故選: SKIPIF 1 < 0 .
二、多選題
13．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形．現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為3，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則（ ）
A．圓錐的母線長為9B．圓錐的表面積為 SKIPIF 1 < 0
C．圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 D．圓錐的體積為 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】對于A，利用圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置求解以S為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的圓的面積，再求解圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐本身恰好滾動了3周列出方程求解結(jié)果；對于B，利用圓錐的表面積公式進行計算；對于C，圓錐的底面圓周長即為圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的弧長，根據(jù)弧長公式求解圓心角；對于D，求解圓錐的高，利用圓錐體積公式求解.
【詳解】對于A，設(shè)圓錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，以S為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的圓的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
圓錐的側(cè)面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
當圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以圓錐的母線長為 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
對于B，圓錐的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
對于C，圓錐的底面圓周長為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤；
對于D，圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，所以圓錐的體積為 SKIPIF 1 < 0 ,故D錯誤.
故選：AB.
14．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測）半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若它的所有棱長都為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．被截正方體的棱長為2
B．被截去的一個四面體的體積為 SKIPIF 1 < 0
C．該二十四等邊體的體積為 SKIPIF 1 < 0
D．該二十四等邊體外接球的表面積為 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點均為正方體各個棱的中點，即可得出A項；根據(jù)A項，可知四面體 SKIPIF 1 < 0 是三條側(cè)棱兩兩垂直，即可得出三棱錐的體積，判斷B項；根據(jù)B項的結(jié)果，以及正方體的體積公式，即可得出C項；設(shè)球心為 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)造 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即外接球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出表面積得出D項.
【詳解】
對于A項，由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點均為正方體 SKIPIF 1 < 0 各個棱的中點，
如圖1，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A項正確；
對于B項，如圖1，由A知，四面體 SKIPIF 1 < 0 是三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度為 SKIPIF 1 < 0 的三棱錐，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B項錯誤；
對于C項，正方體的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，所以該二十四等邊體的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，故C項正確；
對于D項，如圖2，設(shè)球心為 SKIPIF 1 < 0 ，顯然 SKIPIF 1 < 0 是正方體的中心，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，該二十四等邊體外接球的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故D項正確.
故選：ACD.
15．（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學(xué)?？既＃┠硨W(xué)校課外社團活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組進行了一次有趣的數(shù)學(xué)實驗操作，課題名稱“不用尺規(guī)等工具，探究水面高度”.如圖甲， SKIPIF 1 < 0 是一個水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器（容器材料厚度不計），底面 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，設(shè)棱錐高為 SKIPIF 1 < 0 ，體積為 SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)將容器以棱 SKIPIF 1 < 0 為軸向左側(cè)傾斜，如圖乙，這時水面恰好經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，則（ ）
A．水的體積為 SKIPIF 1 < 0
B．水的體積為 SKIPIF 1 < 0
C．圖甲中的水面高度為 SKIPIF 1 < 0
D．圖甲中的水面高度為 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】將四棱錐補成平行六面體，利用棱柱和棱錐的體積公式逐項分析即可.
【詳解】如圖將四棱錐補成平行六面體，設(shè)平行四面體的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù) SKIPIF 1 < 0 分別為棱 SKIPIF 1 < 0 的中點，
則 SKIPIF 1 < 0 ，而三棱柱 SKIPIF 1 < 0 與平行六面體的高相同，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)四棱錐 SKIPIF 1 < 0 與平行六面體底和高均相同，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確，B錯誤，
圖甲中上方的小四棱錐高為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故圖甲中的水面高度為 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確,D錯誤；
故選：AC.
16．（2023·全國·模擬預(yù)測）底面為直角三角形的三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為4，該三棱錐的各個頂點都在球O的表面上，點P在底面ABC上的射影為K， SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的是（ ）
A．若點K與點A重合，則球O的表面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
B．若點K與點A重合，則球O的體積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
C．若點K是 SKIPIF 1 < 0 的斜邊的中點，則球O的表面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
D．若點K是 SKIPIF 1 < 0 的斜邊的中點，則球O的體積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 的兩直角邊長分別為x，y，根據(jù)題意求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后分點K與點A重合和點K是 SKIPIF 1 < 0 的斜邊的中點兩種情況進行求解即可判斷.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 的兩直角邊長分別為x，y，球O的半徑為R.因為三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為4， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
對于選項A，B：由題意知 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，所以 SKIPIF 1 < 0 （當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時取等號），解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球O的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，球O的體積 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確，B錯誤；
對于選項C，D：若點K是 SKIPIF 1 < 0 的斜邊的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，（球O的球心位于直線PK上）
所以 SKIPIF 1 < 0 （當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時取等號），即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以球O的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，球O的體積 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤，D正確.
故選：AD
【點睛】方法技巧
求解此類題要過好三關(guān)：一是構(gòu)造關(guān)，即會構(gòu)造長方體模型快速求解外接球的直徑，長方體的外接球的直徑等于共點的三條棱長的平方和的開方；二是方程關(guān)，即會利用三棱錐的底面三角形的外接圓的圓心?球心與三棱錐的頂點構(gòu)成的直角三角形，用勾股定理得關(guān)于球半徑的方程；三是最值關(guān)，利用基本不等式求最值，要注意“一正二定三相等”.
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）素描是寫實繪畫的重要基礎(chǔ)，也是最需要理智來協(xié)助的藝術(shù)．十字貫穿體是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，圖1所示為一個十字貫穿體的素描作品．十字貫穿體一般是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，一個四棱柱的兩條相對側(cè)棱和另一個四棱柱的兩條相對側(cè)棱各交于兩點，另外兩條相對側(cè)棱與另一個四棱柱剩下的兩條相對側(cè)棱各交于一點（該點為所在棱的中點）．如圖2，十字貫穿體由兩個底面邊長為2、高為6的正四棱柱構(gòu)成，則（ ）
A．一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線的夾角為鈍角
B．該十字貫穿體的表面積是 SKIPIF 1 < 0
C．該十字貫穿體的體積是 SKIPIF 1 < 0
D．一只螞蟻從該十字貫穿體的頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點B的最短路線長為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意 SKIPIF 1 < 0 為所求夾角，結(jié)合余弦定理判斷A；該“十字貫穿體”的表面由4個全等的正方形和16個全等的直角梯形組成，分別計算幾何體各個面的面積，相加即可判斷B；十字貫穿體的體積為兩個正四棱柱的體積相加，再減去重合部分的體積，即可判斷C；分別計算螞蟻在移動過程中主要沿著棱移動與螞蟻主要沿十字貫穿體表面移動的路線長，從而得出最短路線長，即可判斷D.
【詳解】對于A，一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線為CE，DE，則 SKIPIF 1 < 0 為所求夾角．連接PM，CD，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，夾角為銳角，A不正確．
對于B，根據(jù)表面積的定義，分別計算幾何體各個面的面積，相加即可，注意面數(shù)不要數(shù)錯.
該“十字貫穿體”的表面由4個全等的正方形和16個全等的直角梯形組成，
4個正方形的面積均為4，梯形的面積均為 SKIPIF 1 < 0 ，
則十字貫穿體的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，B正確．
對于C，十字貫穿體由兩個正四棱柱組合而成，且這兩個正四接柱有重合的部分，將兩個正四棱柱的體積相加，減去重合部分體積，即可得十字貫穿體的體積.
如圖3，兩個正四棱柱的重合部分為多面體CDGEST，取CS的中點I，連接GI，EI，
則多面體CDGEST可以分成8個全等的三棱錐，體積均為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該十字貫字體的體積 SKIPIF 1 < 0 ，C正確．
對于D，若螞蟻在移動過程中主要沿著棱移動，因為 SKIPIF 1 < 0 ，
則最短的路線為A→C→P→M→D→B或A→C→E→D→B，
前者路線長為 SKIPIF 1 < 0 ，后者路線長為 SKIPIF 1 < 0 ，
故此時最短路線長為 SKIPIF 1 < 0 ．
若螞蟻主要沿十字貫穿體表面移動，將平面MNED沿著ED翻折，使其與梯形BDEF處于同一平面，如圖4所示，連接BE， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為銳角，
過B作 SKIPIF 1 < 0 于H，根據(jù)對稱性得，最短路徑為2BH．
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，一只螞蟻從該十字貫穿體的頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點B的最短路線長為 SKIPIF 1 < 0 ，D正確，
故選：BCD．
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一個裝有水的全封閉直三棱柱容器 SKIPIF 1 < 0 若水的體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽略不計，則（ ）
A．轉(zhuǎn)動容器，當平面 SKIPIF 1 < 0 水平放置時，容器內(nèi)水面形成的截面為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 都是所在棱的中點
B．當?shù)酌?SKIPIF 1 < 0 水平放置后，將容器繞著 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動過程中 SKIPIF 1 < 0 始終保持水平），有水的部分是棱柱
C．在翻滾?轉(zhuǎn)動容器的過程中，有水的部分不可能是三棱錐
D．容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根據(jù)棱柱和棱臺的體積公式計算，即可判斷A；根據(jù)直觀想象，結(jié)合棱柱、三棱錐的概念即可判斷BC；根據(jù)題意確定棱柱的外接球，結(jié)合外接球的體積公式，利用基本不等式計算即可判斷D.
【詳解】A：當平面 SKIPIF 1 < 0 水平放置時，假設(shè) SKIPIF 1 < 0 都為所在棱的中點，
設(shè)水面到底面的的距離為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以水的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
又轉(zhuǎn)動前水的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不為所在棱的中點，故A錯誤；
B：當平面 SKIPIF 1 < 0 水平放置時（ SKIPIF 1 < 0 始終保持水平），則平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有水的部分是棱柱，故B正確；
C：在翻滾?轉(zhuǎn)動容器的過程中，
當平面 SKIPIF 1 < 0 水平放置時，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積取到最大值，如圖，
此時 SKIPIF 1 < 0 ，
而水的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，所以有水的部分不可能是三棱錐，故C正確；
D：取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中點O，連接OA，
則D為 SKIPIF 1 < 0 的外接圓圓心，O為三棱柱 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，
所以 SKIPIF 1 < 0 為外接球的半徑，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直三棱柱外接球體積 SKIPIF 1 < 0 .
由選項A可知，容器中水的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時等號成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則水的體積與直三棱柱外接球體積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，
即容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
19．（2023·天津河?xùn)|·一模）如圖所示，一個由圓錐和圓柱組成的玻璃容器，中間聯(lián)通（玻璃壁厚度忽略不計），容器中裝有一定體積的水，圓柱高為10，底面半徑為3，圓錐高為 SKIPIF 1 < 0 ，底面半徑大于圓柱，左圖中，圓柱體在下面，液面保持水平，高度為 SKIPIF 1 < 0 ，右圖中將容器倒置，水恰好充滿圓錐，則圓錐底面的半徑為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)前后體積一致，列出計算式即可求解.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
20．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）根據(jù)祖暅原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖1所示，一個容器是半徑為R的半球，另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個圓柱形容器的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，里面注入高為 SKIPIF 1 < 0 的水，將一個半徑為 SKIPIF 1 < 0 的實心球緩慢放入容器內(nèi)，當球沉到容器底端時，水面的高度為 SKIPIF 1 < 0 ．（注： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運算公式求解即可.
【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時，水面的高度為h，
由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，
由圖1知相應(yīng)圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，
故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺的體積，因為容器內(nèi)水的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
相應(yīng)圓臺的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
21．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的棱長均為2， SKIPIF 1 < 0 ，除面ABCD外，該四棱柱其余各個面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，Ⅰ，則由點E，F(xiàn)，G，H，Ⅰ構(gòu)成的四棱錐的體積為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意結(jié)合錐體的體積公式分析運算.
【詳解】連接 SKIPIF 1 < 0 ，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
分別過E，F(xiàn)，G，H作底面ABCD的垂線，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得： SKIPIF 1 < 0 為四棱柱，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
四棱錐的高為直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的高的一半，即為1，
所以四棱錐的體積 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過AB的平面分別交PD，PC于點E，F(xiàn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，記四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，幾何體ABCDEF的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由線面平行的判定可得 SKIPIF 1 < 0 面PCD，根據(jù)線面平行的性質(zhì)有 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，連接BE，BD，根據(jù)相關(guān)棱錐的體積比與線段比關(guān)系求 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面PCD，
又面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，連接BE，BD，三棱錐P-ABE和三棱錐P-BEF的底面共面，即高相等，
所以它們體積的比值等于底面積的比值，
綜上， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
三棱錐B-PAE和三棱錐B-DAE的底面共面，它們體積的比值等于底面積的比值，
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
三棱錐P-ABD和三棱錐P-BCD的底面共面，它們體積的比值等于底面積的比值，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)四棱錐P-ABCD的體積為V，則 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
23．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點，且 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，空間中的動點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，當點P在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面內(nèi)運動時，點P的軌跡是 ；當P在該球的球面上運動時，點P的軌跡長度為 .
【答案】 圓 SKIPIF 1 < 0
【分析】建立平面直角坐標系以及空間直角坐標系，可得P在平面中軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ，P在空間中軌跡為的圓 SKIPIF 1 < 0 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成球的球面，結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】設(shè)球的半徑為r，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得r＝3，
在平面內(nèi)，動點P的軌跡組成一個圓，以線段AB所在直線為x軸，以靠近點B且長度為1處為坐標原點，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此時動點P的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)其圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，則在空間中，z軸和xOy坐標平面垂直，
動點P的軌跡為xOy平面中的圓 SKIPIF 1 < 0 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成球的球面，
如圖所示，
所以點P的軌跡是兩個球面的交線，這兩個球分別是以M和 SKIPIF 1 < 0 為球心，
在 SKIPIF 1 < 0 中，結(jié)合余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)交線所圍成的圓半徑為R.則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .所以交線的長度為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：圓； SKIPIF 1 < 0
24．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一次手工勞動課上，需要把一個高為3，體積為 SKIPIF 1 < 0 的木質(zhì)實心圓錐模型削成一個實心球模型，則球的表面積的最大值為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】當球為圓錐的內(nèi)切球時，球的表面積最大，由圓錐的體積公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)內(nèi)切球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出球的表面積的最大值.
【詳解】由題得當球為圓錐的內(nèi)切球時，球的表面積最大.如圖為圓錐 SKIPIF 1 < 0 的軸截面，
由題意知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)內(nèi)切球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面幾何知識可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此時球的表面積為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個棱長為6分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，若要使液面形狀不可能為三角形，
則平面EHD平行于水平面放置時，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC,
據(jù)此計算即可得解.
【詳解】如圖，在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，
若要使液面形狀不可能為三角形，
則平面EHD平行于水平面放置時，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC,
若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動正方體，液面形狀都不可能為三角形，
設(shè)正方體內(nèi)水的體積為V，而 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 （升），
SKIPIF 1 < 0 （升）
所以V的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
26．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某環(huán)保組織設(shè)計一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位： SKIPIF 1 < 0 ）的正方體截去四個相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環(huán)境中，則該球表面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將正方體補全，依題意可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為正方體底面邊上的中點，要使球的表面積最小，即為求 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積，建立空間直角坐標系，幾何體 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，設(shè)球心為 SKIPIF 1 < 0 ，球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由距離公式得到方程，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，從而得解.
【詳解】如圖將正方體補全，依題意可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為正方體底面邊上的中點，
要使球的表面積最小，即為求 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面積，
如圖建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則幾何體 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，
設(shè)球心為 SKIPIF 1 < 0 ，球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，即該球表面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
27．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，若正方體的棱長為2，點 SKIPIF 1 < 0 是正方體 SKIPIF 1 < 0 的上底面 SKIPIF 1 < 0 上的一個動點（含邊界）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的中點，有以下結(jié)論：
① SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影圖形的面積為定值；
②平面 SKIPIF 1 < 0 截該正方體所得的截面圖形是五邊形；
③ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ；
④若保持 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 在上底面內(nèi)運動路徑的長度為 SKIPIF 1 < 0
其中正確的是 .（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【答案】①③④
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合題意作出對應(yīng)的圖形，逐項進行分析驗證即可判斷.
【詳解】① SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影圖形為底為2高為2的三角形，故投影圖形的面積為定值2，故①正確；
②如圖，取 SKIPIF 1 < 0 的四等分點 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 截該正方體所得的截面圖形是 SKIPIF 1 < 0 ，為四邊形，故②錯誤；
③如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交上底面 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線時，
其和最小為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故③正確；
④如圖，建立空間直角坐標系，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡得圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
點 SKIPIF 1 < 0 在上底面內(nèi)運動路徑的長度為劣弧 SKIPIF 1 < 0 ，記為 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故④正確.
故答案為：①③④.
【C組 在創(chuàng)新中考查思維】
一、單選題
1．（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，該幾何體是由兩個全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均對稱，兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直，已知該幾何體外接球的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，四棱柱的底面是正方形，且側(cè)棱長為4，則兩個直四棱柱公共部分的幾何體的內(nèi)切球體積為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】分析該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，先求得底面正方形的邊長，求出幾何體的邊長及體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，代入球的體積公式即可求解.
【詳解】由題意，該幾何體的直觀圖如圖所示：

這兩個直四棱柱的中心既是外接球的球心也是內(nèi)切球的球心，
設(shè)外接球的半徑為R，直四棱柱的底面邊長為a，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
該幾何體是由兩個全等的四棱錐 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 組成，
該幾何體前后、左右、上下均對稱，知四邊形是邊長為 SKIPIF 1 < 0 的菱形，
側(cè)面均為全等的等腰三角形，腰長為 SKIPIF 1 < 0 ，底邊為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點為H，連接BH，SH，可知SH即為 SKIPIF 1 < 0 四棱錐的高，
在等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 邊上的高為2，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由八個側(cè)面的面積均為 SKIPIF 1 < 0 ，
內(nèi)切球的球心到各個側(cè)面的距離都是 SKIPIF 1 < 0 ，
利用等體積法得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故幾何體的內(nèi)切球的體積為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
【點睛】方法點睛：解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思路是：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑，如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球半徑的方程并求解.
2．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預(yù)測）“牟合方蓋”是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計算球體體積的方法，當一個正方體用圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分即為“牟合方蓋”，他提出“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為定值，南北朝時期祖暅提出理論：“緣冪勢既同，則積不容異”，即“在等高處的截面面積總是相等的幾何體，它們的體積也相等”，并算出了“車合方蓋”和球的體積，其大體思想可用如圖表示，其中圖1為棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之一，圖2為棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體的八分之一，圖3是以底面邊長為r的正方體的一個底面和底面以外的一個頂點作的正四棱錐，則根據(jù)祖暅原理，下列結(jié)論正確的為（ ）

A．若以一個平行于正方體上下底面的平面，截“牟合方蓋”，截面是一個圓形．
B．圖2中陰影部分的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．
C．由棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體截得的“牟合方蓋”體積為 SKIPIF 1 < 0 ．
D．“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】D
【分析】由牟盒方蓋的定義判斷A，由祖原理判斷B，直接求出“牟合方蓋”體積判斷C，求出圓的面積與正方形面積的比值判斷C.
【詳解】牟盒方蓋是由兩個直徑相等且相互垂直的圓柱體相交得到的，那么只要用水平面去截它們所得的截面為正方形，故A錯誤；
因為圖1中陰影部分的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，所以圖2中陰影部分的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯誤；
因為圖2與圖3中的陰影部分等高且面積相等，都為 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)祖暅原理得，圖2中正方體與牟合方蓋的八分之一之間空隙的體積與正四棱錐體的體積相等，
而正四棱錐的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，所以由棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正方體截得的“牟合方蓋”體積為 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤；
因為任意水平與“牟合方蓋”及其內(nèi)切球相交的截面為一個正方形和一個正方形的內(nèi)切圓，
又正方形的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，正方形內(nèi)切圓的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，正方形和內(nèi)切圓的面積比為 SKIPIF 1 < 0 ，
由祖暅原理得，“牟合方蓋”的體積和內(nèi)切球的體積之比為 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：理解“牟合方蓋”的定義、祖暅原理，看懂圖形是關(guān)鍵.
3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測）已知平面上兩定點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則所有滿足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡是一個圓心在 SKIPIF 1 < 0 上，半徑為 SKIPIF 1 < 0 的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體 SKIPIF 1 < 0 表面上動點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡長度為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球，球與面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長度即可.
【詳解】
在平面中，圖①中以B為原點以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心 SKIPIF 1 < 0 ,半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，
若P在四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部時如圖②,截面圓與 SKIPIF 1 < 0 分別交于M，R，所以P在四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，當P在面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部的軌跡長為 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，當P在面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部的軌跡長為 SKIPIF 1 < 0 ，
當P在面 SKIPIF 1 < 0 時,如圖③所示，
SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與 SKIPIF 1 < 0 分別交于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以P在正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上：P的軌跡長度為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
【點睛】方法點睛：求球與平面公共點軌跡長度時先求出平面截球所得圓面的半徑，當截面為完整的圓時可直接求圓周長，當截面只是圓的一部分時先求圓心角的大小再計算弧長.
4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均與曲池的底面 SKIPIF 1 < 0 垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，則圖中四面體 SKIPIF 1 < 0 的體積為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由題意可求 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為全等的等腰三角形，
取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)造出平面 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直，從而可求四面體 SKIPIF 1 < 0 的體積.
【詳解】
依題意，根據(jù)勾股定理可求 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為全等的等腰三角形，
取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
由等腰三角形的性質(zhì)可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 的高為 SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 （包括端點）上一動點， SKIPIF 1 < 0 為側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 上一動點，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先判斷出 SKIPIF 1 < 0 取得最小值時 SKIPIF 1 < 0 為點 SKIPIF 1 < 0 在側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 的投影.把將平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 展開到同一平面，作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ,此時 SKIPIF 1 < 0 達到最小值，解三角形求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【詳解】當 SKIPIF 1 < 0 為某確定點時，要使 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，則 SKIPIF 1 < 0 必須為最小值，此時， SKIPIF 1 < 0 為點 SKIPIF 1 < 0 在側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 的投影.
取 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 的投影為 SKIPIF 1 < 0 .
作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 滿足題意.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，
因為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形.
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
將平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 展開到同一平面，如圖所示，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ,此時 SKIPIF 1 < 0 達到最小值，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故選：B
【點睛】立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、角度、面積、體積等四個方面，解決此類問題一般從三個方面思考：
（1）利用傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標運算，建立所求的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；
（2）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況取得最值；
（3）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面圖形中直觀求解.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體 SKIPIF 1 < 0 中，動點P在棱 SKIPIF 1 < 0 上，動點Q在線段 SKIPIF 1 < 0 上、若 SKIPIF 1 < 0 ，則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積（ ）
A．與 SKIPIF 1 < 0 無關(guān)，與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)B．與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)，與 SKIPIF 1 < 0 無關(guān)
C．與 SKIPIF 1 < 0 都有關(guān)D．與 SKIPIF 1 < 0 都無關(guān)
【答案】D
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離也即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離，得到點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為定值，而底面 SKIPIF 1 < 0 的面積也是定值，并補隨 SKIPIF 1 < 0 的變化而變化，進而得到答案.
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 為正方體，所以 SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離也即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離，也即點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離不隨 SKIPIF 1 < 0 的變化而變化，設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正方體的特征可知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以點 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離也即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離，且距離為1，所以 SKIPIF 1 < 0 （定值），
所以 SKIPIF 1 < 0 （定值），
則三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積不隨 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的變化而變化，也即與與 SKIPIF 1 < 0 都無關(guān).
故選： SKIPIF 1 < 0 .
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把底面是正三角形，頂點在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐.現(xiàn)有一正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 放置在平而 SKIPIF 1 < 0 上，已知它的底面邊長為2，高 SKIPIF 1 < 0 ，該正三棱錐繞 SKIPIF 1 < 0 邊在平面 SKIPIF 1 < 0 上轉(zhuǎn)動（翻轉(zhuǎn)），某個時刻它在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影是等腰直角三角形，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分別討論底面 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的射影為等腰直角三角形和側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的射影為等腰直角三角形時的情況可求解.
【詳解】首先在 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè)其中心為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形時， SKIPIF 1 < 0 ，
若底面 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的射影為等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 時，如圖1，只需 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ；
若側(cè)面 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的射影為等腰直角三角形時，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
如圖2和圖3，可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上， SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
二、多選題
8．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點 SKIPIF 1 < 0 分別在半圓弧 SKIPIF 1 < 0 （均不含端點）上，且 SKIPIF 1 < 0 在球 SKIPIF 1 < 0 上，則（ ）

A．當點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的三等分點處，球 SKIPIF 1 < 0 的表面積為 SKIPIF 1 < 0
B．球 SKIPIF 1 < 0 的表面積的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
C．當點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中點處，過 SKIPIF 1 < 0 三點的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形
D．當點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的中點處，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為定值
【答案】BD
【分析】先求出外接球的球心O所在的直線，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑與Q點位置的關(guān)系，可以解出A，B選項，對于C選項，作平行線求出截面的形狀，對于D選項運用等體積法直接求解.
【詳解】
如圖，設(shè) SKIPIF 1 < 0 的中點為E， SKIPIF 1 < 0 的中點為F， SKIPIF 1 < 0 的中點為G， SKIPIF 1 < 0 ，
由題意圓G和圓E的半徑均為1， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，外接球的球心O必定在 SKIPIF 1 < 0 上，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為外接球O的半徑，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當Q在圓弧 SKIPIF 1 < 0 三等分點處時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，外接球的表面積 SKIPIF 1 < 0 ，A錯誤；
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B正確；
對于C，如圖：

過Q點作 SKIPIF 1 < 0 的平行線，交 SKIPIF 1 < 0 于H，交AD于M，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過P點作 SKIPIF 1 < 0 的平行線交AB于N，連接MN，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 五點共面，又 SKIPIF 1 < 0 N點在平面 SKIPIF 1 < 0 上，
即平面 SKIPIF 1 < 0 與四棱柱的截面是五邊形 SKIPIF 1 < 0 ，錯誤；
對于D，P點在 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則不論Q點在何位置，Q點到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
即三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的高為1， SKIPIF 1 < 0 ，三棱錐的體積 SKIPIF 1 < 0 ，D正確；
故選：BD.
9．（2023春·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓柱的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．圓錐的表面積為 SKIPIF 1 < 0
B．圓柱的體積最大值為 SKIPIF 1 < 0
C．圓錐的外接球體積為 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】根據(jù)圓錐的截面確定底面半徑和母線，代入圓錐表面積公式計算可判斷A，利用相似找到圓柱的底面半徑和高的關(guān)系，求出圓柱體積的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法求解最大值可判斷B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半徑，求出體積即可判斷C，作差變形，判斷符號即可判斷D.
【詳解】因為圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，
所以圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，圓錐的高 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓錐的表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項A正確；
設(shè)圓柱的高為h，如圖
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則圓柱的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓柱的體積最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項B正確；
如圖，
設(shè)圓錐的外接球球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則由 SKIPIF 1 < 0 是正三角形可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以圓錐的外接球體積為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項C正確；
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 與1的關(guān)系無法判斷，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 大小關(guān)系不確定，故選項D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題
10．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測）以棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正四面體中心點 SKIPIF 1 < 0 為球心，半徑為 SKIPIF 1 < 0 的球面與正四面體的表面相交部分總長度為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出正四面體 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)切球半徑即為球心到面ABC的距離，從而得到球被平面 SKIPIF 1 < 0 所截得的圓的半徑，再求出 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓的半徑，此圓恰好為球被平面 SKIPIF 1 < 0 所截得的圓，即球面與各表面相交部分恰為三角形的內(nèi)切圓，求四個內(nèi)切圓的周長即可.
【詳解】
將正四面體放入正方體中，則正方體的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四面體的體積為 SKIPIF 1 < 0 ，
表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
顯然內(nèi)切球心為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，球面與面 SKIPIF 1 < 0 相交部分為以 SKIPIF 1 < 0 的圓，
設(shè)三角形 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此時恰好 SKIPIF 1 < 0 ，
即球面與各表面相交部分恰為三角形的內(nèi)切圓，
故當 SKIPIF 1 < 0 時，圓弧總長度為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】方法點睛：有關(guān)平面（可以無限延展的）截球所得截面的計算時，第一步求出球心到截面的距離 SKIPIF 1 < 0 ，第二步根據(jù) SKIPIF 1 < 0 計算出截面圓的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，第三步在截面（只是有限大小的平面圖形）內(nèi)通過計算判斷所截圖形是一個完整的圓還是圓的一部分，這時要根據(jù)平面幾何中的數(shù)據(jù)進行計算.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體容器 SKIPIF 1 < 0 中盛滿水， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點，若 SKIPIF 1 < 0 個小孔分別位于 SKIPIF 1 < 0 三點處，則正方體中的水最多會剩下原體積的 .（用分數(shù)表示）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)正方體中剩下的水最多時，水平面必經(jīng)過三個小孔中的兩個，分別討論水平面經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，另一個小孔在水平面上方的情況，作出截面，結(jié)合函數(shù)最值和基本不等式可求得流出水的最小體積，對比三種情況可得最終結(jié)果.
【詳解】當正方體中剩下的水最多時，水平面必經(jīng)過三個小孔中的兩個；設(shè)正方體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
①當水平面經(jīng)過小孔 SKIPIF 1 < 0 ，另一個小孔 SKIPIF 1 < 0 在水平面上方；
設(shè)過 SKIPIF 1 < 0 的平面與棱 SKIPIF 1 < 0 的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則流出的水的最小體積是臺體 SKIPIF 1 < 0 的體積，如下圖所示，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時取等號），
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 此時正方體中的水最多會剩下原體積的 SKIPIF 1 < 0 ；
②當水平面經(jīng)過小孔 SKIPIF 1 < 0 ，另一個小孔 SKIPIF 1 < 0 在水平面的上方；
設(shè)過 SKIPIF 1 < 0 的平面與棱 SKIPIF 1 < 0 的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則流出的水的最小體積是臺體 SKIPIF 1 < 0 的體積，如下圖所示，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 此時正方體中的水最多會剩下原體積的 SKIPIF 1 < 0 ；
③當水平面經(jīng)過小孔 SKIPIF 1 < 0 ，另一個小孔 SKIPIF 1 < 0 在水平面上方，
設(shè)過 SKIPIF 1 < 0 的平面與棱 SKIPIF 1 < 0 的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則流出的水的最小體積是三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的體積，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 此時正方體中的水最多會剩下原體積的 SKIPIF 1 < 0 ；
綜上所述：正方體中的水最多會剩下原體積的 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·山東日照·三模）祖暅，南北朝時代的偉大科學(xué)家，他在實踐的基礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學(xué)們借助圖1運用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為 .

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)條件和圖1可得半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺體積，然后在圖2中運用此原理可求得答案.
【詳解】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，設(shè)半球中陰影截面圓的半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
球體半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，截面圓面 SKIPIF 1 < 0 ；
圓柱中截面小圓半徑 SKIPIF 1 < 0 ，大圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則截面圓環(huán)面積 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又高度相等，
所以半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.
同理，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺體積.

如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為 SKIPIF 1 < 0 ，沒和水接觸的下部分為 SKIPIF 1 < 0 ，
小半球相當于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺體積.
已知球體半徑為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)祖暅原理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)圖2中軸截面為梯形 SKIPIF 1 < 0 的圓臺體積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·遼寧錦州·校考一模）在正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，過 SKIPIF 1 < 0 作截面將該四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .
【答案】2
【分析】根據(jù)給定條件，作出過 SKIPIF 1 < 0 的正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的截面，再求出 SKIPIF 1 < 0 的表達式并結(jié)合均值不等式求解作答.
【詳解】記正四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值，由 SKIPIF 1 < 0 為定值知，只需求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
設(shè)過 SKIPIF 1 < 0 的截面分別交 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 的交線為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時取等號，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2.
故答案為：2
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
等級
24h降雨量（精確到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……