2025高考數(shù)學一輪復習-3.1-導數(shù)的概念及運算-專項訓練【含答案】

這是一份2025高考數(shù)學一輪復習-3.1-導數(shù)的概念及運算-專項訓練【含答案】，共7頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項選擇題
1．已知某容器的高度為20 cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關系式為h＝13t3＋t2，當t＝t0時，液體上升高度的瞬時變化率為3 cm/s，則當t＝t0＋1時，液體上升高度的瞬時變化率為( )
A．5 cm/s B．6 cm/s
C．8 cm/s D．10 cm/s
2．過坐標原點作曲線y＝ex-2＋1的切線，則切線方程為( )
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝1e2x D．y＝ex
3．已知函數(shù)f (x)＝2cs x－f ′π3sin x，則f ′π3＝( )
A．233 B．－233
C．2 D．－2
4．已知直線y＝x是曲線f (x)＝ln x＋a的切線，則a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
5．若P為函數(shù)f (x)＝12ex－3x圖象上的一個動點，以P為切點作曲線y＝f (x)的切線，則切線傾斜角的取值范圍是( )
A．0，2π3 B．π2，2π3
C．2π3，π D．0，π2∪2π3，π
6．牛頓迭代法是求方程近似解的另一種方法．如圖，方程f (x)＝0的根就是函數(shù)f (x)的零點r，取初始值x0，f (x)的圖象在橫坐標為x0的點處的切線與x軸的交點的橫坐標為x1，f (x)的圖象在橫坐標為x1的點處的切線與x軸的交點的橫坐標為x2，一直繼續(xù)下去，得到x1，x2，…，xn，它們越來越接近r.若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，則用牛頓迭代法得到的r的近似值x2約為( )
A．1.438 B．1.417
C．1.416 D．1.375
二、多項選擇題
7．已知函數(shù)f (x)及其導函數(shù)f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，則稱x0是f (x)的一個“巧值點”．下列選項中有“巧值點”的函數(shù)是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝e－x
C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x
8．已知函數(shù)f (x)＝ex＋2(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則下列結(jié)論正確的是( )
A．曲線y＝f (x)的切線斜率可以是－2
B．曲線y＝f (x)的切線斜率可以是3
C．過點(0，2)且與曲線y＝f (x)相切的直線有且只有1條
D．過點(1，4)且與曲線y＝f (x)相切的直線有且只有2條
三、填空題
9．曲線y＝2x?1x+2在點(－1，－3)處的切線方程為________．
10．衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：記y＝f ′(x)為y＝f (x)的導函數(shù)，y＝f ′′(x)為y＝f ′(x)的導函數(shù)，則曲線y＝f (x)在點(x，f (x))處的曲率為K＝f''x1+f'x232.曲線f (x)＝ln x－cs (x－1)在點(1，f (1))處的曲率為 ________．
四、解答題
11．已知兩曲線y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都經(jīng)過點P(1，2)，且在點P處有公切線．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
(3)若曲線y＝ln (bx－1)上的點M到直線2x－y＋3＝0的距離最短，求點M的坐標和最短距離．
12．已知函數(shù)f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f (x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；
(2)若曲線y＝f (x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．
13．若過點(a，b)可作曲線y＝x2－2x的兩條切線，則點(a，b)可以是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(3，0) D．(3，4)
參考答案
1．C [由h＝13t3＋t2，得h′＝t2＋2t.
當t＝t0時，h′＝t02＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．
故當t＝t0＋1＝2時，液體上升高度的瞬時變化率為22＋2×2＝8 cm/s.故選C.]
2．A [由函數(shù)y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，
設切點坐標為(t，et-2＋1)，可得切線方程為y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，
把原點(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，
解得t＝2，所以切線方程為y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故選A.]
3．B [因為f (x)＝2cs x－f ′π3sin x，
所以f ′(x)＝－2sin x－f ′π3cs x，
故f ′π3＝－2sin π3－f ′π3cs π3，
即f ′π3＝－3?12f ′π3，
所以f ′π3＝－233.故選B.]
4．B [由f (x)＝ln x＋a，得f ′(x)＝1x，令直線y＝x與曲線f (x)＝ln x＋a相切的切點為(x0，ln x0＋a)，于是1x0＝1且ln x0＋a＝x0，所以a＝x0＝1.故選B.]
5．D [設P點坐標為(x0，y0)，
由f (x)＝12ex－3x，x∈R，得f ′(x)＝12ex－3，
則以P為切點的切線斜率為12ex0－3>－3，
令切線傾斜角為θ，θ∈[0，π)，則tan θ>－3，
則θ∈0，π2∪2π3，π.故選D.]
6．B [f ′(x)＝2x，而x0＝2，則f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，于是函數(shù)f (x)的圖象在橫坐標為x0＝2的點處的切線方程為y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝32，則f ′(x1)＝3，f (x1)＝322－2＝14，
因此函數(shù)f (x)的圖象在橫坐標為x1＝32的點處的切線方程為y－14＝3x?32，令y＝0，得x2＝1712≈1.417，所以x2約為1.417.故選B.]
7．AC [若f (x)＝x2，則f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程顯然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，則f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，則f ′(x)＝1x，令ln x＝1x，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y＝ln x與y＝1x的圖象(作圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程f (x)＝f ′(x)存在實數(shù)解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，則f ′(x)＝sinxcsx′＝1cs2x，令tanx＝1cs2x，化簡得sinx cs x＝1，變形可得sin 2x＝2，無解，故D不符合要求．故選AC.]
8．BCD [因為f (x)＝ex＋2，所以f ′(x)＝ex，
對于A，令f ′(x)＝ex＝－2，方程無解，所以曲線y＝f (x)的切線斜率不可以是－2，故A錯誤；
對于B，令f ′(x)＝ex＝3，解得x＝ln 3，所以曲線y＝f (x)的切線斜率可以是3，故B正確；
對于C，設切點(x0，ex0＋2)，則切線方程為y?ex0－2＝ex0(x－x0)，因為點(0，2)在切線上，
所以2?ex0－2＝ex0(0－x0)，即?ex0＝?x0ex0，顯然ex0≠0，所以x0＝1，
故過點(0，2)且與曲線y＝f (x)相切的直線有且只有1條，故C正確；
對于D，設切點(x_1 ，e^(x_1 ) ＋2)，則切線方程為y?ex1－2＝ex1(x－x1)，
因為點(1，4)在切線上，所以4?ex1－2＝ex1(1－x1)，即x1ex1?2ex1＋2＝0，
令g(x)＝xex－2ex＋2，則g′(x)＝(x－1)ex，所以當x0，
即a2－2a－b>0，即b12－2×1，B不滿足；
對于點(3，0)，032－2×3，D不滿足．
故選C.