A. 若fx=xsinx?csx ,則f′x=sinx?xcsx+sinx
B. 設(shè)函數(shù)fx=xlnx ,若f′x0=2 ,則x0=e
C. 已知函數(shù)fx=3x2ex ，則f′1=12e
D. 設(shè)函數(shù)fx 的導(dǎo)函數(shù)為f′x ,且fx=x2+3xf′2+lnx ,則f′2=?94
2.已知函數(shù)fx 可導(dǎo)，則limΔx→0f2+2Δx?f22Δx= ( )
A. f′x B. f′2 C. fx D. f2
3. 已知函數(shù)fx 的導(dǎo)函數(shù)是f′x ,且滿足fx=2xf′1+ln1x ,則f1= ( )
A. ?e B. 2 C. ?2 D. e
4.若曲線y=alnx+x2a>0 的切線的傾斜角的取值范圍是[π3,π2) ,則a= ( )
A. 124 B. 38 C. 34 D. 32
5.已知函數(shù)fx=xx+2?mlnx 的圖象在點(diǎn)12,f12 處的切線與直線x+2y=0 垂直，則m 的值為( )
A. 52 B. 54 C. 12 D. 74
6.函數(shù)fx 的圖象與其在點(diǎn)P 處的切線如圖所示，則f1?f′1= ( )
A. ?2 B. 0 C. 2 D. 4
7.已知直線l 是曲線y=lnx 與曲線y=x2+x 的一條公切線，直線l 與曲線y=x2+x 相切于點(diǎn)a,a2+a ，則a 滿足的關(guān)系式為( )
A. a2+1?ln2a+1=0 B. a2+1+ln2a+1=0
C. a2?1?ln2a+1=0 D. a2?1+ln2a+1=0
8.已知fx=2x3+a?2x2?3x 是奇函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)P?1,2 向曲線y=fx 可作的切線條數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不確定
9. 已知函數(shù)fx=2e?x （e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則曲線y=fx 在點(diǎn)?2,f?2 處的切線方程為 .
10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)A 在曲線y=lnx 上，且該曲線在點(diǎn)A 處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?e,?1 （e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A 的坐標(biāo)是 .
11. 與函數(shù)fx=e2x?1 在點(diǎn)0,0 處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)為 .
12.設(shè)函數(shù)y=f″x 是y=f′x 的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的圖象都有對(duì)稱中心x0,fx0 ，其中x0 滿足f″x0=0 .已知函數(shù)fx=2x3?3x2+9x?72 ，則f12023+f22023+f32023+…+f20222023= .
[B級(jí) 綜合運(yùn)用]
13. （多選）若函數(shù)y=fx 的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=fx 具有T 性質(zhì).下列函數(shù)中具有T 性質(zhì)的是( )
A. y=csx B. y=lnx C. y=ex D. y=x2 14. （多選）若函數(shù)fx=x2?2ax2+lnx+1 的圖象上不存在互相垂直的切線，則a 的值可以是( )
A. ?1 B. 3 C. 1 D. 2
15.已知函數(shù)fx=x+a2x ,若曲線y=fx 存在兩條過(guò)點(diǎn)2,0 的切線，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 .
16. 已知函數(shù)fx=x2?2 ,gx=3lnx?ax ,若曲線y=fx 與曲線y=gx 在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)a= .
17. 已知函數(shù)fx=x?1+aex （a∈R ,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1） 若曲線y=fx 在點(diǎn)1,f1 處的切線平行于x 軸，求a 的值；
（2） 當(dāng)a=1 時(shí)，若直線l:y=kx?1 與曲線y=fx 相切，求直線l 的方程.
[C級(jí) 素養(yǎng)提升]
18. 設(shè)點(diǎn)P 為函數(shù)fx=12x2+2ax 與gx=3a2lnx+2ba>0 的圖象的公共點(diǎn)，以P 為切點(diǎn)可作直線l 與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)b 的最大值為( )
A. 23e34 B. 32e34 C. 43e23 D. 34e23
19.已知函數(shù)fx=x3?x ,gx=x2+a ，曲線y=fx 在點(diǎn)x1,fx1 處的切線也是曲線y=gx 的切線．
（1） 若x1=?1 ，求a ；
（2） 求a 的取值范圍．
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-3.1-變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.（多選）下列命題正確的是( BD )
A. 若fx=xsinx?csx ,則f′x=sinx?xcsx+sinx
B. 設(shè)函數(shù)fx=xlnx ,若f′x0=2 ,則x0=e
C. 已知函數(shù)fx=3x2ex ，則f′1=12e
D. 設(shè)函數(shù)fx 的導(dǎo)函數(shù)為f′x ,且fx=x2+3xf′2+lnx ,則f′2=?94
[解析]選BD.對(duì)于選項(xiàng)A，f′x=sinx+xcsx+sinx ,故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B,f′x=lnx+1 ,則f′x0=lnx0+1=2 ,解得x0=e ,故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C,f′x=6xex+3x2ex ,則f′1=6e+3e=9e ,故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，f′x=2x+3f′2+1x ，則f′2=4+3f′2+12 ,解得f′2=?94 ,故選項(xiàng)D正確.故選BD.
2.已知函數(shù)fx 可導(dǎo)，則limΔx→0f2+2Δx?f22Δx= ( B )
A. f′x B. f′2 C. fx D. f2
[解析]選B.因?yàn)楹瘮?shù)fx 可導(dǎo)，所以f′x=limΔx→0fx+Δx?fxΔx ，所以limΔx→0f2+2Δx?f22Δx=f′2 .
3. 已知函數(shù)fx 的導(dǎo)函數(shù)是f′x ,且滿足fx=2xf′1+ln1x ,則f1= ( B )
A. ?e B. 2 C. ?2 D. e
[解析]選B.由題意得,f′x=2f′1+11x?1x′=2f′1+x??1x2=2f′1?1x ,
所以f′1=2f′1?1 ,解得f′1=1 .
所以fx=2x+ln1x ,則f1=2+ln1=2 .
4.若曲線y=alnx+x2a>0 的切線的傾斜角的取值范圍是[π3,π2) ,則a= ( B )
A. 124 B. 38 C. 34 D. 32
[解析]選B.由題知，y′=ax+2x≥22a ，因?yàn)榍€的切線的傾斜角的取值范圍是[π3,π2) ,所以斜率k≥3 ,則3=22a ，解得a=38 .
5.已知函數(shù)fx=xx+2?mlnx 的圖象在點(diǎn)12,f12 處的切線與直線x+2y=0 垂直，則m 的值為( C )
A. 52 B. 54 C. 12 D. 74
[解析]選C.由題知f′x=2x+2?mx ，因?yàn)楹瘮?shù)fx 的圖象在點(diǎn)12,f12 處的切線與直線x+2y=0 垂直，所以f′12=2 ，即3?2m=2 ,解得m=12 ，故選C.
6.函數(shù)fx 的圖象與其在點(diǎn)P 處的切線如圖所示，則f1?f′1= ( D )
A. ?2 B. 0 C. 2 D. 4
[解析]選D.由題意，切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0 ，0,4 ，可得切線的斜率為k=4?00?2=?2 ，即f′1=?2 .又由切線方程為y=?2x+4 ，令x=1 ，得y=2 ，即f1=2 ，
所以f1?f′1=2+2=4 .故選D.
7.已知直線l 是曲線y=lnx 與曲線y=x2+x 的一條公切線，直線l 與曲線y=x2+x 相切于點(diǎn)a,a2+a ，則a 滿足的關(guān)系式為( C )
A. a2+1?ln2a+1=0 B. a2+1+ln2a+1=0
C. a2?1?ln2a+1=0 D. a2?1+ln2a+1=0
[解析]選C.記fx=lnx ，得f′x=1x ,記gx=x2+x ,得g′x=2x+1 .設(shè)直線l 與曲線fx=lnx 相切于點(diǎn)b,lnb ，由于l 是公切線，則f′b=g′a,ga?fba?b=g′a, 即1b=2a+1,a2+a?lnba?b=2a+1, 化簡(jiǎn)得a2?1?ln2a+1=0 ，故選C.
8.已知fx=2x3+a?2x2?3x 是奇函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)P?1,2 向曲線y=fx 可作的切線條數(shù)是( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 不確定
[解析]選C.由題意得f?x+fx=0 ，則2a?2x2=0 恒成立，解得a=2 ，
即fx=2x3?3x ，f′x=6x2?3 .
設(shè)過(guò)點(diǎn)P?1,2 向曲線y=fx 所作切線與曲線y=fx 相切的切點(diǎn)為Qx0,2x03?3x0 ，
而點(diǎn)P?1,2 不在曲線y=fx 上，則6x02?3=2x03?3x0?2x0+1 ，整理得4x03+6x02?1=0 ，
即2x0+12x02+2x0?1=0 ，解得x0=?12 或x0=?1±32 ，即符合條件的切點(diǎn)有3個(gè)，所以過(guò)點(diǎn)P?1,2 向曲線y=fx 可作的切線條數(shù)是3.故選C.
9. 已知函數(shù)fx=2e?x （e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則曲線y=fx 在點(diǎn)?2,f?2 處的切線方程為2e2x+y+2e2=0 .
[解析]因?yàn)閒′x=?2e?x ，f′?2=?2e2 ，f?2=2e2 ，所以所求切線方程為y?2e2=?2e2x+2 ，即2e2x+y+2e2=0 .
10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)A 在曲線y=lnx 上，且該曲線在點(diǎn)A 處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?e,?1 （e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A 的坐標(biāo)是e,1 .
[解析]設(shè)Am,n ，則曲線y=lnx 在點(diǎn)A 處的切線方程為y?n=1mx?m .
又切線過(guò)點(diǎn)?e,?1 ,則n+1=1mm+e .
由n=lnm ,解得m=e ,n=1 .
故點(diǎn)A 的坐標(biāo)為e,1 .
11. 與函數(shù)fx=e2x?1 在點(diǎn)0,0 處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)為y=x2+2x （答案不唯一）.
[解析]因?yàn)閒′x=2e2x ,可得在點(diǎn)0,0 處的切線的斜率為2，切線方程為y=2x .可取y=x2+2x ,其導(dǎo)數(shù)為y′=2x+2 ,在點(diǎn)0,0 處的切線方程為y=2x ,滿足題意.
12.設(shè)函數(shù)y=f″x 是y=f′x 的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的圖象都有對(duì)稱中心x0,fx0 ，其中x0 滿足f″x0=0 .已知函數(shù)fx=2x3?3x2+9x?72 ，則f12023+f22023+f32023+…+f20222023= 1 011.
[解析]由fx=2x3?3x2+9x?72 可得f′x=6x2?6x+9 ，f″x=12x?6 ，令f″x=12x?6=0 可得x=12 ，f12=2×123?3×122+9×12?72=12 ,所以函數(shù)fx 圖象的對(duì)稱中心為12,12 ，所以f12023+f20222023=1 ,f22023+f20212023=1 ,… ,f10112023+f10122023=1 ,所以f12023+f22023+f32023+?+f20222023=1011×1=1011 .
[B級(jí) 綜合運(yùn)用]
13. （多選）若函數(shù)y=fx 的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=fx 具有T 性質(zhì).下列函數(shù)中具有T 性質(zhì)的是( AD )
A. y=csx B. y=lnx C. y=ex D. y=x2
[解析]選AD.由題意，若y=fx 具有T 性質(zhì)，則存在x1 ,x2 ,使得f′x1f′x2=?1 .對(duì)于A，因?yàn)閒′x=?sinx ,存在x1=π2 ,x2=?π2 ,使得f′x1f′x2=?1 ，正確;對(duì)于B,因?yàn)閒′x=1x>0 ,不存在x1 ,x2 ,使得f′x1f′x2=?1 ，錯(cuò)誤;對(duì)于C，因?yàn)閒′x=ex>0 ,不存在x1 ,x2 ,使得f′x1f′x2=?1 ，錯(cuò)誤;對(duì)于D，因?yàn)閒′x=2x ,存在x1=1 ,x2=?14 ，使得f′x1f′x2=4x1x2=?1 ，正確.故選AD.
14. （多選）若函數(shù)fx=x2?2ax2+lnx+1 的圖象上不存在互相垂直的切線，則a 的值可以是( AC )
A. ?1 B. 3 C. 1 D. 2
[解析]選AC.f′x=x+1x+1?a=x+1+1x+1?a?1≥2x+1?1x+1?a?1=1?a ，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1 ，即x=0 時(shí)，等號(hào)成立.
因?yàn)楹瘮?shù)fx 的圖象上不存在互相垂直的切線，
所以f′xmin≥0 ，即1?a≥0 ，解得a≤1 ，故選AC.
15.已知函數(shù)fx=x+a2x ,若曲線y=fx 存在兩條過(guò)點(diǎn)2,0 的切線，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是{a|a0} .
[解析]由題得，f′x=1?a2x2 ,
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x0,x0+a2x0 ,則切線方程為y?x0?a2x0=1?a2x02x?x0 .由切線過(guò)點(diǎn)2,0 ，可得?x0?a2x0=1?a2x022?x0 ,整理得2x02+ax0?a=0 .
因?yàn)榍€y=fx 存在兩條過(guò)點(diǎn)2,0 的切線，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ=a2+8a>0 ,解得a>0 或a0， 則3lnx0+x02?1=0 .
令?x=3lnx+x2?1 ，易得?x 在0,+∞ 上單調(diào)遞增，由3lnx0+x02?1=0 ，解得x0=1 ，所以公共點(diǎn)為1,?1 ，所以?1=3ln1?a ，解得a=1 .
17. 已知函數(shù)fx=x?1+aex （a∈R ,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1） 若曲線y=fx 在點(diǎn)1,f1 處的切線平行于x 軸，求a 的值；
[答案]解：f′x=1?aex ,因?yàn)榍€y=fx 在點(diǎn)1,f1 處的切線平行于x 軸，即f′1=1?ae=0 ,解得a=e .
（2） 當(dāng)a=1 時(shí)，若直線l:y=kx?1 與曲線y=fx 相切，求直線l 的方程.
[答案]當(dāng)a=1 時(shí)，fx=x?1+1ex ,f′x=1?1ex .設(shè)切點(diǎn)為x0,y0 ,
因?yàn)閒x0=x0?1+1ex0=kx0?1 ,①
f′x0=1?1ex0=k ,②
①+②得x0=kx0?1+k ,即k?1x0+1=0 .
若k=1 ,則②式無(wú)解，
所以x0=?1 ,k=1?e ，
所以直線l 的方程為y=1?ex?1 .
[C級(jí) 素養(yǎng)提升]
18. 設(shè)點(diǎn)P 為函數(shù)fx=12x2+2ax 與gx=3a2lnx+2ba>0 的圖象的公共點(diǎn)，以P 為切點(diǎn)可作直線l 與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)b 的最大值為( D )
A. 23e34 B. 32e34 C. 43e23 D. 34e23
[解析]選D.設(shè)Px0,y0 ,因?yàn)辄c(diǎn)P 為公共點(diǎn)，所以12x02+2ax0=3a2lnx0+2b .又點(diǎn)P 處的切線相同，則f′x0=g′x0 ,即x0+2a=3a2x0 ,即x0+3ax0?a=0 .又a>0 ,x0>0 ,則x0=a ,所以2b=52a2?3a2lna .設(shè)?x=52x2?3x2lnx ,x>0 ，則?′x=2x?1?3lnx .當(dāng)x∈0,e13 時(shí)，?x 單調(diào)遞增；當(dāng)x∈e13,+∞ 時(shí)，?x 單調(diào)遞減.故?xmax=?e13=32e23 ,所以b 的最大值為34e23 .故選
D.
19.已知函數(shù)fx=x3?x ,gx=x2+a ，曲線y=fx 在點(diǎn)x1,fx1 處的切線也是曲線y=gx 的切線．
（1） 若x1=?1 ，求a ；
[答案]解：當(dāng)x1=?1 時(shí)，f?1=0 ，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為?1,0 .
由fx=x3?x ，得f′x=3x2?1 ,
所以切線斜率k=f′?1=2 ,
所以切線方程為y=2x+1 ,即y=2x+2 .
將y=2x+2 代入y=x2+a ，得x2?2x+a?2=0 .
由切線與曲線y=gx 相切，得Δ=?22?4a?2=0 ,
解得a=3 .
（2） 求a 的取值范圍．
[答案]由fx=x3?x ,得f′x=3x2?1 ，所以切線斜率k=f′x1=3x12?1 ,
所以切線方程為y?x13?x1=3x12?1x?x1 ,即y=3x12?1x?2x13 .
將y=3x12?1x?2x13 代入y=x2+a ,得x2?3x12?1x+a+2x13=0 .
由切線與曲線y=gx 相切， 得Δ=3x12?12?4a+2x13=0 ,
整理得4a=9x14?8x13?6x12+1 .
令?x=9x4?8x3?6x2+1 ，則?′x=36x3?24x2?12x=12x3x+1x?1 ,
由?′x=0 ,得x=?13 ,0 ,1 ,
?x ,?′x 隨x 的變化如下表所示：
由上表知，當(dāng)x=?13 時(shí)，
?x 取得極小值??13=2027 ,
當(dāng)x=1 時(shí)，?x 取得極小值?1=?4 ,
易知當(dāng)x→?∞ 時(shí)，?x→+∞ ,當(dāng)x→+∞ 時(shí)，?x→+∞ ,
所以函數(shù)?x 的值域?yàn)閇?4,+∞) ,
所以由4a∈[?4,+∞) ,得a∈[?1,+∞) ,
故實(shí)數(shù)a 的取值范圍為[?1,+∞) .
x
?∞,?13
?13
?13,0
0
0,1
1
1,+∞
?′x
-
0
+
0
-
0
+
?x
↘
極小值
↗
極大值
↘
極小值
↗

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(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層突破練習(xí)4.1《變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算》(含詳解)
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)練習(xí)4.1《變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算》(含解析)

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高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)13變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算文含解析新人教版

高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)13變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算文含解析新人教版
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