一、選擇題
1．下列直線方程是兩點式方程的是( )
A.B.
C.D.
2．在棱長為2的正方體中,以某個點作為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,則點A,的坐標(biāo)可能為( )
A.,B.,
C.,D.,
3．點到直線的距離為( )
A.B.C.D.
4．若構(gòu)成空間的一個基底,則下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5．已知圓與圓相交,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．一條光線從點射出,與x軸相交于點,則反射光線所在直線在y軸上的截距為( )
A.B.C.D.
7．某學(xué)校塑膠跑道的寬為2米,以跑道最左側(cè)內(nèi)輪廓半圓弧的中點為坐標(biāo)原點O,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,跑道內(nèi)輪廊上半部分圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為,跑道由兩個半圓環(huán)和兩個矩形組成,現(xiàn)需要重新翻新塑膠跑道,每平方米的價格為100元,則翻新跑道共需要投入的資金為( )
A.萬元B.萬元
C.萬元D.萬元
8．在四棱錐中,底面ABCD為菱形,底面ABCD,,,E為棱PB的中點,F為線段CE的中點,則點F到平面PAD的距離為( )
A.B.C.2D.
二、多項選擇題
9．若直線l的斜率為,則直線l的傾斜角可能為( )
A.B.C.D.
10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,若,,,D四點可以構(gòu)成一個平行四邊形,則D的坐標(biāo)可以為( )
A.B.C.D.
11．在正四面體ABCD中,M,N分別是AD,BC的中點,,則( )
A.B.
C.D.異面直線MN與BD所成的角為
12．一個小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心?半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西25km處,為確保輪船沒有觸礁危險,則該輪船的行駛路線可以是( )
A.南偏西方向B.南偏西方向C.北偏西方向D.北偏西方向
三、填空題
13．若直線與直線垂直,則__________.
14．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,,則點B到直線AC的距離為__________.
15．寫出一個既與y軸相切又與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:__________.
16．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型,圖1是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體,其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱,兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點,另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為的正四棱柱構(gòu)成,在其直觀圖中建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,則點的坐標(biāo)為__________.
四、解答題
17．已知點,.
（1）求圓心為點M,且過點N的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）求過點M且與直線平行的直線方程（結(jié)果用一般式方程表示）.
18．在如圖所示的斜三棱柱中,.
（1）設(shè),,,用,,表示,;
（2）若,,求的長.
19．在中,點B的坐標(biāo)為,點C的坐標(biāo)為,BC邊上的中線所在直線的方程為,直線AC的傾斜角為.
（1）求點A的坐標(biāo);
（2）過點A的直線l與x軸的正半軸,y軸的正半軸分別交于M,N兩點,求（O為坐標(biāo)原點）面積的最小值.
20．如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,.
（1）證明:平面平面PBC.
（2）若,求平面PBC與平面PAD夾角的余弦值.
21．已知圓.
（1）證明:圓C過定點.
（2）當(dāng)時,求直線被圓C截得的弦長.
（3）當(dāng)時,若直線與圓C交于M,N兩點,且,其中O為坐標(biāo)原點,求k的取值范圍.
22．如圖,A,B,C為圓柱底面圓周上三個不同的點,,,分別為半圓柱的三條母線,且C是的中點,O,E分別為AB,的中點.
（1）證明:平面ACE.
（2）若,F是上的動點（含弧的端點）,求OF與平面ACE所成角的正弦值的最大值.
參考答案
1．答案：D
解析：是斜截式方程,是點斜式方程,是截距式方程,是兩點式方程.
2．答案：C
解析：在棱長為2的正方體中,,故選C.
3．答案：A
解析：點到直線的距離為.
4．答案：B
解析：因為,,,所以,,共面,,,共面,,,,共面.
不存在實數(shù)x,y,使得,所以,,不共面.
5．答案：D
解析：圓M的圓心為,半徑為,圓N的圓心為,半徑為.依題意可得,即,解得.
6．答案：C
解析：關(guān)于x軸的對稱點為,則反射光線所在直線為.因為,所以反射光線所在直線的方程為.令,得反射光線所在直線在y軸上的截距為.
7．答案：B
解析：當(dāng)時,由,得,則曲線表示半徑為36的四分之一個圓;
當(dāng)時,由,得,則曲線表示半徑為36的四分之一個圓.
所以塑膠跑道的面積,則翻新跑道共需要投入的資金為萬元.
8．答案：C
解析：設(shè)AC與BD交于點O,連接DF.以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,.設(shè)平面PAD的法向量為,則令,得.因為點F的坐標(biāo)為,所以,故點F到平面PAD的距離為.
9．答案：ACD
解析：因為,所以直線l的傾斜角.
10．答案：ABC
解析：,,.設(shè)D的坐標(biāo)為.
若四邊形ABDC為平行四邊形,則,則,此時D的坐標(biāo)為.若四邊形ABCD為平行四邊形,則,則,,此時D的坐標(biāo)為.
若四邊形ADBC為平行四邊形,則,則,此時D的坐標(biāo)為.
11．答案：BC
解析：
,A錯誤,B正確.
在正四面體ABCD中,可證,則,則,所以,C正確.
取CD的中點為E,連接ME,NE,則,,
且,.因為,所以,所以是以為直角的等腰直角三角形,所以異面直線MN與BD所成的角為,且,D錯誤.
12．答案：BCD
解析：如圖,以小島的中心為原點O,正東方向為x軸,1km為單位長度,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
則輪船所在的位置為,受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為400.設(shè)輪船航線所在直線的方程為,即.由,得或,因為,所以該輪船的行駛路線可以是南偏西方向,北偏西方向,北偏西方向.
13．答案：
解析：因為直線與直線垂直,所以,解得.
14．答案：
解析：取,,則,,
所以點B到直線AC的距離為.
故答案為：.
15．答案：
解析：本題答案不唯一,只要所寫方程形如或即可.
16．答案：
解析：其俯視圖如圖所示,可得點C的坐標(biāo)為.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為,
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)所求直線方程為,
將點M的坐標(biāo)代入得,解得,
所以所求直線方程為.
18．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）在三棱柱中,側(cè)面為平行四邊形,
所以,
則.
（2）依題意可得,,
則
,
所以的長為.
19．答案：（1）
（2）2
解析：（1）因為直線AC的傾斜角為,所以直線AC的斜率為.
又點C的坐標(biāo)為,所以直線AC的方程為,
即.
由與,解得,
因為BC邊上的中線經(jīng)過點A,所以點A的坐標(biāo)為.
（2）依題意可設(shè)直線l的方程為,
則.
因為,,所以,
則,
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,
所以面積的最小值為.
20．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明:因為平面ABCD,所以.
在中可求得.
在中,因為,,所以,
所以.
又平面ABCD,所以.
因為,所以平面PBC.
又平面PAC,所以平面平面PBC.
（2）因為,平面ABCD,所以分別以,,的方向為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,.
由（1）知平面PBC,所以為平面PBC的一個法向量.
設(shè)平面PAD的法向量為,可得
令,得.
設(shè)平面PBC與平面PAD的夾角為,
則.
21．答案：（1）見解析
（2）
（3）
解析：（1）證明:由,
得,
令,得,解得,,
所以圓C過定點,且定點的坐標(biāo)為.
（2）當(dāng)時,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則圓C的圓心到直線
的距離,
所以直線被圓C截得的弦長為.
（3）將代入,得.
設(shè),,則,,
恒成立,
所以
,整理得,
所以k的取值范圍是.
22．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明:因為,,分別為半圓柱的三條母線,
所以,且,
所以四邊形為平行四邊形,所以.
又因為平面ACE,平面ACE,
所以平面ACE.
（2）記的中點為,點F在平面ABC內(nèi)的投影記為,連接OC,,BC.
因為C是半圓的中點,所以,.
易知平面ACB,OB,OC,兩兩相互垂直,且.
以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,.
點在xOy平面內(nèi)的單位圓上,其坐標(biāo)不妨記為,,則,.
設(shè)平面ACE的法向量為,
則即令,得.
設(shè)OF與平面ACE所成的角為,
則,
當(dāng)且僅當(dāng)時,OF與平面ACE所成角的正弦值取得最大值,且最大值為.

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