時(shí)量：120分鐘 分值：150分
命題人： 審題人：
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，2}
2．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
4．過橢圓C：的中心作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是C的一個(gè)焦點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
5．已知圓C的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓C有四個(gè)公共點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是（ ）
A．70 B．64 C．60 D．58
8．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．
C． D．
10．已知函數(shù)（，），函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．的表達(dá)式可以寫成
B．的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)
C．的對(duì)稱中心（，1），
D．若方程在（0，m）上有且只有6個(gè)根，則
11．如圖，過點(diǎn)C（a，0）（）的直線AB交拋物線（）于A，B兩點(diǎn)，連接AO、BO，并延長(zhǎng)，分別交直線于M，N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定成立的有（ ）
A． B．以AB為直徑的圓與直線相切
C． D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（5，），若，則________．
13．已知向量，，若，則的值為________．
14．設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則k的最大值為________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在同一平面上，已知，．
（1）當(dāng)BD長(zhǎng)度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由．
（2）記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．
16．（15分）函數(shù)的圖象在處的切線為，其中．
（1）求λ的值；
（2）求在（0，）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
17．（15分）如圖，四面體ABCD中，，，，E為AC的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面ACD；
（2）設(shè)，，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
18．（17分）已知雙曲線C：（，）的漸近線方程為，過點(diǎn)（4，0）的直線l交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，．
（1）求C的方程；
（2）記雙曲線C的左右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，求的值．
（3）探究圓E：上是否存在點(diǎn)S，使得過S作雙曲線的兩條切線，互相垂直．
19．（17分）對(duì)于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得（），則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．
（1）證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．
（2）記，（），證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則（）或數(shù)列是等比數(shù)列．
（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，，，求的通項(xiàng)公式．
雅禮中學(xué)2025屆高三上學(xué)期入學(xué)考試試卷
數(shù)學(xué)
時(shí)量：120分鐘 分值：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．【答案】C
【分析】先確定集合A，再求交集．
【詳解】根據(jù)題意，，所以．
故選：C
2．【答案】B
【分析】由側(cè)面展開圖求得母線長(zhǎng)后求得圓錐的高，再由體積公式計(jì)算．
【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，高為h，底面半徑為，
則由，得，所以，
所以．故選：B．
3．【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解．
【詳解】由題設(shè)及，可得．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意．
所以的最小值為4．
故選：C．
4．【答案】B
【分析】利用橢圓的定義和對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化的周長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】設(shè)C的另一個(gè)焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，
所以的周長(zhǎng)為，
當(dāng)線段PQ為橢圓短軸時(shí)，有最小值6，所以的周長(zhǎng)的最小值為14．
故選：B
5．【答案】B
【詳解】由圓C的方程為可得圓心（0，2），半徑，
若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，
若函數(shù)的圖象與圓C有四個(gè)公共點(diǎn)，則原點(diǎn)在圓的外部，
即，解得，
綜上函數(shù)的圖象與圓C有四個(gè)公共點(diǎn)則，
所以“”是“函數(shù)的圖象與圓C有四個(gè)公共點(diǎn)”的必要不充分條件，故選：B
6．【分析】小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號(hào)碼X服從二項(xiàng)分布，且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即，則（，1，2…，10），然后由二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性即可得解．
【解答】解：小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，
則小球落入格子的號(hào)碼X服從二項(xiàng)分布，
且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即，
所以（，1，2…，10），
由二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，最大，故．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)分布及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．【分析】從8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，共有種結(jié)果，在這些結(jié)果中，有四點(diǎn)共面的情況，6個(gè)表面有6個(gè)四點(diǎn)共面，6個(gè)對(duì)角面有6個(gè)四點(diǎn)共面，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果，得到結(jié)論．
【解答】解：首先從8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，共有種結(jié)果，
在這些結(jié)果中，有四點(diǎn)共面的情況，6個(gè)表面有6個(gè)四點(diǎn)共面，6個(gè)對(duì)角面有6個(gè)四點(diǎn)共面，
∴滿足條件的結(jié)果有．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)排列問題同立體幾何問題結(jié)合的題目，是一個(gè)綜合題，這種問題實(shí)際上是以排列為載體考查正方體的結(jié)構(gòu)特征．
8．【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)不等式．
【解答】解：，則，
因?yàn)樵赗上恒成立，
所以在R上恒成立，故在R上單調(diào)遞減，
所以，，故A不正確；
所以，即，即，故B不正確；
，即，即，故C不正確；
，即，即，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思想，屬中檔題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．【答案】BCD
【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及坐標(biāo)表示即可判斷CD．
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，顯然，
但，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，設(shè)，，
則，
，
，
所以，故B對(duì)；
對(duì)于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量，
復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，
故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，
所以，，故C對(duì)，D對(duì)．
故選：BCD．
10．【答案】AB
【詳解】對(duì)A，由圖分析可知：得；
由，得，即，
又，所以，又，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正確；
對(duì)B，向右平移個(gè)單位后得
，為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，
令（）得（），
所以對(duì)稱中心（，1），，故C不正確；
對(duì)于D，由，得，
因?yàn)?，所以?br>令，，，，，，解得，，，，，．
又在（0，m）上有6個(gè)根，則根從小到大為，，，，，，
再令，解得，則第7個(gè)根為，，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
11．【分析】設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率公式，結(jié)合三角形的面積公式及直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法即可求解．
【解答】解：對(duì)于A，令直線AB：，A（，），B（，），
聯(lián)立，消x可得，
則，，，
則，
則，則直線OA：，∴M（，），
故，
同理，∴，故A正確；
對(duì)于B，如圖，設(shè)AB中點(diǎn)Q（，），即Q（，），
則Q到直線的距離，
以AB為直徑的圓的半徑，
所以，
當(dāng)時(shí)相切，當(dāng)時(shí)不相切，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)與x軸交于P，，，
則，則，故C正確；
對(duì)于D，，，
則
，
而，
所以，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了已知兩點(diǎn)求斜率，由斜率判斷兩條直線平行，判斷直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)求解即可．
【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（5，），則
又，則，則．
故答案為：0.23．
13．【答案】
【分析】根據(jù)題目條件可得，代入化簡(jiǎn)即可．
【詳解】已知向量，，若，則有，
∴．
故答案為：
14．【答案】
【分析】由題意可得，可令，則成立，由和互為反函數(shù)，可得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得有解，通過取對(duì)數(shù)和構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性和最值，即可得到k的最大值．
【詳解】不等式，所以，
即為，即有，可令，則成立，
由和互為反函數(shù)，可得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
可得有解，則，即，
可得，導(dǎo)數(shù)為，
可得時(shí)，函數(shù)y遞減，時(shí)，函數(shù)y遞增，
則時(shí)，取得最大值，
可得即有，所以，可得，即k的最大值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題有兩個(gè)關(guān)鍵，其一，是得到有，想到令換元，則成立；其二，通過轉(zhuǎn)化得到有解，再利用導(dǎo)數(shù)解答．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【答案】（1）為定值，定值為1 （2）14
【詳解】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，即②，
得，
所以當(dāng)BD長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，化簡(jiǎn)得，即，
所以當(dāng)BD長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；
（2）
，
令，，所以，
所以，即時(shí)，有最大值為14．
16．解析【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以切線斜率為，即，
所切線方程為
又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），代入得
則，解得．
【小問2詳解】
由（1）得，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上遞增，
所以，
因此在無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，
又，，
所以在（0，π）上存在唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，單調(diào)遞增；
又，，，
因此在（0，π）上僅有1個(gè)零點(diǎn)；
綜上，在（0，）上僅有1個(gè)零點(diǎn)．
17．【詳解】（1）因?yàn)椋珽為AC的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?，?br>所以，所以，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)镈E，平面BED，，所以平面BED，
因?yàn)槠矫鍭CD，所以平面平面ACD．
（2）連接EF，由（1）知，平面BED，因?yàn)槠矫鍮ED，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，EF最小，即的面積最?。?br>因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以?br>在中，，所以．
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0，，0），D（0，0，1），所以
，，
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，
則取，則，
又因?yàn)镃（，0，0），F(xiàn)（0，，），所以，
所以，
設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為，
所以，所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為．
18．【答案】（1）；（2）；（3）存在．
【詳解】（1）由對(duì)稱性知，雙曲線C過點(diǎn)（4，3），則，解得，
所以雙曲線C的方程為．
（2）由（1）得（，0），（2，0），設(shè)M（，），N（，），
顯然直線MN不垂直于y軸，設(shè)直線MN的方程為，
由消去x得，
顯然，，，，
則，即，
所以．
（3）圓E：上存在點(diǎn)S，使得過S作雙曲線的兩條切線互相垂直．
若雙曲線的兩條切線有交點(diǎn)，則兩條切線的斜率存在且不為0，
設(shè)雙曲線的兩條切線分別為，，
將代入消去y得：，
由得，解得，
因此，，設(shè)兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
則，即有，且，
即，，
于是，是方程的兩根，
而，則，即，從而兩條切線們交點(diǎn)的軌跡為圓，
而的圓心為O（0，0），半徑為1，圓E：的圓心E（2，2），半徑為3，顯然，滿足，即圓O與圓E相交，
所以圓E：上存在點(diǎn)S，使得過S作雙曲線的兩條切線互相垂直．
19．【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）
【詳解】（1）∵是等差數(shù)列，∴設(shè)，
令，，
則是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，所以數(shù)列是“優(yōu)分解”的．
（2）因?yàn)閿?shù)列是“優(yōu)分解”的，設(shè)（），
其中，（，），
則，．
當(dāng)時(shí)，（）；
當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．
（3）一方面，∵數(shù)列是“優(yōu)分解”的，設(shè)（），
其中，（，），由（2）知
因?yàn)?，，所以?br>∴，∴，∴是首項(xiàng)為2，公比為Q（）的等比數(shù)列．
另一方面，因?yàn)槭恰皟?yōu)分解”的，設(shè)（），
其中，（，），
，
∵是首項(xiàng)為2，公比為Q（）的等比數(shù)列，
∴，，且，
∴
化簡(jiǎn)得，∵，，，∴，∴，
即數(shù)列是首項(xiàng)，公比為q的等比數(shù)列．
又∵，∴，
又∵，∴，∵，，∴解得，∴，

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