1.下列二次根式中，與 3是同類二次根式的是( )
A. 18B. 12C. 23D. 29
2.在下列各式中正確的是( )
A. (?2)2=?2B. ± 9=3C. ( ?5)2=?5D. 16=4
3.一元二次方程x(x?2)=2?x的根是( )
A. ?1B. 0C. 1和2D. ?1和2
4.已知x=1是一元二次方程(2m+2)x2+x?m2=0的一個根，則m的值為( )
A. ?1B. 3或?1C. 3D. ?3或1
5.有下列各組數(shù)：①6，8，10；②32，42，52；③35，45，1；④12，16，20；⑤0.5，1.2，1.3.其中勾股數(shù)有( )
A. 1組B. 2組C. 3組D. 4組
6.如圖，一豎直的木桿在離地面4米處折斷，木桿頂端落在地面離木桿底端3米處，木桿折斷之前的高度為( )
A. 7米B. 8米C. 9米D. 12米
7.某射擊小組有20人，成績如表所示：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A. 8；8B. 7；8C. 7；7.5D. 8；7.5
8.如圖，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，點D在AC邊上，以CB，CD為邊作?BCDE，則∠E的度數(shù)為( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
9.如圖，在四邊形ABCD中，E是BC的中點，連接DE并延長，交AB的延長線于點F，AB=BF，添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形．下列條件中正確的是( )
A. AD=BC
B. CD=BF
C. ∠F=∠CDE
D. ∠A=∠C
10.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=6，點E在邊AD上，點F在BC的延長線上，且滿足BF=BE=8，過點C作CE的垂線交BE于點G，若CE恰好平分∠BEF，則BG的長為( )
A. 2B. 3C. 4D. 2 2
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
11.當x= 3+1時，式子x2?2x+2的值為______.
12.關于x的一元二次方程x2=a的兩個根分別是2m?1與m?5，則m=______.
13.如圖，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6.則∠ACD=______度．
14.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E為AB的中點，點F為BC邊上任意一點，將△BEF沿EF翻折，點B的對應點為B′，則當△B′CD面積最小時折痕EF的長為______.
三、計算題：本大題共2小題，共18分。
15.計算： 48÷ 3? 12× 12+ 24.
16.某中學為了了解學生的體育鍛煉情況，隨機抽查了部分學生一周參加體育鍛煉的時間，得到如圖的條形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖形解答下列問題：
(1)這次抽查了______名學生；
(2)所抽查的學生一周平均參加體育鍛煉多少小時？
(3)已知該校有1200名學生，估計該校有多少名學生一周參加體育鍛煉的時間超過6小時？
四、解答題：本題共7小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題8分)
解方程：x(x?3)=6?2x.
18.(本小題8分)
已知關于x的一元二次方程x2+2x+a?2=0有兩個實數(shù)根.
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值.
19.(本小題8分)
如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，BC=BD，點E在BD上，∠A=∠BEC=90°.
(1)求證：△ABD≌△ECB；
(2)若AD=4，CE=3，求CD的長．
20.(本小題10分)
在數(shù)學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：
已知a=12+ 3，求2a2?8a+1的值.他是這樣解答的：
∵a=12+ 3=2? 3(2+ 3)(2? 3)=2? 3，
∴a?2=? 3.
∴(a?2)2=3，a2?4a+4=3.
∴a2?4a=?1.
∴2a2?8a+1=2(a2?4a)+1=2×(?1)+1=?1.
請你根據(jù)小明的解題過程，解決如下問題：
(1)1 3+ 2=______；
(2)化簡1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+……+1 169+ 168；
(3)若a=1 5?2，求a4?4a3?4a+3的值.
21.(本小題12分)
商場某種商品平均每天可銷售40件，每件盈利60元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經調查，每件商品每降價1元，商場平均每天可多銷售2件．
(1)當每件盈利50元時，每天可銷售多少件？
(2)每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到3150元？
22.(本小題12分)
如圖，已知平行四邊形ABCD，點O為BD中點，點E在AD上，連接EO并延長交BC于點F，連接BE，DF.
(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)若AB=3 2，AD=6，∠BAD=135°，當四邊形BEDF為菱形時，求AE的長．
23.(本小題14分)
如圖，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8.以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E
(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
(2)連接AC、BE交于點P，求AP的長及AP邊上的高BH.
(3)在(2)的條件下，將四邊形OABC置于如圖所示的平面直角坐標系中，以E為坐標原點，其余條件不變，以AP為邊向右上方作正方形APMN：
①M點的坐標為______；
②直接寫出正方形APMN與四邊形OABC重疊部分的面積(圖中陰影部分)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 18=3 2，與 3被開方數(shù)不同，不是同類二次根式；
B、 12=2 3，與 3被開方數(shù)相同，是同類二次根式；
C、 23= 63，與 3被開方數(shù)不同，不是同類二次根式；
D、 29= 23，與 3被開方數(shù)不同，不是同類二次根式．
故選：B.
根據(jù)最簡二次根式的意義，將每個選項化簡，即可得出正確結論．
要判斷幾個根式是不是同類二次根式，須先化簡根號里面的數(shù)，把非最簡二次根式化成最簡二次根式，然后判斷．
2.【答案】D
【解析】解：A. (?2)2=2，故此選項不合題意；
B.± 9=±3，故此選項不合題意；
C. ?5無意義，故此選項不合題意；
D. 16=4，故此選項符合題意．
故選：D.
直接利用算術平方根以及平方根的定義分別分析得出答案．
此題主要考查了算術平方根和平方根的定義，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
3.【答案】D
【解析】解：x(x?2)=2?x，
x(x?2)?(2?x)=0，
x(x?2)+(x?2)=0，
(x?2)(x+1)=0，
x?2=0或x+1=0，
x1=2，x2=?1，
故選：D.
利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答．
本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
4.【答案】C
【解析】解：把x=1代入(2m+2)x2+x?m2=0得，
2m+2+1?m2=0，
m2?2m?3=0，
解得：m1=3，m2=?1，
∵(2m+2)x2+x?m2=0，
∴2m+2≠0，
∴m≠?1，
∴m=3，
故選：C.
首先把x=1代入(2m+2)x2+x?m2=0解方程可得m1=3，m2=?1，再結合一元二次方程定義可得m的值．
本題考查了一元二次方程的解及定義和解一元二次方程，正確理解定義及熟練掌握解方程是解題的關鍵．
5.【答案】B
【解析】解：62+82=102，故①是勾股數(shù)；
(32)2+(42)2≠(52)2，故②不是勾股數(shù)；
35、45不是正整數(shù)，故③不是勾股數(shù)；
122+162=202，故④是勾股數(shù)；
0.5，1.2，1.3不是正整數(shù)，故⑤不是勾股數(shù)；
所以勾股數(shù)有①、④，共2組．
故選：B.
根據(jù)勾股數(shù)的概念即：能夠構成直角三角形三邊的正整數(shù)，滿足a2+b2=c2.
本題考查了勾股數(shù)，掌握勾股數(shù)是正整數(shù)且滿足a2+b2=c2是解題的關鍵．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此題考查了勾股定理的應用，主要考查學生對勾股定理在實際生活中的運用能力．
由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度．
【解答】
解：∵一豎直的木桿在離地面4米處折斷，頂端落在地面離木桿底端3米處，
∴折斷的部分長為 32+42=5(米)，
∴折斷前高度為5+4=9(米).
故選C.
7.【答案】D
【解析】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，
這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8，中位數(shù)是：(7+8)÷2=7.5，
故選：D.
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以求得這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)，從而可以解答本題．
本題考查眾數(shù)和中位數(shù)，解答本題的關鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的定義，找出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，關鍵是求出∠C的度數(shù)．
根據(jù)等腰三角形的性質可求∠C，再根據(jù)平行四邊形的性質可求∠E.
【解答】
解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=(180°?40°)÷2=70°，
∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴∠E=∠C=70°.
故選D.
9.【答案】C
【解析】解：添加：∠F=∠CDE，
理由：
∵∠F=∠CDE，
∴CD//AB，
在△DEC與△FEB中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFEC=BE，
∴△DEC≌△FEB(AAS)，
∴DC=BF，
∵AB=BF，
∴DC=AB，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
故選：C.
把A、B、C、D四個選項分別作為添加條件進行驗證，D為正確選項．添加D選項，即可證明△DEC≌△FEB，從而進一步證明DC=BF=AB，且DC//AB.
本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．
10.【答案】C
【解析】解：如圖，延長EF，GC兩條線相交于點H，過點G作GP//EF交BC于點P，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∵BF=BE=8，
∴CF=BF?BC=2，
∵CE平分∠BEF，
∴∠GEC=∠HEC，
∵CE⊥GC，
∴∠ECG=∠ECH=90°，
在△ECG和△ECH中，
∠GEC=∠HECEC=EC∠ECG=∠ECH，
∴△ECG≌△ECH(ASA)，
∴CG=CH，
∵GP//EF，
∴∠PGC=∠FHC，
在△PCG和△FCH中，
∠GCP=∠HCFCG=CH∠PGC=∠FHC，
∴△PCG≌△FCH(ASA)，
∴CP=CF=2，
∴BP=BF?PF=8?4=4，
∵BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE，
∵GP//EF，
∴∠BGP=∠BEF，∠BPG=∠BFE，
∴∠BGP=∠BPG，
∴BG=BP=4.
故選：C.
延長EF，GC兩條線相交于點H，過點G作GP//EF交BC于點P，根據(jù)平行四邊形的性質證明△ECG≌△ECH，可得CG=CH，再證明△PCG≌△FCH，可得CP=CF=2，再根據(jù)等腰三角形的性質證明BG=BP即可．
本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是綜合運用平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質．
11.【答案】4
【解析】解：原式=x2?2x+1+1
=(x?1)2+1，
當x= 3+1時，
原式=( 3+1?1)2+1
=3+1
=4.
故答案為：4.
原式配方后，利用完全平方公式化簡，把x的值代入計算即可求出值．
此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
12.【答案】2
【解析】解：根據(jù)題意得2m?1+m?5=0，
解得m=2，
故答案為：2.
利用直接開平方法解方程x2=a得到方程的兩根互為相反數(shù)，則2m?1+m?5=0，則可計算出m=3即可．
本題考查了解一元二次方程-直接開平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
13.【答案】45
【解析】解：∵∠A=90°，AC=AB=4，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
在Rt△ABC中，BC= AC2+AB2=4 2，
CD2+BC2=22+(4 2)2=36，BD2=62=36，
∴CD2+BC2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=45°，
故答案為：45.
根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BCD=90°，結合圖形計算，得到答案．
本題考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．
14.【答案】3 2
【解析】解：當△B′CD面積最小時，B′到CD的距離最小，即B′到AB的距離最大，
∴當B′到AB的距離=EB′時，此時B′到AB的距離最大，
即EB′⊥AB，
∵將△BEF沿EF翻折，點B的對應點為B′，
∴BE=B′E，∠B=∠EB′F=∠B′EB=90°，
∴四邊形EBFB′是正方形，
∴EF= 2BE，
∵點E為AB的中點，
∴BE=3，
∴EF=3 2，
∴當△B′CD面積最小時折痕EF的長為3 2，
故答案為：3 2.
當△B′CD面積最小時，B′到CD的距離最小，即B′到AB的距離最大，當B′到AB的距離=EB′時，此時B′到AB的距離最大，即EB′⊥AB，根據(jù)折疊的性質得到BE=B′E，∠B=∠EB′F=∠B′EB=90°，推出四邊形EBFB′是正方形，得到EF= 2BE，于是得到距離．
本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質，正方形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．
15.【答案】解：原式= 16? 6+2 6
=4+ 6
【解析】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質和運算法則．先計算乘法和除法，再合并即可得．
16.【答案】(1)60；
(2)15×4+10×5+15×7+20×860=6.25(小時).
答：所抽查的學生一周平均參加體育鍛煉6.25(小時).
(3)1200×15+2060=700(人).
答：估計該校有700名學生一周參加體育鍛煉的時間超過6小時．
【解析】解：(1)15+10+15+20=60.
故答案是：60；
(2)見答案．
(3)見答案．
【分析】
(1)把各段的-人數(shù)相加即可求解；
(2)根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解；
(3)1200乘以樣本中超過6小時的人數(shù)所占的比例即可求解．
本題主要考查了條形統(tǒng)計圖的計算，理解條形統(tǒng)計圖中坐標的意義，理解加權平均數(shù)的計算公式是解題的關鍵．
17.【答案】解：∵x(x?3)=?2(x?3)，
∴(x?3)(x+2)=0，
則(x?3)=0或者(x+2)=0，
解得x1=3，x2=?2.
【解析】利用因式分解法求解可得．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．
18.【答案】解：(1)∵關于x的一元二次方程x2+2x+a?2=0有兩個實數(shù)根，
∴Δ=b2?4ac=4?4(a?2)≥0，
解得a≤3；
(2)由根與系數(shù)的關系可知：x1+x2=?2，x1?x2=a?2，
則(a?2)2+4×(?2)=1，
解得a1=5，a2=?1，
∵a≤3，
∴a的值為?1.
【解析】(1)由關于x的一元二次方程x2+2x+a?2=0有兩個實數(shù)根，可得△≥0，繼而求得實數(shù)a的取值范圍；
(2)由方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，且x12x22+4x1+4x2=1，可得方程，繼而求得答案．
本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x2=ca.也考查了代數(shù)式的變形能力和根的判別式．
19.【答案】(1)證明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
∠A=∠BEC∠ADB=∠CBDBC=BD，
∴△ABD≌△ECB(AAS)；
(2)∵△ABD≌△ECB(AAS)，
∴BE=AD=4，
∵CE=3，∠BEC=90°，
根據(jù)勾股定理，得BC=5，
∴BD=5，
∴ED=1，
在△CED中，根據(jù)勾股定理，
得CD= 12+32= 10.
【解析】(1)根據(jù)AD//BC，可得∠ADB=∠CBE，進一步根據(jù)AAS證明全等即可；
(2)根據(jù)全等三角形的性質，可得BE=AD=4，根據(jù)勾股定理，可得BC=5，進一步在△CED中根據(jù)勾股定理，即可求出CD的長．
本題考查了全等三角形的判定和性質，涉及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
20.【答案】 3? 2
【解析】解：(1)1 3+ 2= 3? 2( 3+ 2)( 3? 2)= 3? 2；
故答案為 3? 2；
(2)原式= 2?1+ 3? 2+ 4? 3+…+ 169? 168
= 169?1
=13?1
=12；
(3)∵a=1 5?2= 5+2，
∴a?2= 5，
∴(a?2)2=5，即a2?4a+4=5.
∴a2?4a=1.
∴a4?4a3?4a+3=a2(a2?4a)?4a+3
=a2×1?4a+3
=a2?4a+3
=1+3
=4.
(1)利用分母有理化計算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用a= 5+2得到a?2= 5，兩邊平方得到a2?4a=1，然后利用整體代入的方法計算．
本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．
21.【答案】解：(1)當每件盈利50元時，每件商品降價：60?50=10(元)，
商場每天可多銷售：10×2=20(件)，
每天銷售：40+20=60(件)，
答：當每件盈利50元時，每天可銷售60件；
(2)設每件商品降價x元時，商場日盈利可達到3150元，
則商場每天多銷售2x件，
根據(jù)題意得：(60?x)(40+2x)=3150，
整理得：x2?40x+375=0，
解得：x1=15，x2=25，
答：每件商品降價15元或25元時，商場日盈利可達到3150元．
【解析】(1)根據(jù)“某種商品平均每天可銷售40件，每件盈利60元，每件商品每降價1元，商場平均每天可多銷售2件”，計算出每件盈利50元時，每件商品降價的錢數(shù)，從而計算出商場每天可多銷售的數(shù)量，從而計算出每天銷售的數(shù)量；
(2)設每件商品降價x元時，商場日盈利可達到3150元，則商場每天多銷售2x件，根據(jù)“某種商品平均每天可銷售40件，每件盈利60元，每件商品每降價1元，商場平均每天可多銷售2件”，列出關于x的一元二次方程，解之即可．
本題考查了一元二次方程的應用，正確找出等量關系，列出一元二次方程是解題的關鍵．
22.【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC//AD，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵點O為AD中點，
∴BO=OD
∵在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠EOD=∠FOB，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴ED=BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)如圖，過點B作BH⊥AD，交DA延長線于點H，
∵∠BAD=135°，
∴∠BAH=45°
在Rt△ABH中，AB=3 2，
∴BH=HA=3，
設AE=x，
∵四邊形BEDF為菱形，
∴EB=ED=6?x
在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，
∴32+(3+x)2=(6?x)2
解得：x=1，
∴AE=1.
【解析】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理．本題主要利用菱形的鄰邊相等及勾股定理來解決．
(1)只需推知ED//BF且ED=BF即可證得四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)如圖，過點B作BH⊥AD，交DA延長線于點H，構造等腰直角三角形△ABH，設AE=x，由該三角形的性質和菱形的性質求得EB=ED=6?x，在Rt△BHE中，根勾股定理得到：BH2+HE2=BE2，借助于方程求得x即AE的長度即可．
23.【答案】(2 3+4,2 3)
【解析】(1)證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點，
∴AD=12OB，OD=BD=12OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，
又∵△OBC為等邊三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC//AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO//AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；
(2)解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，
∴AB=4，
∴OA=4 3，
∵四邊形ABCE是平行四邊形，
∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=2 3，
∴由勾股定理，AP=2 7，
∴12×AC×BH=12×AB×BE，即12×4 7×BH=12×4×4 3，
解得BH=4 217；
(3)①∵C(0,4)，
設直線AC的解析式為y=kx+4，
∵P(2 3,0)，
∴0=2 3k+4，
解得，k=?23 3，
∴y=?23 3x+4，
∵∠APM=90°，
∴直線PM的解析式為y= 32x+m，
∵P(2 3,0)，
∴0= 32×2 3+m，
解得，m=?3，
∴直線PM的解析式為y= 32x?3，
設P(x, 32x?3)，
∵AP=2 7，
∴(x?2 3)2+( 32x?3)2=(2 7)2，
化簡，x2?4 3x?4=0，
解得，x1=2 3+4，x2=2 3?4(不合題意舍去)，
當x=2 3+4時，y= 32×(2 3+4)?3=2 3，
∴M(2 3+4,2 3)，
故答案為(2 3+4,2 3)；
②易得直線BC的解析式為y=? 33x+4，
根據(jù)題意得：y=? 33x+4y= 32x?3，
解得，x=215y=65，
∴陰影部分的面積=12×2 3×4+12×2 3×65=265 3.
(1)利用直角三角形斜邊中線的性質可得DO=DA，推出∠AEO=60°，進一步得出BC//AE，BC//AE，可得結論；
(2)先計算出OA=4 3，推出PB=2 3，利用勾股定理求出AP=2 7，再利用面積法計算即可；
(3)①求出直線PM的解析式為y= 32x?3，再利用兩點間的距離公式計算即可；
②易得直線BC的解析式為y=? 33x+4，聯(lián)立組成方程組，記得點G的坐標，再利用三角形面積公式計算．
本題考查的是平行四邊形的判定，等邊三角形的性質，兩點間的距離，正方形的性質，矩形的性質，掌握相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵．射擊(環(huán))
5
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人數(shù)
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3
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